THUSSAT2018年12月测试清华大学理科数学一卷试卷及参考答案
理科综合(一卷)试卷THUSSAT12月测试
8．设 NA 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是： A．17g 甲基（—14CH3）中所含中子数为 9NA B．1L 0.1mol/L 的 NH4NO3 溶液中含有的氮原子数为 0.2NA C．0.1mol 丙烯与氯化氢完全发生加成反应生成 CH3CH2CH2Cl 分子的数为 0.1NA D．电解 200ml 0.5mol/LAgNO3 溶液，转移的电子数最多为 0.1NA
充电 放电
AlLi + Cx(PF6)，下列说
法正确的是：
A．电池充电时 Li+向正极移动
B．电池放电时负极质量减少
C．电池充电时正极材料铝被氧化而失去电子
D．电池放电时正极的反应式：Cx(PF6) + xe- = PF6 - + xC
13．298K 时，0.1mol/L 的 H2C2O4 溶液中 H2C2O4 、 HC2O4 、 C2O42 三者中所占物质的量分数（分布系数 δ）随
流计 G 的示数会不断增大 19．如图甲所示，质量为 m=1kg 的小滑块置于倾角为 θ 的光滑斜面上，小滑块的下侧与一劲度系数为 k 的轻弹簧相
接触但没有连接，弹簧下端固定在斜面底端的挡板上；现将小滑块沿斜面向下压缩弹簧至 A 点并由静止释放，
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此后小滑块的 v-t 图线如图乙所示，其中，0.4s——0.8s 段为直线；到 B 点时小滑块脱离弹簧并继续向上滑动至 最高点 C。已知 AB=0.7m，重力加速度 g=10m/s2．则以下判断中正确的是：
源的能力 C．在确定群落的丰富度时，需要调查物种的种群密度，最常用方法是样方法 D．“绿水青山”的生态功能有保持水土、蓄洪防旱、防风固沙、涵养水源、调节气候等 5．油菜素甾醇是近年新发现的第六类植物激素，芸苔素是一种人工合成的油菜素甾醇类似物。某科研人员为了研究 芸苔素对侧枝长度的影响，以拟南芥的野生型植株和突变体植株为实验材料进行了相关实验，实验结果如图，下 列说法错误的是： A．本实验的自变量是不同芸苔素浓度 B．芸苔素能促进野生型拟南芥侧枝的伸长，可用于
清华大学理科数学一卷答案THUSSAT2018年12月测试
S2
=
1 2
( y1
+
y2
) |
x1
−
x2
|=
1 2
2p k
a
=
ap k
，
所以 S1 = kb ， S2 2 p
因为 0 kb p ，所以 0 S1 1 .
2
S2 4
ห้องสมุดไป่ตู้
21．12 分
……………………10 分 ……………………11 分 ……………………12 分
解 （Ⅰ）当 a 0 时， f (x) = a ex + (ax +1)ex = (ax + a +1)ex ， ………………………1 分
2
2
GH 5
∴平面 CGE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 10 . …………………………12 分 5
19．12 分
解：（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为：
x =170 0.05 +180 0.12 +190 0.18 + 200 0.30 + 210 0.19
20．12 分
解 （Ⅰ）由 A( p ,0) ，则 B( p + a,0) ， D( p , p) ，则 C( p + a, p2 + 2 pa ) ，…………2 分
2
2
2
2
又a=
p ，所以 kCD
=
3p − p 3p − p
=
3 −1.
