电路分析相量法

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电路分析 第8章-相量法例题

电路分析 第8章-相量法例题
+1
U1

60

30 41.9 +1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos( t i ) I I i
di d e j t Re 2 I j e j t 微分运算 Re 2 I dt dt I j t j t 积分运算 idt Re 2 Ie dt Re 2 e j
例7 u (t ) 6 2cos(314t 30 ) V 1
u2 (t ) 4 2cos(314t 60 o ) V
U1 630 o V U 2 460 o V
U1 U 2 630 460 U
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536

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例3

已知正弦电流波形如图,=103rad/s,
1.写出 i(t) 表达式;2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
两个正弦量 i2 (t ) 10 cos( π t π 2) 100 进行相位比 t π 4cos( π 2π π 40 0 较时应满足 (2) i1 ( ) 3 10 (100 ) t 5 30 ) 5π 4 2π 3π 4 i2 (t ) 10 sin(100 π t 150 ) 0 同频率、同 i2 (t ) 3cos( πt 150 ) 函数、同符 100 (3)i (t )t 10 cos( π t 105 ) 1 2 u1 ( ) 10 cos(100 π t 30 0 ) 0 0 100 30 (150 0 ) 120 不能比较相位差 号,且在主 0 u2 (t 10 cos(105 ) 135 ) ) 30 ( 200 π t 45 值范围比较。

用相量法分析正弦交流电路

用相量法分析正弦交流电路

作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中,电感元件和电容元件 计算输出电压U2与端口电压u同相时u的频率ω0,并计算U2/U。
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络,端口正弦电压u的频率可以调节变化。
用网孔电流法分析正弦电路
的复阻抗分别为 其中,电感元件和电容元件的复阻抗分别为 j L j3 0 0 0 1 j1 k 作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。
.
1 2j . 1 j2 . 3 j1 .
IL
I
I
I
1 j1 j2 1 j1
2
由各相量写出对应的正弦量
i(t)16 2sin3(00t0370)mΑ iC(t)11.3 2sin3(00t0980)mΑ iL(t)25.3 2sin3(00t045.30)mΑ
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络,端 口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口 电压u同相时u的频率ω0,并计算U2/U。
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示, 则
.
I.3Z U i O R C 15 7 j/3 2 .3 9 .8 1 0 3 16 . 7 / 3 /9 2 .6 3 0 .8 1 0 2.9 9 /1.8 1 0
网孔方程为
Ib
180j380 13

I1
.
Ia
200j300 13
I2
Ib
180j380 13
.
I3
Ia
.
Ib
380j80 13
用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例3-19中R支路 的电流。
解 先将例3-19中所示的电路改画为下图 (a)所示的电路

电路原理6用相量法分析电路的正弦稳态响应

电路原理6用相量法分析电路的正弦稳态响应
相量图绘制
通过将相量按照比例放置在复平面内,可以直观地表 示出各相量之间的关系。
相量图分析
通过观察相量图,可以分析出电路的阻抗、功率和相 位差等参数。
相量法的应用场景
01
正弦稳态电路分析
相量法主要用于分析正弦稳态电 路,包括交流电路和含有正弦激 励的动态电路。
02
交流电路参数计算
03
控制系统分析
利用相量法可以方便地计算交流 电路的阻抗、功率和相位差等参 数。
03
对于多输入多输出系统,相量法可能无法 给出完整的描述。
04
相量法不能处理瞬态响应或非正弦激励的 问题。
未来研究方向与展望
01
研究方向
02
深入研究相量法的数学基础和物理意义,提高其理论水平。
探索相量法与其他电路分析方法的结合,如频域分析、时域分
03
析等。
未来研究方向与展望
• 研究如何将相量法应用于非线性系统和时变系统。
实例三:RLC电路的正弦稳态响应分析
总结词
RLC电路的正弦稳态响应具有谐振特性,其频率由L、C和R的比值决定。
详细描述
RLC电路的正弦稳态响应表现为一个具有谐振峰的波形,其频率由电感L、电容C和电阻R的比值决定,即谐振频 率f=1/2π√(LC/R^2)。在RLC电路中,当频率f等于谐振频率时,电路的阻抗最小,电流最大;当频率f远离谐振 频率时,电路的阻抗增大,电流减小。
相量法简介
定义
01
相量法是一种将正弦稳态的时域问题转化为复数02
通过相量法,可以更方便地分析交流电路的响应,包括电压、
电流和阻抗等。
优势
03
相量法简化了计算过程,使得复杂问题变得简单直观。

