最新空间直角坐标系专题学案(含答案解析)
7.空间直角坐标系导学案(解析版)
1.3.1空间直角坐标系导学案【学习目标】1.了解空间直角坐标系的建立过程2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定3.掌握空间向量的坐标表示【自主学习】知识点一空间直角坐标系知识点二空间向量的坐标表示【合作探究】探究一 求空间点的坐标【例1】如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解] (1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)． (2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)， 则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52.归纳总结：坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点【练习1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1E，⎪⎭⎫⎝⎛1,21,21F探究二求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．归纳总结：求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：2.111222⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.【练习2】点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是________．【答案】(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)[点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P (－3,2，－1)关于M (1,2,1)的对称点为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝1y ＋22＝2z －12＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2z ＝3.故点P (－3,2，－1)关于点M (1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]探究三 空间向量的坐标表示【例3】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解] 法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．⊥BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，⊥BN →的坐标为(1，－1,1)，而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ⊥BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又⊥A 1B →＝－BA 1→，⊥A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)，⊥BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．归纳总结：【练习3】已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由题图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0，0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．课后作业A组基础题一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)【答案】C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)【答案】B3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对【答案】C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c 与e 的和为( )A ．7B ．－7C ．－1D ．1 【答案】 D解析 ∵点P (－4，－2,3)关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c ＝－3，e ＝4，则c ＋e ＝1.5．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线 C ．垂直于y 轴的一个平面 D ．平行于y 轴的一个平面 【答案】 A解析 点P (1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P (1，y,2)的集合为垂直于xOz 平面的一条直线，故选A.6．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，13【答案】 D解析 连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上， ∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13，故P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，自点P (－4，－2,3)引x 轴的垂线，则垂足的坐标为________． 【答案】 (－4,0,0)解析 过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a 为点P 在x 轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．8．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)，对角线的交点是E (4，－1,7)，则C ，D 的坐标分别为________． 【答案】 (6,1,19)，(9，－5,12)解析 由题意知，E 为AC 与BD 的中点，利用中点坐标公式，可得C (6,1,19)，D (9，－5,12)． 9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，则线段AA 3的中点M 的坐标为________． 【答案】 (－4,0,0)解析 由题意知A 1(4，－2，－3)，则A 1关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M (－4,0,0)． 10．如图所示的是棱长为3a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′，点M 在B ′C ′上，且|C ′M |＝2|MB ′|，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M 的坐标为________．【答案】 (2a,3a,3a ) 解析 ∵|C ′M |＝2|MB ′|，∴|C ′M |＝23|B ′C ′|＝2a ，∴点M 的坐标为(2a,3a,3a )． 三、解答题11.已知P A ⊥正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且AB ＝AP ＝1，分别以DA →，AB →，AP →为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．[解] 设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3，则DC →＝AB →＝e 2， MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，⊥MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)． 12.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．解 (1)由题意知，A (0,0,0)．由于点B 在x 轴的正半轴上，且AB ＝4， 所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，且BC ⊥AB ，CD ⊥AD ， 所以C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)．与点C 的坐标相比，点C 1的坐标只有竖坐标与点C 不同，且CC 1＝AA 1＝5，所以C 1(4,3,5)． (2)由(1)知，C (4,3,0)，C 1(4,3,5)， 则CC 1的中点N 的坐标为(4,3，52)．13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)．在坐标平面xDy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ，∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0)．B 组 能力提升一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A ．(0，12，12)B ．(12，0，12)C ．(12，12，0)D ．(12，12，12)【答案】 B解析 由题图得A (0,0,0)，B 1(1,0,1)， 所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(12，0，12)．2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( ) A ．1 B ．12 C ．13 D ．16【答案】D[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]二、填空题3．如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．【答案】 (a 3，b 3，c3)解析 由题知A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为(a 3，b 3，c3)．4．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛21-021，，[MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-021，，.] 5．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________． 【答案】(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3)[(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，⊥P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，⊥OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，⊥P (4,3，－3)．] 三、解答题6．如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是⊙O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB ，OF ，OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)，F (0,32，0)．7.如图，在正四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)⊥BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，⊥BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．⊥A (0,0,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1，⊥c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝⎛⎭⎫12，12，1， ⊥BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝⎛⎭⎫12，12，1＝⎝⎛⎭⎫－14，34，12.。
空间直角坐标系专题学案(含答案解析)
1第九讲 空间直角坐标系时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。
(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】E FBC DHGX YZ2,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC ABBC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HFGE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121cos ,,2||||2,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=即二面角B-DE-C 为60。
空间直角坐标系
拓展提升 空间中点 M 坐标的三种确定方法 (1)过 M 作 MM1 垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1 的横坐标和纵坐标， 再由射线 M1M 的指向和线段 M1M 的长 度确定竖坐标． (2)构造以 OM 为体对角线的长方体， 由长方体的三个棱 长结合点 M 的位置，可以确定点 M 的坐标． (3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面， 或点 M 在坐标轴或坐标平面上， 则利用这一条件， 再作坐标轴的 垂线即可确定点 M 的坐标.
