广义积分的收敛性
广义积分收敛的必要条件
x x→+∞
x→+∞
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论，双方各有千秋. 另外在课堂上与老师交流是否顺利 这一问题中 ，A 有 19“选择”十分顺利，不仅听懂了，而 且还向老师提出了自己的看法和问题； 而 B 只有 5％. 从其他选项中也反映出：A 倾向于老师在课堂上交流， 而 生 生 间 的 课 外 交 流 障 碍 较 大 ；B 则 倾 向 于 课 外 ， 师 生、生生间的交流，相互交流的障碍较小. 这充分说明 在引导数学交流问题上，老师起着主导作用，教师的教 学理念、教学方式决定了学生是否喜欢交流、喜欢怎样 的交流、会不会交流.
ZHUAN TI YAN J IU
专题研究
1≠ 0，由定理 1 知该广义积分发散． 解法二 lim f（x）存在，则被积函数在 定 义 域 上 一
x→+∞
致 连 续 ，但 lim f（x） =1≠ 0，由 定 理 2 也 可 以 得 出 该 广 x→+∞
义积分发散．
【参考文献】 ［1］ 华 东 师 范 大 学 数 学 系． 数 学 分 析 （下 ）［M］． 北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2001. ［2］ 关冬月． 关于无穷级数和无穷积分收敛的必要条件［J］． 内 蒙 古 师 范 大 学 学 报 ，2004（5）：73－75. ［3］ 木壮志，赵星君． 广义积分收敛的一个充要条件 ［J］． 哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报 ，1999（4）：46－49. ［4］ Proof of the Function Series Convergence Uniform Theorem and Necessary and Sufficient Condition in General Integral Convergent［J］． Journal of Jiaying University，2003（2）：23－26. ［5］ On the Necessary Conditions for Convergence of General-
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值。
对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 - 积分收敛,否则其结果毫无意义。
因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9。
1(Cauchy 收敛原理）f （x ）在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε， 存在A>0, 使得b ， b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点）, 我们有定理9。
2(瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在［a ，b )上有定义，在其任何闭子区间[a ,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是： 0>∀ε， 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f （x )在[a ，+)∞上绝对可积］; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f （x ）在［a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
2019/4/26
宁波大学教师教育学院
3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
论广义积分的收敛性
论广义积分的收敛性摘要广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。
大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。
本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。
1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于⎰+∞adxx f )(和⎰+∞bdxx f )(,如果b>a,则⎰+∞bdxx f )(称为⎰+∞adxx f )(的余部。
因为改变下限积分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即∀b>a,k ≠0,都有⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx f )(收敛，⎰+∞adxx f )(收敛⇔⎰+∞bdxx kf )(收敛.另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞−∞，设函数f(x)在区间(−∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义⎰+∞∞-)(dx x f = f x dx x 0−∞+ f x dx +∞x 0，如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义⎰I dx x f )(=⎰I dx x f 1)(+⎰I dx x f 2)(+···+⎰I dx x f n)(如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).3.对于广义积分 f x dx +∞a，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有界可积，并且有原函数F (x ),那么f x dx =lim x→+∞f x dx =xa +∞alim x→+∞F x −F (a ).不论这个极限如何，都把这个公式写为f x dx =F x +∞a|a +∞.如果极限lim x→+∞F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞a 这一种形式即可. f x dx+∞a收敛⇔∀ε>0，∃X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x2x 1|<ε⇔lim t→+∞ρ t =0，ρ t ≝qp t sup≤≤⎰qp)(dxx f5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞a+∞a都收敛，那么积分 g x dx +∞a也收敛.另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么广义积分 f x dx +∞a收敛⇔变上限积分 f x dx ta (t ≥a )有界(2)控制收敛判定法在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得0≤f x ≤g(x)，∀x ≥x 0.如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限limx→+∞f (x )g (x )=l (存在或为+∞).(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)当l =0时，由 g x dx +∞a收敛，推出 f x dx +∞a收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞a发散，推出 f x dx +∞a发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞a都收敛.Abel条件 (1) f(x)单调有界. (2) g(x)广义积分收敛.f(x)=0. (2) g(x)的变上限积分有界.Dirichlet条件 (1)f(x)单调，limx→+∞总结以上列举的众多判定广以积分收敛性的方法，有助于我们更好地掌握广义积分的性质，提高运算效率。
广义积分的收敛辨别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发
现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但
因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者
常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分
而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无
0 f (x) k(x), （k 为正常数）
则当
当
a
a
f
(
x)dx
(x)dx 发散时,
收敛时,
a
证明：由 Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
a
(
f
(x)dx 也收敛;
x)dx
也发散．
定理 9.5 设 f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点，
(x)dx 必收敛．
a
f
a
Hale Waihona Puke f(x)dx 条件收敛，也称
(x)dx 绝对收敛，则广义积分
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及
性质．
法．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别
比较判别法：
定理 9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+ )上恒有
如存在一个正常数 k, 使
0 f (x) kg(x), x [a, b), 则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法
定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
(5)广义积分敛散性的判别法,
故由推论1知，题设广义积分发散 .
例5 判别广义积分
arctan x
dx
1
x
的敛散性.
解 因为 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故根据推论2知，题设广义积分发散 .
例6 判别广义积分
eax sin bxdx
0
的收敛性，其中 a,b 都是常数，且 a 0.
广义积分敛散性的判别法
判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问 题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函 数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来 判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其 它方法来判断广义积分的收敛性.
（一）。无穷限广义积分的审敛法
无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审 敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以 便与无穷限广义积分的审敛法作比较
这里 p 2 1,
故由推论2知，题设广义积分收敛.
例3 判别广义积分
x 3/ 2 1 1 x2 dx
的敛散性. 解 因为
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim
x
x2 1
x x2
,
故根据推论2知，题设广义积分发散.