电路分析课件第八章相量法

电路分析课件第八章相量法

KVL:任意时刻,任一回路,U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时:
R
1I1
本章小结:
所谓相量法,就是电压、电流用相量表示, RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示,画出电路的相 量模型,利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此, 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意:
在分析正弦交流电路时字母的写法:
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息,不包含频率的信息,即:在运用相量 法分析正弦量时,默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量,它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意:
有一个正弦量便可以得到一个相量; 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系,决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若:i = 2 Icos(ωt+ψi )
则:u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )

电路相量法和正弦稳态电路的分析

电路相量法和正弦稳态电路的分析


图 (c):以 电 感 与 电 容 的 并 联 电 压 为 参 考 相 量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)


Re
2
Ie
ji
e
jt

Re

2

I
e
jt


Re I m
e
jt



其中:



UjLI jXLI
感抗: XL L 有效值: U LI 相位: u i 90
U j
u
I
i

I
j L
t

U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 电路中已标明电压表和电流表的读数,试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题 已L=知3如H,图所C示=5电路1中0-3Fi S 。 试0 . 求2 c 电o ( s 压 ut R 、4 u5 L) A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C

电路分析相量法

电路分析相量法

量的相量乘以 jω ,即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ,辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ,其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i ),则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 , F2 a2 jb2 ,则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则:
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1-F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明:
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部;

电路原理课件 第8章 相量法

电路原理课件 第8章  相量法

三. 相位差 :
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数,而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部:
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量,有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数:
F e j
4、极坐标形式:
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解: ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=(5+j8.66)A+(-19.05-j11)A

电路_相量法

电路_相量法

8
相量法的基础(****) §8 - 3 相量法的基础
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义: 相量定义:
表示正弦量的复常数称为相量。 表示正弦量的复常数称为相量。 例如: 例如: 正弦量 i = 220 2 cos(314t − 30 o )A
& = 220 e − j30o A 表示。 表示。 可用相量 I
& = Re[ 2 I e e jω t ] = Re[ 2 I e jω t ]
三、正弦量的运算: 正弦量的运算:
1、同频正弦量的代数和: 、同频正弦量的代数和: i1 = 2 I1 cos(ω t + ψ 1 )A, i2 = 2 I 2 cos(ω t + ψ 2 )A
& & & & i = i1 + i2 = Re[ 2 I1 e jω t ] + Re[ 2 I 2 e jω t ] = Re[ 2 ( I1 + I 2 )e jω t ]
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值, 额定值为有效值, 耐压值为最大值。 耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值: 有效值: 周期电流的有效值: 周期电流的有效值: = I 正弦电流的有效值: 正弦电流的有效值:I =
& I =Ie
jψ i
& = ωI e jψ i +90o = ωI e jψ i ⋅e90o = jωI e jψ i = jωI & ∴Y
结论: 正弦量的微分为同频正弦量,对应的相量为原相量乘以 jω。 结论: 正弦量的微分为同频正弦量, 。 注意:不能说“ 的函数。 注意:不能说“相量的导数为相量乘 jω” 。 因为相量不是 t 的函数。 11

