【精品】2019年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)【解析版】

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7．（5 分）已知函数 f（x）＝xsinx，f'（x）为 f（x）的导函数，则函数 f'（x）的部分图象大 致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数的导数 f'（x）＝sinx+xcosx 为奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D，
设 g（x）＝f'（x），则 g'（x）＝2cosx﹣xsinx，g'（0）＝2＞0，排除 B，
D．参加活动次数不低于 4 场的学生约为 360 人
【 解 答 】 解 ： 估 计 该 校 高 一 学 生 参 加 活 动 次 数 不 低 于 4 场 的 学 生 约 为 ： 1000 ×
（0.18+0.12+0.04+0.02）＝360 人，
故
选
：
D．
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4．（5 分）已知双曲线 C：
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ） A．参加活动次数是 3 场的学生约为 360 人 B．参加活动次数是 2 场或 4 场的学生约为 480 人 C．参加活动次数不高于 2 场的学生约为 280 人 D．参加活动次数不低于 4 场的学生约为 360 人
一般用户
大用户
使用峰谷电价的用户
不使用峰谷电价的用户 （ii）根据（i）中的列联表，能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电 价”有关？
附：
，
P（K2≥k） 0.025
0.010
0.001
k
5.024
6.635 10.828
19．（12 分）如图，四棱锥 E﹣ABCD，平面 ABCD⊥平面 ABE，四边形 ABCD 为矩形，AD ＝6，AB＝5，BE＝3，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE． （1）求证：AE⊥BE； （2）设 M 在线段 DE 上，且满足 EM＝2MD，试在线段 AB 上确定一点 N，使得 MN∥
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知函数
，当 x∈[m，m+1]时，不等式 f（2m﹣x）
＜f（x+m）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2）
D．（﹣∞，0）
11．（5 分）已知 F1，F2 为椭圆
的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，
为等差数列，则 a9＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意得：a3＝2，a7＝1，因为数列
为等差数列，
所以 所以
， ，
所以
，
故选：C． 6．（5 分）已知
，且
，则
A．0
B．
【解答】解：由
，且
C．1 ，可得
代入 故选：C． 解法二：由 所
，可得
＝cos0＝1，
，且
，可得
＝（ ） D．
，
， 以
， 故选：C．
A．
B．
C．
D．1
二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡相应位置．
13．（5 分）若实数 x，y 满足约束条件
，则 z＝3x﹣y 的最小值等于
．
14．（5 分）已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球体积为
，且 AA1＝BC＝2，则直线
A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意得：阴影部分的面积
，
设“在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得：
P（A）＝ ＝
＝1﹣ ，
故选：B．
10．（5 分）已知函数
，当 x∈[m，m+1]时，不等式 f（2m﹣x）
＜f（x+m）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2）
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平面 BCE，并求 MN 的长．
20．（12 分）已知抛物线 C1：x2＝2py（p＞0）和圆 C2：（x+1）2+y2＝2，倾斜角为 45°的 直线 l1 过 C1 的焦点且与 C2 相切． （1）求 p 的值； （2）点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，C1 在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B，设
D．（﹣∞，0）
【解答】解：当 x≤0 时，f（x）＝
+4 单调递减，且 f（x）≥f（0）＝5；
当 x＞0 时，f（x）＝﹣x3﹣x+5，∴f′（x）＝﹣3x2﹣1＜0，f（x）单调递减，且 f（x） ＜f（0）＝5；
＝（ ）
A．0
B．
C．1
D．
7．（5 分）已知函数 f（x）＝xsinx，f'（x）为 f（x）的导函数，则函数 f'（x）的部分图象大 致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
8．（5 分）在边长为 3 的等边△ABC 中，点 M 满足 ＝
，则
＝（ ）
A．
B．
C．6
D．
9．（5 分）如图，线段 MN 是半径为 2 的圆 O 的一条弦，且 MN 的长为 2．在圆 O 内，将线 段 MN 绕 N 点按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将线段 NM 绕 M 点按逆时针方向转动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动…．点 M 的轨迹所 围成的区域是图中阴影部分．若在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为 （）
2019 年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则 A∪B＝（ ）
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|x＞﹣1}
4．（5 分）已知双曲线 C：
，直线 y＝b 与 C 的两条渐近线的交
点分别为 M，N，O 为坐标原点．若△OMN 为直角三角形，则 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
5．（5 分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1．若数列
为等差数列，则 a9＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知
，且
，则
．
15．（5 分）将函数 f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移 个单位长度，
得到一个偶函数图象，则 ＝
．
16．（5 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且 Sn＝λan﹣1（λ 为常数）．若数列{bn}
满足
，且 bn+1＜bn，则满足条件的 n 的取值集合为
