【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4 旋转变换

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高中数学 2.1.1矩阵的概念教案苏教版选修4-2

2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.
3.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n .
4.下图是各大洋面积统计表.
海洋名
情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。
教学重点：恒等变换、伸压变换的概念
教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵
教学过程：
一、问题情境:
已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?
思考: 若旋转30°, 结果如何呢? 旋转45°呢?
例2、求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) .
例3、已知曲线C : y=lgx , 将它绕原点顺时针旋转90°得到曲线C′, 求C′的方程.
四、课堂小结：
五、课堂练习：练习: 书P337 , 8
六、回顾反思：
七、课外作业：
1. 将图形变换为关于x轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为_____________ .
2.求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .
四、课堂小结：
五、课堂练习：P331 , 2 .

2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课件：第十二章第一节选修4-2《矩阵与变换》

当 λ＝－1 时，由－4x－2x＋2y＝y＝00，得矩阵 A 的属于特征值－1 的
一个特征向量为12，当 λ＝3 时，由24xx＋＋y2＝y＝0，0 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特
征向量为－12.
3.[考点二]
(2018·苏北四市期末)已知矩阵 A＝1－12
－82＝－－1246.
2.[考点二]曲线 C1：x2＋2y2＝1 在矩阵 M＝01 12的作用下变换为曲线 C2，求 C2 的方程．解：设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2 ＋2y2＝1上与P对应的点，
则01
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
矩阵的运算
[例 1]
(1)已知 A＝01 00，B＝0－11 0，C＝－ 0 1－01，
计算 AB，AC.
(2)已知 A＝10 00，B＝00 10，计算 AB.
1 (3)已知 A＝12
02 突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．逆矩阵对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是_可__逆_ 的，B 称为 A 的逆矩阵． 2．二阶行列式我们把ac db称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值 (或多项式)，记为 det(A)＝ ad－bc .
求曲线 C′的方程．解：(1)设 M＝ca db，

b＋d b＝30
22，
a＝0，得ab＋＝c2＝，3，
b＋d＝2，
∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝03 20.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知矩阵 M＝13 24，α＝12，β＝－03，求 M(2α＋4β)．

高二数学选修4-2矩阵与变换课件苏教版

2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。城市A 城市B 城市C 甲矿区乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。
主要数学思想
（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4旋转变换

长叹
固执
可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
通
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”
担心什么铲不平？
河曲智叟亡以应。
没有。通“无”
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子；子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，还担心什么挖不平？”智叟没有话来回答。
“方七百里”
山的面积
“高万仞”
山的高度
“本在冀州之南，河阳之北” 地理位置
作用：衬托移山的艰难，更能突出愚公的品质。这是故事的背景，为下文愚公移山埋下伏笔。
朗读课文，说说写了愚公移山的哪些内容。
原因： “惩山北之塞，出入之迂也”。目的： “指通豫南，达于汉阴”。倒土的地点： “投诸渤海之尾，隐土之北”。具体的行动： “遂率子孙……运于渤海之尾”。
五、特殊句式 1.甚矣，汝之不惠倒装句 2.本在冀州之南，河阳之北省略句 3.且焉置土石倒装句，疑问代词“焉”提前。
4.遂率子孙荷担者三夫省略句，省略主语愚公。倒装句，定语“三夫”后置。
5.告之于帝倒装句，状语“于帝”后置。
6.帝感其诚被动句，译为：天帝被他的诚心所感动。
细读感悟
年且九十且焉置土石
且焉置土石始一反焉
面山而居何苦而不平而山不加增
将近况且
疑问代词，哪里。加强语气
表修饰表承接表转折
三、古今异义 1.河阳之北（古：山之南，水之北 2.惩山北之塞（古：苦于 3.达于汉阴（古：山之北，水之南