例4 判别广义积分
1 ex dx
1x
的敛散性. 解 因为当 x 1 时，1 ex 1 ,
f (x) 0 1.如果存在常数M>0,及p>1,使得：
f
(x)
M xp
,
(a
x
)
则 f (x)dx a
收敛；
2）如果存在常数N>0,使得
则
f (x)dx
发散；
广义积分的敛散性判断
广义积分的敛散性判断反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分收敛辨别法则包括无穷积分收敛性的辨别、乘积函数积分收敛的辨别法、无界函数积分的收敛性。
通俗的讲，积分是指函数图形与坐标轴围成的面积。
例如f(x)从a到b 的积分就等于曲线f(x)，直线x=a，x=b和x轴围成的图形的面积。
当然,这块面积在x轴上方的部分取为正,下方取为负，然而有时候这个面积会少一条边，比如,积分上下限a或者b二者有一个是无穷大或者两个都为无穷大。
例如f(x)从a到正无穷大的积分，它表示f(x)，直线x=a，x轴围成的面积。
当然,因为缺少一条边，这块面积不是封闭的，它是向x轴正方向无穷延生的，虽然积分上下限为确定值，但是函数图形本身无法和直线x=a、x=b、x轴围成封闭的面积。
例如f(x)=1/x从0到1的积分,表示y=1/x、x=0、x=1、x轴围成的面积。
因为f(x)=1/x在0出的值为无穷大，所以这块面积也不是封闭的,它是向y轴延生的，像这种积分表示的面积无限延生的情况，称之为广义积分。
因为面积无限延生，因此有可能面积的值为无穷大，例如y=x从0到正无穷的积分表示y=x、x=0和x轴围成的面积，任何一个人都应该知道这个面积应该为无穷大，像这种积分表示的面积为无穷大的情况，称之为广义积分发散。
反之如果这个面积为一个有限数值，则称之为广义积分收敛。
广义积分的敛散性判断内容广义积分敛散性的分析包括判定绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。
广义积分的敛散性判断方法分析广义积分的敛散性，首先基于简化的思想，具体做法有主部分离。
然后，可以依次判定：绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性与发散性，就此可以确定对应于相关收敛性的参数范围。
论广义积分的收敛性
学校代码： 10722 分类号：O172.2 学号： 1106212120 类别：公开本科毕业论文（设计）题目论广义积分的收敛性（中、英文）The Convergence of Improper integral作者姓名付美专业名称数学与应用数学学科门类理学指导教师杨衍婷提交论文时间二〇一三年五月成绩等级评定摘要广义积分主要包括：无穷限的广义积分、无界函数的广义积分以及含参变量的广义积分. 无界函数的广义积分又可称为瑕积分. 广义积分是定积分突破条件限制的一个推广. 定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在积分区间上有界，但这些限制条件不能解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分. 广义积分又称为非正常积分或反常积分. 大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件.本文就针对敛散性论述广义积分. 首先简述无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义及性质；其次探讨两类广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉积分.关键词：广义积分；收敛；发散；一致收敛性AbstractImproper integral mainly includes improper integral of infinite range, improper integral of unbounded function and improper integral of parameter. Improper integral of unbounded function can be called defect integral. Improper integral is a generalization of breaking out the constraints for definite integral. The mainly characteristics of the definite integral is that the integral region is bounded and integrand is bounded in the region, but some of these restrictions can’t solve the problem actually. So breaking through bondages of two limits can get the improper integral. Improper integral is also known as abnormal integral or improper integral. Most of improper integral cannot be calculated directly. Although some of them can able to compute its value, the calculation process is very troublesome. So judging the convergence of the improper integral becomes a decisive condition to evaluating improper integral. This article mainly discussion the convergence of the improper integral. At the first, the definition and properties of improper integral of infinite range and improper integral of unbounded function is discussed. Secondly, the divergence and convergence of the two improper integrals are studied. At the same time, several discriminant methods and techniques are given, with taking some examples for validation. The last, the uniform convergence of improper integral of parameter and Euler integral can be discussed.Key words: Improper integral; Convergence; Divergence; Uniform convergence目录摘要 (I)Abstract (II)1引言 (1)2无穷限广义积分 (1)2.1无穷限广义积分的定义 (1)2.2无穷限广义积分的性质 (2)2.3无穷限广义积分敛散性的判别 (3)2.3.1无穷限广义积分的定义判别法 (3)2.3.2无穷限广义积分的比较判别法 (4)2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式 (4)2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法 (5)2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则 (6)2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (7)2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法 (7)2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法 (8)3瑕积分 (8)3.1瑕积分的定义 (8)3.2瑕积分的性质 (9)3.3瑕积分的敛散性判别法 (9)3.3.1瑕积分的定义判别法 (10)3.3.2瑕积分的比较判别法 (10)3.3.3瑕积分的柯西收敛准则 (11)3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法 (12)3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法 (12)3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法 (12)4含参变量的广义积分 (13)4.1含参变量广义积分的定义 (13)4.2含参变量广义积分的一致收敛性 (13)4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法 (13)4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法 (13)4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法 (14)4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法 (14)5欧拉积分 (16)5.1第一类欧拉积分（Beta函数） (16)5.2第二类欧拉积分（Gamma函数） (16)总结 (17)参考文献 (18)谢辞 (19)咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）1引言无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无界函数积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分. 单从定积分⎰abdx x f )(可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的. 积分dx ⎰∞0x sinx ，⎰∞∞--dx e x 2就不满足这两个限制条件，约束限制了定积分的应用，因此就要摆脱定积分在这两方面的限制，将定积分的概念加以推广，把积分区间有界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题，为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了促进作用.广义积分在实际解决问题中有重要的作用，从而对广义积分敛散性的探讨就十分有必要了. 关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.2无穷限广义积分2.1无穷限广义积分的定义前面学过了函数)(x f 在有界区间[]b a ,上的定积分⎰ba dx x f )(（黎曼函数）, 其积分区间有限,被积函数在积分区间上有界，但在实际问题的解决中把有界这一限制予以解放，推广到无穷限的积分区间和被积函数无界的积分，是目前我们还模糊的，这些统称为广义积分，广义积分又称为非正常积分（或反常积分）. 广义积分可分为无穷积分与瑕积分.定义1 设函数)(x f 在区间[)+∞,a 内，及对a x ≥有定义，且在任何有限区间[]u a ,内可积，若积分⎰ua dx x f )(在a u >下有意义，当积分在∞→u 时的无穷极限论广义积分的收敛性函数)(x f 在区间[),a +∞无穷积分，记作dx x f dx x f a u )(lim )(⎰∞∞→=. 若lim ()uu a f x dx →∞⎰A =则称无穷积分⎰∞a dx x f )(收敛，且值为A .若⎰∞→u au dx x f )(lim 不存在，则无穷积分⎰∞adx x f )(发散.类似可定义)(x f 在区间(]b ,∞-上的无穷积分，⎰⎰∞--∞→=b a b a dx x f dx x f )(lim )(，若⎰-∞→ba a dx x f )(lim 的极限存在，则积分⎰∞-b dx x f )(收敛，否则发散. 当()+∞<<<∞-b a 时，)(x f 在区间[]b a ,上都可积，则⎰∞∞-dx x f )(称为函数)(x f 在()∞∞-,上的无穷积分，且有⎰⎰⎰∞∞-∞-∞+=a a dx x f dx x f dx x f )()()(（积分区间具有可加性），当积分⎰⎰∞∞-aa dx x f dx x f )(,)(都收敛时，可判定无穷积分⎰∞∞-dx x f )(收敛，否则发散. 2.2无穷限广义积分的性质无穷限广义积分⎰∞a dx x f )(是否收敛取决于积分dx x f ua⎰)(在∞→u 时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出无穷积分的性质.性质 1 如果积分⎰∞a dx x f )(在[]b a ,收敛，则积分()a u dx x f a >⎰∞)(也收敛，且有dx x f dx x f dx x f uu a a ⎰⎰⎰∞∞+=)()()(.性质2 如果积分dx x f dx x f aa )(,)(21⎰⎰∞∞均收敛，对C k k ∈∀21,，可推知积分dx x f kdx x f k a a )()(2211⎰⎰∞∞+的和也是收敛的，则由定积分的可加性可以得出：咸阳师范学院2013届本科毕业论文（设计）dx x f k dx x f k dx x f kdx x f k aa a a )()()()(22112211⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞+=+. 性质3 如果积分()()dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞,均收敛，则积分[]dx x g x f a⎰∞±)()(也收敛，且有[]dx x g dx x f dx x g x f a a a ⎰⎰⎰∞∞∞±=±)()()()(.性质4 如果)(x f 在区间[]b a ,上可积，且积dx x f a ⎰∞)(分收敛，则积分dxx f a⎰∞)(必收敛，则成立不等式dx x f dx x f a a ⎰⎰∞∞≤)()(.2.3无穷限广义积分敛散性的判别2.3.1无穷限广义积分的定义判别法可通过无穷限广义积分的定义及极限的方法判别无穷积分的敛散性，适用于无穷积分所对应的定积分且原函数较容易求出的类型.例1 证明无穷积分dx x ⎰∞∞-+211收敛. 证明 因为dx x dx x dx x ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+++=+02022111111（积分的可加性），设()0,∞-∈a 则有a x dx x dx x a a arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞-,则2arctan lim 11lim 02π==+-∞→-∞→⎰a dx x a a a 设()∞∈,0b , 从而可得b x dx x dx x b b arctan arctan 111100202==+=+⎰⎰∞, 故201lim 1bb dx x →∞+⎰ limarctan 2b b π→∞==可知积分dx x dx x ⎰⎰∞∞-++020211,11均收敛于2π，所以得211dx x ∞-∞=+⎰ 0220111122dx dx x x πππ∞-∞+=+=++⎰⎰，即积分dx x ⎰∞∞-+211收敛于π. 例2 讨论无穷积分dx x a p⎰∞1收敛性. 解 设1≠p ,对于R b ∈∀且1>b ，则有b a p b b ap b a p x p x dx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-∞→∞→∞⎰⎰111lim 1lim 1论广义积分的收敛性()1,1,111lim 111>⎪⎩⎪⎨⎧<∞-=--=---∞→p p p a a b p p pp b ，当1=p 时则可有===⎰⎰⎰∞→∞∞b a b a a p x dx x dx x dx lim ()()∞=-=∞→∞→a b x b b a b ln ln lim ln lim ，综上可知，当1>p 时，积分⎰∞ap x dx 收敛于11--p a p ， 当1≤p 时，积分⎰∞a p xdx 发散. 由例题可看出定义法判别积分的敛散性非常的简洁方便.2.3.2无穷限广义积分的比较判别法定理1 如果当)(a A A x ≥≥时成立不等式)()(x g x f ≤，且)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，则由积分dx x g a ⎰∞)(收敛性可推知积分dx x f a⎰∞)(的收敛性，即由积分的发散性dx x f a ⎰∞)(可推知积分dx x f a⎰∞)(的发散性.