第三讲无理数与实数

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第三讲-无理数与实数

代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=，－…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

2．实数：有理数和无理数统称为实数。

⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为。

例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是。

例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。

第3讲.实数

第3讲实数⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩实数的分类实数的相关概念：平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数的运算律实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小估算一个实数的大小1．算术平方根、平方根及立方根的概念及表示方法是什么？2．算术平方根、平方根及立方根之间有什么区别和联系3．算术平方根有哪些性质？前章回顾知识网络图中考说明3.1无理数与实数一．无理数1．概念：无限不循环的小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2．性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a b +，a b -是无理数；二．实数1．概念：有理数和无理数统称为实数． 2．实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数0⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数3．实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数a -．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身；负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4．实数与数轴上的点是一一对应：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的任意两点．概念辨析【例1】（2013年房山期末）在0.25，，，，，0.021021021…中，无理数的个数（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【例2】有下列说法中正确的说法的个数是（）（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．【例3】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）若x =x =．（）2π72239121例题精讲【例4】把下列各数填入相应的集合：1－、π、 3.14-、120.7、0．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【例5】A ．B ．2E ．0，问题的答案是（只需填字母）：_________________【例6】（2011_______；3π-= __________．【例7】若直径为2个单位长度的圆上的点A 的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A 2πB ．4πC 2πD 4π3.2实数的大小比较及估算一．实数大小的比较方法： 1．正实数大于0，负实数小于0． 2．两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的反而小．3．数轴上的两个实数右边的实数比左边的实数大．二．无理数大小的比较方法： 1．通过被开方数比较两数的大小：0a >，0b >时，若a b >；若a b < 若a b =2．平方法：0a >，0b >时，若22>若22<；若2＝23．作差法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <． 4．作商法：0a >，0b >时，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <．【例8】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1414．，π，0.6，34-，例题精讲概念辨析【例9】实数2.6A．2.6< B．2.6<C2.6<D2.6【例10】化简：（1）21（2【例11】（2012的大小应在（）A ．7.0~8.0之间B ．8.0~8.5之间C ．8.5~9.0之间D ．9~10之间【例12】（2012年第44中学）已知a b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值3.3实数的综合【例13】已知m A =3n m -+的算术平方根，2m n B -=7m n +的立方根，求B A +的平方根．【例14】设x 、y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求x y -的值.试一试：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值.例题精讲【例15】（2013年西城期末）阅读与思考：我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，2=，在此规定下解决下列问题：（1）填空：++++ =_________；（2）求+++++ 的值．基础演练【练1】下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【练2】下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练3】（2014杨浦区三模）点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．点A 表示的数一定是正数B ．点A 表示的数一定是分数C ．点A 表示的数一定是有理数D ．点A 表示的数可能是无理数【练4】（2012年北京四中期末）下列说法正确的是（）．A ．一个无理数不是正数就是负数B ．8的立方根是2±C ．3D【练5】（2012年东城期末）下列实数12-，4π13，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【练6】写出一个有理数和无理数，是它们都是大于2-的负数：___________（答案不唯一）【练7】 ________；的倒数是________的绝对值是________．【练8】（2011年北师大月考）81的平方根是_________________；64-的立方根是_________．【练9】（2012年北京四中期末）若2x -是8的立方根，则x 的平方根是___________．【练10( )A ．6-B ．6C ．6±D ．【练11】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是___________．全能突破【练12】计算：（1（2【练13】 3.141π-＝______；|=______．【练14】（2013年怀柔期末）如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有__________个．【练15】（2012年北京四中期末）大于_____________【练16】（2012年海淀期末）已知整数m满足1m m <+，则m 的值为（）A ．4B ． 5C ．6D ．7【练17】如果a的整数部分，b的小数部分，a b -=__________．【练18】计算下列各组算式，观，察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5；（6(0,0)a b ≥≥．能力提升【练192___________；_________；2的绝对值是________【练20】最大的负整数是_________，最小的正整数是_________，绝对值最小的实数是_______，不超过__________.【练21】下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10（34）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练22】（2013年北大附中）求下列各题中字母的值：（1）若24x =，求x 的值；（2）若3a -=-，求a 的值；（3）若a a >-，那么a 可能是什么数？【练23】已知01x <<，则21x x x、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【练24】计算:（12）2(2)-【练25】（134+（2）1-+++【练26】（2012年东城期末）估计2A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间【练27】【巩固】（2013年大兴期末）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=____________【练28】若a 2的整数部分，1b -是9的平方根，且||a b b a -=-，求a b +的算术平方根．【练29】先阅读理解，再回答下列问题：，且121；23<2；=343；n 为正整数）的整数部分为______，请说明理由．【练30】请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.144=⨯=；4=4=【练31】观；==然数()1n n ≥的等式表示出来：_____________________巅峰突破【练32】设A，B=则A、B中数值较小的是________．【练33】已知20152(4axa-=+，求x的个位数字。