2．（5 分）设复数 z 满足（3+i）z＝3﹣i，则|z|＝（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．（5 分）为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生课余时间 参加传统文化活动的情况，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数
0 1 2 3 4 5 67
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，CD＝5，CE＝3，
且△ECD 的面积为 ． （1）求边 DE 长； （2）若 AD＝3，求 sinA 的值． 18．（12 分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天 24 小时划分 成两个时间段，把 8：00﹣22：00 共 14 小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22： 00﹣次日 8：00 共 10 个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众 对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查，各
K 点是△F1PF2 内切圆的圆心，过 F1 作 F1M⊥PK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围
为
（
）
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A．（0，1）
B．
C．（0， ）
D．
12．（5 分）如图，棱长为 f（x）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的木块，平面 α 过点 D 且平行于
平面 ACD1，则木块在平面 α 内的正投影面积是（ ）
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|x＞﹣1}
【解答】解：B＝{x|﹣1＜x＜2}；
∴A∪B＝{x|x＞﹣1}．
故选：D．
2．（5 分）设复数 z 满足（3+i）z＝3﹣i，则|z|＝（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【解答】解法一：因为
，所以|z|＝1，故选 B．
解法二：因为（3+i）z＝3﹣i，所以|（3+i）z|＝|（3+i）||z|＝|3﹣i|，所以|z|＝1， 故选：B． 3．（5 分）为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生课余时间 参加传统文化活动的情况，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
，直线 y＝b 与 C 的两条渐近线的交
点分别为 M，N，O 为坐标原点．若△OMN 为直角三角形，则 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：依题意得：因为△OMN 为直角三角形，所以双曲线 C 的渐近线为 y＝±x，
即 C 是等轴双曲线，所以 C 的离心率
，
故选：A．
5．（5 分）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1．若数列
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数，a∈R）．以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，
射线
与曲线 C 交于 O，P 两点，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）当|AB|＝|OP|时，求 a 的值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分) 23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|＜4 的解集为 M． （1）求集合 M； （2）设实数 a∈M，b∉M，证明：|ab|+1≤|a|+|b|．
故选：A．
8．（5 分）在边长为 3 的等边△ABC 中，点 M 满足 ＝ ，则
＝（ ）
A．
B．
C．6
D．
【
解
答
】
解
：
依
题
意
得
：
，
故选：D． 9．（5 分）如图，线段 MN 是半径为 2 的圆 O 的一条弦，且 MN 的长为 2．在圆 O 内，将线
段 MN 绕 N 点按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将线段 NM 绕 M 点按逆时针方向转动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动…．点 M 的轨迹所 围成的区域是图中阴影部分．若在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为 （）
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2019 年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x≥1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则 A∪B＝（ ）
月平均用 [100， [300，500） [500，700） [700，900）[900，1100） [1100，1300] 电量（度） 300）
使用峰谷 3
9
13
7
2
1
电价的户
数
（1）估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表）； （2）（i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面 2×2 的列联表：
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户月平均用电量以[100，300），[300，500），[500，700），[700，900），[900，1100），[1100， 1300]（单位：度）分组的频率分布直方图如图所示．若将小区月平均用电量不低于 700 度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于 700 度的住户称为“一般用户”．其中，使 用峰谷电价的户数如表：
，求证：点 N 在定直线上，并求该定直线的方程．
21．（12 分）已知函数
（a∈R）．
（1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当 e＜a＜ 时，关于 x 的方程
有两个不同的实数解 x1，x2，求证：
x1+x2＜4x1x2． 选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目 计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
参加场数
0 1 2 3 4 5 67
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情Baidu Nhomakorabea正确的是（ ）
A．参加活动次数是 3 场的学生约为 360 人
B．参加活动次数是 2 场或 4 场的学生约为 480 人
C．参加活动次数不高于 2 场的学生约为 280 人