1 点 G 在 y 轴上，其横、竖坐标均为 0，又 CG＝4CD，
3 3 所以 GD＝4.故 G 点坐标为0，4，0 .
由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 1 1 故 HK＝2，CK＝8.
7 1 7 ∴DK＝8.故 H 点坐标为0，8，2 .
【跟踪训练 2】 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有 棱长都为 2，侧棱 AA1⊥底面 ABC，建立适当坐标系写出各 顶点的坐标．
解 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1， 可得 BO⊥AC， 分别以 OB，OC，OO1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角 坐标系．
的竖坐标．
知识点二 空间两点间的距离公式 (1)点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝ 1 □ x2＋y2＋z2 . (2)任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2| ＝
2 □ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
3.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0， b，c)的形式．( × ) (2)空间直角坐标系中， 在 xOz 平面内的点的坐标一定是 (0，b,0)的形式．( × ) (3)空间直角坐标系中，点(1， 3，2)关于 yOz 平面的对 称点为(－1， 3，2)．( √ ) (4)将距离公式中的两点的坐标互换，结果不变．( √ )
4.3.1空间直角坐标系(优秀经典公开课教案及练习答案详解)
4.3.1空间直角坐标系学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.了解空间直角坐标系的建系方式．2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．【学习重难点】重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标。
难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标。
相关应用。
【预习指导】（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数)x表(y,示。
那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z yx,,表示出来呢？（2）空间直角坐标系该如何建立呢？（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？【合作探究】（1）、空间直角坐标系的建立。
（2）、与平面直角坐标系内点的坐标的确定过程进行比较，讨论空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。
（3）例1、在空间直角坐标系中，作出点P（4，2，3）例2、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=10，AD=6，AA1=8.以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标【巩固练习】(1)在空间直角坐标系中，作出点Q(3,6,7),M(5,0,2)(2)V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。
【当堂检测】1．点P(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是在( )A．y轴上 B．xOy面上 C．xOz面上 D．yOz面上2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )A．(－1，3，－5) B．(1，3，5) C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5) 3.点P(1，2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________．【解析】点P(1，2，－1)在xOz平面内的射影为B(1，0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.【答案】0【拓展延伸】在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．类比平面直角坐标系中，点的对称性可归纳在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)，(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)，(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)，(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)，(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)，(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)，(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．【课堂小结】今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第1、2题【教学反思】。
学案1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 学习过程： 一、复习引入： 1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4. 空间向量平行和垂直的条件 若，，则①，②二、讲解新课： 1.模长公式： 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+，21||b b b b =⋅=+．2．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．3．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2||(AB AB ==，或,A B d =三、讲解范例：例1.已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ， 求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件.【解】（1）设M 是线段AB 的中点，则13()(2,,3)22OM OA OB =+=．∴AB 的中点坐标是3(2,,3)2，,A B d ==（2）∵点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，= 化简得：46870x y z +-+=,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是46870x y z +-+=．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件46870x y z +-+=的系数构成一个向量(4,68)a =-，发现与(2,3,4)AB =--共线.例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦.【解】不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ，11(0,,1)4F ，∴11(0,,1)4BE =-，11(0,,1)4DF =，∴11174BE DF ==， 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=．111515cos ,17BE DF ==．例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积.分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积. 