定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
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解题思路：根据上述的分析，对系统应用角动量守恒 解定：律已，知可子解弹此和题细。棒对于转轴O的转动惯量分别为
J 2 m2 L2
J1
1 3
m1 L2
根据角动量守恒定律，当M=0时有Lz Jz恒定
即碰撞前后的角动量相等
m2 LV0
(J1
J2 )
(m2 L2
1 3
m1L2 )
即 3m2V0 (rad / s)
(3m2 m1 )L
例12 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端 点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自 由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相 撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为
。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞
后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰 撞后将向左摆或向右摆的条件。
啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 J A A J BB＝J A J B
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs （5）
l
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况
2、 刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律
MZ
dLz dt
d(J )
dt
M Z dt d(J ) 角动量定理微分形式
t2 t1
MΒιβλιοθήκη Baidudt
2 1
d(J)
J2
J1
角动量定理积分形式
L2 L1
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量等于其角动量的增量
3、 刚体定轴转动的角动量守恒定律
对定轴转动刚体：Mz 0
，如图所示。若要使杆以匀角速度转动
求: 昆虫沿杆爬行的速度。
l
O4
解：昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,
对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，
动量矩守恒
mv 0
l 4
(1 12
ml 2
m( l )2 )
4
l
O4
12v0
7l
转动定律
Mz
d( I z )
dt
使杆以匀角速度转动
Mz
dI z dt
其中 M Z mgrcos
如：花样滑冰 滑冰.avi ， 跳水 ，芭蕾舞等
c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定
轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。 如：常平架上的回转仪
A
L
B
C
B
C
A
例11 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速
一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心 线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B的转动惯量 为IB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B 轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
相似，也可由机械能守恒定律求得：
m gh 1 1 m l2 2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定
水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位
置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad/s
或共同转速为
n 200r/ min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
E
1 2
J
A
2 A
1 2
J
B
2 B
1 2
(J A
JB
)
2
1.32104 J
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
O
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
C
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
零点，用表示棒这时的角速度,则
mg
l 2
1 2
J
2＝1 2
1 3
ml
2
2
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的
冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
J 2 m2 L2
J1
1 3
m1 L2
根据角动量守恒定律，当M=0时有Lz Jz恒定
即碰撞前后的角动量相等
m2 LV0
(J1
J2 )
(m2 L2
1 3
m1L2 )
即 3m2V0 (rad / s)
(3m2 m1 )L
例12 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端 点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自 由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相 撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为
。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞
后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰 撞后将向左摆或向右摆的条件。
啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 J A A J BB＝J A J B
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs （5）
l
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况
2、 刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律
MZ
dLz dt
d(J )
dt
M Z dt d(J ) 角动量定理微分形式
t2 t1
MΒιβλιοθήκη Baidudt
2 1
d(J)
J2
J1
角动量定理积分形式
L2 L1
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量等于其角动量的增量
3、 刚体定轴转动的角动量守恒定律
对定轴转动刚体：Mz 0
，如图所示。若要使杆以匀角速度转动
求: 昆虫沿杆爬行的速度。
l
O4
解：昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,
对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，
动量矩守恒
mv 0
l 4
(1 12
ml 2
m( l )2 )
4
l
O4
12v0
7l
转动定律
Mz
d( I z )
dt
使杆以匀角速度转动
Mz
dI z dt
其中 M Z mgrcos
如：花样滑冰 滑冰.avi ， 跳水 ，芭蕾舞等
c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定
轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。 如：常平架上的回转仪
A
L
B
C
B
C
A
例11 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速
一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心 线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B的转动惯量 为IB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B 轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
相似，也可由机械能守恒定律求得：
m gh 1 1 m l2 2
(6)
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定
水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位
置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad/s
或共同转速为
n 200r/ min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械 能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
E
1 2
J
A
2 A
1 2
J
B
2 B
1 2
(J A
JB
)
2
1.32104 J
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
O
摆落的过程。这时除重力外，
其余内力与外力都不作功，所
C
以机械能守恒。我们把棒在竖
直位置时质心所在处取为势能
零点，用表示棒这时的角速度,则
mg
l 2
1 2
J
2＝1 2
1 3
ml
2
2
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的
冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为