电路分析相量法

1 I T
T

0
1 I cos ( t i )dt T
2 m 2

T
0
2 Im
1 cos[2( t i )] dt 2
1 T

T
0
2 Im I 1 2 dt I m m 0.707I m 2 2 2
I I m / 2 0.707I m
上式表明，正弦量的最大值与其有效值之间有 2 倍的 关系，且正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关。正弦 量 i 常写成如下形式：
i
( i 0)
( i 0)
4.正弦量的重要性质 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频率正弦量 的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。例如
di d [ I m cos( t i )] I m sin( t i ) I m cos( t i 90o ) dt dt
i 2I cos( t i )
则式中的3个常数I、ω、ψi 也称为正弦量的三要素。工程 中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值， 交流电流表、电压表表面上标出的数字都是有效值。 6.两个同频率正弦量之间的相位差 设两个同频率正弦量 u 和 i 分别为：
u 2U cos( t u )
a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
b)指数形式
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j 2 | F1 || F2 | e j (1 2 )
| F1F2 || F1 || F2 | arg(F1F2 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2
以 i 2I cos( t i ) 为例 i 2I cos( t i ) Re[ 2I cos( t i ) j 2I sin( t i )]
Re[ 2Ie j ( t i ) ] Re[ 2Ie j i e j t ]
可以看出，一个实数范围内的正弦量可以和一个复数范 jψ 围内的复指数函数一一对应起来。上式复指数函数中的 Ie i 是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复常数，定 义其为正弦量 i 的相量，记为 I
i 2I cos( t i )
两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果， 在主值范围内取值。设φ表示电压 u 和电流 i 之间的相位差。 则
( t u ) ( t i ) u i
上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差， 为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后” 来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。
当 cos( t i ) 1 时，正弦量有最小值imin=－Im。
imax－imin=2Im 称为正弦量的峰－峰值。
2)角频率ω 随时间变化的角度(ωt +ψi)为正弦量的相位（或相角）。ω 为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

d ( t i ) dt
Ie j i I I i I e j i I I
m m m
正弦量的有效值相量
i
正弦量的振幅相量、最大值相量
注意： 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系， 不是相等的关系。 若已知正弦量的时域表达式，可直接写出与之对应的相量。
220 35o i 220 2 cos( t 35o ) I
即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角 的和。
c)极坐标形式
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | ( 1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算 a)代数形式
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a2b1 a1b2 ) 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2
第8章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 复数
相量法
正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方 法。应用相量法，需要用到复数的运算。 1.复数的表示形式 1)代数形式
F a jb ( j 1)
在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路 中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
b)指数形式
F1 | F1 | e j 1 | F1 | j ( 1 2 ) e j 2 F2 | F2 | e | F2 |

F1 | F1 | F2 | F2 |
F arg( 1 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2 F2
c)极坐标形式
F1 | F1 | 1 | F1 | ( 1 2 ) F2 | F2 | 2 | F2 |
或必须有
| F1 || F2 | ，arg(F1 ) arg(F2 )
3.旋转因子 复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示 为逆时针旋转或顺时针旋转。复数e jθ =1∠θ 是一个模等 于1，辐角为θ 的复数。任意复数F1=∣F1∣e jθ 1乘以e jθ 等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ，而F1的模值不变， 所以ejθ 称为旋转因子。 根据欧拉公式可得e jπ /2=j，e -jπ /2=-j，e jπ =-1。因此 “±j ”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j， 等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以 j ，等于把该复数乘以－j ，则等于在复平面上把该复数顺 时针旋转π /2。
正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。 3.正弦波 正弦量随时间变化的图形称为正弦波。
Im
i I m cos( t)
Im
i I m cos( t i )
2
O Im
i I m cos( t i )
2
O

2
t

2
t
O
wenku.baidu.com

i
2
t
( i 0)
若 0，则称 u 超前 i ( 或称 i 滞后 u )。 若 0，则称 u 滞后 i ( 或称 i 超前 u )。
若 0，则称 u 和 i 同相。 若 | | ，则称 u 和 i 反相。 若 | | / 2 ，则称 u 和 i 正交。
同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周期 内两个波形的极大值(或极小值)之间的角度值(≤1800)，即为两 者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的选取、 变动无关。 u 2U cos( t u )
实部 虚部
Re [F ] a
Im[F ] b
+j b o
F
|F |
复数可用复平面上的向量表示：
θ
a
+1
2)三角形式
F | F | (cos j sin )
F a jb
| F | 为复数的模， 为复数的幅角， argF 。则
F a 2 b2
arctan(b/a)
§8-2
正弦量
则式中的 3 个常数Im、ω和ψi ，称为正弦量的三要素。 1)振幅Im Im 称为正弦量的振幅，亦即正弦量的最大值imax。
1.正弦量的定义 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。 对正弦量的数学描述，可以采用sin函数，也可采用cos函数。 但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不 要两者同时混用。本书采用cos函数。 2.正弦量的三要素 i 设右图中正弦电流 i 的数学表达式为 i I m cos( t i ) _ + u
可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
4)相等运算 在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数 相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相 等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若
F1 F2
则必须有 Re[F1 ] Re[F2 ] ，Im[F1 ] Im[F2 ]
i i1 i2 Re[ 2 I1e j i 1 e j t ] Re[ 2 I 2e j i 2 e j t ] e j t ] Re[ 2I e j t ] Re[ 2I
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则 F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 +j F1 F1－F2 F2 o +1 F2 o +1
F1
2)乘法运算
5.正弦量的有效值 工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应 换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电流或 电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的 大写字母表示。其定义如下： 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分 的平均值再取平方根。 对周期电流有 1 T 2 I i dt 0 T 当电流 i 有为正弦量时，有
i 2I cos( t i )
u, i
试分析图中各量 的相位关系。
O
u
i
t

u 超前 i
u, i
u 和 i 同相
O
u
i
t
§8-3 相量法的基础
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电 压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量。如果电路有多个激 励且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质可知， 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状 态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。 1.相量的概念
I
与正弦量相对应的复指数函数在复 平面上可以用旋转相量表示出来。其中 复常数 2 I i 称为旋转相量的复振幅， e jωt 是一个随时间变化而以角速度ω 不 o 断逆时针旋转的因子。复振幅乘以旋转 因子e jωt 即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量。这就 是复指数函数的几何意义。
b | F | sin
且
a | F | cos
3)指数形式
e j cos j sin ( 欧拉公式) F | F | e j
F | F |
4)极坐标形式
+j b
F
|F |
o
θ
a
+1
2.复数的运算
1)加减运算 复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面 中使用平行四边形法则。
若已知正弦量的相量，须再知道其角频率才可写出与之对应 的函数表达式。 100 60o U
100 rad/s
u 100 2 cos( 100 t 60o )
相量是个复数，它在复平面上的图形称为相量图。
2.旋转相量
i Re[ 2Ie e
j i
j t
]
+j
I
i
+1
3.相量的运算 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的 代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相 量运算如下：
1)同频率正弦量的代数和 设 i1 2I1 cos( t i1 )，i2 2I 2 cos( t i 2 )， ， 设它们的代数和为正弦量 i ，则
角频率的单位为 rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之间 的关系为： T 2 ， 2f ，f 1 / T 频率 f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率 为50Hz。 3)初相(位)ψi 正弦量在 t = 0 时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称 初相。即 ( t i ) t 0 i 初相的单位用弧度或度表示，通常取| ψi |≤1800。它与计时 零点有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的，但对于一 个电路中的许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计 时零点确定各自的相位。