人教版数学九年级下册第28章解直角三角形及其应用解直角三角形

新知探究
2.根据下列条件，解直角三角形： (1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，b =12；
新知探究
根据下列条件，解直角三角形： (2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，c=6.
新知探究
已知一锐角和一边解直角三角形的方法
1.已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的 两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出 另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用 这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边 时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用 勾股定理求第三条边).
1. 3
设
AB x, AC 1 x， 3
AB2 AC2 BC2，
x2
1 3
x
2
52.
x1
15 4
2
,
x2
15 2（舍去）. 4
∴ AB的长为 15 2 .
4
随堂练习
D
随堂练习
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AB =4，解 这个直角三角形.
随堂练习
B
A
C
A B 90 B 90 A 90 75 15 .
新知探究
(2) 根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？
AB2 AC2 BC2 BC AB2 AC2 62 2.42 5.5 B
cos A AC cos A 2.4 0.4 A 66
解： tan A BC 6 3，
A
AC 2
2
A 60 ，
C
B 90 A 90 60 30 ，
6
B
AB 2AC 2 2.
跟踪训练
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，
解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
随堂练习
E
随堂练习
构造直角三角形解斜三角形问题的方法
先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形， 然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利 用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特 殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含 特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解.
对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素
之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)； 2.两锐角之间的关系：∠A +∠B =90°；
ca
A bC
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B ca A bC
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知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
新知探究
新知探究
已知两边解直角三角形的方法
人教版-数学-九年级-下册
锐角三角函数
28.2.1
解直角三角形
知识回顾
如图，在Rt△ABC 中，共有六个元素(三条边，三个角)，
其中∠C=90°.
(1) 三边之间的关系： a2+b2=__c_2__；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=__9_0_°_；
a
baຫໍສະໝຸດ (3) 边角之间的关系：sinA=__c_，cosA=__c_，tanA=__b_.
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2.已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两 锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和 余弦求出两条直角边.
已知两个角(除直角外)不能解直角三角形，因为只有角 的条件时，符合条件的三角形有无数个，无法求边长.
跟踪训练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2 ，BC 6， 解这个直角三角形.
B
c a
A
bC
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心 点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹 角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线， 垂足为点 C .在 Rt△ABC 中，∠C =90°， BC =5.2 m，AB =54.5 m.
1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中 的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的未知元素 (知二求三). 2.在解直角三角形时，一般是先画出一个直角三角形， 按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然 后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
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直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C 所
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条 直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的 正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的 两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利 用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐 角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角.
tan B b , a
a b 20 28.6.
c
b
35°
20
B
a
C
tan B tan 35
sin B b , c b 20 34.9.
c
sin B sin 35
跟踪训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，BC = 5， 试求
3
AB 的长.
解：
C 90，cos A 1， AC 3 AB
AB
6
A B 90 B 90 A 90 66 24
A
C
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解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共 有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已 知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”不包 括求周长和面积.
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课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至 少有一个是边），就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
你能求出∠A 的度数吗？
新知探究
知识点1：直角三角形中的边角关系
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
sin A BC BC AB sin A 6 sin 75 AB
cos A AC AC AB cos A 6 cos 75 AB