【解】∵(1,2,2)AB =-，(2,0,3)AC =--，∴2||13AB ==，||(AC =-=(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,39||||3ABAC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅⨯， ∴213sin sin ,1cos ,39A AB AC AB AC =<>=-<>=，所以，1||||sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=．点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角. 四、课堂练习：一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( )A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE→与SC →的夹角． 三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．(－4,2，－4) 8．120° 9．－3707010．【解】 ∵a 与c 的夹角为π4.∴cos π4＝a·c |a||c |＝(x ，y ，0)·（1，1，1）x 2＋y 2·3＝22.化简得x ＋y ＝62·x 2＋y 2.① 又|a |2＝x 2＋y 2＝1，② 将②代入①，得x ＋y ＝62，从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14. 11．【解】 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 12．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2， 可以求得SO ＝22.则 B ⎝⎛⎭⎫32，32，0，A ⎝⎛⎭⎫32，－32，0， C ⎝⎛⎭⎫－32，32，0，S ⎝⎛⎭⎫0，0，22.由于E 为SA 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫34，－34，24， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－34，－334，24，SC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－22， 因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°.13．【解】 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25 ＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角，∴a·b <0且〈a ，b 〉≠180°. 由a·b <0，得3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·(－2)3＝λt 1＝λ·⎝⎛⎭⎫－25，解得t ＝－65.所以t 的范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215.。
最新人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系 含答案
最新人教版数学精品教学资料4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( )(2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－2＋02＋22＝2 2.答案：2 2[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0， 又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求：(1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点， 所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝＋2＋＋2＋＋2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋－2＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝－2＋－2＋－2＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝－2＋－2＋＋2＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)． 由题意，得|P 0P |＝x －2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝x 0－2＋－x 0－2＋－2＝x 0－2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51. 此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12－2＋－2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝－2＋－3＋2＝5，∴圆C的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋2＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 12－2＋－2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －2＋y －2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋a －2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|a －2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点， 所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3kk 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。
3.1 空间直角坐标系的建立-3.2 空间直角坐标系中点的坐标 学案(含答案)
3.1 空间直角坐标系的建立-3.2 空间直角坐标系中点的坐标学案（含答案）3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.知识点空间直角坐标系1.空间直角坐标系1建系方法过空间任意一点O作三条两两互相垂直的轴.有相同的长度单位.2建系原则伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.3构成要素O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面.yOz平面和xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组x，y，z来表示，有序实数组x，y，z叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作Px，y，z，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标.特别提醒1在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组x，y，z之间是一种一一对应关系.2对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是0，b，c的形式.2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是a,0，c的形式.3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标.竖坐标保持不变，横坐标相反.题型一求空间中点的坐标例11画一个正方体ABCDA1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴.y轴.z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则顶点A，C的坐标分别为________________；棱C1C中点的坐标为________；正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案0,0,0，1,1,02已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴.y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A2，2,0，B2,2,0，C2,2,0，D2，2,0，P0,0,2.