2020年江苏省高考数学附加题专项7套含答案

专题一请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤m 00 n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A .【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；【题目1】甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ).解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为【题目2】在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D r n x r ＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n n x 2n 的展开式中，把D 0n ，D 1n ，D 2n，…，D 2n n 叫做三项式系数. (1)当n ＝2时，写出三项式系数D 02，D 12，D 22，D 32，D 42的值；(2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数 .专题二请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程.【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程.必做部分【题目1】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.(1)求证：AC⊥EF；(2)求二面角C－EF－D的大小.【题目2】已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，a m，使得a1a2，a2a3，…，a m－1a m，a m a1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值.(1)求f(6)的值；(2)对于给定的正整数n (n ＞1)，(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f (k )的解析式；(ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，求f (k )的解析式.专题三请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎡⎦⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，求B －1.【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程.必做部分【题目1】某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，4 7.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望.【题目2】已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 专题4请同学从下面给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 2c d (c ，d 为实数).若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为ρsin ()θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.必做部分【题目1】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∠BCA ＝90°.(1)求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值；(2)求二面角B－AB1－C平面角的余弦值.【题目2】在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2).(1)当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数.专题五2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤0 ab 0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎡⎦⎤11，求矩阵M .3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ()2，π3为圆心且与直线l: ρsin ()θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.5.已知点A(1,2)在抛物线F：y2＝2px上.(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3, 求1k1－1k2＋1k3的值；(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求1k1－1k2＋1k3－1k4的值.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论. .专题六2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎡⎦⎤1 02， N ＝⎣⎡⎦⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.专题七2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2122－1M ＝⎣⎡⎦⎤－3 0 4－1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ()θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；(2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度.6.已知()1＋12xn展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n(x )，an ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1专题一请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤m 0n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A .解由题意得⎣⎡⎦⎤m 00 n ⎣⎡⎦⎤10＝1⎣⎡⎦⎤10，⎣⎡⎦⎤m 00 n ⎣⎡⎦⎤01＝2⎣⎡⎦⎤01，所以⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2，故A ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2. 【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数.(1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值. 解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14. (2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2. 必做部分【题目1】甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×()132×()123＋C 23×()232×()13×C 13×()123＋C 33×()233×C 23×()123＝1136.(2)ξ的取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝()133×()123＋C13×23×()132×C13×()123＋C23×()232×13×C23×()123＋()233×()123＝724，P(ξ＝1)＝()133×C13×()123＋C13×23×()132×()123＋C13×23×()132×C23×()123＋C23×()232×13×C13×()123＋C23×()232×13×()123＋()233×C23×()123＝1124，P(ξ＝2)＝()133×C23×()123＋C23×()232×13×()123＋C13×23×()132×()123＋()233×C13×()123＝524，P(ξ＝3)＝()133×()123＋()233×()123＝124，所以ξ的分布列为所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.【题目2】在(1＋x＋x2)n＝D0n＋D1n x＋D2n x2＋…＋D r n x r＋…＋D2n－1n x2n－1＋D2n n x2n的展开式中，把D0n，D1n，D2n，…，D2n n叫做三项式系数.(1)当n＝2时，写出三项式系数D02，D12，D22，D32，D42的值；(2)类比二项式系数性质C m n＋1＝C m－1n＋C m n(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，给出一个关于三项式系数D m＋1n＋1(1≤m≤2n－1，m∈N，n∈N)的相似性质，并予以证明.解(1)因为(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，所以D02＝1，D12＝2，D22＝3，D32＝2，D42＝1.(2)类比二项式系数性质C m n＋1＝C m－1n＋C m n(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，三项式系数有如下性质：D m＋1n＋1＝D m－1n＋D m n＋D m＋1n(1≤m≤2n－1).证明如下：因为(1＋x＋x2)n＋1＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)n，所以(1＋x ＋x 2)n ＋1＝(1＋x ＋x 2)·(D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n nx 2n ). 上式左边x m＋1的系数为D m ＋1n ＋1，上式右边xm＋1的系数为D m ＋1n ＋D m n ＋D m －1n ，于是D m ＋1n ＋1＝D m －1n ＋D m n ＋D m ＋1n (1≤m ≤2n －1).专题二请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程. 解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎡⎦⎤0 110⎣⎡⎦⎤1－2＝⎣⎡⎦⎤0 －210，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎡⎦⎤xy ＝⎣⎡⎦⎤0 －21 0⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤－2y ′ x ′，即⎩⎨⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎨⎧x ′＝y ，y ′＝－12x . 又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴()－12x2＝12y ，即x 2＝2y . 【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程.解 (1)根据sin 2α＋cos 2α＝1，得(x －2)2＋y 2＝4cos 2α＋4sin 2α，所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)把⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.必做部分【题目1】如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，且AD ＝DE ＝2BF ＝2.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求二面角C －EF －D 的大小.