22
…………………4 分
（Ⅱ）设直线 CD 的方程为： y = kx + b (k 0) ，设 C(x1, y1) ， D(x2 , y2 ) ，
2018年高考理科数学(全国I卷)参考答案
设函数 g ( x)
1 x 2ln x ，由（1）知， g ( x) 在 (0, ) 单调递减，又 g (1) 0 ，从 x
而当 x (1, ) 时， g ( x) 0 . 所以
f ( x1 ) f ( x2 ) 1 x2 2ln x2 0 ，即 a 2. x2 x1 x2
2 18 （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) C2 20 p (1 p) . 因此 2 f ( p) C p ( 1 p1 8 ) 20 [ 2 2 1 p 8 (p 1 1 7 ) 2]0 2 p 2C p(117 ). p (1 1 0 )
所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为
3 . 4
19．解： （1）由已知得 F (1,0) ， l 的方程为 x 1 . 由已知可得，点 A 的坐标为 (1, 所以 AM 的方程为 y
2 2 ). ) 或 (1, 2 2
2 2 x 2或 y x 2 . 2 2
（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0 . 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 y k ( x 1) (k 0) ， B( x2 , y2 ) ， A( x1 , y1 ) ， 则 x1 2 ， x2 2 ，直线 MA ，MB 的斜率之和为 kMA kMB 由 y1 kx1 k ， y2 kx2 k 得
令 f ( p) 0 ，得 p 0.1 . 当 p (0,0.1) 时， f ( p) 0 ；当 p (0.1,1) 时， f ( p) 0 . 所以 f ( p) 的最大值点为 p0 0.1 . （2）由（1）知， p 0.1 . （ⅰ）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y
2018年普通高等学校招生全国统一考试——理科数学及答案(全国Ⅰ卷)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则 A ．B ．C ． D2．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少1i 2i 1iz -=++||z =0121{}220A x x x =-->A =R ð{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->}{}{|1|2x x x x ≤-≥B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和.若，，则A ．B ．C ．D ．5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则A ．B ．C ．D ． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．8 9．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =ABC △AD BC E AD EB =3144AB AC -1344AB AC -3144AB AC +1344AB AC +M A N B M N 1725223FM FN ⋅e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++ABC △A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=A ．B ．3C ．D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析.docx
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
理科数学一卷试卷THUSSAT2018年12月测试
xa b ⎨ ⎩y ∏中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 12 月测试7．已知正项等比数列{a } 的公比不为1 ， T 为其前n 项积，若T =T ，则 ln a5 = （）理科数学试卷（一卷）n n 3 7ln a 3本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知函数 f (x ) = ln(a - 3x ) 的定义域为 A ，若4∈ A ，5 ∉ A ，则a 的取值范围是（ ）8. 在△ ABC 中， A , B , C 的对边分别是a , b , c .若 A = 120︒ ， a = 1 ，则2b + 3c 的最大值为（）A ． 3B ．2 213C ． 3 2D ．3 5 29. 已知a > b > 0 ， 有下列命题：①若 - = 1，则a - b < 1 ； ②若a 2 - b 2 = 1 ，则a - b < 1 ； ⎧x - y ≤ 0 2. 已知变量 x , y 满足约束条件⎪2x - y ≥ 0 ⎪x + y - 6 ≤ 0，则 z = x + 2 y + 2x + 1 的取值范围是（）③若a 3 - b 3 = 1 ，则a - b < 1 ；④若a 4 - b 4 = 1 ，则a - b < 1 ；其中真命题的个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体的体积是（ ）10. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 R ，圆心角为 2π 的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（ ）11. 椭圆x a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，下顶点为 B ，左焦点为 F ，若△ ABF 外接圆的圆心在直线 y = x 的b 2（第 3 题图）4．直线l 过拋物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F ，与该拋物线及其准线依次交于 A 、 B 、C 三点（其中 B 在 A 、C 之间），若| BC |= 3 | BF | ，| AF |= 3 ，则 p = （）右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． ( 1 ,1)2B ． (0, 2 ) 2C ． (0, 1 ) 2D ． ( 2,1)212．已知函数 f (x ) =| x - a | - 3+ a (a ∈ R ) ，若方程 f (x ) = 2 有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）x5. 定义∏ akk =1= a 1a 2 a 3 2019，若 [1 + (2k -1)x ] 展开式中 x 一次项的系数为m ，则i m 等于（ i 为虚数单位）（ ）k =1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．ln x 2 6. 函数 f (x ) =的大致图象是（ ）13. 若函数 f (x ) = log 3 | ax +1| 图象的对称轴是x = 2 ，则非零实数a 的值为 ．14. 已知 A (1,1) ， B (0,1) ， C (1,0) ， M 为线段 BC 上一点，且CM = λCB ，若 MA ⋅ BC ≥ MB ⋅ MC ，则实数λ 的取值范围是．ABC DnA ． 2B ． 2 2C ． 3D ． 4a n 12A ．（12,15 ）B ． [12,15 )C ．（12,15 ]D ．[12,15 ]A ．[ 2，4 ]B ．[11, 4 ]4C ．[ 3,5 ]D ．[ 3 , 5 ]2 2A ． 1 3B ． 3 2C ． 33D ． 36A ． -iB ． iC ．1D ．-1A ． 5 : 3B ． 