电路分析基础课件第6章 相量法

电路分析基础课件第6章 相量法

+j
设相量
相量 乘以 ,
将逆时针旋转 90, 得到
A
0ψ +1
相量 乘以

- A
将顺时针旋转 90,得到
应用举例
例: 6-5 在图示相量图中, 己知I1=10A, I2=5A, U=110V, f=50Hz,试分别写出 它们的 相量表达式和瞬时值表达式,并说明它们之间的相位关系。
解: 相量表达式为 I1 10 30 A I2 5 45 A
F2
(1) 加法运算:
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 +1
F1 F2 F2
(2) 减法运算:
作图方法:首尾相连
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形
(3) 乘法运算:
F1 F2 F1 F2 (1 2 )
试分别画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率及相位差。
解:u 10 2sin(314t 30)
i、u
10 2cos(314t 120)
ui
i、u波形图如图所示。其有效值为
I 20 14.142Α 2
0 π 2π ωt
U 10V
i、u 的频率为 f ω 314 50Hz
2π 2 3.14
u、i 的相位差为:
ψu ψi 120 60 180
应用举例
例: 6-3已知正弦电压 u 311cos(314t 60)V,试求:(1)角频率ω、频率f、周期T、
最大值Um和初相位Ψu ;(2)在t=0和t=0.001s时,电压的瞬时值;(3)用交流电压 表去测量电压时,电压表的读数应为多少?

正弦稳态电路的相量分析法

正弦稳态电路的相量分析法

i + vR − + vL −
İ + VR1 − + VL −
+
R1
v
−Hale Waihona Puke (a)L iC + iR2
+
R1
C vC R2 V


(b)
jωL İC + İR2
1 jωC
VC
R2

(c)
图5.14 例5.6图
İ İC
İR2
V VL VR1
VC=VR2
2006-1-1

3
正弦稳态电路的相量分析法(3)
解 根据电路图画出其相应的相量模型如图5.14(b)所示。感抗和容抗分别为
进而得到电容和电阻上的电流
IC
VC jX C
89.4 26.6 j100
0.89463.4(A)
IR
VR R
89.4 26.6 50
1.79 26.6(A)
各电流、电压的相量关系如图5.14(c)所示。
2006-1-1

5
正弦稳态电路的相量分析法(5)
当然,电压 和 也V可C 以V利R 用分压公式求得。下面应用PSpice对该 题进行仿真。电路如图5.14(d)所示,这里使用电压源VSIN元件, 其参数设置如下:偏置值VOFF=0,幅值VAMPL=141.4,频率 FREQ=159.15,其他为默认值。采用瞬态仿真,参数为:采样步 长Print Step=1ms,终了时间Final Time=40ms。因篇幅有限,且 使结果清晰,只显示电压源v和电容电压vC的波形,如图5.14(e)所 示。两个电压的相邻幅值的时间差为Δt = 14.6 − 14.137 = 0.463(ms),则相位差为φ = Δt∙ω = 0.463(rad) = 26.53°,且电压 源v超前电容电压vC,这与前面结果是吻合的。将幅值转换为有效 值后,与计算结果也是相同的。

电路分析-相量法

电路分析-相量法
1. 正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
0
T
波形
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
周期T 和频率f
t
f(t)=f ( t+kT )
1 f T
周期T :重复变化一次所需的时间。单位:秒s 频率f :每秒重复变化的次数。单位:赫(兹)Hz
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正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 (正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。
是一个正弦量 有物理意义
j( w t Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。
i 2 Icos(w t Ψ ) F (t ) 2 Ie
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F(t) 还可以写成
复常数
F (t )
2 Ie e
jy
jwt

jwt 2 Ie
F(t) 包含了三要素:I、 、w, 正弦量对 复常数包含了两个要素:I , 。 应的相量
1
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 0 )
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
2
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T
均方根值
I
def
1 T

T
0
i (t )dt
2

电路相量法线性电路正弦稳态分析

电路相量法线性电路正弦稳态分析

电路相量法线性电路正弦稳态分析1.电压与电流的相量表示首先,我们需要将电压和电流用复数形式的相量表示。

假设电压和电流的实部为振幅值,虚部为相位,如U=U_m*cos(ωt+θ),则它可以表示为复数形式U=U_m*e^(j(ωt+θ)),其中j是单位复数。

同样地,电流也可以用相同的方法表示为I=I_m*e^(j(ωt+φ))。

2.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律可以用相量法表示为对于任意一个闭合回路,克里希霍夫定律成立,即回路内各个支路电流的相量之和为零。