(1)证明连接BD ，∵FB ∥ED ，∴F ，B ，E ，D 共面，∵ED ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴ED ⊥AC ，又ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，ED ，DB 平面DBFE ，∴AC ⊥平面DBFE ，而EF平面DBFE ，∴AC ⊥EF .(2)解如图建立空间直角坐标系.则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，F (2，2，1)，E (0，0，2)，由(1)知AC →为平面DBFE 的法向量，即AC →＝(－2，2，0)，又CE →＝(0，－2，2)，CF →＝(2，0，1)，设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴n ＝()－12，1，1.设二面角C －EF －D 的大小为θ，则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝1＋232×22＝22，又二面角C －EF －D 为锐角，所以θ＝π4.【题目2】已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m －1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f (k )为满足条件的m 的最大值. (1)求f (6)的值；(2)对于给定的正整数n (n ＞1)，(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f (k )的解析式； (ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，求f (k )的解析式. 解 (1)由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意，若a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意，综上所述，m 的最大值为2，即f (6)＝2. (2)由题意，当n (n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，设A 1＝{1，2，…，n }，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}，显然，a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n (n －1)＜n (n ＋1)＜k ，所以从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2)≥k ，不符合题意，所以从集合A 2中选出的a j 必不相邻，又因为从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，所以从集合A 2中选出的a j 至多有n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间，所以f (k )≤2n .(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，取一串数a i 为：1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，或写成a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧i ＋12，i 为奇数，2n ＋1－i2，i 为偶数(1≤i ≤2n )，此时a i a i ＋1≤n (n ＋2)＜k (1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，所以f (k )＝2n . (ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n (n ＋2)≥k ，与题意不符，所以f (k )≤2n －1，取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n 或写成a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧i ＋12，i 为奇数，2n －i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n－1)，此时a i a i ＋1≤n (n ＋1)＜k (1≤i ≤2n －2)，a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意，所以f (k )＝2n －1.专题三请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎡⎦⎤1 234，(BA )－1＝⎣⎡⎦⎤1 01，求B －1.解设B －1＝⎣⎡⎦⎤a bcd ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎡⎦⎤1 01＝⎣⎡⎦⎤1 23 4⎣⎡⎦⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132 －12.【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程.解设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )，A (0，0)，B (ρ1，θ0)，则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.又AB ＝3，故sin θ0＝±32. 解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π3＋2k π，k ∈Z .所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R ).【题目3】选修4－5：不等式选讲已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).证明 ∵a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)＝a 5(a －b )－(a －b )b 5＝(a －b )(a 5－b 5). 又a ≥0，b ≥0，当a －b ≥0时，a 5－b 5≥0；当a －b ＜0时，a 5－b 5＜0，即(a －b )(a 5－b 5)≥0，所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).必做部分【题目1】某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望.解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容.(2)ξ的取值可能是0，2，3，4，5，7. P (ξ＝0)＝()1－373＝64343，P (ξ＝2)＝C 12×37×()1－372＝96343， P (ξ＝3)＝()1－372×37＝48343，P (ξ＝4)＝()372×()1－37＝36343，P (ξ＝5)＝C 12×37×()1－37×37＝72343，P (ξ＝7)＝()373＝27343， ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.【题目2】已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎨⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0， x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0，1).专题4请同学从下面给的三题中选定两题作答【题目1】选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 2cd (c ，d 为实数).若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解由题意知⎣⎡⎦⎤1 2cd ⎣⎡⎦⎤21＝⎣⎡⎦⎤ 42c ＋d ＝2⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤1 2c d ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤ 3c ＋d ＝3⎣⎡⎦⎤11，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝4.所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－131616.【题目2】选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为ρsin ()θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解由ρsin ()θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3.所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.【题目3】选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14. 证明因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2 ＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.必做部分【题目1】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∠BCA ＝90°.(1)求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值； (2)求二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值.解如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2). (1)因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010，所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010. (2)设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)；设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0，取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝25×2＝105，易知二面角B －AB 1－C 为锐角，所以二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值为105. 【题目2】在数列{a n }中，已知a 1＝20，a 2＝30，a n ＋1＝3a n －a n －1(n ∈N *，n ≥2).(1)当n ＝2，3时，分别求a 2n －a n －1a n ＋1的值，并判断a 2n －a n －1a n ＋1(n ≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n ，使得5a n ＋1a n ＋1为完全平方数.解 (1)由已知得a 3＝70，a 4＝180.所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.猜想：a 2n－a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2). 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝2时，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500. 将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k ＋1＋a 2k ＋1＝－500.则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500.