定理2 如果存在极限()∞≤≤=∞→A A x g x f x 0)()(lim 则在∞<A 时由积分dx x g a⎰∞)(的收敛性可推知积分dx x f a ⎰∞)(的收敛性，而0>A 时积分dx x f a⎰∞)(的发散性可推知积分dx x g a⎰∞)(的发散性 (在∞<<A 0时两积分同时收敛或发散) .2.3.3无穷限广义积分的比较判别法的极限形式积分dx x f a ⎰∞)(收敛的充分必要条件是积分dx x f ua⎰)(在u 增大时保持有上界，有L dx x f u a ≤⎰)(（L 为常数），若条件不满足，则积分dx x f a ⎰∞)(有值∞.定理3 如果)(),(x g x f 在区间[]b a ,上可积，0)(>x g ，且c x g x f x =∞→)()(lim ，则 ()i ∞<<c 0时，积分dx x g dx x f a a ⎰⎰∞∞)(,)(同敛态；()ii 0=c 时，积分dx x g a ⎰∞)(收敛可知dx x f a⎰∞)(收敛；()iii ∞=c 时，由dx x g a⎰∞)(发散可知dx x f a⎰∞)(也发散.定理4 对于非负)(x f 的，如果λ=∞→)(lim x f x px 存在，且1>p ，则积分dxx f a⎰∞)(收敛；若0)(lim >=∞→μx f x p x 或∞=∞→)(lim x f x px ，且1≤p ，则积分dx x f a⎰∞)(发散.例3 判别积分dx e x ⎰∞-12的收敛性.解 当1≥x 时，由积分dx x x⎰∞-1收敛知积分dx e x ⎰∞-12也收敛.例4 判别积分dx x x x⎰∞+11cos 的收敛性. 解 因为()∞<≤+≤+x x x x x x 1111cos ，并且极限11lim 11lim 23=+=+∞→∞→x xx x x x x ，在这里123>=p ，从而积分dx x x ⎰∞+111收敛，故积分dx x x x ⎰∞+11cos 收敛.运用比较判别法不需求出积分所对应的定积分的函数形式，只需通过适当的放缩把所求的问题转移到一些简单的积分上或已知其收敛性的积分上，从而，放缩就成为计算的关键.2.3.4无穷限广义积分的柯西判别法定理5 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,可积，则)(i 当,1)(px x f ≤[)∞∈≤,,1)(a x x x f p ，且1>p 1>p 时积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当p x dx x f 1)(≥，[)∞∈,a x ，且1≤p 时积分dx x f a⎰∞)(发散.定理6 设)(x f 在区间[)∞,a 上有定义，在区间[]b a ,上可积，且lim ()p x x f x →∞λ=, 则)(i 当1p >, 0λ<<∞时，积分dx x f a⎰∞)(收敛；)(ii 当1p ≤, 0λ<≤∞时，积分dx x f a⎰∞)(发散.例5 判别积分dx e x x-∞⎰12和积分dx x x ⎰∞+0521的收敛性.解 对R ∈∀α有0lim lim 22==⋅⋅+∞→-∞→x x xx ex ex x αα，由柯西判别法定理6()1,2==λp 知积分dx e x x-∞⎰12收敛. 因为111lim1lim 55221=+=+⋅∞→∞→x x x x x x , 根据柯西判别法定理6)1,21(==λp 知, 积分dx x x ⎰∞+0521发散.2.3.5无穷限广义积分的柯西收敛准则定理7 无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是：对于0>∀δ，有a M >，当M m m >>'''时，δ<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f m m m am a'''''')()()((柯西收敛准则是研究数列函数敛散性的重要方法，同时也是研究无穷积分敛散性的重要方法) . 例6 设)('),(x g x f 在a x ≥上连续，,0)(lim ,0)('0=≤→x g x g x 则M dx x f ba≤⎰)(（其中0,>∈M C M ）讨论积分dx x g x f a)()(⎰∞的敛散性.解 设对a >>∀'''δδ有⎰⎰≤≤=ηδδδδηδδ''''''',)()'()()(dx x f g dx x g x f ，则=⎰ηδ')(dx x f ⎰⎰⎰⎰+≤-'')()()()(δηηδaaaadx x f dx x f dx x f dx x f 又M dx x f ba ≤⎰)(则Mdx x f 2)('≤⎰ηδ故)'(2)()('''δδδMg dx x g x f ≤⎰，因为0)(lim 0=→x g x ，则对0>∀ε有a u >，当u ≥δ时，Mg 2)(0εδ<≤，且当u >>'''δδ时，εεδδ=≤⎰MMdx x g x f 22)()('''由柯西收敛准则知dx x g x f a)()(⎰∞收敛.2.3.6无穷限广义积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理8 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则无穷积分dx x f a⎰∞)(也收敛.定义2 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，则称无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛.定义3 如果无穷积分dx x f a⎰∞)(收敛，但不绝对收敛，称积分dx x f a⎰∞)(条件收敛.定理9 积分dx x f a⎰δ)(关δ于单调递增，则积分dx x f a⎰∞)(收敛的充要条件是dx x f a⎰δ)(存在上界.由定理可知，无穷积分dx x f a⎰∞)(绝对收敛，则积分dx x f a⎰∞)(必收敛，但收敛的无穷积分不一定绝对收敛.例7 证明积分)0,,(sin 0>∈⎰∞-αβαβαC xdx e x 绝对收敛.证 因为x x e x e ααβ-≤sin ，所以a e a dx e xx 11=-=∞-∞-⎰αα, 故知积分dx x e x ⎰∞-0sin βα收敛，再由定理8知积分xdx e x βαsin 0⎰∞-绝对收敛.2.3.7无穷限广义积分的狄利克雷判别法定理10 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ；（2）0,>∈M C M ，使a b ≥∀有M dx x f ba≤⎰)(则无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.例8 证明积分dx x xa⎰∞sin 收敛. 证明 当0=x 时有1sin =xx，则x x s i n 在[)∞,0上连续，对0>∀ε，x x sin 在[]ε,0上可积. 又函数x x f 1)(=的导数21)('xx f -=在[)∞,1上是连续的，且01lim =∞→x x 则对0>∀ε有2cos 1cos sin 1≤-=⎰εεxdx ，根据狄利克雷判别法知积分dx x x⎰∞sin 收敛. 2.3.8无穷限广义积分的阿贝尔判别法定理11 设函数)('),(x g x f 在a x ≥上连续，若（1）dx x f a⎰∞)(收敛，（2）)(x g 非负且0)('≤x g ，（3）a x ≥∀有M x g ≤)(（其中0,>∈M C M ）则可知无穷积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别两个函数相乘的无穷积分的敛散性，也是判别无穷积分是否是条件收敛的方法之一.3瑕积分3.1瑕积分的定义定义4 设)(x f 在区间(]b a ,上有定义，点a 的任意右邻域内无界，但在任何区间[](]b a b ,,⊂δ上有界可积，若极限M dx x f ba=⎰+→δδ)(lim 存在，称极限为无界函数)(x f 在区间(]b a ,上的广义积分，记作M dx x f ba=⎰)(，且无界广义积分dx x f ba⎰)(收敛于M ，若极限不存在，则无界广义积分dx x f ba⎰)(发散. 被积函数)(x f 在点a 附近是无界的，故点a 成为)(x f 的瑕点，从而无界广义积分dx x f ba⎰)(又称瑕积分.