3 : 5C ． 5 :1D ．1: 5A ． 1 R2B ． 2R3C ．2 -1 R2D ．3 -1 R3A ． (1+ 3,3)B ． (-1,1- 3) (1+ 3, +∞)C ． (-∞,1- 3)D ． (-∞,1- 3) (1+ 3,3)3224 10S 2⎨ ∠ x 2y 215. 设 F 1 、 F 2 是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点， M 是双曲线上任意一点，过 F 1 作 F 1MF 2 平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是 ．16. 若对任意的 x ∈ D ，均有 g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 成立，则称函数 f ( x ) 为函数 g (x ) 和函数 h (x ) 在区间 D 上的“M 函数”．已知函数 f (x ) = (k -1)x -1， g (x ) = -3 ， h (x ) = (x + 1) ln x ，且 f ( x ) 是 g (x ) 和 h (x ) 在区间[1, 2] 上的“M 附： ≈14.97 ．若 Z N (μ,σ 2 ) ，则P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ． 20．（12 分）已知 A , B 是 x 轴正半轴上两点（ A 在 B 的左侧），且| AB |= a (a > 0) ，过 A , B 作 x 轴的垂线，与抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 在第一象限分别交于 D ,C 两点.（Ⅰ）若a = p ，点 A 与抛物线 y 2 = 2 px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；函数”，则实数 k 的取值范围是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须（Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD的面积为 S 1 ，梯形ABCD 的面积为 S ，求 S 1的取值范围. 2作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．21．（12 分）已知函数 f (x ) = (ax +1)e x , a ∈ R ．（Ⅰ）当a > 0 时，证明： f (x ) + a> 0 ；e17．（12分）已知函数 f (x ) = 4sin x sin(x + π) -．（Ⅱ）当a =- 1时，如果 x≠ x ，且 f (x ) = f (x ) ，证明： x + x < 2 ． 621 2 1 2 1 2（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ ABC 中， a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边，且满足 a sin B + b cos 2 A = b cos A ，求 f (B ) 的取值选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修 4−4：坐标系与参数方程选讲]（10 分）范围．E18．（12 分）如图，正方形 ADEF 与□ ABCD 所在的平面互相垂直，且 AB = 2 AD = 2a ，⎧已知曲线C 的参数方程为⎪x = 2cos θ （θ 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 的非负半轴为极轴建∠BAD = 60︒ , G 为 BD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 BDE ⊥ 平面 BCE ；立极坐标系．⎪⎩y = sin θ（Ⅱ）求平面CGE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值．（第 18 题图）（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）P 、Q 为曲线C 上两点，若OP ⋅ OQ = 0 ，求的值． 19．（12 分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了 600 件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比 Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 x ，样本方差 s 2 （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标0.03023．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x ) =| x + 2 | -a | 2x -1| ， a ∈ R .（Ⅰ）当a = 1 时，求不等式 f (x ) ≥ 0 的解集；（Ⅱ）若存在 x ∈ R ，使得不等式 f (x ) > a 成立，求a 的取值范围．值 Z 服从正态分布 N (μ,σ 2) ，其中 μ 近似为样本平均数 x ，ο 2 近似为样本方差 s 2 ．（i ）利用该正态分布，求 P (185.03 < Z < 229.94) ；（ii ）现从该企业购买了 100 件这种螺帽，记 X 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间(185.03, 229.94) 的件数，利用（i ）的结果，求E ( X ) ．| OP |2 ⋅ | OQ |2| OP |2 + | OQ |2DCG频率组距0.0190.0180.0120.0100.0060.005165175185195205215225235指标值。
2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3,设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
1、设z= ，则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得 ，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则 A=
A、{x|-1<x<2}
B、{x|-1 x 2}
D.[1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,
N(x)=f(x)+x =
分段求导：N‘(x)=f(x)+x = 说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：
M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。
∴a的取值范围是C.[-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
【解析】
S1=2a1+1=a1∴a1=-1
n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1∴an=2an-1
an=a1×2n-1= （-1）×2n-1
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
M、N的坐标（1，2），（4，4）
则 · =(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8
2018年高考理科数学(全国I卷)试题及详细答案
5、设函数 f （ x） =x3+（ a-1 ） x2+ax . 若 f（ x ）为奇函数，则曲线 y= f （ x ）在点（ 0， 0）处的切线方 程为（ ） B.y= -x C.y=2x D.y=x =（ + ） D. +
A.y= -2x
6、在 ? ABC中， AD为 BC边上的中线， E 为 AD的中点，则 A. B. C.
