常微分方程基本概念

方程d 2 dt
x
2

k
2
x

0的解.
并求满足初始条件
x
t0

A,
dx dt
t0

0的特解.
解

dx dt

kC1
sin
kt

kC2
cos kt,
d2 dt
x
2

k
2C1
cos
kt

k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达
式代入
原方程,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 若微分方程的解中包含的独立的任意 常数个数与微分方程的阶数相同，此解称为方程 的通解。
y x2 C是y 2x的通解. y x3 C1 x C2是y 6x的通解.
y y,
通 解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
所 求 曲 线 方 程 为y x2 1 .
二、微分方程的定义
微分方程: 含有自变量，未知函数以及未知函数的导数或微 分的方程叫微分方程.
例如 y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
z x y, x
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
则称为线性微分方程
y P( x) y Q( x), 线性 x( y)2 2 yy x 0; 非线性
单个微分方程与微分方程组：
dy dx

3
y

2z,

dz

2y

z,
dx
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 该方程的解.
y 2x y x2 1, y x2 C均为其解。
(2)特解: 依所给条件确定通解中任意常数
Hale Waihona Puke Baidu
以后的解称为方程的特解.
见例一
定解条件: 用来确定通解中任意常数的条件.
常见的定解条件为初值条件
如一阶 如二阶
x x0时, y y0 x x0时, y |x x0 y0 , y |x x0 y( x0 )
一阶:
y f (x, y)
F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 高阶(n)微分方程的一般形式：
F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
线性与非线性微分方程： 若方程中未知函数及其导数都是一次的，
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
x t0 A,
dx 0, dt t0
C1 A, C2 0.
所求特解为 x Acos kt.
d2 dt
x
2

k
2
x

0
x A, dx 0
t0
dt t0
x C1 coskt C2 sinkt
第一节 常微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y( x)
dy 2x dx
y 2xdx 即 y x2 C,
又 x 1时, y 2, 求得C 1,

y
x
x0

y0
二阶:
y f ( x, y, y)

y
x

x0

y0 ,
yx x0

y0
解的图象: 微分方程的特解的几何图形是一条 平面曲线，通常称为积分曲线，而通解表示一 族曲线，称为积分曲线族。
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
未知函数是一元的，称为常微分方程， 未知函数是多元的，称为偏微分方程，
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的
最高阶数称为微分方程的阶数；
y xy,
一阶
y 2 y 3 y e x , 二阶 y(n) y 2 y e x 0, n阶
一阶微分方程的一般形式：