排列组合问题的解法第三计

每周一计第三计——排列组合问题的解法

解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

（一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法”

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？

解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1

223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。

注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。

解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个

放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）

（二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.

例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543

2A A A -+=78种．

（三）.相邻问题“捆绑法”

对于某些元素要求相邻．．

排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？

解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应

全排列。由乘法原理共有6365A A 种。

（四）。不相邻问题“插空法”

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）

例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。

注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素；

②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。

例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3

5

C 种。

（五）。定序问题选位不排

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。

例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3

3

A 25C 3

3A 24

A 1123A A 111233

A A A 2111423330

A A A A +=24A

（六）“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？

解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有 种，由乘法原理，共有 种． （七）分排问题用“直排法”

把n 个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．

例８：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有 种排法．

解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有 ． (八)列举法

如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法．

例9：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法有 种。 解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，１＋１００＝１０１＞１００，１为被加数的有１种；同理，２为被加数的有 ２种；３为被加数的有３种；……；４９为被加数的有４９种；５０为被加数的有５０种；但５１为被加数的只有４９种；５２为被加数的只有４８种；……；９９为被加数的只有１种，故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。

（九）元素可重复的排列求幂法。

解决“允许重复排列．．．．．．

”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。 例10：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是 种。

解：应同一学生可同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看成７家“店”，五项冠军看成５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝75种。

（十）特征分析法 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。

例11：由１、２、３、４、５、６六个数可组成多少个无重复且是６的倍数的五位数？

解：分析数字的特征：６的倍数的数既是２的倍数，又是３的倍数。其中３的倍数又满足“各个数位上的数字之和是３的倍数”的特征。而且１＋２＋……＋６＝２１是３的倍数，从６个数字中取５个，使之和还是３的倍数，则所去掉的数字只能是３或６。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含３，即由１、２、４、５、６作数码；首先从２、４、６三个中任选一个作个位数字有 种，然后其余４个数字在其他数位上的全排列有 ，所以 ；第二类，所排的五位数不含6，即由1、2、3、4、5作数码，依上法有

，故 种。 （十一）名额分配问题用隔板法

例12： 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？

解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。 注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。

（十二）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔

例13： 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解：（解法一）先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用

2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。 2

242

A A 2

242A A 33

A 33A 12N=N N 120+=13A 4

4A 14134N A A =1

4224

N A A =77

A 4

9C 211

C 14134N A A =