阴影部分的面积经典常用解法
求阴影部分面积的几种常用方法
求阴影部分面积的几种常用方法阴影部分的面积是指在形成的阴影中，被物体遮挡的部分面积。
计算阴影面积在多个领域中都有一定的应用，例如建筑设计、图像处理、计算机视觉等。
下面将介绍几种计算阴影部分面积的常用方法。
1.几何法几何法是最常见且简单的计算阴影面积的方法。
在平行光源的情况下，可以直接使用几何法计算阴影面积。
首先，需要知道光源的位置和物体的形状。
然后，可以通过光线和物体边缘的交点来确定阴影边缘，从而计算出阴影部分的面积。
这种方法在二维平面上的阴影计算中适用，但需要事先获得物体的准确形状和光源的位置。
2.正投影法正投影法是一种常用的计算阴影面积的方法。
在三维空间中，通过将物体和光源投影到一个平面上，然后计算投影面积来得到阴影的面积。
在计算阴影面积时，需要考虑物体的不透明度和光源的位置。
正投影法可以适用于复杂的物体和不同类型的光源。
3.体积投影法体积投影法是一种计算阴影面积的高级方法。
它首先将物体和光源之间的空间划分为多个体素（即体积像素），然后计算每个体素是否在物体的阴影区域中。
通过计算物体和光源之间的交点和遮挡关系，可以确定每个体素是否在阴影中。
最后，将位于阴影区域的体素的体积加总即可得到阴影的面积。
4.数值模拟法数值模拟法是一种计算阴影面积的复杂方法，它利用计算机模拟光线传播和物体与光线的相互作用。
该方法通过在计算机中建立一个模拟的三维场景，模拟光源的物理属性、物体的材质和几何形状，然后使用光线追踪算法模拟光线的传播和阴影的形成过程。
通过记录与阴影相关的信息，可以计算出阴影的面积。
综上所述，几何法、正投影法、体积投影法和数值模拟法是常用的计算阴影面积的方法。
选择适当的方法取决于具体的应用场景和需求。
不同的方法在准确性、计算复杂度和适用性方面存在差异，需要根据具体情况进行选择。
专题 求阴影部分的面积---四种方法(五大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题求阴影部分的面积---四种方法【典例一】（2023•锦州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝40°，连接OA ，OC ．若⊙O 的半径为3，则扇形AOC （阴影部分）的面积为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【分析】先由圆周角定理可得∠AOC 的度数，再由扇形的面积公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC ＝40°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝80°，∴扇形AOC 的面积为80×π×32360=2π，故选：D ．【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC 的度数是解答此题的关键．【变式1-1】（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE 边长为6，以A 为圆心，AB 为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）A ．185πB ．4πC ．545πD ．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，解题技巧提炼所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解.∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，∵正五边形的边长为6，∴S阴影=108⋅π×62360=545π，故选：C．【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【变式1-2】（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 ．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB∴∠D＝∠DAB＝90°，∵AE＝AB，∴DE1，∴AD＝DE，∴∠DAE＝45°，∴∠BAE＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE=π4．故答案为：π4．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB 的度数是解此题的关键．【变式1-3】如图，有公共顶点O 的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）A ．4πB ．185πC ．3πD ．52π【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S 阴=(360108×2)⋅π⋅32360=18π5，故选：B ．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-4】（2022•二道区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径画圆弧，交边BC 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD ．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，∴∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝4，∴BC =∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BDE +S 扇形ACD =30π×22360+60π×22360=π，故答案为：π．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．3πC D【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC ＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=AC＝可得到阴影部分的面积．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF=(62)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC）=12×（180°﹣120°）＝30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH=12AB=12×2＝1，在Rt△ABH中，AH=∴AC＝同理可证，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE=2π，∴图中阴影部分的面积为2π，故选：A ．【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例二】（2022秋•恩施市期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径画弧，与AC 边交于点E ；以点B 为圆心，线段BD 的长为半径画弧，与BC 边交于点F ．