北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿

北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿一. 教材分析《无理数与实数》是北京课改版数学八年级上册第11.4节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了有理数、实数等知识的基础上，进一步引导学生认识无理数，理解无理数与实数的关系，以及了解无理数的性质。

教材通过实例引入无理数的概念，让学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和性质，对实数有一定的了解。

但学生对无理数的认识还比较陌生，无理数的概念和性质比较抽象，学生理解和接受起来可能会有一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，降低学生学习的难度。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够正确判断一个数是无理数还是非无理数。

2.过程与方法：培养学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，提高学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。

2.教学难点：无理数的判断，以及无理数与实数的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等，引导学生自主学习，培养学生的抽象思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数的存在。

2.自主探究：让学生观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，引导学生理解无理数的概念。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自对无理数的理解和发现，培养学生的合作交流能力。

4.性质探究：引导学生探究无理数的性质，如无理数的大小比较、无理数的运算等。

5.应用拓展：让学生运用无理数的知识解决实际问题，提高学生的知识运用能力。

有理数,无理数,实数的区别

有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

实数：实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。

实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

《认识无理数》实数PPT教学课件3

第二章
实数
认识无理数
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是
无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
【解析】因为S大正方形 2,
所以a 2.
2
议一议
上式中的a可能是整数吗？
a
a可能是分数吗？因为 a不是整数， a也不是分数，所以 a不是有理数.
数，所以选项A,B,D都是有理数； 0.305 305 530 555 是无限不循环小数，所以是无理数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.
挫折像一把火，既可以把你的意志烧得更坚，
也可以把你的意志烧成粉末.
梦想的力量
当我充满自信地，朝着梦想的方向迈进并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活
成功，会在不期然间忽然降临！
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勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦在知识的山峰上登得越高，眼前展现的景色就越壮观。 ──拉吉舍夫正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。 ──托尔斯泰知识就是力量。 ──培根知识是引导人生到光明与真实境界的灯烛。 ──李大钊只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。 ──华罗庚只有满怀自信的人，才能在任何地方都怀有自信沉浸在生活中，并实现自己底意志。 ──高尔基重要的不是知识的数量，而是知识的质量。有些人知道得很多，但却不知道最有用的东西。 ──托尔斯泰追求真理比占有真理更加难能可贵。 ──爱因斯坦走你的路，让别人去说罢！ ──但丁最有成就的科学家都具有狂热者的热情。 ──贝弗里奇昨天不能唤回来，明天还不确实，而能确有把握的就是今天。今日一天，当明日两天。 ──耶曼逊只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思利用时间是一个极其高级的规律。 ──恩格斯社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。──恩格斯在马克思看来，科学是一种在历史上起推动作用的、革命的力量。任何一门理论科学中的每一个新发现，即使它的实际应用甚至还无法预见，都使马克思感到衷心的喜悦，但是当有了立即会对工业、对一般历史发展产生革命影响的时候，他的喜悦就完全不同了。

无理数与实数(北京课改版)课件

实数的定义
实数是有理数和无理数的总称。
实数包括有理数、无理数以及有理数和无理数的混合数。
实数具有完备性和连续性，即任意两个不相等的实数之间必存在另一个实数。
无理数与实数的关系
无理数是实数的一个子集，即所有无理数都是实数，但不是所有实数都是无理数。
有理数和无理数共同构成了实数的完整集合，两者缺一不可。
总结1
无理数与实数的定义。无理数是不能表示为两个整数的比的数，而实数包括有理数和无理数。
总结2
无理数与实数的性质。无理数具有无限不循环的小数表示，而实数具有连续性和完备性等性质。
分析无理数与实数在实际应用中的重要性
分析1
无理数在几何学中的应用。无理数在解决一些几何问题中起到关键作用，例如计算圆的周长和面积。
无理数与实数(北京课改版 )ppt课件
contents
目录
• 无理数与实数的定义 • 无理数的性质与表示 • 实数的性质与表示 • 无理数与实数的应用 • 总结与展望
01
无理数与实数的定义
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数的比的数。
无理数在实数范围内是不可数的。
无理数既不是有限小数，也不是无限循环小数。
分析2
实数在数学分析中的应用。实数的连续性和完备性为数学分析提供了基础，使得数学分析中的定理和结论得以成立。
展望无理数与实数未来的研究方向
展望1
探索无理数与实数的更多应用领域。随着科学技术的发展，无理数与实数将会在更多领域得到应用，例如物理学、工程学等。
展望2
深入研究无理数与实数的性质和结构。目前关于无理数与实数的性质和结构仍有许多未知领域，未来可以进一步深入研究，以揭示其更深层次的数学规律。