故当n ＝k ＋1结论成立，根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立. (2)将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501，设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501，又a n ＋1＋a n ∈N ，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎨⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎨⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎨⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎨⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82，由a n ＋1＋a n ＝250解得n ＝3；由a n ＋1＋a n ＝82得n 无整数解，所以当n ＝3时，满足条件.专题五2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤0 ab 0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎡⎦⎤11，求矩阵M .解由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ λ－a －bλ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎡⎦⎤0 a b 0 ⎣⎡⎦⎤11＝λ2⎣⎡⎦⎤11，从而⎩⎨⎧a ＝λ2，b ＝λ2，所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－10. 3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ()2，π3为圆心且与直线l: ρsin ()θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ()θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ()θ＋π6.4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：()1x ＋2y ＋3z ()x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明因为x >0，y >0，z >0，所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz 48，所以()1x ＋2y ＋3z()x 2＋y 4＋z 6≥92. 当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值. 解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ()y 214，y 1，C ()y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ()y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m ＝m ！. 当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m，其中k ＝1,2，…，m ，且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1(－1)k k C km ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m(x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k－1m (x －k )m ＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m ＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m!＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立. 由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.专题六2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎡⎦⎤1 02， N ＝⎣⎡⎦⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎡⎦⎤2 01 ⎣⎡⎦⎤1 00 2＝⎣⎡⎦⎤2 00 2.则⎣⎡⎦⎤2 02 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00， ⎣⎡⎦⎤2 00 2 ⎣⎡⎦⎤30＝⎣⎡⎦⎤60，⎣⎡⎦⎤2 00 2 ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4. ∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ()θ＋π4，y ＝2sin ()θ－π4， θ∈[0，π]，所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.证明因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0，ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0，所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝()352×()132×25＝2125. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝()352×()132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12()a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12()a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12()a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立. (2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立；假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0. 则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1) ＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝⎛⎭⎫1ak ＋1－1a 1＋a k ＋1()a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝⎛⎭⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1()a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1，因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.专题七2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2122－1M ＝⎣⎡⎦⎤－3 0 4－1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2122 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－30 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－12－2－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－30 4－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－22，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2.设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－22 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0，由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ()θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ()θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)，∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|，故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2. 又()1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝⎛⎭⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立，故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立. 5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；(2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0).(1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎨⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ). 设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎨⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝()1＋12λ，12λ，1.因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×()1＋12λ＋2()1＋12λ2＋()12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知()1＋12xn展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n(x )，an ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1. (1)解依题意a k (x )＝C k －1n ()12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1，a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·()12＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·()122＝n (n －1)8，所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ()12x ＋3C 2n()12x 2＋…＋n C n －1n()12x n －1＋(n ＋1)C n n ()12x n，F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C nn ，设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ，则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ，考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1。

