中考复习之二次函数的图象与性质(二)

第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
第15讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
b2－4ac 的符号 >0 ＝0 <0
方程ax2＋bx＋c ＝0有实根 的个数 两个________实根 不相等 相等 两个________实根 没有 ________实根
图15－2
第15讲┃ 归类示例
[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M.
∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3， 1 得出二次函数的解析式为：y＝ (x＋3)2＋h， 2
第15讲┃ 归类示例
将(－6，0)代入得： 1 9 2 0＝ (－6＋3) ＋h，解得：h＝－ ， 2 2 9 ∴点P的坐标是－3，－ ， 2 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO的面积， 9 27 ∴S＝3×－ ＝ . 2 2
第15讲┃ 考点聚焦
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
项目
字母 a b
字母的符号 a>0 a<0 b＝0 ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
第15讲┃ 归类示例
[解析] 把(1，0)代入 y＝x2－4x＋m 中，得 m＝3，所以， 原方程为 y＝x2－4x＋3， 令 y＝0，解方程 x2－4x＋3＝0，得 x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数的图象的平移
第15讲┃ 归类示例
[2012· 重庆] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 1 图象如图15－4所示， 对称轴x＝－ .下列结论中，正确的 2 是 ( D )
A．abc>0 C．2b＋c>0
图15－4 B．a＋b＝0 D．4a＋c<2b
第15讲┃ 归类示例
[解析] A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c b ＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－ ＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本 2a b 1 选项错误；B项，∵对称轴x＝－ ＝－ ，∴a＝b，故本选项错 2a 2 误；C项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D 1 项，∵对称轴为直线x＝－ ，图象与x轴的一个交点的横坐标x1 2 的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范 围为x2＜－2， ∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正 确．故选D.
命题角度： 1. 二次函数的图象的平移规律； 2. 利用平移求二次函数的图象的关系式．
[2012· 泰安] 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位， 再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的关系式为( A ) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
第15讲┃ 归类示例
[2013· 四川] 已知抛物线：y＝x2－2x＋m－1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点，如图 15－3，设它的 顶点为 B. (1)求 m 的值； (2)过 A 作 x 轴的平行线， 交抛物线于点 C， 求证： △ABC 是等腰直角三角形； (3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线 C′，且 与 x 轴的左半轴交于 E 点，与 y 轴交于 F 点，求抛物线 C′ 的关系式和直线 EF 的关系式．
第15讲┃ 考点聚焦 考点3 二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋ kຫໍສະໝຸດ Baidua≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ ax2平移得到，具体平移方法如图15－1：
图15－1
第15讲┃ 考点聚焦
[注意] 确定抛物线平移后的关系式最好利用顶点式， 利用顶点的平移来研究图象的平移．
k＝－3， 解得 b＝－3，
∴直线EF的解析式为：y＝－3x－3.
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数的图象特征与a、b、c之间的关系
命题角度： 1. 二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐 标轴的交点情况与a、b、c的关系； 2. 图象上的特殊点与a、b、c的关系．
第15讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 二次函数与一元二次方程
命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)．
抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为 (1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3，0) ________．
第15讲┃ 考点聚焦
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点 2 b －4ac＝0 (顶点) 与x轴有两个不 b2－4ac>0 同交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 当a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 当a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0 c＝0 c>0 c<0
图 15－3
第15讲┃ 归类示例
解：(1)抛物线与x轴只有一个交点， 说明b2－4ac＝0，∴m＝2. (2)∵抛物线的解析式是y＝x2－2x＋1， ∴A(0，1)，B(1，0)， ∴△AOB是等腰直角三角形， 又∵AC∥OB， ∴∠BAC＝∠OBA＝45°，A、C是关于对称轴的对称点， ∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形． (3)平移后抛物线的解析式为y＝x2－2x－3， 可知E(－1，0)，F(0，－3)， 设直线EF的解析式为y＝kx＋b，将(－1，0)、(0，－3)代入，
第15讲┃ 归类示例
[解析] 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向 上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2＋3； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2＋3向左 平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3(x＋2)2＋3. 故选A.
第15讲┃ 归类示例
1 2 [2012· 广安] 如图15－2，把抛物线y＝ x 平移得到抛 2 物线m. 抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为 1 2 P，它的对称轴与抛物线y＝ x 交于点Q，则图中阴影部分的 2 27 面积为________． 2