弹塑性力学扭转问题

扭 转
等截面直杆的扭转 椭圆截面杆的扭转 薄膜比拟 矩形截面杆的扭转 开口薄壁杆件的扭转
2
§9-1 等截面直杆的扭转
一 应力函数
o M x y
设有等截面直杆，体力不计， 在两端平面内受扭矩M作用。取杆 的一端平面为 xy面，图示。横截 面上除了切应力τzx、τzy以外， 其余的应力分量为零
x y z xy 0
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取薄膜的一个微小部分abcd 图示，它在xy面上的投影是一个 矩形，矩形的边长分别是dx和dy。 设薄膜单位宽度上的拉力为 T， 则由z方向的平衡条件 得 Z 0
z z Tdy z dx Tdy x x x z z Tdx z dy Tdx qdxdy 0 y y y
2
2 0 x 2 0 y
即
2 (1 ) z 2 0 z 2 2 (1 ) yz 0 yz
2
C
2
b
2 (1 ) zx 0 zx 2 2 (1 ) xy 0 xy
0
24
2
得到
m y 将上式右边在y∈-b/2,b/2区间展为 cos 的级 b 数，然后比较两边的系数，得
2 b2 ma my 5,Am ch 2b cos b Gk y 4 m 1, 3,

Am
1
8Gkb2 ma 3 3 m ch 2b
14
于是由
zx xz
最后得到解答
, y
z y yz
x
zx
2M y, 3 ab
zy
2M 3 x a b
1 2
横截面上任意一点的合剪应力是
2 zx 1 2 2 zy

2M x 2 y 2 4 4 ab a b
注：空间问题平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z y zy xy Y 0 z x y z xz yz z x y Z 0
a x 函数x,y称为扭转问题的应力函 数。
应力函数在边界上应等于零，故取
o
b y
a
x
x2 y2 m 2 2 1 b a
代入
来自百度文库
1
2 C
12
得 求得
2m 2m 2 C 2 a b a 2b m C 2 2 2( a b )
回代入1式得
a 2b2 x2 y2 2 2 C 2 2 1 2(a b ) a b
d
由
又可得
zx xz , y
z 2Gk zx / y q / T
z y yz
x
e
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调整薄膜所受的压力q，使得c、 d、 e三式等号 的右边为1，则可得出如下结论： 1 扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。 2 扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间 的体积的两倍。
23
二 矩形截面杆 在狭矩形截面扭杆应力函数的基础上，取任意矩形 截面杆应力函数为
b2 mx my 2 Gk y Amch cos 4 b b m1,3,5,
代入微分方程
2 2Gk
并使满足边界条件
x a
0,
2
y b
说明在横截面的边界上，应力函数φ为常量，由于应力 函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截 面（实心杆）时可设
s 0
在杆的任一端，剪应力合成为扭矩
c
7
M ( y zx x zy ) d x d y ( y x )d xd y y x d x y d y d y x dx y x
zx
, y
zy
4
将应力分量代入不计体力的 相容方程，可见：前三式及最后 一式得到满足，其余二式要求
注：体力为零时，空间问题 应力分量表示的相容方程
2 (1 ) x 2 0 x 2 2 (1 ) y 2 0 y
max zx x 0, y b
8 Gkb1 2
其中扭角 k 由
2
y x 0, y b
2
1 ,5 2 ma m 1, 3 m ch 2b
2
T z 0 q s
a
而应力函数所满足的微分方程和边界条件为
2 2Gk,
s 0
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其中Gk也是常量，故也可改写为
1 0, 2Gk
2
0 2Gk s