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选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知识梳理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________．解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________．解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________．解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用．【训练2】已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________．解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值．解因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!，于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。

江苏理数选修4-2 矩阵与变换第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3，－4
2－6＝2λ，即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3，解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2．已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ，向量 α ＝－3是－4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

江苏省铜山县高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2

.4。

2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组错误!当ad －bc≠0时，方程组的解为错误!二、二阶行列式定义:det(A ）＝a b c d ＝ad －bc 因此方程组的解为错误! 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为错误! 例1 求下列行列式的值⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4—2×3=—2 ⑵21 43-=1×4—2×（—3）=10 ⑶21 - 40=-1×4—2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad —bc) 例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x —3 的最值。

解:∵x= θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f （x)=x 2+2x —3=(x+1）2-4∴当x=—1时f （x ）取得最小值 -4；当x=1时f （x ）取得最大值0例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用:一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为:⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）错误!(2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

高中数学 2.2 几种常见的平面变换 4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评苏教版选修4-2-

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.求出△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下得到的图形，并画出示意图，其中A (0，0)，B (1，3)，C (0，2).【解】因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 1，所以△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下变换得到的图形为△A ′B ′C ′，其中A ′(0，0)，B ′(－1，3)，C ′(－3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成什么图形？ (2)正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101作用下变成什么图形？这里A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1).【解】 (1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成直线x ＝3. (2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101对应变换下，A →A ′(－2，－1)，B →B ′(0，－1)，C →C ′(2，1)，D →D ′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A ′B ′C ′D ′，如图.3.椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换作用下得到什么图形？【解】设(x ，y )为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则有x 2≤9.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，所以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换作用下得到的图形是线段y ＝0(－3≤x ≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy 内有一点P (2，3)，将该点沿平行于直线x ＋2y ＝0的方向投影到x 轴上，求P (2，3)在此投影变换下得到的点P ′的坐标.【解】设P (2，3)在此投影变换下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 0，从而可知此投影变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤80，可知点P ′的坐标为(8，0). 5.如图224所示，已知△ABC 在变换T 的作用下变成△A ′B ′C ′，试求变换T 对应的矩阵M .【导学号：30650020】图224【解】从△ABC 到△A ′B ′C ′对应的是x 轴方向上的切变变换，因为A 、B 在x 轴上，原地不变，注意到C (－1，1)→C ′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201.6.如图225所示，已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成图形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M .图225【解】从图可以看出，T 是一个切变变换，且T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x y ＋12x . 故T 对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1. 我们可以进行如下验证：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1. 所以矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1的作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′. 7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的矩阵表示.【解】不妨设P (x ，y )是平面上的任意一点，则它关于直线y ＝x 对称的点P ′的坐标为P ′(y ，x )，PP ′的连线一定垂直于直线y ＝x ，且交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，如图所示.根据题意，该变换即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的变换的矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12. 能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x ＝y 2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程. (2)求圆x 2＋y 2＝1绕原点逆时针旋转π8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】 (1)旋转变换矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设x ＝y 2上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y 0 x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0y ′0＝x 0，故y ′0＝(－x ′0)2，即旋转所成的曲线方程为y ＝x 2.(2)设x 2＋y 2＝1上的动点P (x ，y )经过变换后得新曲线上的点为P ′(x ′，y ′). 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π8 －sin π8sin π8 cos π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x cos π8－y sin π8x sin π8＋y cos π8，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos π8－y sin π8，y ′＝x sin π8＋y cos π8.从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′cos π8＋y ′sin π8，y ＝－x ′sin π8＋y ′cos π8.代入x 2＋y 2＝1得(x ′cos π8＋y ′sin π8)2＋(－x ′sin π8＋y ′cos π8)2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 2＋y 2＝1.。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案苏教版选修4-2-苏教版高二选修4

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值．解：根据题意，得AA －1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