若BC ＝6，AC ＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．48―25π2B ．48―25π4C ．24―25π2D ．24―25π4【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据线段中点的定义得到AD ＝BD ＝5，根据扇形和解题技巧提炼将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB==10，∠A+∠B＝90°，∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD＝5，∴图中阴影部分的面积=12×6×8―90⋅π×52360=24―25π4，故选：D．【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式2-1】（2023•北京模拟）如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（ ）A．πB．2+2πC．2πD．2+π【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AB＝4，∴OA＝OC＝OB＝2，∴S△AOC ＝S△BOC=12×2×2=2，∴阴影部分的面积S＝S△COB +S扇形AOC﹣S△AOC＝S扇形AOC =90π×22360=π，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n °，半径是r ，那么这个扇形的面积=nπr 2360．【变式2-2】（2023•蜀山区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角∠O ＝120°形成的扇面，若OA ＝4m ，OB ＝2m ，则阴影部分的面积是（ ）A ．43πB ．83πC ．4πD ．163π【分析】利用扇形面积公式，根据S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC 即可求解．【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOD ﹣S 扇形BOC=120π⋅OA 2360―120π⋅OB 2360=120π(OA 2OB 2)360=π(4222)3＝4π（m 2），故选：C ．【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•松滋市期末）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC ＝30°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3―B ．2π3―C ．2π3―D ．π3―【分析】根据S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC ，计算即可．【解答】解：∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴S 阴＝S 扇形OBC ﹣S △OBC =60⋅π×22360―12×2×=23π―故选：B ．【点评】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•鄞州区期末）如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB 上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【分析】连接OC ．利用勾股定理求出EC ，根据S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形AOEC ，计算即可．【解答】解：连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形，∴OA ∥CD ，∴∠OEC +∠EOA ＝180°，∵∠AOB ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴EC =6，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA =90π×102360―12×（6+10）×8＝25π﹣64．故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．【变式2-5】（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作弧，交BC 于点F ，连接DE 、DF ，若AB ＝2，∠A ＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π3B π3C π3D ―2π3【分析】连接AC ，根据菱形的性质求出∠BCD 和BC ＝AB ＝2，求出AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠A ＝60°，点E 是AB 的中点，∴△ABD 是等边三角形，DE ⊥AB ，∠ABC ＝120°，BE ＝1，∴DE BF ＝1，DF =DF ⊥BC ，∴阴影部分的面积S ＝S △BDE +S △BDF ﹣S 扇形BEF ＝2―120π×12360=π3，故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC 、△AFC 和扇形ECF 的面积是解此题的关键．【变式2-6】（2022秋•余杭区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ．（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；（2）若CD ＝6，∠A ＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；（2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，在Rt△COE中，OC=CEsin60°=∴扇形OAC（阴影部分）的面积=4π，答：阴影部分的面积为4π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．【典例三】（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝3，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为（ ）AB ．9π4―C ．π34D ．3π34【分析】连接OD ，可得△OBD 为等边三角形，再求出∠COD 以及OC ，得到三角形BOC 的面积，又因为△BOC 与△BDC 面积相等，最后利用S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC 求解即可．