类似的可定义瑕点为b 时的瑕积分，函数)(x f 在区间[)b a ,上有定义，在b 的任意左邻域内无界，但在[)[)b a a ,,⊂∀δ上可积则有dx x f dx x f abba ⎰⎰-→=δδ)(lim )(，极限dx x f ab )(lim ⎰-→δδ存在时积分dx x f ba⎰)(收敛，极限不存在积分发散. 当函数)(x f 的瑕点()b a c ,∈，)(x f 在[)(]b c c a ,, 上有定义，在点c 的任意邻域内无界，但在[]δ,a ∀[)[](]b c b c a ,,,,⊂⊂γ上都是可积的，则有瑕积分=+=⎰⎰⎰b ac abcdx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+-→→+bacc dx x f dx x f γδγδ)(lim )(lim ，当右边两个瑕积分同时收敛时，才可判定左边的瑕积分收敛. 若b a ,都是)(x f 的瑕点，且)(x f 在[]()b a ,,⊂γδ上可积，则⎰=badx x f )(dx x f dx x f dx x f dx x f ba bcc a)(lim )(lim )()(-+→→+=+=⎰⎰γδ，当右边的两个瑕积分同时收敛时左边的瑕积分收敛. 3.2瑕积分的性质瑕积分的理论与无穷积分的理论是平行的，从而得出瑕积分的性质：性质1 设函数)(),(21x f x f 的瑕点同为a x =，C k k ∈∀21,，当瑕积分1(),baf x dx ⎰2()baf x dx ⎰都收敛时，瑕积分dx x f kdx x f k baba)()(2211⎰⎰+必收敛，从而有11()bak f x dx +⎰221122()()()b bbaaakf x dx k f x dx k f x dx =+⎰⎰⎰.性质2 设函数)(x f 的瑕点为a x =，()b a c a x ,,∈=为任一常数，则瑕积分dx x f dx x f caba⎰⎰)(,)(同敛态，有⎰⎰⎰+=b a c a bcdx x f dx x f dx x f )()()(.性质3 设)(x f 的瑕点为a x =，在(]b a ,的∀[]b ,δ上可积，当dx x f ba⎰)(收敛，积分⎰b adx x f )(收敛，则dx x f dx x f bab a⎰⎰≤)()(.3.3瑕积分的敛散性判别法因为瑕积分的敛散性与无穷积分的敛散性是平行的，则类比无穷积分的敛散性来讨论瑕积分的敛散性.3.3.1瑕积分的定义判别法用定义法可判别较简单的瑕积分，适用于瑕积分对应的定积分易于解出原函数的类型，简单快捷.例9 判断瑕积分()⎰-ba a x dxα的敛散性. 解 由题可知被积函数的瑕点为a x =，则由瑕积分的定义可得到()=-⎰ba a x dxα()()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--≠----=--=----→⎰1,log 1,111lim 111αδαδααααδαδαδaa b a a b a x a x dxbba ， 则当1<α时，()()()ααδαααδ--=-------→11lim 111a b a a b a综上可知，当1<α时积分()⎰-ba a x dxα收敛，当1≥α时，极限不存在，故积分发()⎰-baa x dxα散. 3.3.2瑕积分的比较判别法定理12 设函数)(),(x g x f 在区间(]b a ,上有定义，瑕点同为a x =，在[]b ,δ(]b a ,⊂可积，且[]b a x dx x g dx x f ,,)()(∈≤，当dx x g ba⎰)(收敛，dx x f ba⎰)(必定收敛.dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba⎰)(必定发散.从而由定理可得出：推论1 如果0)(>x g ，c x g x f ax =+→)()(lim ，则（1）∞<<c 0∞<<c 0，dxx f ba⎰)(与dx x g ba⎰)(同敛态. （2）0=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(收敛. （3）∞=c ，由dx x g ba⎰)(可知dx x f ba⎰)(发散.推论2 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，则（1）()p a x x f -≤1)(，10<<p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）()p a x x f -≥1)(，1≥p 时知dx x f ba⎰)(发散.推论3 设函数)(x f 在(]b a ,上有定义，瑕点为a x =，在[](]b a b ,,⊂δ上可积，若μ=-+→)()(lim x f a x pax ，则可得（1）∞<≤<<μ0,10p 时知dx x f ba⎰)(收敛. （2）∞≤<≥μ0,1p 时知dx x f ba⎰)(发散.例10 证明瑕积分dx x x⎰10ln 收敛，dx x x ⎰21ln 发散. 证明 瑕积分dx x x ⎰1ln 的瑕点为0=x ，由推论3知当143<=p 时，x x x x ln lim 430⋅=→λ 0)4(lim ln lim41041==-=→-→x xx x x ，从而知瑕积分dx x x⎰10ln 收敛. 又瑕积分dx x x ⎰21ln 的瑕点为1=x ，当1=p 时，1ln 1lim ln )1(lim 11=-=⋅-=→→x x x x x x x λ，从而瑕积分dx x x ⎰21ln 发散. 运用比较法讨论瑕积分的敛散性时，要进行适当的放缩，而熟悉公式后问题就变得相对简单了. 3.3.3瑕积分的柯西收敛准则定理13 瑕积分dx x f ba⎰)(瑕点a x =收敛的充要条件是：0,0>∃>∀δε，当()b a a a <<+∈δδμμ,,2,1时，有ε<=-⎰⎰⎰2112)()()(u u b u b u dx x f dx x f dx x f .例11 证明积分⎰-121x xdx 收敛，dx xx ⎰1ln 1发散. 证明 易知积分⎰-121xxdx 在被积函数的区间(]1,0上是连续的，且瑕点为1=x ，取)10(,12<<-=δδe ，对0>∀ε当()1,',''δ∈u u 时，22'''2''1'11u u x xdx u u ---=-⎰，22''1'1u u ---e e u =-+<-<11'122，由柯西收敛准则知瑕积分⎰-121x xdx 收敛. 知瑕积分dx xx ⎰1ln 1的被积函数在(]1,0上连续，瑕点为0=x ，对0>∀δ当()δ,0',''∈u u 时，()()()''log ln 'ln ''ln ln 'ln ln ''ln ln ln 1''''u u u u u dx x x u u u ==-=⎰因为'''u u >，则1''log '>u u ，从而()1ln ''log ln '>u u ，即1ln ln 1'''>⎰u u dx x x ，故由柯西收敛准则知瑕积分⎰1ln xx dx发散. 柯西收敛准则与定义法比较起来判别积分敛散性时稍复杂些. 柯西收敛准则主要研究的是数列.3.3.4瑕积分的绝对收敛及条件收敛判别法定理14 积分dx x f ba⎰)(收敛时称瑕积分⎰badx x f )(绝对收敛，收敛但不绝对收敛的瑕积分称条件收敛.瑕积分的收敛与绝对收敛是同理相通的. 3.3.5瑕积分的狄利克雷判别法定理15 设函数)('),(x g x f 在区间b x a ≤≤上连续，若：（1）0)('≤x g 且0)(lim 0=→x g x ，（2）0,>∈M C M 使对一切b a <<δ有M dx x f a≤⎰δ)(，则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.3.3.6瑕积分的阿贝尔判别法定理16 设函数)('),(x g x f 在b x a <≤上连续，若：（1）dx x f ba⎰)(收敛，（2）0)('≤x g （)(x g 非负），（3）0,>∈M C M ，使对一切b x a <≤有M x g ≤)(则瑕积分dx x g x f a)()(⎰∞收敛.狄利克雷判别法、阿贝尔判别法判别两个函数相乘时积分的敛散性，也是判别瑕积分收敛的方法.4含参变量的广义积分4.1含参变量广义积分的定义定义5 二元函数),(u x f 在区域()βα≤≤≤≤ℜu b x a ,上有意义，[]βα,∈∀u ，无穷积分dx u x f a⎰∞),(收敛，积分中的参变量u 的函数可表示为dx u x f u a⎰∞),()(φ，称无穷积分dx u x f a⎰∞),(为含参变量的无穷积分.