苏教版数学高二- 选修4-2 教案 2.3变换的复合与矩阵的乘法

2.3 变换的复合与矩阵的乘法1．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M·M·…·M.3．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律设M 、N 、P 均为二阶矩阵，则一定有(MN)P ＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B≠C.1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．3．矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M 后T N 的两次几何变换.矩阵的乘法运算(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，计算AB.(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA. (3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【思路探究】利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA ；(3)中尽管B≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵．证明下列等式并从几何变换的角度给予解释．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0，∴左＝右．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质已知正方形ABCD ，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．【思路探究】利用具体的几何变换验证．【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN≠NM.从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换．这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图．(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换．一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律．算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012表示AB ＝AC ，但A≠0且有B≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释．【解】左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.∴左边＝右边．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.变换的复合问题已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．【思路探究】先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程．【自主解答】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－2y 0，y′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′0，y 0＝－x′02.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y′0)2＋⎝⎛⎭⎫－x′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？【解】绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－y 0，y′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′02，y 0＝－x′0.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以⎝⎛⎭⎫y′022＋(－x′0)2＝1. 故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.(教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．(2013·南京模拟)已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．【命题意图】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．【解】从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x′，x 0＝y′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x′，x 0＝y′.代入曲线C 1方程得，y′2＋(12bx′)2＝1.即曲线C 2方程为：(12b)2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b)2＝4.所以b ＝±1.1．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×2 1×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 02．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4，则AB ＝________，AC ＝________.【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 03．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，则A 2＝________.【解析】 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋1×－1 1×1＋1×－1－1×1＋－1×－1 －1×1＋－1×－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 04．矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________．【解析】几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换．【答案】先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC. 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1.【解】原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z.【解】设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－1 37.4．验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行)． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边．故等式成立．从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1把点P(x ，y)切变到点P 1(y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把点P 1(y ，x ＋y)切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002把点P 2(x ＋2y ，x ＋y)垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y,3x ＋4y)．这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4直接把点P(x ，y)变到点P 4(x ＋2y,3x＋4y)是一致的．(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝左边．故等式成立．从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A(x ，y)以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x)；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1把点A 1(y ，x)平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把点A 2(y ＋kx ，x)以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx)．这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1直接把点A(x ，y)沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx)是一致的．5．试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1. 【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×12＋0×0 1×0＋0×10×12＋2×0 0×0＋2×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设(x′，y′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x′ 2y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12x′＝x ，2y′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y. 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x.故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x.6．求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－11.【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－22，设P(x′，y′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x ，y)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x′－2x′＋2y′ 于是x′＝x ，y′＝x ＋y2.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1. 7．已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤1878 (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率．【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427，它们分别表示 A 2＝后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝再后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427.(2)明天天气晴、阴概率Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3858；后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11241324；再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35723772.教师备选8．设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵．【解】若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60°sin －60° cos －60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32. 综上所述，所求矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32.一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2.所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 304.所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点．在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 22. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2222 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋－1×0 0×22＋－1×22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22.又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)，所以S △O′A′B′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P(x ，y)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝－12x′，代入y 2＝x ，得y′＝14x′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一．在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼．因此本章中始终贯穿数形结合的思想．已知矩形ABCD ，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. 所以点A 、B 、C 、D 分别变换成点A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如图所示．(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．综合检测(三)1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋2×3 1×－2＋2×123×0＋4×3 3×－2＋4×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －112 －4.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ＋φ －sin θ＋φsin θ＋φ cos θ＋φ.2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的．3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N. 【解】设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a －c 22b －d 22a ＋c22b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22a －c ＝1，22b －d ＝0，22a ＋c ＝0，22b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22. 4．设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M. 【证明】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ，EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝M.所以等式得证． 5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *)．【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到．(2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的伸压变换得到．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程．【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2×1＋1×0 2×－2＋1×1－1×1＋2×0 －1×－2＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 4，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×2＋－2×－1 1×1＋－2×2 0×2＋1×－1 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P(x ，y)经矩阵M 变换后为点P′(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝2x －3y y′＝－x ＋4y ，即⎩⎨⎧ x ＝45x′＋35y′y ＝15x′＋25y′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得：45x′＋35y′＋15x′＋25y′＋2＝0，即x′＋y′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．计算得△A′B′C′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20 d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象．【解】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2.(2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y)，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y)的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x.10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：价格日需求量A ＝苹果香蕉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5A 店 1.2B 店2.8 3.0，B ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤1苹果 2香蕉3 2，人员数量C ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤200男 50女80 120. 利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表．【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.8 3.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：BA ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1A 店 7.2B 店10.1 9.6日消费额. (2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 232 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，故量表为D ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤350苹果 500香蕉440 400日需求量.。

高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.5投影变换

y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
反思问题
研究矩阵M=
1 1
0 0
所确定的变换。
对于平面内任意列向量

xy，有
1 1
0 0
x

y

x x
y (x, y) y=x
矩阵M使得平面上点的横坐标不变，纵坐标变为与横坐标相等.
愚公移山的困难：
1.两座山面积大、高 “方七百里，高万仞” 2.愚公年老力衰
“年且九十”“曾不能毁魁父之丘”“以残年余力，曾不能毁山之一毛”
3.移山劳动力缺乏、工具简陋 “率子孙荷担者三夫……箕畚运于渤海之尾”
“遗男，始龀，跳往助之”
4.安置土石的困难、运输路途远 “投诸渤海之尾，隐土之北”“寒暑易节，始一反焉”
聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指
家
铲平险峻的大山直
皆，共同
赞通同豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相
译文：
北山脚下有个叫愚公的人，年纪将近九十岁了，面对着山居住。愚公苦于这两座大山横亘面前而阻塞交通，进进出出曲折绕远。于是愚公便聚合全家来商量说：“我和你们竭尽全力铲平险阻，使它一直通向豫州南部，到达汉水南岸，好吗？”大家纷纷表示赞成。
长叹
固执
可通彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，担何心什苦么而铲不不平平？？”
没有。通“无”
河曲智叟亡以应。
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子，孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子；子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，