11.4无理数与实数

课后实践，拓展延伸
基础达标 1.数学书P49：8、9. 2.操作实践：制作一个表面积是12平方分米的正方体纸盒. （1）这个正方体纸盒的棱长是多少？（2）做出这个正方体纸盒.
Thank You!
人们发现的第一个无理数是 2 。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。
古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的
团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数
之比。有一个名叫希帕蒂斯的学生，他画一边长为1的正方
形，ห้องสมุดไป่ตู้对角线为x，他想：x代表正方形对角线长，而x×x=2，那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明x不能是整数，因1×1=1, 2×2=4, x×x=2，x必定大于1而小于2， 1与2之间却没有别的整数。那么x会不会是分数呢? 毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
（2）无理数是无限小数（）
（3）无理数是带根号的数（）
（4）带根号的数是无理数（）
（5） 3 15 4
（）
（6）形如 a, 3 a 的数是无理数（）
应用新知，强化理解
1.估计 11 ，3 5 介于哪两个连续的整数之间，更接近哪个整数？
应用新知，强化理解
我们班的学农基地是一块400平方米的正方形土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积为300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？
探究活动
整数精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001
小于 2

人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1

人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。

这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。

二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。

三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。

2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。

3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。

2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。

2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.无理数和实数的教学素材。

3.小组合作学习的指导手册。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。

问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。

4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。

5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。

初等数学研究第三讲

有理数的阿基米德性质 na b

n na b
即n
性质3 实数集具有连续性（数学分析中已证明）性质4 实数是不数集
二、复数域
1、复数的概念（矩阵）
定理：复数集C关于它的加法和乘法构成复数域。
2、复数的代数形式 1）、复数的代数形式 a bi(a, b R) 叫做复数的代数形式。虚部不为零的复数叫做虚数，实部为零的虚数叫做纯虚数。 2）、共轭复数
实数的乘法运算
对于 , R
有n n n n
则
注：正实数的积唯一
实数的除法运算
x,
x

注：正实数的商唯一两个负实数，正、负实数以及正负实数与零的四则运算按有理数数集中的相关规定进行。
b、正实数的开方定理对于a R , 存在唯一的x R ，
第三讲
实数域和复数域
一、实数域
1、无理数的引入 1）证明 2 不是有理数。 2）可 2 为无限不循环的小数。
2、无理数的概念无限不循环的小数叫做无理数 3、实数及其顺序 1）、实数的概念 a、正实数：十进位小数叫做正实数 b、负实数：对于每一个正实数，有一个新元素与其对应，满足 ( ) ( ) 0 c、正实数和负实数统称为实数。
2）、实数的顺序
3、退缩有理闭区间序列 1）、区间套定义：
4）、实数的运算 a、实数的四则运算实数的加法运算（减法运算 , x,
x
n
）
对于 , R

有
n n n
则
定理：正实数与的和是唯一的。正实数的加法运算满足交换律和结合律。

《认识无理数》实数精品课件

《认识无理数》实数精品课件汇报人：日期:•引言•无理数定义与性质•无理数与实数关系目录•无理数运算与估算•无理数在实际生活中的应用•总结与展望01引言无理数的概念和表示方法在数学中具有重要地位，是数学基础的一部分。

无理数在现实生活中有着广泛的应用，例如测量、计算和科学研究中。

学生对于无理数的认识往往存在困惑和误解，需要有针对性的教学。

课程背景课程目标掌握无理数的表示方法和运算规则。

通过实例和应用，培养学生的数学思维和应用能力。

帮助学生理解无理数的概念和特点。

02无理数定义与性质无理数定义不能表示为两个整数的比值无限不循环小数是无理数不能表示为有限小数或无限循环小数不能用分数形式表示无理数性质非有理数性质不能表示为两个有理数的比值具有连续、光滑、没有明显的界线等特征在有理数域外无限延伸无法表示为整系数多项式开方根的数，如$\pi$和$\sqrt{2}$等。