【解答】解：如图，连接OD ，根据折叠的性质，CD ＝CO ，BD ＝BO ，∠DBC＝∠OBC ，∴OB ＝BD ＝OD，解题技巧提炼先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算.∴△OBD 为等边三角形，∴∠DBO ＝60°．∵∠CBO =12∠DBO ＝30°，∵∠AOB ＝90°，∴OC ＝OB •tan ∠CBO ＝3=∴S △BOC =12OB •OC =∵△BOC 与△BDC 面积相等，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △BOC ﹣S △BDC=14π×32=9π4―故选：B ．【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．【变式3-1】（2023•乡宁县二模）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC ＝30°，在直径AB 上截取AD ＝AC ，延长CD 交⊙O 于点E ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B ．π2―1C ．π﹣2D ．π2【分析】连接OE ，OC ，BC ，推出△EOC 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．【解答】解：连接OE ，OC ，BC ，由旋转知AC ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠ACE ＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE ＝90°﹣∠ACE ＝15°，∴∠BOE ＝2∠BCE ＝30°，∴∠EOC ＝90°，即△EOC 为等腰直角三角形，∵CE ＝2，∴OE ＝OC =∴S 阴影＝S 扇形OEC ﹣S △OEC ―12×=π2―1，故选：B ．【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若BO =BC =2 ．【分析】证明△OBD 是等边三角形，根据S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）求解即可．【解答】解：连接BD ．∵OC ＝OB ＝BC ＝∴△OBC 是等边三角形，∵CD ⊥AB ，AB 是直径，∴BC =BD ，∴BC ＝BD ＝OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵DE ⊥OB ，∴OE ＝EB∴DE ＝∴S 阴＝S △DEB +（S 扇形DOB ﹣S △BOD ）=12×（2＝4π﹣故答案为：4π﹣【点评】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．【变式3-4】（2023•如皋市一模）如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为⊙O 上一点，在AB 的延长线上取一点P ，连接PC 交⊙O 于点D ，PO ＝OPC ＝30°．（1）求CD 的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，根据垂径定理得CE ＝DE ，再根据PO ＝OPC＝30°，得OE ＝（2）根据阴影部分的面积为扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可．【解答】解：（1）作OE ⊥CD 于点E ，连接OC ，OD ，∴CE ＝DE ，∵PO ＝OPC ＝30°，∴OE =12PO ＝∵直径AB ＝8，∴OD ＝4，∴DE ==2，∴CD ＝2DE ＝4；（2）∵OD ＝2DE ，∴∠DOE ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积为60π×42360―12×4×=8π3―【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．【变式3-5】（2023•蒙阴县一模）已知AB 是圆O 的直径，半径OD ⊥BC 于点E ，BD 的度数为60°．（1）求证：OE ＝DE ；（2）若OE ＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD ，证明△OBD 是等边三角形，可得结论；（2）根据S 阴＝S 扇形AOC +S △COE ，求解即可．【解答】（1）证明：连接BD ，∵BD 的度数是60°，∴∠BOD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵OD ⊥BC ，∴OE ＝DE ；（2）解：连接OC ．∵OD ⊥BC ，OC ＝OB ，∴∠COE ＝∠BOE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，∴OC ＝2OE ＝2，∴CE =∴S 阴＝S 扇形AOC +S △COE =60π⋅22360+12×1=2π3【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD 是等边三角形是关键．【变式3-6】（2023•长沙模拟）如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为点E ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，BE ＝OF ．（1）求证：AC ＝CD ；（2）若BE ＝4，CD ＝【分析】（1）根据AAS 证明△AFO ≌△CEB 即可判断；（2）根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =12CD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，AF =12AC ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ），∴AF ＝CE ，∴AC ＝CD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设OC ＝r ，则OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8，连接OD ，如图，在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120π×82360―12×4=643π﹣【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE 的度数是解决本题的关键．【典例四】（2023•凤台县校级三模）如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝10，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5πB ．52πC ．10πD ．