选修4-2矩阵与变换知识点讲解

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：

对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识

对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识王家清不久前，在“东部发达地区数学新课程教学实践”课题活动中，我针对苏教版选修4-2《矩阵与变换》上了一节市级公开课，感受颇多。

下面我想谈一谈教学前后的一些体会。

一、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的编排情况矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。

矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本章节通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

1．主要内容通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。

2．教材定位及意图初中起点、只讨论具体的二阶方阵、从几何上理解矩阵的有关知识、为进一步学习高等数学奠定基础。

定位应与大学教学相区别。

在大学课程中矩阵作为代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法.而在中学课程标准中主要通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义。

3．章节安排①二阶矩阵与平面向量；②几种常见的平面变换；③变换的复合与矩阵的乘法；④逆变换与逆矩阵；⑤特征值与特征向量；⑥矩阵的简单应用。

矩阵---几何变换的代数表示几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量矩阵就是一个几何变换，它把平面上的任一个点，变成平面上的另一个点。

中学常见的几种几何变换的矩阵表示：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等。

二、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的一些特点对本课程标准的理解：以变换为主线贯穿于整个教学过程，使学生真正理解矩阵对向量的作用，旋转变换以坐标原点为中心，通过图形变换理解并掌握初等变换。

重点难点：初等变换、矩阵的特征值和特征向量。

1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论。

2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵。

选修4-2矩阵与变换.docx

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一的平面几何常可以看做是伸、反射、旋、切的一次或多次复合，而伸、反射、切等通常叫做初等；的矩叫做初等矩．(2)MN 的几何意：向量x 矩乘法α＝施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合．·(3) 当向量施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ，地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩乘法的运算性(1) 矩乘法不足交律于二矩A ，B 来，尽管 AB ， BA 均有意，但可能 AB ≠BA .(2) 矩乘法足合律A ，B ，C 二矩，一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩乘法不足消去律．A ，B ，C 二矩，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析：因 A ＝ B ，x ＝ 8，＋＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ，它所的矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析：将它写成矩的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所的矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩的乘法着的复合，而两个的复合仍是一个，且两个的复合程是有序的，易倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝－ 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝，x ，y 为实数．若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解：由已知，得 A α＝－ 12 2 ＝－ 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以－ 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解：因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解：设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝， ′ ＋′ ＝，y ′ ＝，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点，在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ，则＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三变换的复合与矩阵的乘法重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解：由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解：绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋－＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝，即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解：设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解：设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋＝－ 3 1 ，＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解：由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ，即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解：设 M ＝，由题意，得＝，，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解：设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则－ 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步：将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝－ 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案：－ 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝的一个特征向量，则实数322解析：设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆，如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一：设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二：注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析：因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ，即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案：－ 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解：设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即－ a － b 1 0则＝＝，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－＝ 1≠ 0，解：法一：因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二：因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得－＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵 A所确定的二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值－ 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－－ 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1，则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解：设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解：矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解：由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解：特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－－＝，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝－ 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解：令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝－ 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解：把 λ＝－ 2 代入－λ－＋＝，得＝，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝，c d1 8a ＋＝，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝，故故c d＋＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ，＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。

矩阵旋转坐标变换

矩阵旋转坐标变换一、基本概念在二维平面上，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置，其中一个点的坐标可以用两个数值（x，y）来表示。

在三维空间中则需要用三个数值（x，y，z）来表示点的位置。

当我们对坐标系进行旋转时，点的坐标也会随之发生变化。

矩阵旋转坐标变换就是描述了在不同坐标系中点的坐标如何发生变化的数学方法。

假设我们要将一个点p(x, y)绕原点O逆时针旋转θ度，我们可以使用矩阵旋转坐标变换来实现这一操作。

旋转后的点坐标记为p'(x', y')，其公式可以表示为：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)这两个公式就是矩阵旋转坐标变换的基本原理。