用数学表达式表示为Σ(I_k*exp(jφ_k))=0,其中I_k和φ_k分别是第k个支路的电流和相位。

3.串联、并联和共模的相量法表示对于串联和并联的电路元件,可以通过相量法进行计算。

对于串联元件,电流相同,电压相加;对于并联元件,电压相同,电流相加。

此外,共模是指回路中存在两个相反方向的电流,通过相量法,可以将其看作一个共模电流流过一个电感电容等效电路。

4.电压和电流的复数表示在相量法中,使用复数形式的电压和电流,可以方便地进行计算。

对于电压U和电流I,它们的相量形式可以表示为U=U_m*e^(jωt)和I=I_m*e^(j(ωt+φ)),其中,U_m和I_m分别为电压和电流的幅值。

5.相量法的求解步骤相量法有以下优点:可以方便地进行复数运算,简化计算步骤;能够清晰地表达电压和电流之间的相位差关系;可以方便地进行电压和电流的幅值和相位的计算。

在进行电路相量法线性电路正弦稳态分析时,我们首先需要将电路中的元件转化为复数形式,然后应用基尔霍夫定律和串、并联的性质进行计算,得到电路的复数形式的电压和电流。

最后,根据计算结果可以得到电压和电流的幅值和相位。

总结起来,电路相量法是一种有效的用于线性电路正弦稳态分析的方法,通过将电压和电流用相量表示,并进行复数运算,可以方便地求解电路中的电压和电流的幅值和相位。

电路相量法在电路分析和设计中具有重要的应用价值。

第8章 相量法

第8章 相量法


T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率(周期T、频率f):表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义:相角(t+i)随时间变化的速度(rad/s)
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数:
1.复数的表示形式 (1)代数形式 b 0
+j
F
r
θ
a +1
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
F r
a b
u(t ) 2U cos( t u )
X Y 53.1
xy 3 X Y
4
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘(除):使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二.正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]

