抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“

()f x ”有关问题解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数

概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出

()f x ，

这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知

(

)211x

f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u

f u u u

-=+=

--∴

2()1x

f x x

-=

- 2.凑合法：在已知

(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求

()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知

33

11()f x x x x

+=+，求

()f x

解：∵

22211111

()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x

+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+

≥ ∴

23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解:设

()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22

222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩

∴213()22

f x x x =

++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解:∵

()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴

()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵

()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴

lg(1),0

()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨

--<⎩

例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x . 解：∵

()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换

()f x +()g x =

1

1x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1

()1

g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1

x

g x x =-

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式

例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

解：∵

()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++

∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+

以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1

()(1),2

f x x x x N =+∈

二、利用函数性质，解()f x 的有关问题

1.判断函数的奇偶性： 例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶

函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①

在①中令

y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴

()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。

2.确定参数的取值范围 例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

解：由

2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴

2(1)(1)f m f m -<-

又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴2

21111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩

3.解不定式的有关题目 例9：如果

()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小

解：对任意t 有

(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f

(3)∵在［2，＋∞)上，

()f x 为增函数

∴

f

(3)<

f

(4),∴

f

(2)<

f

(1)<

f

(4)

五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的

单调性。 解：设，∵当

，∴

，

∵，

∴

，即，∴f （x ）为增函数。

在条件中，令y ＝－x ，则

，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f

（－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，

∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f （x ）对任意

，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设

，∵当

，∴

，则

，