7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 度为（ A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8. 设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F， 过点（ -2 ， 0） 且斜率为 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则 A.5 B.6 C.7 D.8 ・ ）
A，
M到 N 的路径中，最短路径的长
=( )
9. 已知函数 f （ x ） = ( ) ， 0） B. [0 ， +∞）
g （ x ）=f （ x） +x+a，若 g（ x ）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
A. [-1
C. [-1
， +∞）
D. [1
， +∞）
10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC的斜边 BC ，直角边 AB ， AC. △ ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 则( ) A. p 1=p2 B. p 1=p3 C. p 2=p3 D. p 1=p2+p3 11. 已知双曲线 C： - y 2=1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交 p1 ， p2， p3，
2018年高考理科数学(全国I卷)参考答案
理科数学试题参考答案 第1页（共5页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B8．D9．C10．A11．B12．A二、填空题 13．6 14．63-15．1616．三、解答题 17．解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52,sin 45sin ADB=︒∠所以sin ADB ∠由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠= （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=.在BCD △中，由余弦定理得2222cos 2582525.BC BD DC BD DC BDC=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=所以5BC =.18．解：（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .理科数学试题参考答案 第2页（共5页）（2）作PH EF ⊥，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.由（1）可得，DE PE ⊥. 又2DP =，1DE =，所以3PE =. 又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥.可得3PH =，32EH =.则(0,0,0)H ，3(0,0,)P , 3(1,,0)2D --，33(1,,)2DP =，3(0,0,)HP =为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则 334sin ||3||||HP DP HP DP θ⋅===. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3.19．解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =. 由已知可得，点A 的坐标为2(1,)或2(1,)-. 所以AM 的方程为22y x =-+或22y x =-.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x <，22x <，直线MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.理科数学试题参考答案 第3页（共5页）将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.20．解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-. 因此2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.令()0f p '=，得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =.（2）由（1）知，0.1p =.（ⅰ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-. （ⅰ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ⅱ）若2a >，令()0f x '=得，x =x =当2()a a x+∈+∞时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>. 所以()f x在，)+∞单调递减，在单调递增.理科数学试题参考答案 第4页（共5页）（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln x x x -+<0，即1212()()2f x f x a x x -<--.22．解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点.综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+.23．解：（1）当1a=时，()|1||1|f x x x=+--，即2,1, ()2,11,2, 1.xf x x xx--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥故不等式()1f x>的解集为1 {|}2 x x>.（2）当(0,1)x∈时|1||1|x ax x+-->成立等价于当(0,1)x∈时|1|1ax-<成立. 若0a≤，则当(0,1)x∈时|1|1ax-≥；若0a>，|1|1ax-<的解集为20xa<<，所以21a≥，故02a<≤.综上，a的取值范围为(0,2].理科数学试题参考答案第5页（共5页）。
2018高考理科数学全国I卷试题和答案解析