代数无理数超越无理数几何无理数无法表示为有理系数多项式方程的解的数，如$e$和$\ln$等。

无法用有理数逼近的数，如无理线段长度、无理面积等。

03无理数分类020103无理数与实数关系实数分类可以表示为有限小数或无限循环小数的实数，例如2.5、3.14等。

代数数无法表示为有理数的实数，例如π(圆周率)、e(自然对数的底数)等。

超越数既不是正数也不是负数的实数，具有特殊的性质和意义。

零无限不循环小数，例如√2(根号2)、√3(根号3)等。

无理数无理数在实数中的地位无理数是实数的重要组成部分，它们在数学中有着广泛的应用。

无理数的出现是数学发展史上的一个里程碑，对于数学的发展和人类的认识都具有重要意义。

无理数在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用，对于推动人类科技进步具有不可替代的作用。

无理数与有理数的区别和联系有理数和无理数在性质和形态上有着根本的区别。

有理数是可数的，而无理数是不可数的，因此它们在数学中的处理方法和性质也有很大的不同。

有理数和无理数之间存在着紧密的联系，它们共同构成了实数的完整体系。

数学无理数与实数

数学无理数与实数数学是一门严谨而深奥的学科，其中包含了许多有趣的概念和理论。

无理数与实数是数学中一对重要的概念，在数学的发展中起到了重要的作用。

本文将着重介绍无理数与实数的定义、性质和应用。

一、无理数与实数的定义1. 无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。

无理数可以用无限不循环小数表示，例如π（pi）、e（自然对数的底数）等。

2. 实数的定义实数包括有理数和无理数，是一切数的集合。

实数可以用有限小数、无限循环小数和无限不循环小数来表示，例如整数、分数和无理数等。

二、无理数与实数的性质1. 无理数的性质（1）无理数的十进制表示是无限不循环小数。

（2）无理数与有理数相加、相乘、相减仍是无理数。

（3）无理数存在无穷多个，且无理数的集合与有理数的集合的交集为空。

2. 实数的性质（1）实数具有稠密性，即对于任意两个实数a和b，存在一个实数c使得a<c<b。

（2）实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

（3）实数域是一个有序域，可以进行大小比较。

三、无理数与实数的应用1. 几何学中的应用无理数在几何学中起到了重要的作用，例如π（pi）常用来表示圆周率，e（自然对数的底数）在指数增长和减少的模型中得到了广泛应用。

2. 物理学中的应用无理数与实数在物理学中也有重要应用，例如黄金分割比例、分形理论等。

3. 金融学中的应用实数的无穷性和稠密性在金融学中具有重要意义，例如套利交易、期权定价等。

四、总结无理数与实数是数学领域中重要的概念和理论，对于数学的发展和各个学科的应用都起到了关键作用。

通过研究无理数与实数，我们能够更好地理解数学的本质和规律，并将其应用于实际问题的解决中。

无论是几何学、物理学还是金融学，无理数与实数都扮演着不可忽视的角色。

因此，深入研究和探索无理数与实数的性质和应用，对于我们的数学学习和应用有着重要的意义。

这篇文章介绍了数学中的无理数与实数的定义、性质和应用。

第三章实数考点4 无理数(解析版)