其中，cos(θ)和sin(θ)表示角度θ的余弦和正弦值，分别对应于旋转矩阵的元素值。

通过这两个公式，我们可以将点p(x, y)绕原点O逆时针旋转θ度，得到旋转后的点p'(x', y')。

二、矩阵表示上面给出的旋转公式可以进一步用矩阵来表示。

假设一个点p在平面直角坐标系中的坐标是(x, y)，我们可以用一个列矩阵来表示这个点：p = [x y]我们可以构造一个2x2的矩阵R来表示旋转矩阵：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]这个矩阵R就是一个绕原点O逆时针旋转θ度的旋转矩阵。

通过矩阵乘法，我们可以将点p与旋转矩阵R相乘，得到旋转后的点p'的坐标：p' = Rp具体计算过程如下：p' = [cos(θ) -sin(θ)] [x][sin(θ) cos(θ)] [y]= [x*cos(θ) - y*sin(θ)][x*sin(θ) + y*cos(θ)]可以看到，通过矩阵乘法同样可以得到旋转后的点p'的坐标，这与前面的公式是一致的。

矩阵表示的形式更加简洁和直观，也更适合在计算机程序中进行实现。

矩阵旋转变换公式

矩阵旋转变换公式
矩阵旋转变换是一种基本的空间变换，它可以将物体从一个坐标系平移、旋转到另一个坐标系。

它是基于矩阵的一种变换，通过矩阵运算实现物体的旋转变换。

矩阵旋转变换的基本原理是：当物体由一个坐标系变换到另一个坐标系时，物体的每一个点都要进行变换，即每一个点都要经过旋转运算，变换到另一个坐标系。

矩阵旋转变换的公式是：假设一个物体在坐标系A中的坐标是(x,y,z)，要将其变换到坐标系B中，则需要将坐标系A中的点(x,y,z)乘以一个3×3的旋转矩阵R，即：（x'，y'，z'）=（x，y，z）* R。

矩阵旋转变换的公式可以用于各种空间变换，如投影变换、投影变换、平行投影变换等。

这种变换可以实现三维物体的旋转、平移、缩放等功能。

矩阵旋转变换的公式可以用来解决许多计算机图形学中的问题，如游戏开发、设计等。

例如，在游戏开发中，矩阵旋转变换的公式可以用来实现物体的旋转、平移、缩放等效果，从而让游戏更加逼真。

矩阵旋转变换的公式可以用来解决许多空间变换的问题，它可以将物体从一个坐标系变换到另一个坐标系，从而实现旋转、平移、缩放等效果，它在计算机图形学中有着重要的地位。

矩阵旋转变换

矩阵旋转变换
矩阵旋转变换是一种数学上常用的几何变换。

它将空间中的某一象限内的点，通过旋转一定角度和极径进行映射，使其坐标发生变化而达到图形旋转的过程。

在二维空间中，点的旋转变换可表示为：
( x',y' ) = ( xcosα- ysinα , xsinα + ycosα ),
其中α表示旋转角度，x,y表示旋转前的坐标，x',y'表示旋转后的坐标。

矩阵旋转变换也可以使用特殊的2*2矩阵来表示，这就是为什么叫做矩阵旋转变换。

下面是矩阵的形式:
[ cosα -sinα ]
[ sinα cosα ]
由于所有的变换都可以用矩阵的相加，减，乘来表示，所以矩阵旋转变换可以与其他几何变换结合使用，像平移变换，尺寸变换等。

矩阵旋转变换也可以应用到三维空间中，这就是众所周知的三维旋转变换。

它沿·着Y轴旋转的矩阵形式如下:
[ cosα 0 -sinα ]
[ 0 1 0 ]
[ sinα 0 cosα ]
三维中的旋转变换也可以用euler角或者欧拉角来进行描述，这在机器人控制中常用。

矩阵旋转变换经常被用来建立复杂几何图形，复杂ANN神经网络,并把它们应用于计算机图形学中，几何投影转换，弹道投射，飞机航行控制，空间航天控制等领域。