定义6 如果给定的0>∀ε如何小，且0A ∃，当0A A >时，有δ<⎰∞Adx u x f ),(则积分dx u x f a⎰∞),(在[]βα,上一致收敛.4.2含参变量广义积分的一致收敛性 4.2.1含参变量广义积分的柯西判别法定理17 无穷积分dx u x f a⎰∞),(在区间[]βα,上一致收敛的充要条件：0>∀ε，a M >∃，当M >>ημ时有εμημη<=-⎰⎰⎰∞∞dx u x f dx u x f dx u x f ),(),(),(. 关于广义积分的一致收敛性，与函数级数的情况类似. 4.2.2含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法定理18 设函数),(x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，函数)(x g 在[)∞,a 上连续，且[)∞∈∈∀≤,,),(),(a x D t x g x t f ，如果积分dx x g a⎰∞)(收敛，则含参变量广义积分dx x t f a⎰∞),(对D t ∈一致收敛.对于条件收敛积分的一致收敛性有狄利克雷和阿贝尔判别法. 4.2.3含参变量广义积分的狄利克雷判别法定理19 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果)(i 对D t ∈∀，函数),(x t f 关于x 单调，当∞→x 时，函数),(x t f 对D t ∈一致收敛于0；)(ii 部分积分⎰badx x t g ),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，则积分⎰∞adx x t g x t f ),(),(对D t ∈一致收敛.4.2.4含参变量的广义积分的阿贝尔判别法定理20 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞∈,a D 上连续，如果 )(i 对每一个取定的D t ∈，函数),(x t f 关于x 单调，且[),,,,),(∞∈∈∀≤a x D t K x t f )(ii 如果有积分dx x t g a⎰∞),(对D t ∈一致收敛，则dx x t g x t f a),(),(⎰∞对D t ∈一致收敛.例12 设函数),(),,(x t g x t f 在[)∞⨯,a D 上连续，积分dx x f a⎰∞)(一致收敛，部分积分dx x t g b a⎰),(对b t ,一致有界，即0>∃M ，使a b D t M dx x t g ba≥∈∀≤⎰,,),(，求积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.解 对a u u >>∀'''，有⎰⎰>>='''')'''(,),()',(),(),(u u u u u dx x t f u t g dx x t g x t f ηη，又可得M dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f dx x t f u aaau au 2),(),(),(),(),('''≤+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰ηηη，从而得则),'(2),(),('''t u g M dx x t g x t f u u ≤⎰对A ∃>∀,0ε，当βα≤≤≥t A x ,时，则可以得到Mx t g 2),(ε≤对βα≤≤∀t 当A u u ≥>'''时有εε=⋅<⎰MM dx x t g x t f u u 22),(),('''. 所以由柯西收敛准则知，积分dx x t g x t f a),(),(⎰∞一致收敛.例13 证明积分dx x e e bxax ⎰∞---0)0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x e e bx ax ⎰∞---0ab ydy y dx e dy dy e dx babab a xyb a xy lnln 100=====⎰⎰⎰⎰⎰∞--∞ 因为积分dx e xy ⎰∞-0对于[]b a y ,∈一致收敛（由维尔斯特拉斯判别法判定），则积分dx x e e bxax ⎰∞---0一致收敛. 例14 证明积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos )0(>>a b 一致收敛. 证明 dx x bx ax ⎰∞-02cos cos ⎰⎰⎰⎰∞∞==00s i n s i n dx x xydy dy x xy dx ba ba ，作变元替换y x λ=，有 2sin sin 00π===⎰⎰∞∞du u u dx x xy 从而dx x bx ax ⎰∞-02cos cos )(2a b -=π因为积分⎰∞0sin dx x xy 对[]b a y ,∈一致收敛（狄利克雷判别法判定）积分dx x bxax ⎰∞-02cos cos 一致收敛. 例15 设函数在区间上连续且可积，求dx x g e ax a )(lim 0⎰∞-→.解 对于取定的一点[]δ,0∈a ，函数ax e x a f -=),(关于x 单调，从而有1),(≤x a f ，[][)∞∈∈∀,0,,0x a δ又知积分dx x g ⎰∞)(是收敛的，则由阿贝尔判别法可以知道积分dx x g x a f )(),(0⎰∞对[]δ,0∈a []δ,0∈a 一致收敛，从而函数dx x g ea ax)()(0⎰∞-=ϕ在[]δ,0连续，则)0()(lim 0ϕϕ=→a a ，即dx x g dx x g eaxa ⎰⎰∞∞-→=00)()(lim .5欧拉积分5.1第一类欧拉积分（Beta 函数）()()0,0,1),(111>>-=B ⎰--q p dx x x q p q p .例16 证明),(),(p q q p B =B .证明 令y x -=1则()()()⎰⎰⎰-------=--=-=B 1110111111111),(dy y y dx y y dx x xq p p p q p q p),(p q B =，可知B -函数对于p 和q 是对称的.5.2第二类欧拉积分（Gamma 函数）0,)(01>=Γ-∞-⎰δδδdx e x x .例17 证明)()1(δδδΓ=+Γ)0(>δ.证明 使用第二类欧拉积分并且运用分部积分法证明，由题得dx e x x -∞⎰=+Γ0)1(δδ)()(lim lim lim lim 0110δδδδδεδεδεεδεΓ==+-==-∞----→∞→-→∞→⎰⎰⎰dx e x dx e x ex dx e x x xa ax a xa a .B -函数与Γ-函数的关系：)2()1()1()!1(!!)1,1(++Γ+Γ+Γ=++=++B q p q p q p q p q p . 上述两个非初等函数的收敛性是由含参变量的积分来确定的，其应用已遍及数学、物理、化学等多门学科.总结本论文根据广义积分即非正常积分（或反常积分）的定义与性质，探讨了广义积分的敛散性及判断敛散性的的方法与技巧，举例使判断方法和计算技巧更直观易懂. 从本论文的讨论知，广义积分敛散性的判别方法有定义法、比较判别法及其极限形式、柯西判别法、绝对收敛及条件收敛判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，准确运用判别法可以使我们更快更简单的判别广义积分的敛散性，以提高计算的速率，快速解决实际中的积分问题.数学的研究是无止尽的，广义积分敛散性的判别方法与技巧也会有更进一步的推广与研究，因此我们应该不断努力，加强学习研究，更多的深入研究这些方法，体会到数学之美，更好的融入数学的世界中.参考文献[1]董立华,叶盼盼.关于含参量广义积分一致收敛性的讨论[J].枣庄学院学报,2008, 25(05):51-55.[2]张立柱.收敛无穷限广义积分被积函数在无穷远处性质[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(03):303-307.[3]高慧.含参量非正常积分一致收敛性的几个判别方法[J].延安职业技术学院学报,2011,25(03):99-101.[4]曹学锋.广义积分收敛的必要条件[J].数学学习与研究(教研版),2009(02):92-93.[5]赵德让.关于广义积分的判敛[J].