高中数学《直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质》导学案

2.2.3直线与平面平行的性质

2．2.4平面与平面平行的性质

课前自主预习

知识点一直线与平面平行的性质定理

1．定理：一条直线与一个平面平行，则□1过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

2．符号表示：若□2a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则□3a∥b.

3．作用：□4证明或判断线线平行．

知识点二平面与平面平行的性质定理

1．定理：如果两个平面平行，那么其中一平面内的□1任一直线平行于另一平面．

2．符号表示：若□2α∥β，a⊂α，则□3a∥β.

3．作用：□4证明或判断线面平行．

知识点三平面与平面平行的性质定理

1．定理：如果□1两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线□2平行．

2．符号表示：若□3α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则□4a∥b.

3．作用：□5证明或判断线线平行．

1．定理使用条件

(1)直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

①直线a和平面α平行，即a∥α.

②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.

③直线a在平面β内，即a⊂β.

(2)平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可

①两个平面平行，即α∥β.

②第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.

③第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.

2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

1．(教材改编，P61练习)判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．()

(2)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．()

(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.()

答案(1)×(2)×(3)×

2．(教材改编，P62，T2)做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是________．

(2)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________．

(3)正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面B1AC与平面A1C1的交线

为l，则l与AC的关系是________．

答案(1)m∥n(2)l∥β或l⊂β(3)l∥AC

3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()

A．平行B．平行或异面

C．平行或相交D．异面或相交

答案B

课堂互动探究

探究1直线与平面平行性质定理的应用

例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.

证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.

又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.

拓展提升

利用线面平行的性质定理解题的步骤

【跟踪训练1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

证明连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，

∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

探究2平面与平面平行性质定理的应用

例2如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．

求证：直线MN∥平面OCD.

证明取OB的中点E，连接ME，NE.

∵M，E分别是OA，OB的中点，

∴ME∥AB.

∵AB∥CD，∴ME∥CD.

∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，

∴ME∥平面OCD，同理NE∥平面OCD.

∵ME⊂平面MNE，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，

∴平面NME∥平面OCD.

∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.

拓展提升

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

【跟踪训练2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N，求证：N为AC 的中点．

证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，

平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，

平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，

∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，

∴四边形ANC 1M 为平行四边形．

∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC .

∴N 为AC 的中点．

探究3 直线、平面平行的综合应用

例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图．

(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；

(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明：A 1E ＝EF ＝FC .