54π【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB 的面积与△COB的面积相解题技巧提炼通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件.有两种方法：（1）直接等面积转化法（2）平移转化法（3）对称转化法（4）旋转转化法等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可．【解答】解：∵点O 是AC 的中点，∴线段BO 是△ABC 的中线，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S 阴影＝S 扇形OBC ，∵∠BAC ＝36°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝72°，∵直径AC ＝10，∴OC ＝5，∴S 扇形OBC =72π×52360=5π，∴S 阴影＝5π，故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-1】（2023•孝义市三模）如图，AB 为半圆O 的直径，CD 垂直平分半径OA ，EF 垂直平分半径OB ，若AB ＝4，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．4π3B ．2π3C ．16π3D ．8π3【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S 半圆﹣2S 扇形 ACO ，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：连接OC ，∵CD 垂直平分半径OA ，∴AC ＝OC ，∵OC ＝OA ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∴S 阴影=12S ⊙O ﹣2S 扇形ACO =12×(AB 2)2π―2×60×(AB 2)2π360 =12×4π﹣2×16×4π＝2π―43π=23π．故选：B ．【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．【变式4-2】（2023•锦州二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，DE ，若∠BED ＝45°，AB ＝2，则阴影部分的面积为（ ）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．π【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC ＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E 是BC 的中点，从而得出OE 是△ABC 的中位线，于是OE ∥AB ，根据同底等高得到△AOD 和△AED 的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD 的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD 的面积即可得出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD ＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，∴S扇形OAD=90π×12360=π4，∴S阴影=π4，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．【变式4-3】（2023•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．512πB ．43πC ．34πD ．2512π【分析】根据AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积＝△ABC 的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积＝△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积=30π×52360=2512π，故选：D ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积是解题的关键．【变式4-4】（2023•郸城县模拟）如图，扇形ABC 圆心角为90°，将扇形ABC 沿着射线BC 方向平移，当点B 落到线段BC 中点E 时平移停止，若AC 的长为2π，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据S 阴影＝S 扇形DEF +S 矩形ABED ﹣S 扇形BAC ＝S 矩形ABED 求解即可．【解答】解：∵扇形ABC 圆心角为90°，AC 的长为2π，∴2π=90π⋅r 180，∴r ＝4，∴AB ＝BC ＝4，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝2，∴S阴影＝S扇形DEF+S矩形ABED﹣S扇形BAC＝S矩形ABED＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平移性质，扇形面积，熟练掌握求不规则图形面积，通过转化成规则图形面积的和差求解是解题的关键．【变式4-5】如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．求：（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）阴影部分的周长是：2×12×2π×6+60π×12180＝12π+4π＝16π（厘米），答：阴影部分的周长为16π厘米；（2）∵阴影部分的面积是：S半圆+S扇形BAC﹣S半圆＝S扇形BAC，∴阴影部分的面积=60×π×144360=24π（平方厘米）．答：阴影部分的面积为24π平方厘米．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键．【变式4-6】如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE ＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS 即可判断；（2）①设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，在Rt △OCE 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；②根据S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD 计算即可；【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC =BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE =12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连接 OD ．