专业知识分享绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1 D2．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =R ðA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C ．{|1}{|2}x x x x <->UD ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半专业知识分享4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uu u r B ．1344AB AC -uuu r uu u rC ．3144AB AC +uu u r uu u rD ．1344AB AC +uuu r uu u r7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A． B． C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN?uuu r uuu r A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+专业知识分享11．已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C．D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z ｜=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以｜z ｜=1【考点定位】复数2、已知集合A=｛x ｜x 2—x —2〉0｝，则A =A 、{x|—1<x 〈2｝B 、{x ｜-1x 2｝C 、｛x ｜x<-1}∪{x ｜x>2｝D 、｛x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A=｛x|x 2-x —2≤0｝，所以{x ｜-1x 2｝【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200％=74%〉60％，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3＊(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)（a1+a1+d+a1+2d+a1+3d），整理得：2d+3a1=0；d=-3 ∴a5=2+(5—1）＊(-3)=—10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x)=x3+(a—1)x2+ax，若f(x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=—xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x)为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得：f（x)+f(-x）=2*（a—1)x2=0 ∴a=1f（x)=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘(0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性;函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、—-C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB —AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
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理科数学试题第1页（共9页）2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。
写在本试卷上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1 i 1.设z 1 i2i，则 |Z|A . 0B1 C . 1D ..22.已知集合A{ x|x 2 x2 0}，则 e R AA . {x| 1x 2}B .{x1 1< x w 2} C . {x|x 1} U{x|x 2} D . {x|x w 1} U{x|x > 2}3•某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例，得到如下饼图：B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半绝密★启用前则下面结论中不正确的是A •新农村建设后，种植收入减少理科数学试题 第2页(共9页)A • 2 17C • 3取值范围是A • 12B • 10C • 10D • 12 35•设函数f (x) x(a 1)x 2 ax .若f(x)为奇函数，则曲线y f (x)在点(0,0)处的 切线方程为A • y 2xB • yx C • y 2xD • y x6•在 △ ABC 中，AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点，贝U uirE3 urn 1 uuu A • — AB AC4 41 uuu B • — AB 4 3 uuu 3 AC 43 uuu 1 uuu C • - AB AC1 uuu D • -AB 3 uuu -AC4•记S n 为等差数列｛a .｝的前n 项和.若3S 3 S 2 S 4 , a i = 2，则=4 4 4 47.某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 &设抛物线C :y 2= 4x 的焦点为 2过点(-2,0)且斜率为-的直线与C 交于M , N3两点，则 uuir uuuFM ?FN9.已知函数 f(x)xe , In x, x W 0,x 0,g(x)f(x)若g(x)存在2 个零点，贝U a 的理科数学试题 第2页(共9页)A • [ 1,0)10 •下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形半圆的直径分别为直角三角形 B • [0,[1, [1,)围成的区域记为I, 此点取自I,n,A • pi) •此图由三个半圆构成，三个△D • P 1 P 2 P 3黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点, 川的概率分别记为 p 1, p 2 , p 3，则atB • P 1 P 3C • P 2 P 32理科数学试题第4页(共9页)x 11.已知双曲线C :—- 3 2y=:1 , O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过 F 的直线与C 的 两条渐近线的交点分别为M , N.若A OMN 为直角三角形，则|MN |=3 A.-2B . 3C . 2.3D . 4 12•已知正方体的棱长为1 , 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等, 则截此正方体所得截面面积的最大值为A 辽4B .2、3 3C 整4D -32二、填空题：本题共 4小题, 每小题 5分，共20分。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT12月测试