电路相量法

电路相量法

电路相量法(Phasor Method)是一种用复数形式表示交流电路中电压、电流和功率的方法。

它基于欧姆定律和基尔霍夫定律,并使用复数运算来简化交流电路的分析。

在电路相量法中,电压和电流被表示为复数形式,即相量(phasor)。

相量由幅值和相位角组成,幅值表示电压或电流的大小,相位角表示电压或电流相对于参考点的相位差。

使用相量法进行交流电路分析的步骤如下:
将交流电路中的电压源、电流源和阻抗等元件转换为复数形式。

使用复数表示法计算电路中的电压和电流,将它们表示为相量。

使用欧姆定律和基尔霍夫定律,根据电压和电流的相量关系,建立方程组。

解方程组,得到电路中各元件的电压和电流的幅值和相位。

根据需要,计算功率和功率因数。

电路相量法的优点在于可以通过复数运算简化计算过程,避免了复杂的三相计算和相量之间的几何图形。

它在分析交流电路中的电压、电流和功率时非常有用,尤其在稳态分析和频域分析中广泛应用。

电路相量法的加减运算公式

电路相量法的加减运算公式

电路相量法的加减运算公式电路相量法是电路分析中常用的一种方法,可以通过相量的加减运算来简化复杂的电路计算。

下面将为大家介绍电路相量法的加减运算公式。

在电路分析中,经常会遇到需要计算电压、电流和功率的情况。

而电路相量法可以将这些量用相量的形式表示,从而简化计算过程。

在进行电路相量法的加减运算时,我们需要了解一些基本的公式。

我们来看电压的相量运算。

电压相量的加减运算可以用以下公式表示:U = U1 + U2其中,U表示总电压,U1和U2分别表示两个电压源的相量。

这个公式的意思是,将两个电压源的相量相加,得到总电压的相量。

接下来,我们来看电流的相量运算。

电流相量的加减运算可以用以下公式表示:I = I1 + I2其中,I表示总电流,I1和I2分别表示两个电流源的相量。

这个公式的意思是,将两个电流源的相量相加,得到总电流的相量。

我们来看功率的相量运算。

功率相量的加减运算可以用以下公式表示:P = P1 + P2其中,P表示总功率,P1和P2分别表示两个功率源的相量。

这个公式的意思是,将两个功率源的相量相加,得到总功率的相量。

通过以上的公式,我们可以进行电路相量法的加减运算。

在实际应用中,我们可以根据具体的电路情况,将电压、电流和功率用相量的形式表示,然后根据公式进行相应的计算。

这样可以简化电路分析的过程,提高计算的效率。

需要注意的是,在进行电路相量法的加减运算时,我们需要将相量的大小和方向考虑在内。

相量的大小表示了电压、电流或功率的大小,而相量的方向表示了电压、电流或功率的方向。

在进行相量的加减运算时,我们需要同时考虑相量的大小和方向,确保计算结果的准确性。

电路相量法的加减运算公式可以简化复杂的电路计算,提高计算的效率。

通过将电压、电流和功率用相量的形式表示,并根据相量的加减运算公式进行计算,我们可以更方便地分析电路的特性和性能。

在实际应用中,我们可以根据具体的电路情况,灵活运用电路相量法,解决各种电路分析问题。

电路相量法

电路相量法

电路相量法相量法是分析讨论正弦电流电路稳定状态的一种简洁易行的方法。

它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。

1、问题的提出在上图所示的电路中,依据KVL,列写微分方程如下当激励u(t)是正弦量时,uC(t)及iL(t)均为同频率的正弦量。

这一重要结论具有普遍意义,即线性非时变电路在正弦电源激励下,各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量,当电路中存在有多个同频率的正弦激励时,该结论也成立。

工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态,简称正弦稳态。

电路处于正弦稳态时,同频率的各正弦量之间仅在有效值(或幅值)、初相上存在差异和联系,这种"差异和联系"正是正弦稳态分析求解中的关键问题。

结论:同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只需确定初相位和有效值。

因此采纳2、正弦量的相量表示:构造一个复函数,(无任何物理意义)取该复函数的实部,,为一个正弦量,有物理意义。

结论:任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。

如复函数F(t) 还可以写成,其中为复常数。

F(t) 包含了正弦量的三要素:幅值(此处为有效值)I、初相Y 、角频率w。

有如下关系同样可以建立正弦电压与相量的对应关系:正弦量除可用上述的相量式表示以外,还可在复平面上用相量图形式表示。

如图所示。

图相量图留意相量的模表示正弦量的有效值;相量的辐角表示正弦量的初相位。

例已知,试用相量表示i和u。

解:3、相量法的应用① 同频率正弦量的加减所以相量关系为:结论:同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。

同频率的正弦量相加减,还可以借助相量图进行计算。

令,,下面用相量图求解。

图(a)为平行四边形法则求解,图(b)为三角形法则求解。

(a) (b)图相量图进行相量的加法运算② 正弦量的微分、积分运算令微分运算:积分运算:所以;相量法的优点:① 把时域问题变为复数问题;② 把微积分方程的运算变为复数方程运算;③ 可以把直流电路的分析方法直接用于沟通电路。

电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法

电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法
3.KCL和KVL的相量形式 注意:第1点是相量图是否存在的主要依据,
第2 、3点是如何正确画出相量图的主要依据.
二.用相量图法求解电路
1.参考相量的选择 (1)对于串联电路,选电流为参考相量 (2)对于并联电路,选电压为参考相量 (3)对于混联电路,参考相量选择比较灵活, 可根
据已知条件综合考虑 (4)较复杂的混联电路,常选末端电压或电 流为参考相量.
(b)设: U U0V, 先画出参考相量 U ,依据
R、L、C各元件电压电流相位关系,依次画出
可I分R 别、I定L 性、I画C 出相如量图,4由-36IL(a)I
C,IL
、(b)
IC及IL IC 三种情况 、(c)所示相量
图,最后电路KCL方程 I IR IL IC
I IR IL
画出相量图如图4-35(b)所示.由直角三角形
OAB可得
IL
I2

