高中数学专题 集合与简易逻辑

一. 本周教学内容：

集合与简易逻辑

知识结构：

【典型例题】

例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有

A. 2个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。

例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且

解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时，

是[1，3]

小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。

例3.

解：

小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然

例4. 解不等式|x+2|+|x|>4

解法一：

综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}

解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。

小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。

②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。

例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。

解：

小结：

解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。

例6.

解：

依题意有：

小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。

例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件

解：设有自然数n1

分必要条件。

例8.

（1）求证：两图象交于不同的两点A、B。

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的范围

解：

（2）设方程①的两根为x1，x2，由韦达定理得：

小结：此题涉及一次函数、二次函数的图象、一元二次方程、一元二次函数在区间上的取值范围等多个知识点，要注意熟练掌握二次函数与方程，不等式的相互联系和相互转化。

【模拟试题】

一、选择题

1. 设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，

A. {0}

B. {0，1}

C. {0，1，4}

D. {0，1，2，3，4}

2. 满足条件{0，1，2}A={0，1，2}的所有集合A的个数是（）

A. 6个

B. 7个

C. 8个

D. 9个

3. 设等于（）

A.

B.

C.

D.

4. 设则P与Q 的关系是（）

A. P=Q

B. P Q

C. P Q

D.

5. 若一元二次方程的两个根分别为2和－1，则不等式

的解集是（）

A.

B.

C.

D.

6. 若集合，且B A，则实数m的取值个数是（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

7. 数集A={(2n+1)π，n∈Z}与数集B={(4k±1)π，k∈Z}之间的关系是（）

A. A B

B. A B

C. A=B

D. A≠B

8. 方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

9. 命题“不等式的解是”的形式是（）

A. 简单命题

B. p且q

C. p或q

D. 非p

10. 如果a，b是实数，那么“ab>0”是“”的（）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

11. 若等于（）

A. B. {} C. {0} D. Z

二、填空题（每小题4分，共16分）

12. 不等式的解集为____________。

13. 不等式的整数解为_________。

14. 命题“当c<0时，若a>b，则ac

15. 设有三个集合A，B，C，则A=B是的_________条件。

三、解答题（共39分）

16. （6分）分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假：

（1）不是有理数；

（2）4或6是20的约数；

（3）梯形的中位线平行于两底并等于两底和的一半。

17. （9分）用反证法证明：在凸多边形的所有内角中，锐角的个数不多于3个。

18. （10分）设，已知求证：（1）A；（2）。

【试题答案】

一、选择题：

1. C

2. C 提示：子集个数2n

3. D

4. C

5. C 可由韦达定理求解

6. C

7. C

8. D

9. B 10. A 11. A

二、解答题：

12.

13.

14. 时若则a>b

15. 充分非必要

16. （1）非p是真命题

（2）p或q是真命题

（3）p且q是真命题

17. 略。

18. 略。