b
T 将式 b与式 a对比，可见 2Gk 与 z 决定于同样的微 q
材料力学解决了圆截面直杆的扭转问 题，但对非圆截面杆的扭转问题却无法 分析。对于任意截面杆的扭转，这本是 一个较简单的空间问题，根据问题的特 点，本章首先给出了求解扭转问题的应 力函数所应满足的微分方程和边界条件。 其次，为了求解相对复杂截面杆的扭转 问题，我们介绍了薄膜比拟方法。
1
第九章
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5
0, x d y dy
b a o x y
则 成为
2 C
d C 2 dy
2
22
积分，并注意在边界上
y b
即得
应力分量为
6M zx 3 y y ab zy 0 x
0
2
C 2 b2 y 2 4
2
5
二 边界条件 在杆的侧面上，将 n=0，及面 力分量为零代入边界条件，可见前 两式总能满足，而第三式要求
注：空间问题应力边界条件
l x s m yx s n zx s X m y s n zy s l xy s Y n z s l xz s m yz s Z
分步积分，并注意φ在边界上为零
y y d y y A A yB B d y d y x x d x x A A xB B d x d x
最后得到
2 d x d y M
d
8
三 位移公式 根据应力、应变、位移的关系可以得到
l ( x z ) s m( y z ) s 0
即
l y m 0 x s s
由于在边界上
dy l , ds
dx m ds
6
于是有
d y d x d y d s x d s d s 0 s s
将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平 衡方程，得
M
z
3
z x z y x z y z 0, 0, 0 z z x y 根据前两方程可见，τzx、τzy只是 x和y的函数，与z无关，由第三式
( x z ) ( y z ) x y
根据微分方程理论，一定存在一 个函数x,y，使得
2 C
的C=-2GK.
显然，为了求得扭转问题的解，只须寻出应力函数 ，使它满足方程b、 c和d，然后由a式求出应力 分量，由式e 和f给出位移分量的值。
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§9-2 椭圆截面杆的扭转
椭圆的半轴分别为a和b，其边界 方程为 x2 y2 2 1 0 2 a b
3 扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的剪应力， 就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。
由此可见，椭圆截面扭杆横截 面上的最大剪应力发生在短轴的两 端点处，方向平行于长轴。
o b y
a
x
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§9-4 矩形截面杆的扭转
一 狭长矩形截面杆的扭转 设矩形截面的边长为a和b。若a» b (图示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟 可以推断，应力函数在绝大部分横截 面上几乎不随x变化，于是有
由
2 d x d y M
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可得
a 2b 2 1 1 2 C ( 2 x d x d y 2 y 2 d x d y d x d y) M a2 b2 a b
于是得
2(a 2 b2 ) M C a 3b3
最后得
M x2 y 2 2 2 1 ab a b
将代入 2 d x d y M
6M 积分后得 C ab 3
由薄膜比拟可知，最 大剪应力发生在矩形截面 的长边上，方向平行于 x 轴，其大小为
故
3M b 2 2 3 y ab 4
3M max zx y b 2 2 ab
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§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微 小的垂度。
9
其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移
u Kyz v Kxz
代入前面右边前两式
e
w 1 Ky x G y w 1 Kx y G x
上两式可用来求出位移分量w。
f
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上两式分别对y和x求导，再相减，得
2Gk
2
可见前面公式b中
分方程和边界条件，因而必然具有相同的解答。于是有
Tz 2Gk q
即
2Gk z q /T
c
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设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到
2 d x d y M
则有 从而有
q qM V zdxdy dxdy 2GTk 4GTk
M 2Gk 2V q /T
u 0 x v 0 y w 0 z
积分后得到
w v 1 y z G x u w 1 z x G y v u 0 x y
u u 0 y z z y Kyz v v 0 z x x z Kxz
m 1 2
将Am代入，得确定的应力函数
m 1 mx my 1 2 ch cos 2 b2 8b 2 b b Gk y 3 ma m1,3,5, 4 m3ch 2b
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由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长 边的中点若a≥b
o T q Tdx a dy b dx y d T
x
y x Tdy
z
c
简化后得
2z 2z T 2 2 q 0 x y
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即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
zs 0
由于q/T为常量，所以以上两式可改写为
T z 1 0, q