xa b ⎨ ⎩y ∏中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 12 月测试7．已知正项等比数列{a } 的公比不为1 ， T 为其前n 项积，若T =T ，则 ln a5 = （）理科数学试卷（一卷）n n 3 7ln a 3本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知函数 f (x ) = ln(a - 3x ) 的定义域为 A ，若4∈ A ，5 ∉ A ，则a 的取值范围是（ ）8. 在△ ABC 中， A , B , C 的对边分别是a , b , c .若 A = 120︒ ， a = 1 ，则2b + 3c 的最大值为（）A ． 3B ．2 213C ． 3 2D ．3 5 29. 已知a > b > 0 ， 有下列命题：①若 - = 1，则a - b < 1 ； ②若a 2 - b 2 = 1 ，则a - b < 1 ； ⎧x - y ≤ 0 2. 已知变量 x , y 满足约束条件⎪2x - y ≥ 0 ⎪x + y - 6 ≤ 0，则 z = x + 2 y + 2x + 1 的取值范围是（）③若a 3 - b 3 = 1 ，则a - b < 1 ；④若a 4 - b 4 = 1 ，则a - b < 1 ；其中真命题的个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体的体积是（ ）10. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 R ，圆心角为 2π 的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（ ）11. 椭圆x a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，下顶点为 B ，左焦点为 F ，若△ ABF 外接圆的圆心在直线 y = x 的b 24．直线l 过拋物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F ，与该拋物线及其准线依次交于 A 、 B 、C 三点（其中 B 在 A 、C 之间），若| BC |= 3 | BF | ，| AF |= 3 ，则 p = （）右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． ( 1 ,1)2B ． (0, 2 ) 2C ． (0, 1 ) 2D ． ( 2,1)212．已知函数 f (x ) =| x - a | - 3+ a (a ∈ R ) ，若方程 f (x ) = 2 有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）x5. 定义∏ akk =1= a 1a 2 a 3 2019，若 [1 + (2k -1)x ] 展开式中 x 一次项的系数为m ，则i m 等于（ i 为虚数单位）（ ）k =1二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．ln x 26. 函数 f (x ) =的大致图象是（ ）13. 若函数 f (x ) = log 3 | ax +1| 图象的对称轴是x = 2 ，则非零实数a 的值为 ．14. 已知 A (1,1) ， B (0,1) ， C (1,0) ， M 为线段 BC 上一点，且CM = λCB ，若 MA ⋅ BC ≥ MB ⋅ MC ，则实数λ 的取值范围是．ABC DnA ． 2B ． 2 2C ． 3D ． 4a n1（第 3 题图）2A ．（12,15 ）B ． [12,15 )C ．（12,15 ]D ．[12,15 ]A ．[ 2，4 ]B ．[11, 4 ]4C ．[ 3,5 ]D ．[ 3 , 5 ]2 2A ． 1 3B ． 3 2C ． 33D ． 36A ． -iB ． iC ．1D ．-1A ． 5 : 3B ． 3 : 5C ． 5 :1D ．1: 5A ． 1 R2B ． 2R3C ．2 -1 R2D ．3 -1 R3A ． (1+ 3,3)B ． (-1,1- 3) (1+ 3, +∞)C ． (-∞,1- 3)D ． (-∞,1- 3) (1+ 3,3)310S 2⎨ ∠ x 2y 215. 设 F 1 、 F 2 是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点， M 是双曲线上任意一点，过 F 1 作 F 1MF 2 平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是 ．16. 若对任意的 x ∈ D ，均有 g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 成立，则称函数 f ( x ) 为函数 g (x ) 和函数 h (x ) 在区间 D 上的“M 函数”．已知函数 f (x ) = (k -1)x -1， g (x ) = -3 ， h (x ) = (x + 1) ln x ，且 f ( x ) 是 g (x ) 和 h (x ) 在区间[1, 2] 上的“M 14.97 ．若 Z N (μ,σ 2 ) ，则P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ． 20．（12 分）已知 A , B 是 x 轴正半轴上两点（ A 在 B 的左侧），且| AB |= a (a > 0) ，过 A , B 作 x 轴的垂线，与抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 在第一象限分别交于 D ,C 两点.（Ⅰ）若a = p ，点 A 与抛物线 y 2 = 2 px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；函数”，则实数 k 的取值范围是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须（Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD的面积为 S 1 ，梯形ABCD 的面积为 S ，求 S 1的取值范围. 2作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．21．（12 分）已知函数 f (x ) = (ax +1)e x , a ∈ R ．（Ⅰ）当a > 0 时，证明： f (x ) + a> 0 ；e17．（12分）已知函数 f (x ) = 4sin x sin(x + π) - ．（Ⅱ）当a =- 1时，如果 x≠ x ，且 f (x ) = f (x ) ，证明： x + x < 2 ． 621 2 1 2 1 2（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ ABC 中， a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边，且满足 a sin B + b cos 2 A = b cos A ，求 f (B ) 的取值选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修 4−4：坐标系与参数方程选讲]（10 分）范围．E18．（12 分）如图，正方形 ADEF 与□ ABCD 所在的平面互相垂直，且 AB = 2 AD = 2a ，⎧已知曲线C 的参数方程为⎪x = 2cos θ （θ 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 的非负半轴为极轴建∠BAD = 60︒ , G 为 BD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 BDE ⊥ 平面 BCE ；FDC立极坐标系．⎪⎩y = sin θ（Ⅱ）求平面CGE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值．GAB（第 18 题图）（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ） P 、Q 为曲线C 上两点，若OP ⋅ OQ = 0 ，求的值． 19．（12 分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了 600 件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比 Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 x ，样本方差 s 2（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值 Z 服从正态分布 N (μ,σ2 ) ，其中μ近似为样本平均数x ，σ 2 近似为样本方差 s 2 ．（i ）利用该正态分布，求 P (185.03 < Z < 229.94) ；（ii ）现从该企业购买了 100 件这种螺帽，记 X 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间(185.03, 229.94) 的件数，利用（i ）的结果，求 E ( X ) ．| OP |2 ⋅ | OQ |2| OP |2 + | OQ |2频率0.030组距0.019 0.0180.012 0.010 0.006 0.00523．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x) =| x + 2 | -a | 2x -1| ， a ∈R .（Ⅰ）当a = 1 时，求不等式f (x) ≥ 0 的解集；（Ⅱ）若存在x ∈R ，使得不等式f (x) >a 成立，求a 的取值范围．。