∵在Rt △OEC 中，OE ＝4=12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD=120⋅π⋅82360―12××4=643π﹣【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【典例五】（2022秋•潼南区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是 ．解题技巧提炼有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积.【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE 与扇形ACD 的面积之和与Rt △ABC 的面积之差．【解答】解：在Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴∠A ＝60°，AC =12AB ＝1，BC∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BCE +S 扇形ACD ﹣S △ACB 60π×12360―12×1×=5π12―故答案为：5π12【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AB 为半径画弧，连接AC ，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AD 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∠DAC ＝45°，∴AC =∴图中阴影部分的面积＝12×1×1]+（1×1―90π×12360）=12，故答案为12．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-2】（2023•平遥县二模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，∠A ＝60°，将Rt △ACB 绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt △DCE ，点B 经过的路径为BE ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为BF ，则图中阴影部分的面积是（ ）A π12B π12C +π12D ―π12【分析】根据S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF 计算即可．【解答】解：S 阴＝S △ACB +S 扇形CBE ﹣S 扇形ABF=12×1×60⋅π⋅22360+π12，故选：A ．【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．【变式5-3】如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE ，∵AB 为直径，∴BE⊥AC，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴BE＝AE＝CE，∴S弓形AE ＝S弓形BE，∴图中阴影部分的面积＝S半圆―12（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）=12π×22―12（12π×22―12×12×4×4）﹣（12×4×4―45π×42360）＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式5-4】（2022•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD ﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）=90π×62360―（6×4―90π×42360）＝13π﹣24，故答案为：13π﹣24．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
四种方法求阴影部分面积
四种方法求阴影部分面积首先，我们可以使用几何方法来求解阴影部分的面积。
设阴影部分的形状为矩形，其底边的长度为a，高度为h。
阴影的边界可以用两条直线来表示，设直线1与x轴的交点为A，直线2与x轴的交点为B。
两条直线与x轴的交点之间的距离为b。
则阴影部分的面积可以用以下公式表示：A=(a+b)*h/2第二种方法是通过将阴影部分分割成多个小矩形来求解。
首先，我们将阴影部分分割成n个小矩形，每个小矩形的底边长度为ai，高度为hi。
则阴影部分的面积可以表示为以下公式的和：A = ∑(ai * hi)其中i的范围从1到n。
第三种方法是使用积分来求解。
假设阴影部分的形状可以用函数y=f(x)来表示。
要求阴影部分的面积，我们需要找到函数f(x)的定义域上的积分区间[a,b]。
A = ∫[a, b] f(x) dx最后一种方法是使用统计学方法来求解。
假设我们已经获得了一组阴影部分的随机样本，符合一定的分布规律。
我们可以使用这组样本数据来进行统计分析，得出阴影部分的面积的估计值。
首先，我们可以计算出这组样本数据的平均值和标准差。
然后，使用均值加减一个标准差的方法，来计算阴影部分的上下边界。
根据阴影部分的上下边界和样本数据的分布，我们可以得到阴影部分面积的估计值。
需要注意的是，这种方法求得的阴影部分面积只是一个估计值，可能存在一定的误差。
综上所述，我们可以用几何法、分割法、积分法和统计法来求解阴影部分的面积。
每种方法都有自己的优缺点和适用范围，选择合适的方法取决于具体情况和问题要求。
求阴影部分面积的方法
求阴影部分面积的方法在几何学中，求阴影部分的面积是一个常见的问题。
阴影部分的面积可以通过多种方法来计算，本文将介绍几种常用的方法。
一、几何图形分割法。
在几何图形分割法中，我们可以将阴影部分分割成几个简单的几何图形，然后分别计算每个图形的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积。
这种方法适用于较为规则的几何图形，如矩形、三角形等。
二、积分法。
对于较为复杂的曲线或曲面的阴影部分，我们可以利用积分法来求解。
通过建立适当的坐标系和积分限，我们可以将阴影部分的面积表示为一个定积分，通过积分计算得到阴影部分的面积。
三、几何变换法。
在一些特殊情况下，我们可以利用几何变换来求解阴影部分的面积。
例如，通过平移、旋转、镜像等几何变换，将阴影部分变换成一个已知的几何图形，然后计算这个已知几何图形的面积，最后根据几何变换的性质得到阴影部分的面积。
四、数值逼近法。
对于一些无法通过解析方法求解的阴影部分，我们可以利用数值逼近法来求解。
通过将阴影部分分割成若干小区域，然后分别计算每个小区域的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积的近似值。
五、利用计算机软件求解。
在现代科技条件下，我们还可以利用计算机软件来求解阴影部分的面积。
通过建立相应的数学模型，利用计算机软件进行数值计算，可以得到阴影部分的面积的精确值。
六、其他方法。