第三章实数（解析板）4、无理数知识点梳理无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数同步练习一．选择题（共14小题）1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数是：π，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．2．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，0.343343334…是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．3．下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414B．C．﹣D．0【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．【解答】解：是无理数．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4．四个数0，1，，中，无理数的是（）A．B．1C．D．0【考点】算术平方根；无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，1，是有理数，是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5．在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．6．在数中，有理数的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】无理数．【分析】根据有理数的概念可判断出有理数的个数．【解答】解：在数中，理数有，，﹣，0.303030…，共4个．故选：B．【点评】此题考查了有理数的定义及其分类．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例5＝5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示．7．在，3.33，，﹣2，0，0.454455444555…，﹣，127，中，无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：，0.454455444555…，﹣是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．8．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：、、﹣1.010010001…是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．9．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；（4）正确；故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有1.1010010001…，π共2个．故选：B．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．11．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．【解答】解：在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，根据无理数的定义可得，无理数有、两个．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．13．在3.14，，，，π，2.01001000100001这六个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：无理数有﹣，π，共2个，故选：B．【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数．14．在﹣3，，π，0.35中，无理数是（）A．﹣3B．C．πD．0.35【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：﹣3，，0.35为有理数，π为无理数．故选：C．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．二．填空题（共19小题）15．写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．故答案为：π（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．16．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解【解答】解：∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣．（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义和性质，解题时注意无理数的积不一定是无理数．17．以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有②⑤③．（只填序号）【考点】无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，故答案为：②⑤③．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．18．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有2个．【考点】无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣是有理数，﹣π，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）是无理数，故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．19．在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．【解答】解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数，关键是掌握无理数定义．20．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2个无理数．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）等形式．21．在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有3个．【考点】无理数．【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，；（2）特定结构的无限不循环小数，（3）含有π的绝大部分数，如2π．如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）；【解答】解：是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数，是无理数，﹣8是有理数，是无理数，0.6是有理数，0是有理数，＝6是有理数，是无理数．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数常见类型是解题的关键．22．写出一个同时符合下列条件的数：﹣．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：写出一个同时符合下列条件的数﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．23．写出一个比﹣4大的负无理数．【考点】无理数．【分析】本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案．【解答】解：∵写一个比﹣4大的负无理数，首先写出一个数是无理数，再写出它是负数∴如﹣等．故答案为：﹣（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了无理数的概念，在解题时要根据无理数的定义写出结果是解题的关键．24．已知实数：﹣3.14，0，﹣，π，，其中无理数有2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：在实数﹣3.14，0，﹣，π，中，无理数有﹣，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．25．在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：是分数，属于有理数；0.5是有限小数，属于有理数；∴在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．故答案为：π，，．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．26．实数，，﹣8，，，中的无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．【解答】解：＝6，根据无理数的三种形式可得，无理数有，，，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．27．在实数3.1415927，，2﹣，，中，无理数的个数是2个．【考点】立方根；无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【解答】解：无理数有，2﹣，，两个，故答案为：2【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．28．在实数3.14，﹣，﹣，0.13241324…，，﹣π，中，无理数的个数是3．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：3.14、﹣＝﹣0.6、0.13241324…、这四个数是有理数，﹣、和﹣π这三个数是无理数，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．29．下列各数：①﹣2π；②；③0；④2.3中，是无理数的是①（填写序号）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：无理数有﹣2π，故答案为：①．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．30．在下列各数：3.1415926、、0.5、、、、中无理数有2个．【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：、是无理数．故答案为：2．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．31．在实数﹣，﹣，0，，中，无理数有，．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：﹣＝﹣2是有理数，﹣是有理数，0是有理数，是无理数，是无理数，故答案为：，．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．32．在实数﹣，0，﹣1，0.121121112，，π中，无理数的个数为2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：无理数有：，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．33．实数，，﹣7，中，无理数有2个．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：是分数，属于有理数；﹣7是整数，属于有理数；无理数有，共2个．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．三．解答题（共2小题）34．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣1|＝0．（1）求x，y的值；（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；无理数．【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据开平方，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：（1）由题意，得，解得：；（2）当x＝2，y＝1时，＝，是无理数．当x＝2，y＝﹣1时，＝＝2，是有理数．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出方程组是解题关键．35．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：【考点】算术平方根；无理数．【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“2π”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲（2）整数有：0、；负分数有：、﹣0.6．故答案为：0、；、﹣0.6．【点评】本题主要考查了实数法分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数。

无理数与实数(基础)知识讲解

无理数与实数（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π--- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73-- 无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【高清课堂： 389318 实数复习，巩固练习3】【变式】下列说法错误的是（）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小．【答案与解析】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--754__2333232 90－ 3___10- |43___(7)---【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A. 3.2-B.7- C. 7 D. 10- 【答案】B ；【解析】－3＜7-＜－2.【总结升华】关键是估计出7-的大小. 类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案与解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++=【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.。

数学复习实数与无理数的性质与运算

数学复习实数与无理数的性质与运算数学复习实数与无理数的性质与运算一、引言在数学中，实数与无理数是重要的概念。

掌握实数与无理数的性质与运算规则，对于理解和应用数学知识具有重要意义。

本文将详细介绍实数与无理数的定义、性质以及基本运算规则。

二、实数的定义与性质实数是包括有理数和无理数的数集。

它们可以用数轴上的点表示，具有以下性质：1. 实数具有传递性：对于任意实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。