I
2 R

52 32 4A
电流表读数为4A.
此题也可按比例用几何方法画出相量图,然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数.
例 4-14 定性画出RLC串联电路和RLC并联电路的 相量图,它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相,且UC U UR 由相量图
可求得 UC 。在电容元件上 I1 超前UC90,且 I2 I I1 ,
从而画出 I1 及 I2 。在 R2 上UR2与 I2 相同,
又 UX 2 UC UR2 ,可画出 UR2 和 UX 2 。
cos 2 I I 2 17.32 20
UX 2
U
2 C
U
2 R2

电路分析基础:正弦量的相量表示法

电路分析基础:正弦量的相量表示法

A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a

a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1, A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ125 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5

原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
Im
(t i )
正弦量
复数
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb

电路中相量分析法的基本依据

电路中相量分析法的基本依据

电路中相量分析法的基本依据摘要:相量分析法是正弦稳态电路的一种分析方法。

在此,阐述了相量分析法的意义及其基本依据的重要性。

根据线性时不变系统的性质,证明了相量法的基本依据。

关键词:相量分析法;LTI 系统 ;正弦信号中图分类号: TM131.4 文献标识码:A1. 相量分析法的基本依据及问题的提出在电路分析中,关于正弦稳态电路的分析方法,有时域分析法和相量分析法。

时域分析法需要作三角运算,求解微分方程,十分繁琐。

而相量分析法用相量(复数)表示正弦量,从而将正弦量之间的运算转化为相量(复数)的代数运算,大大简化了正弦稳态电路的分析。

因为相量只包含幅值和相位两个要素,无法反映频率的信息,如果稳态响应的频率有变化,则相量分析法就无法应用了。

所以,应用相量分析法的基本依据是:在电阻、电感和电容构成的线性时不变电路系统中,如果激励是单一频率的正弦电压或电流,那么稳态时该电路中所有支路的电流,或任意元件上的电压,均是具有相同频率的正弦电流或电压,不同的仅仅是它们的幅值和相位。

[1]在中职院校《电工学》和大学《电路分析基础》课程中,大量使用了相量分析法,对这一方法的基本依据却并没有给予详细阐述和证明。

本文利用线性时不变系统的性质,给出了相量法的基本依据(下称定理)的一种证明方法。

2. 证明过程电路分析中研究的电路系统,是由线性元件电阻、电感和电容组成,元件参数不随时间变化,是一个实际存在的线性时不变电路系统,它自然具有线性时不变系统( linear time-invariant system ,以下简称LT I 系统)的各种性质。

由信号与系统的理论,一个LTI 系统可由它的单位冲激响应h(t)完全表征,且系统对任意信号e(t)激励下产生的零状态响应为e(t)和h(t)的卷积,用e(t)*h(t)表示。

[3]下面,先给出LTI 系统的两个性质:性质1:一个实际物理存在的LTI 系统,如果输入信号是一个复激励信号(即激励信号同时具有实部和虚部),则激励信号的实部产生响应信号的实部,激励信号的虚部产生响应信号的虚部。

用相量法分析RLC串联电路及多阻抗串联电路

用相量法分析RLC串联电路及多阻抗串联电路

用相量法分析RLC串联电路及多阻抗串联电路前面几节讨论了单一元件的电路,如电阻、电感、电容元件在正弦电路中的电压与电流的关系及功率问题。

实际电路当然不会如此简单,日常生活中的正弦交流电路都是由这三个元件组合起来的。

本节将先讨论具有代表性的典型串联电路模型,即电阻R、电感L和电容C相串联的正弦电路。

一、电压与电流的关系如图4-35(a)所示为RLC串联电路,选定有关各量的参考方向并标于图4-35(a)上,RLC串联电路的相量模型如图4-35(b)所示。

由于是串联电路,电路中流过各元件的是同一个电流i,所以取i为参考正弦量,对应的相量为参考相量,即电阻、电感、电容元件上的电压分别为由KVL得图4-35 RLC串联电路及相量模型式(4.40)为RLC串联电路欧姆定律的相量形式,也就是伏安特性的相量形式,它既表示了电路中总电压和电流的有效值的关系,又表示了总电压和电流的相位关系。