除了上述几种方法外，还有一些其他特殊的方法可以用来求解阴影部分的面积，如利用相似性、三角函数等性质来进行计算。
综上所述，求解阴影部分的面积涉及到多种方法，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行计算。
在实际问题中，我们可以根据问题的特点和要求来选择合适的方法，从而求解阴影部分的面积。
希望本文介绍的方法对您有所帮助。
阴影部分的面积
一、相加相减法【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积. 或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.【例题1】：求组合图形的面积。
（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。
【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×3.14÷218.28（平方厘米）二、用比例知识求面积【点拨】：利用图形之间的比例关系解题。
【例题3】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】：因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.直接按比例关系来理解。
因为（a×c）:(d×c)=(a×b):(d×b),a:d=15：18=阴影面积：30，阴影面积为15×30÷18＝25（公顷）。
三、等分法【点拨】：根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。
【例题4】：求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析与解答】：把原图平均分成八分，就得到下图，先求出每个小扇形面积中的阴影部分：3.14×22÷4－2×2÷2=1.14(平方厘米 )阴影部分总面积为：1.14×8=9.12(平方厘米 )四、等积变形【点拨】：将题中的条件或问题替换成面积相等的另外的条件或问题，使原来复杂的图形变为简单明了的图形。
(完整版)求阴影部分面积的几种常用方法
总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
阴影部分面积的计算方法
阴影部分面积的计算方法
计算阴影部分面积的方法取决于阴影部分的形状。
以下是一些常见的计算阴影部分面积的方法：
1. 矩形阴影部分面积：如果阴影部分是矩形，那么它的面积可以通过矩形的长和宽相乘来计算。
2. 三角形阴影部分面积：如果阴影部分是三角形，那么它的面积可以通过三角形的底和高相乘再除以 2 来计算。
3. 圆形阴影部分面积：如果阴影部分是圆形，那么它的面积可以通过圆的半径的平方乘以π（圆周率）来计算。
4. 弓形阴影部分面积：如果阴影部分是弓形，那么它的面积可以通过扇形的面积减去三角形的面积来计算。
扇形的面积可以通过圆的半径的平方乘以π再乘以扇形的角度（以弧度表示）来计算，三角形的面积可以通过底和高相乘再除以 2 来计算。
5. 不规则阴影部分面积：如果阴影部分是不规则形状，那么可以将其分成若干个简单的形状，然后计算每个形状的面积，最后将它们相加。
或者使用一些数学工具，如微积分，来计算阴影部分的面积。
需要注意的是，在计算阴影部分面积时，应该确保所使用的单位是一致的。
此外，对于一些复杂的形状，可能需要使用一些数学工具或计算机软件来计算面积。
求阴影面积的常用方法
求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。
分析：连结CD、OC、OD，如图2。
易证AB//CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。
易得，故。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。
所以，。
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。
故。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以，又，易求得，所以。
五、拼接法例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
求阴影面积的巧妙解法
求阴影面积的巧妙解法有很多，以下是一些常见的方法：
1. 平移法：将不规则的阴影部分通过平移、旋转等方式转化为规则图形，然后计算其面积。
2. 割补法：将阴影部分分割成若干个规则图形，然后计算它们的面积之和。
3. 等积变形法：通过等积变形，将阴影部分转化为与之等积的规则图形，然后计算其面积。
4. 容斥原理法：利用容斥原理，将阴影部分的面积转化为若干个规则图形的面积之差或和。
5. 比例法：利用相似三角形的性质，通过比例关系求出阴影部分的面积。
这些方法都需要根据具体的图形特点进行选择和运用，需要灵活运用数学知识和思维能力。
(完整版)求阴影部分面积的几种常用方法
总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
求阴影面积的十种方法
求阴影面积的十种方法
阴影面积是指在光源照射下，物体投射出的阴影所覆盖的面积。
在几何学中，阴影面积是计算投影面积的一个重要概念。
对于不同形状的物体，计算其阴影面积有不同的方法，下面介绍几种常见的方法。
1. 直接计算法：对于简单的几何体，例如矩形、三角形、圆形等，可以根据相应的公式计算出其阴影面积。
2. 消影法：利用几何形体之间的消影关系计算阴影面积，这种方法适用于多个物体在同一平面上的情况。
3. 画图法：通过绘制物体投影图和阴影图，求出阴影面积。
4. 面积加减法：对于复杂物体，可以将其分解成若干个简单形体，再分别计算其阴影面积，最后将得到的结果加减得到总面积。
5. 数学模型法：利用数学模型模拟物体在光源照射下的投影过程，计算出阴影面积。
6. 三角网格法：使用三角网格模型计算阴影面积，适用于复杂非规则形状的物体。
7. 光线追踪法：通过模拟光线在场景中的传播方向，计算出阴影面积。
8. 蒙特卡罗法：通过随机生成光线投射到物体上，进行多次模拟，最终统计得到阴影面积。
9. 深度图法：通过产生一个深度图，依据深度图中的遮挡关系得出阴影区域，计算阴影面积。
10. 像素级法：将物体的每一个像素与光线相交，统计被覆盖的像素点，通过像素点的数量计算出阴影面积。
总之，计算阴影面积的方法主要取决于物体的形状和光源的位置，通过选择适合的方法，能够得到比较准确的结果。
求阴影部分面积的方法
求阴影部分面积的方法在数学中，求阴影部分面积是一个常见的问题。
阴影部分面积的计算方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、几何法。
几何法是最直观的求阴影部分面积的方法之一。
首先，我们需要将阴影部分与已知图形进行比较，找到相似的图形或者利用几何图形的性质来求解。
例如，如果阴影部分是一个三角形，我们可以利用三角形面积公式来计算阴影部分的面积。
如果阴影部分是一个不规则图形，我们可以将其分割成几个已知图形，然后分别计算它们的面积，最后将它们相加得到阴影部分的面积。
二、积分法。
