2020届江苏省高考数学押题试卷含解析

2020届江苏省高考数学押题卷
数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．
1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ．
2．设复数z 满足(1i)i z ⋅-=（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ．
3．一组数据3，x ，5，6，7的均值为5，则方差为 ．
4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，
从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ．
6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点． 若1
12BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为______．
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 ．
8． 若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f =______． 9． 已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 5)f -的值为______．
10．已知函数2()e (1)x f x x ax =++的单调减区间为()
ln ln e e b a ，，则a b 的值为______． 11．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⊥CD ，则点A 的横坐标为 ．
12．设H 为三角形ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos BHC ∠= ．
13．已知函数f (x )满足1
()+()x f x f x e
'=，且f (0)=1，则函数[]21()3()()2g x f x f x =-的零点个数是 ．
14．若数列{}n a 满足21321111222
n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项的和为n S ，且满足221()n n S a t n N *=+-∈，则实数t 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，
G 分别是棱SA ，SC 的中点．
（1）求证：平面EFG ‖平面ABC ．
（2）求证：BC ⊥SA ．
16．（本小题满分14分）
已知△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若π3B =，b =，△ABC 的面积S ，求a+c 值； （2）若()
22cos C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求角C ．
椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为13
，左焦点F 到直线l ：x ＝9的距离为10， 圆G ：(x －1)2+y 2＝1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P 是椭圆上任意一点，EH 为圆G ：(x －1)2+y 2＝1
的任一直径，求PE PH ⋅u u u r u u u r 的取值 范围；
（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点
为T ，都满足
NF NT =M 的方程；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分16分）
如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角π3
， 半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、，
要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、上．
（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并
写出,a b 的范围；
（2）设α=∠AOT ，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A B 、的位置，使得新建公
路AB 的长度最短．
已知函数f (x )＝x 3－x +2x ．
（1）求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
（2）令g (x )
2ln x +，若函数y ＝g (x )在(e ，+∞)内有极值，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1，+∞)，s ∈(0，1)，求证：1()()e 2e
g t g s ->+- ．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }，{b n }满足，2S n ＝(a n +2)b n ，其中n S 是数列{a n }的前n 项和．
（1）若数列{a n }是首项为23，公比为13
-的等比数列，求数列{b n }的通项公式； （2）若b n ＝n ，a 2＝3，求证：数列{a n }满足a n +a n +2＝2a n +1，并写出数列{a n }的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设 n n n
a c
b =．试问，数列{
c n }中的任意一项是否总可以表示成该数列其他两项之积？若可以，请证明之；若不可以，请说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
满分40分考试时间30分钟
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B．（选修4－2：矩阵与变换）
已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换
T2：
2,
3
x x
y y
'=
⎧
⎨
'=
⎩
对应的矩阵为N．
（1）写出矩阵M、N；
（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线C1的参数方程为
,
2sin
x
y
α
α
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
（α∈R，α为参数），曲线C2的极坐标方程为
cos sin50
ρθθ-=．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求线段PQ的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成
的角为30︒，AE垂直BD于点E、F为A1B1的中点．
（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．
23．（本小题满分10分）
设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足
a1＜a2＜a3，且a3－a2≤2，A⊆S．
（1）若n = 6，求满足条件的集合A的个数；
（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．。