反思感悟1建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.充分利用几何图形的对称性.2求某点M的坐标的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标x，y，z.跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG||CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标.y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNCD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知|FM|，|FN|，故F点坐标为.因为|CG||CD|，G，C均在y轴上，故G点坐标为.由H作HKCG，可得|DK|，|HK|，故H点坐标为.题型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系中作出点P5,4,6.考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置解方法一第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位.第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位.第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位如图所示，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法1利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.2构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.3通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点2,0,3在空间直角坐标系中的A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案C解析点2,0,3的纵坐标为0，此点是xOz平面上的点，故选C.题型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例31在空间直角坐标系中，点P2,1,4关于点M2，1，4对称的点P3的坐标是A.0,0,0B.2，1，4C.6，3，12D.2,3,12考点空间中点的对称问题题点关于点的对称问题2已知点A3,1，4，则点A关于x轴的对称点的坐标为A.3，1,4B.3，1，4C.3,1,4D.3，1，4考点空间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案1C2A解析1根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3x，y，z，由中点坐标公式，可得x2226，y2113，z24412，P36，3，12.故选C.2在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A3,1，4，点A关于x轴对称的点的坐标是3，1,4.故选A.反思感悟1利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题.2解决关于轴对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练3在空间直角坐标系中，P2,3,4，Q2,3，4两点关于________对称.考点空间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案y轴命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P1,3，5关于平面xOy对称的点的坐标是A.1,3，5B.1，3,5C.1,3,5D.1，3,5考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C解析两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，点P1,3，5关于平面xOy对称的点的坐标是1,3,5.故选C.反思感悟本类题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练4点1，a，b关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是1,2，c和d，2，3，则a，b，c，d的值分别是________________.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案2,3，3,11.点Q0,0,2019的位置是A.在x轴上B.在y轴上C.在z轴上D.在平面xOy上考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案C2.点2，1,5与点2，1，5A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于xOy平面对称D.关于z轴对称考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C3.点A1，，2在xOz平面的射影点的坐标为A.1，，2B.1,0,2C.1，，2D.0，，0答案B4.如图所示，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在xOz 平面内，且PP垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是________.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案2,0,15.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.1求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；2求点N的坐标.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标解1显然A0,0,0，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|4，所以B4,0,0.同理可得D0,3,0，A10,0,5.由于点C在坐标平面xOy内，BCAB，CDAD，则点C4,3,0.同理可得B14,0,5，D10,3,5，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有z坐标与点C不同，|CC1||AA1|5，则点C14,3,5.2由1知C4,3,0，C14,3,5，则C1C的中点坐标为，即N.1.空间中确定点M的坐标的三种方法1过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标.2构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.3若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标.2.求空间对称点的规律方法1空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.2对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.。
7.5空间直角坐标系 学案(含答案)