式(4.40)中,X=XL -XC称为电路的电抗(reactance),其值可为正也可为负。

而称为电路的复阻抗(complex impedance),表征电路中所有元件对电流的阻碍作用。

Z是一个复数,实部是R,虚部是电抗X,单位为欧姆。

但Z不是相量,因此只用大写字母Z表示而不加黑点。

从式(4.41)可以看出其中,为复阻抗的模,称为电路的阻抗,它表示了电路中总电压和电流的有效值的关系;φ为复阻抗的辐角,称为阻抗角,它表示了总电压超前于电流的角度。

由于电抗X=XL -XC,故X值的正负体现了电路中电感与电容所起作的用角的度大。

小,它决定阻抗角φ的正负,关系到电路的性质。

RLC串联电路有以下三种不同的性质:①当电路中电感的作用大于电容的作用,即时,XL >XC,此时X >0,UL >UC。

阻抗角φ>0。

以为参考相量,作出相量图如图4-36(a)所示(图中,为电抗电压相量,其大小为UX =UL-UC)。

从相量图中可以看出,总电压超前于电流的角度为φ,电路呈感性。

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若 0,则称 u 超前 i ( 或称 i 滞后 u )。 若 0,则称 u 滞后 i ( 或称 i 超前 u )。
若 0,则称 u 和 i 同相。 若 | | ,则称 u 和 i 反相。 若 | | / 2 ,则称 u 和 i 正交。
同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定,在同一个周期 内两个波形的极大值(或极小值)之间的角度值(≤1800),即为两 者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的选取、 变动无关。 u 2U cos( t u )
可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
4)相等运算 在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数 相等必须满足两个条件:复数的实部、虚部分别对应相 等;或者复数的模和辐角分别对应相等。即若
F1 F2
则必须有 Re[F1 ] Re[F2 ] ,Im[F1 ] Im[F2 ]
1 I T
T

0
1 I cos ( t i )dt T
2 m 2

T
0
2 Im
1 cos[2( t i )] dt 2
1 T

T
0
2 Im I 1 2 dt I m m 0.707I m 2 2 2
I I m / 2 0.707I m
上式表明,正弦量的最大值与其有效值之间有 2 倍的 关系,且正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关。正弦 量 i 常写成如下形式:
i
( i 0)
( i 0)
4.正弦量的重要性质 正弦量乘以常数,正弦量的微分、积分,同频率正弦量 的代数和等运算,其结果仍为一个同频率的正弦量。例如
di d [ I m cos( t i )] I m sin( t i ) I m cos( t i 90o ) dt dt
5.正弦量的有效值 工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应 换算为在效应上与之相等的直流量,以衡量和比较周期电流或 电压的效应,这一直流量就称为周期量的有效值,用相对应的 大写字母表示。其定义如下: 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分 的平均值再取平方根。 对周期电流有 1 T 2 I i dt 0 T 当电流 i 有为正弦量时,有
b)指数形式
F1 | F1 | e j 1 | F1 | j ( 1 2 ) e j 2 F2 | F2 | e | F2 |

F1 | F1 | F2 | F2 |
F arg( 1 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2 F2
c)极坐标形式
F1 | F1 | 1 | F1 | ( 1 2 ) F2 | F2 | 2 | F2 |
正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。 3.正弦波 正弦量随时间变化的图形称为正弦波。
Im
i I m cos( t)
Im
i I m cos( t i )
2
O Im
i I m cos( t i )
2
O