青海大学学报(自然科学版),2002,20(02):48-50.[6]雍龙泉.广义积分收敛的几个补充性质[J].高师理科学刊,2009,29(01):1-2.[7]李鑫.论广义积分敛散性的判别方法[J].大众商务,2010,17(02):179-180.[8]余晓飞,王荣乾.广义积分概念的探究[J].数学学习与研究,2008,(09):87.[9]张利.广义积分敛散性的一点注解[J].安康学院学报,2009,21(03):83-84.[10]马幸华.广义积分定义点瑕[J].苏州教育学院学报,2000,17(02):63-65.[11]张广慧.瑕积分敛散性的判断技巧[J].中国校外教育,2008,19(05):77-78.[12]高瑞平,何尚琴.一类广义积分的计算[J].科技创新导报,2008,22(28):241.[13]苏子安.广义积分的根值判敛法及其推广[J].数学通报,1989,12(06):21-22.[14]李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳经济技术高等专科学校学报,1996,13(02): 65-70.[15]陈立群.一类广义积分计算技巧和应用[J].鞍山钢铁学院学报,1994,17(03):21- 26.[16]刘维江.广义积分敛散性判别法的应用[J].安顺师专学报(自,1995,15(04):25-30.[17]杨洪德,张长春.一个广义积分的计算及其应用[J].河南城建高等专科学校学报,1999,8(02):59-61.[18]钱学明.一类含参变量的广义积分的计算[J].西昌学院学报,2008,22(01):41-47.[19]袁德美,陈朝舜.常义积分、两种广义积分和无穷级数收敛比较[J].渝州大学学报(自然科学版),2001,18(02):10-13.[20]王永安.广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸[J].西安教育学院学报,2004,19(03):72-74.谢辞本论文从选题到搜集查阅资料文献，从撰写提纲到正文的修改过程中得到了杨衍婷老师的认真指导和热心帮助，她为人热情，认真负责，帮我整理论文写作思路并给予我查找资料的方法和渠道，对我论文中存在的问题精心指导. 随着论文的成稿，也使我也有了成就的感动.论文从选题、定题、查阅资料、整理材料、撰写提纲、初稿的完成、论文的修改、定稿，杨老师始终给予我耐心的指导与帮助，因为有了老师们的鼓励与帮助，才使我的毕业论文顺利完成，在这里我深深的感谢杨衍婷老师. 最后感谢在我的大学生活中给我教授课程的所有老师，是老师让学习到了丰富的知识，让我了解知识的力量，让我学会了做事与做为人.由于本人水平有限，若有不足和缺漏之处恳请批评指正.。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
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I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
广义积分的收敛性
§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1121(1)[ln(1)]xe dx x αβ+∞--+⎰ 的敛散性。
解：211,x x x αβ→+∞时“分子”“分母”。
2、 证明积分4201sin dxx x +∞+⎰ 收敛 。
10,02kkk k k k k kk I v v v πδπδπδδδ+--'↓=++≤=≤∑∑⎰⎰解：取则，其中 ，11(1)(1)42111()sin k k kkk k kk k k v k πδπδπδπδπδ+++-+-+++'=≤+⎰⎰ 。
431,k kvk δ=∑取则收敛；114433()0,k k kkM M v v kkπδδ+--''≤≤≤∑又可见也收敛。
3、 证明积分1223(1)(sin )dxxx +∞+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2233(sin )[sin()],n n nx x n I u πππ+=-==∑∑⎰故 ，由于22223210,1sinn nu dx un xππ≤≤+∑⎰故收敛。
4、 讨论积分10sin 1cos xdx k x παα-+⎰的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111,()x x ααπ---同阶，故当0α>时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。
11201I I I π=+=+⎰⎰k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2()x π-同阶。
于是1I 仅当0α>时收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2x 同阶。
广义积分与收敛性
广义积分与收敛性广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及收敛性的相关内容。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行定义。
设函数f(x)在[a, +∞)上连续或仅在[a, b)上连续，在(a, b]上有无界的间断点。
如果对于任意的a≤x<b，都存在一个确定的数I，使得lim ∫f(x) dx = Ib→+∞ a则称该广义积分收敛，记作∫f(x) dx = I。
如果该极限不存在，则称该广义积分发散。
二、广义积分的性质1. 改变有限个点的值对广义积分的收敛性没有影响。
即使在有限区间上有有限个间断点或可去间断点，广义积分依然可以收敛。
2. 如果∫f(x) dx和∫g(x) dx都收敛，则对于任意的常数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx也收敛，并且∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx。
3. 如果∫f(x) dx收敛，且|f(x)|≤|g(x)|，则∫g(x) dx也收敛。
4. 如果∫f(x) dx和∫g(x) dx均收敛，并且存在常数c，使得f(x) ≤ g(x)对于足够大的x成立，则∫f(x) dx ≤ ∫g(x) dx。
三、广义积分的收敛性判定广义积分的收敛性判定方法有很多种。
下面介绍两种常用的判定方法。
1. 比较判别法当函数f(x)和g(x)满足以下条件时：1）在某个无穷区间上都连续或者只有有穷个间断点；2）当x趋于正无穷时，有0≤f(x)≤g(x)成立；3）∫g(x) dx收敛，则∫f(x) dx也收敛；4）∫f(x) dx发散，则∫g(x) dx也发散。
2. 极限判别法当函数f(x)满足以下条件时：1）在某个无穷区间上连续或者只有有穷个间断点；2）存在正函数g(x)，在趋于正无穷时，g(x)趋于0；3）若极限lim f(x)/g(x)存在且为正常数，则∫f(x) dx和∫g(x) dx同时收敛或者同时发散。
反常积分收敛的比较判别法
反常积分收敛的比较判别法在数学中，反常积分的收敛问题是一个重要的话题。
比较判别法是一种常用的方法，用于判断反常积分的收敛性。
本文将介绍比较判别法在无穷区间积分、无穷级数求和、瑕点处理、非负函数积分、广义积分收敛性、变限函数积分、绝对收敛与条件收敛以及与微分方程的联系等方面的应用。
1.无穷区间积分无穷区间积分是指积分区间为无穷大的积分。
在这种情况下，比较判别法通常用于判断积分的收敛性。
例如，对于函数f(x)在[0,∞)上积分收敛的充要条件是存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M。
2.无穷级数求和无穷级数求和是指对无穷多个数进行求和。
比较判别法也适用于判断无穷级数的收敛性。
例如，对于级数∑an，如果存在常数M，使得对于任意n，有|an|≤M，则级数收敛。
3.瑕点处理瑕点是指反常积分中使被积函数无定义的点。
在处理瑕点时，比较判别法可以用来判断瑕积分的收敛性。
例如，对于瑕积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→a+时，f(x)→M，则瑕积分收敛。
4.非负函数积分对于非负函数f(x)的积分，比较判别法也适用。
例如，如果f(x)在[0,∞)上可积，且存在常数M，使得当x→∞时，f(x)≤M，则f(x)的积分收敛。