7.5空间直角坐标系学案（含答案）75空间直角坐标系学习目标1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置2掌握空间两点间的距离公式知识链接在平面直角坐标系中，以点P1x1，y1，P2x2，y2为端点的线段的中点坐标为，两点间的距离为|P1P2|预习导引1空间直角坐标系及相关概念1空间直角坐标系从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴x轴.y轴.z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.2相关概念点O叫作坐标原点，x轴.y轴.z轴叫作坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy 平面.yOz平面.zOx平面2空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组x，y，z来表示，有序实数组x，y，z叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作Mx，y，z其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标3空间两点间的距离公式1在空间中，点Px，y，z到坐标原点O的距离|OP|2在空间中，P1x1，y1，z1与P2x2，y2，z2的距离|P1P2|.题型一求空间中点的坐标例1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标解以BC的中点O为原点，BC所在的直线为y轴，射线OA所在的直线为x轴，点O与B1C1的中点的连线所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A，0，0，B0，1，0，C0，1，0，A1，0，3，B10，1，3，C10，1，3规律方法1题目若未给出坐标系，则建立空间直角坐标系时应遵循以下原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号确定第三个坐标跟踪演练1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系1求各顶点的坐标；2求棱C1C中点的坐标；3求面AA1B1B对角线交点的坐标解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.1各顶点坐标分别是A0，0，0，B1，0，0，C1，1，0，D0，1，0，A10，0，1，B11，0，1，C11，1，1，D10，1，12棱CC1的中点为M.3面AA1B1B对角线交点为N.题型二求空间中对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P2，1，41求点P关于x 轴的对称点的坐标；2求点P关于xOy平面的对称点的坐标；3求点P关于点M2，1，4的对称点的坐标解1由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴.z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P12，1，42由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴.y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P22，1，43设对称点为P3x，y，z，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x2226，y2113，z24412，所以P36，3，12规律方法任意一点Px，y，z，关于原点对称的点是P1x，y，z；关于x轴横轴对称的点是P2x，y，z；关于y轴纵轴对称的点是P3x，y，z；关于z轴竖轴对称的点是P4x，y，z；关于xOy平面对称的点是P5x，y，z；关于yOz平面对称的点是P6x，y，z；关于xOz平面对称的点是P7x，y，z求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆跟踪演练2求点A1，2，1关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C1，2，1过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A 与B关于x轴对称且点B1，2，1点A1，2，1关于坐标平面xOy 对称的点为C1，2，1；点A1，2，1关于x轴对称的点为B1，2，1本题也可直接利用点关于坐标面.坐标轴对称的规律写出题型三空间中两点之间的距离例3已知ABC的三个顶点A1，5，2，B2，3，4，C3，1，51求ABC中最短边的边长；2求AC边上中线的长度解1由空间两点间距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是BC，其长度为.2由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键跟踪演练3已知两点P1，0，1与Q4，3，11求P，Q之间的距离；2求z轴上的一点M，使|MP||MQ|.解1|PQ|.2设M0，0，z，由|MP||MQ|，得，z6.M0，0，6.课堂达标1点2，0，3在空间直角坐标系中的Ay轴上BxOy 平面上CxOz平面上D第一象限内答案C解析点2，0，3的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上2在空间直角坐标系中，点P3，4，5与Q3，4，5两点的位置关系是A关于x轴对称B关于xOy平面对称C关于坐标原点对称D以上都不对答案A解析点P3，4，5与Q3，4，5两点的横坐标相同，而纵.竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称3已知点Ax，1，2和点B2，3，4，且|AB|2，则实数x的值是A3或4B6或2C3或4D6或2答案D解析由题意得2，解得x2或x6.4已知A3，2，4，B5，2，2，则线段AB中点的坐标为________答案4，0，1解析设线段AB的中点坐标为x0，y0，z0，则x04，y00，z01，线段AB的中点坐标为4，0，15在空间直角坐标系中，点A1，0，1与点B2，1，1间的距离为________答案解析|AB|.课堂小结1结合长方体的长.宽.高理解点的坐标x，y，z，培养立体思维，增强空间想象力2学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系3在导出空间两点间的距离公式过程中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想。
高中数学《空间直角坐标系》学案7 新人教A版必修
高中数学《空间直角坐标系》学案7 新人教A版必修1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置2、掌握空间两点间的距离公式例题解析例：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形、解：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形课后练习第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）、1、在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是（）A、3B、2C、1D、02、若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A、4B、2C、4D、33、已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D （2，―1，―1），则（）A、>B、<C、≤D、≥4、设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则（）A、B、C、D、5、如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（）A、B、C、D、6、点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A、B、C、D、7、已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D 的坐标为（）A、（，4，－1）B、（2，3，1）C、（－3，1，5）D、（5，13，－3）8、点到坐标平面的距离是（）A、B、C、D、9、已知点，，三点共线，那么的值分别是（）A、，4B、1，8C、，－4D、－1，－810、在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A、B、C、D、第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）、11、如右图，棱长为3a正方体OABC－，点M在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为、12、如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC，，，，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标 _ _、13、若O（0，0，0），P（x，y，z），且，则表示的图形是_ _、14、已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)、15、（12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标、16、（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标、17、（12分）如图，已知矩形ABCD中，，、将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD、现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内、试求A，C两点的坐标、18、（12分）已知，，，求证其为直角三角形、19、（14分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长、20、（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B （1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标、参考答案一、CADCB BDCCA二、11、（2a，3a，3a）；12、G（）；13、以原点O为球心，以1为半径的球面；14、（3，－1，－4）；；三、15、解：设原点为O，因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面 xOy内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用，写出，所以 A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；因为平面与坐标平面xOy平行，且，所以A，B，，D的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）；由于E分别是中点，所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是的，同理E的竖坐标也是的竖坐标的，所以E（）；由F为中点可知，F在坐标平面xOy的射影为BC中点，横坐标和纵坐标分别为和5，同理点F 在z轴上的投影是AA中点，故其竖坐标为，所以F（，5，）、16、解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D－xyz、因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面ABCD平行，从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b，由H为DP中点，得H（0，0，b）E在底面面上的投影为AD中点，所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0，所以E（a，0，b），同理G（0，a，b）；F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E 横坐标相同都是a，与G的纵坐标也同为a，又F竖坐标为b，故F（a，a，b）、17、解：由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD 的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得的长度即可。
苏教版必修2第2章第三节空间直角坐标系2空间两点间距离(学案含答案)
高中空间两点间距离数学一、考点打破知识点课标要求题型说明1. 理解空间两点间距离公 注意类比思想的运用，式的推导过程和方法；类比平面内两点距离公式空间两点2. 掌握空间两点间的距离解答题和中点坐标公式推导和记 间距离忆空间中的两点距离公式 公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题。
和中点坐标公式。
二、重难点提示要点： 空间两点间的距离公式的应用。
难点： 空间两点间距离公式的推导。
考点一：空间中两点间的距离1. 空间中一点到原点的距离公式推导在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A （ x ， y ，0）、B （ 0，y ， z ）、C （ x ，0， z ），与坐标原点 O 的距离分别是OA ＝ x 2y 2 、 OB ＝ y 2 z 2 、 OC ＝ x 2 z 2 。
如图，在空间直角坐标系中，设点P （ x ， y ，z ）在 xOy 平面上的射影为M ，则点 M 的坐标是 M （ x ， y ，0）， PM ＝ |z|， OM ＝x 2 y 2 。
依据勾股定理，则点 P （ x ， y ， z ）与坐标原点 O 的距离为 OP ＝OM 2PM 2 ＝x 2 y 2 z 2 。
2. 空间中两点的距离公式推导在空间中，设点 P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（ x 2，y 2 ，z 2），在 xOy 平面上的射影分别为 M 、N 。
则 M 的坐标是 M （ x 11 2 2 (x 1 x 2 ) 2( y 1y 2 ) 2。
，y ，0），N 的坐标是 N （ x ，y ，0），MN ＝ （ 1）若直线 P 1P 2 垂直于 xOy 平面，则点 P 1、 P 2 之间的距离 P 1P 2＝ |z 1－ z 2|。
（ 2）若直线 P 1P 2 平行于 xOy 平面，则点 P 1、 P 2 之间的距离1 22 2＝MN ＝( x 1 x 2 )( y 1 y 2 ) 。
P P（ 3）若直线 P 1 2是 xOy 平面的一条斜线，依据勾股定理，则点 121 2＝P P 、 P的距离 PP PH 2 HP 2 ＝ ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z )2 。
苏教版必修2第2章第三节空间直角坐标系1空间直角坐标系(习题+解析)
高中数学空间直角坐标系（答题时间： 40 分钟）*1. 在空间直角坐标系中，过点 P （ 1， 2 ， 3 ）作平面 xOy 的垂线 PQ ，垂足为 Q ，则 Q 的坐标为 __________ 。
**2 如图，在正方体ABCD － A ′B ′C ′D ′中，棱长为1 1， BP ＝ BD ′，则 P 点的坐标为3____________ 。
*3. 点 P （ a ，b ， c ）对于原点的对称点 P ′在 x 轴上的射影 A 的坐标为 __________ 。
*4. 在空间直角坐标系中， 自点 P （－ 4，－ 2，3）引 x 轴的垂线， 则垂足的坐标为 ________。
*5. 如下图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，此中 AB ＝ 4，BC ＝1， BE ＝ 3， CF ＝4，按图成立空间直角坐标系，则G 的坐标为 __________ 。
**6. 如图， M — OAB 是棱长为 a 的正四周体，极点 M 在底面 OAB 上的射影为H ，则 M的坐标是 ____________。
*7. 如图，正四棱柱ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 ＝ 2AB ＝ 4，点 E 在 CC 1 上且 C 1 E ＝ 3EC 。
试成立适合的坐标系，写出点 B 、 C 、 E 、A 1 的坐标。
*8. 如图，在长方体 OABC — D ′A ′B ′C ′中， OA ＝ 3，OC ＝ 4， OD ′＝ 2。
写出 D ′、 C 、A ′、 B ′ 四点的坐标。
**9. 如图（ 1），已知矩形 ABCD 中， AD ＝ 3， AB ＝4。
将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起， 使得面 BCD ⊥ 面 ABD 。
现以 D 为坐标原点，射线 DB 为 y 轴的正方向，成立如图（2）所示的空间直角坐标系，此时点A 恰幸亏 xDy 平面内，试求 A ，C 两点的坐标。
苏教版必修2第2章 第三节 空间直角坐标系1 空间直角坐标系 (学案含答案)
苏教版必修2第2章第三节空间直角坐标系 1 空间直角坐标系（学案含答案）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【要点诠释】通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°角，而z轴垂直于y轴。
y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半。
3. 空间一点的坐标对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x 轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P、Q、R。