2. 实数具有截断性：对于任意实数a，存在整数n，使得n ≤ a < n+1，可以将实数a截断为整数n和n+1之间的一个值。

3. 实数具有稠密性：在任意两个实数之间，都存在着无穷多个其他的实数。

4. 实数具有加法、减法、乘法和除法运算。

三、无理数的定义与性质无理数是不能表示为两个整数比的数，它们在数轴上是无限不循环的。

无理数具有以下性质：1. 无理数的表示形式：无理数可以表示为无限不循环小数或者根号的形式。

2. 无理数的无穷性：无理数的小数部分是无限不循环的，因此无理数是无穷的。

3. 无理数与有理数的关系：无理数与有理数总是可以逼近地越来越接近，但永远无法完全相等。

4. 无理数的加法与乘法：无理数之间可以进行加法和乘法运算，结果仍然是无理数。

四、实数与无理数的运算1. 实数的加法与减法：实数之间可以进行加法和减法运算，运算结果仍然是实数。

例如：a + b = c，a - b = d。

2. 实数的乘法与除法：实数之间可以进行乘法和除法运算，运算结果仍然是实数。

例如：a * b = e，a ÷ b = f。

3. 实数与无理数的加法与乘法：实数与无理数之间可以进行加法和乘法运算，结果仍然是无理数。

例如：a + √2 = g，a * √3 = h。

五、应用举例1. 无理数π的性质与运算：圆周率π是一个无理数，它等于3.1415926…无限不循环小数。

我们可以通过加法和乘法运算来计算π的近似值。

无理数与实数-学生讲义

智适应教育学生讲义年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课程主题无理数与实数授课类型T了解无理数和实数的意义C了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用T掌握实数的运算授课日期时段年月日 A段（8：00--10：00）教学内容【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π---【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【变式】下列说法错误的是（）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④类型二、实数大小的比较2、比较52和0.5的大小．【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1a b<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___5 4__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)---3、如图，数轴上点P 表示的数可能是A. 3.2-B. 7-C. 7D. 10-类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2a b c-+-+-=，则a b c|2|3(4)0-+=________．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a|，2,a a，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2++++-=，求xyz的值．x y z(16)|3|30一.选择题1．下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对D．2是近似值，无法在数轴上表示准确2. 下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数3.估计76的大小应在（）A．7～8之间B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间D．9～10之间4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.A ．B ．C ．D ．5. 实数2.67、和22的大小关系是（）A ．2.6227<<B ．7 2.622<<C ．2.6722<<D ．22 2.67<<6．一个正方体水晶砖，体积为1003cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间二.填空题7.在54，11-，•7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________． 8.在数轴上与1距离是3的点，表示的实数为______．9.｜3.14－π｜＝______；|2332|-= ______．10. 55-的整数部分是________，小数部分是________．11.已知x 为整数，且满足23x -≤≤，则x =________．12.(310)-的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.三.解答题13．计算：（1）．（2）952|32|-+-．14. 天安门广场的面积大约是4400002m ，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）15. 已知22|313|0,x x y -+--=求x y +的值．【巩固练习】一.选择题 1．代数式21a +，x ，|y |，2(1)a -，3z 中，一定是正数的有（）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2. 三个数π-，－3，3-的大小顺序是（）．A ．33π-<-<-B ．33π-<-<-C ．33π-<-<-D ．33π-<-<-3. 要使33(3)3k k -=-，k 的取值范围是（）．A ．k ≤3B ．k ≥3C ．0≤k ≤3D ．一切实数4. 估算287-的值在（）．A ．7和8之间B ．6和7之间C ．3和4之间D ．2和3之间5. 若0a ≠，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（）A.a b 与B.2a 与2bC.3a 与3bD.3a 与()33b - 6. 实数x 、y 、z 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A ．x y z ++＞0B ．x y z ++＜0C ．xy yz <D ．xy xz <二.填空题7．227，3.33……，2π，22- ，8±， 554544554445.0，3271，90.0- ，中，无理数的个数是个.8. m ＜0时，化简323||m m m m +++＝________.9. 计算：|62||21||36|-+---＝__________．10.已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,21,2x y ==,则21999)(y cd x b a --++的值 .11. 若23|3|()03x y ++-=，求2010()xy 的值. 12. 当x 时,243x --有最大值,最大值是 ________.三.解答题13．已知实数a 、b 在数轴上的位置，如图所示．试化简2222()()a b a b a b +---+．。

第三讲 无理数与实数