积分法是一种比较高级的求阴影部分面积的方法。
如果阴影部分是一个曲线围成的区域，我们可以利用定积分的概念来求解。
首先，我们需要确定曲线的方程，并找到曲线与坐标轴之间的交点。
然后，利用定积分的性质，可以将曲线围成的区域分割成无穷小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，即可得到阴影部分的面积。
三、投影法。
投影法是一种利用投影关系来求解阴影部分面积的方法。
如果阴影部分是一个立体图形在平面上的投影，我们可以利用投影的性质来求解。
首先，我们需要确定立体图形的形状和位置，然后利用投影的关系，可以将立体图形的面积投影到平面上，最后计算投影部分的面积即可得到阴影部分的面积。
四、数值逼近法。
数值逼近法是一种利用数值计算方法来求解阴影部分面积的方法。
如果阴影部分的形状比较复杂，难以用几何法或者积分法求解，我们可以利用数值计算方法来逼近阴影部分的面积。
例如，可以利用蒙特卡洛方法来进行随机抽样，然后利用抽样结果来估计阴影部分的面积。
以上就是几种常见的求阴影部分面积的方法，每种方法都有其适用的场景和计算步骤。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解阴影部分的面积。
希望本文的介绍对您有所帮助。
求阴影面积的常用方法
求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。
分析：连结CD、OC、OD，如图2。
易证AB//CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。
易得，故。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。
所以，。
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。
故。
四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。
解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以，又，易求得，所以。
五、拼接法例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
求阴影部分面积
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r ，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例 5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见， 我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形， π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分） π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5 所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结(附例题)_小学阶段的学生通常在学习上存在着总结归纳能力欠缺等问题，为了很好地帮助孩子系统地掌握小学阶段的数学知识，老师把小学求图形面积的十大方法给大家做了总结，各位家长，快给孩子收藏起来吧！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例题分析例1、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD 面积的三分之一，也就是12厘米。
解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决求面积十大方法01相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积02相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如：下图，求阴影部分的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阴影部分的面积常用解法
【知识点】
1、面积单位：平方厘米（2cm )/平方分米(2dm )/平方米(2
m ) 2、基本面积公式：
长方形周长=（长+宽）×2C = 2 ( a + b )
长方形面积=长×宽S = a b
正方形周长=边长×4C = 4 a
正方形面积=边长×边长S = a 2
平行四边形面积=底×高S = a h
平行四边形底=面积÷高a = S ÷ h
平行四边形高=面积÷底h = S ÷ a
三角形面积=底×高÷2S = a h ÷ 2
三角形底=面积×2÷高a = 2 S ÷ h
三角形高=面积×2÷底h = 2 S ÷ a
梯形面积=（上底+下底）×高÷2S = ( a + b ) h ÷ 2
梯形高=梯形面积×2÷（上底+下底）h = 2 S ÷( a + b )
梯形上底=梯形面积×2÷高-下底a = 2 S ÷ h - b
梯形下底=梯形面积×2÷高-上底b = 2 S ÷ h - a
1平方千米=100公顷=1000000平方米
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
梯形 2)(÷⨯+=h b a S S=(a+b)h ÷2 菱形 2÷⨯b a （a 、b 分别为对角线）
圆2r S π= 扇形 ︒
÷=3602r n S π
“月牙形”面积公式S 月牙=0.285 r² ； “风筝形”面积公式S 风筝=0.215r² 扇形面积 = πr 2×
360n 扇形弧长 = πr n 1801 (n 为圆心角度数) 扇形周长 = 180
rn π＋2r 圆柱体积 = πr 2h = S 侧 ÷2×r = 21S 侧·r
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a -b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb ）加上四倍的该椭圆长半轴长（a ）与短半轴长（b ）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a ）与短半轴长（b ）的乘积。
计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法
此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
二、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
三、重叠法
就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
四、补形法
将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。
五、 等积法
谓“等积法” ,是指某些几何问题中 ,可以通过面积相等关系 ,导出其它几何元素之间的关系 ,从而使问题月牙形
风筝形
得以解决。