2
t

2
t
O

i
2
t
( i 0)
i i1 i2 Re[ 2 I1e j i 1 e j t ] Re[ 2 I 2e j i 2 e j t ] e j t ] Re[ 2I e j t ] Re[ 2I
或必须有
| F1 || F2 | ,arg(F1 ) arg(F2 )
3.旋转因子 复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小,辐角表示 为逆时针旋转或顺时针旋转。复数e jθ =1∠θ 是一个模等 于1,辐角为θ 的复数。任意复数F1=∣F1∣e jθ 1乘以e jθ 等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ,而F1的模值不变, 所以ejθ 称为旋转因子。 根据欧拉公式可得e jπ /2=j,e -jπ /2=-j,e jπ =-1。因此 “±j ”和“-1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j, 等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以 j ,等于把该复数乘以-j ,则等于在复平面上把该复数顺 时针旋转π /2。
I
与正弦量相对应的复指数函数在复 平面上可以用旋转相量表示出来。其中 复常数 2 I i 称为旋转相量的复振幅, e jωt 是一个随时间变化而以角速度ω 不 o 断逆时针旋转的因子。复振幅乘以旋转 因子e jωt 即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转,故称之为旋转相量。这就 是复指数函数的几何意义。
若已知正弦量的相量,须再知道其角频率才可写出与之对应 的函数表达式。 100 60o U
100 rad/s
u 100 2 cos( 100 t 60o )
相量是个复数,它在复平面上的图形称为相量图。
2.旋转相量
i Re[ 2Ie e
j i
j t
]
+j
I
b | F | sin

a | F | cos
3)指数形式
e j cos j sin ( 欧拉公式) F | F | e j
F | F |
4)极坐标形式
+j b
F
|F |
o
θ
a
+1
2.复数的运算
1)加减运算 复数的加减运算采用代数形式较为简便,或在复平面 中使用平行四边形法则。
iห้องสมุดไป่ตู้ 2I cos( t i )
则式中的3个常数I、ω、ψi 也称为正弦量的三要素。工程 中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值, 交流电流表、电压表表面上标出的数字都是有效值。 6.两个同频率正弦量之间的相位差 设两个同频率正弦量 u 和 i 分别为:
u 2U cos( t u )
i 2I cos( t i )
两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果, 在主值范围内取值。设φ表示电压 u 和电流 i 之间的相位差。 则
( t u ) ( t i ) u i
上式表明,同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差, 为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后” 来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。
当 cos( t i ) 1 时,正弦量有最小值imin=-Im。
imax-imin=2Im 称为正弦量的峰-峰值。
2)角频率ω 随时间变化的角度(ωt +ψi)为正弦量的相位(或相角)。ω 为正弦量的角频率,是正弦量的相位随时间变化的角速度,即

d ( t i ) dt
Ie j i I I i I e j i I I
m m m
正弦量的有效值相量
i
正弦量的振幅相量、最大值相量
注意: 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系, 不是相等的关系。 若已知正弦量的时域表达式,可直接写出与之对应的相量。
220 35o i 220 2 cos( t 35o ) I
设 F1 a1 jb1 , F2 a2 jb2 ,则 F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则:
+j F1 +F2 +j F1 F1-F2 F2 o +1 F2 o +1
F1
2)乘法运算
i 2I cos( t i )
u, i
试分析图中各量 的相位关系。
O
u
i
t

u 超前 i
u, i
u 和 i 同相
O
u
i
t
§8-3 相量法的基础
在线性电路中,如果激励是正弦量,则电路中各支路的电 压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量。如果电路有多个激 励且都是同一频率的正弦量,则根据线性电路的叠加性质可知, 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状 态的电路称为正弦稳态电路,又称正弦电流电路。 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。 1.相量的概念
实部 虚部
Re [F ] a
Im[F ] b
+j b o
F
|F |
复数可用复平面上的向量表示:
θ
a
+1
2)三角形式
F | F | (cos j sin )
F a jb
| F | 为复数的模, 为复数的幅角, argF 。则
F a 2 b2
arctan(b/a)
a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
b)指数形式
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j 2 | F1 || F2 | e j (1 2 )
| F1F2 || F1 || F2 | arg(F1F2 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2
角频率的单位为 rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之间 的关系为: T 2 , 2f ,f 1 / T 频率 f 的单位为1/s,称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率 为50Hz。 3)初相(位)ψi 正弦量在 t = 0 时刻的相位,称为正弦量的初相位,简称 初相。即 ( t i ) t 0 i 初相的单位用弧度或度表示,通常取| ψi |≤1800。它与计时 零点有关。对任一正弦量,初相是允许任意指定的,但对于一 个电路中的许多相关的正弦量,它们只能相对于一个共同的计 时零点确定各自的相位。
第8章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 复数
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