点P、Q、R在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）。
【重要提示】特殊位置的点的坐标：①原点坐标(0,0,0)；②x轴上的点的坐标为(,0,0)x，其中x为任意实数；③y轴上的点的坐标为(0,,0)y，其中y为任意实数；④z轴上的点的坐标为(0,0,)z，其中z为任意实数；⑤xOy平面（通过x轴和y轴的平面）上的点的坐标为(,,0)x y，其中x、y为任意实数；⑥ yOz 平面（通过x 轴和y 轴的平面）上的点的坐标为(0,,)y z ，其中y 、z 为任意实数；⑦ xOz 平面（通过x 轴和y 轴的平面）上的点的坐标为(,0,)x z ，其中x 、z 为任意实数。
考点二：空间直角坐标系中点的读取方法1. 投影法：即找到点P 在三条坐标轴上的投影点。
方法是过点P 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴于A 、B 、C 三点（A 、B 、C 即为点P 在三条坐标轴上的投影点），点A 、B 、C 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为a 、b 、c ，则(,,)a b c 就是点P 的坐标。
2. 路径法：先从原点出发沿x 轴的正方向(0)x >或负方向(0)x <移动x 个单位，再沿y 轴的正方向(0)y >或负方向(0)y <移动y 个单位，最后沿z 轴的正方向(0)z >或负方向(0)z <移动z 个单位即可读出此点坐标。
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第九讲 空间直角坐标系时间：年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。
(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】E FBC DHGX YZ,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴⊂⊄∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-u u ru u u r u u u rQ u u u r u u r g u u u r u u rg u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=u u ru u u r u u u rQ u u u r u u r g u u u r u u rg u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）121212121cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u ru r u u r g u r u u r u r u u r即二面角B-DE-C 为60。
【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。
4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。
应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。
2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。
考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线l 的方向向量，n r是平面的法向量，则2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。
（2）求出相关点的坐标。
（3）写出向量坐标。
（4）结合公式进行论证、计算。
（5）转化为几何结论。
例2：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（I ） 计算CM SN u u u u r u u u r、的数量积，写出答案； （II ）求平面CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。
【规范解答】设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图。
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,12,0) （I ）111(1,1,),(,,0),2221100221(II)(,1,0),2(,,)CMN 022,(2,1,2)1021-1-22|cos |=2232SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=⎧-+=⎪⎪==-⎨⎪-+=⎪⎩<>=⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r g u u u r rr r u u u r因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。
（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。
要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。
2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。
考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设分别为平面的法向量，则θ与互补或相等，例3： 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2） 证明AF ⊥平面1A ED（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。
【规范解答】方法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭（1） 易得10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ,1(0,2,4)A D =-u u u u r ，于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D==-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r ， 所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为35。
（2） 证明：已知(1,2,1)AF =u u u r ,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r于是AF u u u r ·1EA u u u r =0，AF u u u r ·ED u u u r=0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=所以AF ⊥平面1A ED(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =r ，则0u EF u ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u rg ,即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 不妨令X=1,可得(1,21u →=-）。
由（2）可知，AF →为平面1A ED 的一个法向量。
于是2cos,==3||AF AF |AF|u u u →→→→→→•，从而5sin ,=AF u →→所以二面角1A -ED-F 的正弦值为53要点考向4：利用空间向量解决探索性问题考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。
例4： 如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。
（I ）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；（II ）设AB ＝AA 1,在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为p 。
（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ（0090θ<≤）。
当p 取最大值时，求cos θ的值。
【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。