5.广义积分收敛性广义积分是指积分区间为无穷大的反常积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断广义积分的收敛性。
例如，对于广义积分∫(上限为∞,下限为a)f(x)dx，如果存在常数M，使得当x→∞时，f(x)→M，则广义积分收敛。
6.变限函数积分变限函数积分是指积分上限或下限为变量的积分。
在这种情况下，比较判别法可以用来判断变限函数积分的收敛性。
例如，对于变限函数积分∫(上限为φ(t),下限为a)f(x,t)dxdt，如果存在常数M，使得当t→∞时，∫(上限为φ(t),下限为a)|f(x,t)|dxdt≤M，则变限函数积分收敛。
7.绝对收敛与条件收敛反常积分可以分成绝对收敛和条件收敛两种情况。
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§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分1121(1)[ln(1)]xe dx x αβ+∞--+⎰ 的敛散性。
解：211,x x x αβ→+∞时“分子”“分母”。
2、 证明积分4201sin dxx x +∞+⎰ 收敛 。
10,02kkk k k k k kk I v v v πδπδπδδδ+--'↓=++≤=≤∑∑⎰⎰解：取则，其中 ，11(1)(1)42111()sin k k kkk k kk k k v k πδπδπδπδπδ+++-+-+++'=≤+⎰⎰ 。
431,k kvk δ=∑取则收敛；114433()0,k k kkM M v v kkπδδ+--''≤≤≤∑又可见也收敛。
3、 证明积分1223(1)(sin )dxxx +∞+⎰ 收敛 。
解：注意到(1)2233(sin )[sin()],n n nx x n I u πππ+=-==∑∑⎰故 ，由于22223210,1sinn nu dx un xππ≤≤+∑⎰故收敛。
4、 讨论积分10sin 1cos xdx k x παα-+⎰的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111,()x x ααπ---同阶，故当0α>时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。
11201I I I π=+=+⎰⎰k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2()x π-同阶。
于是1I 仅当0α>时收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2x 同阶。
于是1I 仅当0α<时收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。
⑶ 111,arccos(),cos ,sin 0k k kθθθ>=-=-≠记则 。
f(x)的可能瑕点为0,π，θ 。
123400,ab aba b a b I I I I I θπθθπ<<<<=+++=+++⎰⎰⎰⎰取、使 。
在点θ处将cos x 展开成Taylor 公式：1cos ()sin ()x x x kθθθ=-+-+-，于是 (1cos )[()sin ()]k x x x ααθθθ+=-+- 与 ()x αθ-同阶。
因此，当且仅当1α<时23,I I 收敛；又仅当0α<时1I ，4I 收敛，所以当且仅当01α<<时原积分收敛。
5、 设2()0()()sin a f x f x dx f x x dx ∞+∞>⎰⎰+a且单调减少，试证：与同敛散。
证：⑴ 设211lim ()0.()sin ()()cos 222x aaaf x f x xdx f x dx f x xdx +∞+∞+∞→+∞==-⎰⎰⎰注意到，由Dilichlet判别法知右边第二个积分收敛，因此2()()sin af x dx f x x dx ∞+∞⎰⎰+a与同敛散。
⑵、lim ()0(),()0x af x A f x dx M +∞→+∞=>+∞>⎰包括此时发散，且存在，当x M≥时()02Af x r >=>。
取000,k k M k k π>≥使则当时 1)(1)22()sin sin 02k k k k rf x x dx rx dx πππππ++>=>⎰⎰（ ，由Cauchy 准则，2()sin af x x dx +∞⎰也发散。
6、 设22sin 0,(sin )p p xp dx x x x +∞>+⎰讨论的敛散性。
解：当12p >时，由比较判别法即知积分收敛。
当12p ≤时，2(1)p pdxx x +∞+⎰发散，由上题知22sin (1)p pxdx x x +∞+⎰发散，再由比较法知原积分发散。
7、讨论1dx +∞⎰的敛散性。
解：利用Taylor 公式 ：12221(),ln(1)(1)1()22t t t t t t t =-++=+++ ,112222111111[ln(1)][()][1()]22x x x x x x x+=-+=-+3322111111(())()]()224x x x x x x +-++=-+ ，故当x →+∞时3211()4f x x ⋅ ，因此原积分收敛。
8、 讨论积分sin (0)1p qx xdx q x+∞≥+⎰的敛散性。
解：记 11201I I I +∞=+=+⎰⎰。
1111(1)sin 10(),221p x p qp x x f x x p I p I x x x+→+-+≤=⋅=>-≤-+故时收敛，时发散。
考察2I ：注意到1111px q pqx xq p q p x →+∞-⋅→->-≤+，所以分和两种情形来讨论。
① 1:()1pqx q p f x x->≤⇒+2I 绝对收敛 。
② 01:q p <-≤由Dilichlet 判别法知2I 收敛，并且是条件收敛。
③ sin 0:(),0,01p q q x xq p f x p q q x ---≤=-≥≥+，可知2I 发散。
综上得到：原积分当21201p q p p q p >-->>-<-≤且时绝对收敛；且时条件收敛；20p q p ≤--≤或时发散。
9、 研究0()(0,1)sin x te F t dx t x+∞-=∈⎰关于的连续性。
解：只须证明上述积分在(,1)t ∈-∞上内闭一致收敛。
(1)2210012(1)21sin sin sin k ttttt t kdx dxdx dx t x txxxπππππππ+-==≤=<-⎰⎰⎰⎰，(1)0()1sin sin sin k xx k k tttk k k ke e dxF t dx dx e e txxxππππππ++∞--+∞+∞+∞--=====≤≤-∑∑∑⎰⎰⎰，由此即知积分在(,1)t ∈-∞上内闭一致收敛，从而0()(0,1)sin x te F t dx t x+∞-=⎰关于在连续。
10、设0()[0,),()f x C f x dx +∞∈+∞⎰绝对收敛，则：40()0lim()(sin )0p f x dx f x px dx +∞+∞→+∞=⇔=⎰⎰。
证明：因000()0,f x dx A A A +∞>≥⎰收敛，所以存在当时4()(sin )()AAf x px dx f x dx ε+∞+∞≤<⎰⎰。
对任意0p >，以pπ为步长等分0[0,]A 得01144411()(sin )()(sin )()(sin )kkk k A x x nnk k k x x f x px dx f x px dx f px dx ξ--====∑∑⎰⎰⎰()k k x pπ==410()(sin )pnk k f px dx πξ=∑⎰ =411101()sin ()()nn n k k k k k k k a a f x dx f f x p p ππξξξππ=====∑∑∑⎰410(sin ,)k k k a x dx x x x pππ-==-=⎰其中 。
令()p n →+∞→+∞必有得到4()(sin )()A A af x px dx f x dx π→⎰⎰ ，于是有44()(sin )()()(sin )()A A aaf x px dx f x dx f x px dx f x dx ππ+∞+∞-≤-+⎰⎰⎰⎰+4()(sin )()3(A A af x px dx f x dx p επ+∞+∞-<⎰⎰只要充分大）即 4lim()(sin )()p af x px dx f x dx π+∞+∞→+∞=⎰⎰，因此命题成立。