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A．1
B． 2
C． 3
D． 4
10．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 R ，圆心角为 2π 的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，
则圆柱的高为（ ）
A． 1 R 2
B． 2 R 3
C． 2 R 2
D． 3 R 3
11．椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的右顶点为 A ，下顶点为 B ，左焦点为 F ，若△ ABF 外接圆的圆心在直线 y x 的 a2 b2
函数”，则实数 k 的取值范围是
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分． 17．（12分）已知函数 f (x) 4sin x sin(x π ) 3 ．
右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． (1 ,1) 2
B． (0, 2 ) 2
C． (0, 1 ) 2
D． ( 2 ,1) 2
12．已知函数 f (x) | x a | 3 a (a R) ，若方程 f (x) 2 有且只有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ） x
6 （Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ ABC 中， a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边，且满足 a sin B b cos 2 A b cos A ，求 f (B) 的取值
范围．
E
18．（12 分）如图，正方形 ADEF 与□ ABCD 所在的平面互相垂直，且 AB 2 AD 2a ，
它们的直径和螺纹距之比 Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这 600 件螺帽质量指标值的样本平均数 x ，样本方差 s2 （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；
D．[ 3 , 5 ] 22
3．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体 的体积是（ ）
A． 1 3
B． 3 2
1
C． 3 3
D． 3 6
（第 3 题图）
4．直线 l 过拋物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，与该拋物线及其准线依次交于 A 、 B 、 C 三点（其中 B 在 A 、 C 之
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 12 月测试 理科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知函数 f (x) ln(a 3x) 的定义域为 A ，若 4 A ， 5 A ，则 a 的取值范围是（ ）
间），若| BC | 3 | BF | ， | AF | 3 ，则 p （ ）
A． 2
B． 2 2
C． 3
D． 4
n
2019
5．定义 ak a1a2a3 an ，若 [1 (2k 1)x] 展开式中 x 一次项的系数为 m ，则 im 等于（ i 为虚数单位）（ ）
k 1
A． (1 3,3)
பைடு நூலகம்
B． (1,1 3) (1 3,)
C． (,1 3)
D． (,1 3) (1 3,3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若函数 f (x) log3 | ax 1| 图象的对称轴是 x 2 ，则非零实数 a 的值为
BAD 60 , G 为 BD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 BDE 平面 BCE ；
F
D
C
G
（Ⅱ）求平面 CGE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值．
A
B
（第 18 题图）
19．（12 分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了 600 件螺帽，将
A． 3
B． 2 21 3
9．已知 a b 0 ， 有下列命题：
①若 a b 1，则 a b 1 ；
③若 a3 b3 1 ，则 a b 1 ； 其中真命题的个数为（ ）
C． 3 2
D． 3 5 2
②若 a2 b2 1 ，则 a b 1 ； ④若 a4 b4 1 ，则 a b 1 ；
A．（12,15 ）
B． [12,15 )
C．（12,15 ]
D．[12,15 ]
x y 0
2．已知变量 x, y
满足约束条件
2x y 0 x y 6
0
，则
z
x
2y x 1
2
的取值范围是（
）
A．[ 2，4 ]
B．[ 11 , 4 ] 4
C．[ 3,5 ]
k 1
A． i
B． i
C．1
D． -1
6．函数 f (x) ln x2 的大致图象是（ ） x
7．已知正项等比数列{an} 的公比不为1 ， Tn 为其前 n 项积，若T3 =T7 ，则
ln a5 ln a3
（
）
A． 5 : 3
B． 3 : 5
C． 5:1
D．1: 5
8．在△ ABC 中， A , B , C 的对边分别是 a , b , c .若 A 120 ， a 1 ，则 2b 3c 的最大值为（ ）
是双曲线上任意一点，过 F1 作 F1MF2 平分线的垂
线，垂足为 Q ，则点 Q 的轨迹方程是
．
16．若对任意的 x D ，均有 g(x) f (x) h(x) 成立，则称函数 f (x) 为函数 g(x) 和函数 h(x) 在区间 D 上的“M 函
数”．已知函数 f (x) (k 1)x 1， g(x) 3 ， h(x) (x 1) ln x ，且 f (x) 是 g(x) 和 h(x) 在区间[1, 2] 上的“M
．
14．已知 A(1,1) ， B(0,1) ， C(1,0) ， M 为线段 BC 上一点，且 CM CB ，若 MA BC MB MC ，则实数 的取
值范围是
．
A
B
C
D
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15．设 F1 、 F2 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左右焦点， M