第五章大数定律和中心极限定理

第五章大数定律和中心极限定理

第5章概述

大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性.

阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律.

论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理.

切比雪夫不等式

证明

2

2

2

(), (),,

{}.

X E XμD Xσε

σ

P Xμε

ε

= =

-≥≤

定理设随机变量具有数学期望

方差则对于任意正数不等式

成立

对连续型随机变量的情况来证明.

(),

X f x

设的概率密度为则有

.

}{22

εσεμX P ≤≥-2

21()()x μf x dx ε∞-∞

≤-⎰.

122σε=2

2

()x με

x μ

f x dx

ε

-≥-≤⎰

22

}{εσεμX P ≤

≥-.

1}{22

εσεμX P -≥<-⇔得

}{εμX P ≥-()x με

f x dx -≥=

⎰

定理说明,由随机变量的数学期望和方差,也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息.

例1 在每次试验中,事件A 发生的概率为0.5.(1)利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中,事件A 发生的次数在400 ～600之间的概率;(2)要使A 出现的频率在0.35 ～0.65之间的概率不小于0.95, 至少需要多少次重复试验?

解: 设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数,

则X ～B (1000,0.5),

E (X )=1000⨯0.5=500,

D (X )=1000⨯0.5⨯0.5=250,

{}

400600P X <<{}

{}400500500600500|()|100P X P X E X =-<-<-=-<由切比谢夫不等式得

(2)设需要做n 次独立试验, 则X ～B (n , 0.5), 求n 使得

0.350.650.95

X P n ⎧⎫

<<≥⎨⎬⎩⎭

22

()250

110.975100100

D X ≥-

=-={}

{}95

.015.05.05.065.05.05.035.065.035.0≥<-=-<-<-=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<

1)15.0(25.01)15.0(115.05.02

2≥≥-

-

=-≥<-n n

n n

n DX n n X P 只要

成立,由切比谢夫不等式得

故至少需要做223次独立试验.

},,n X με-≥若存在某常数,,,1n n

n X Y n μσ=∑相互独立，

且具有相同的数学期望和相同的方差个随机变量的算术平均：

1

,

,,

2,n i X Y ==

∑相互独立同分布，

个变量的和的标准化变量为：

(1)A np x np p -≤-,

,,

n X 相互独立同分布12,

A n n X X X =+++16,

,,

X i X ,

大数定律—概率论中有关阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理。

迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。

第一节大数定律

},,n X με-≥定义若存在某常数

,,,1n n

n X Y n μσ=∑相互独立，且具有相同的数学期望和相同的方差个随机变量的算术平均：

1.伯努利大数定理

lim {|

|}1

n

n P p n

με→∞

-<=,,0,n E n A p A με>定理设试验重复进行了次事件在每次实验中出现的概率为表示事件发生的次数,则对任意有

证明:~(,),n b n p μ因为(),()(1)

n n E np D np p μμ==-故21(1)(

),(

)()n

n

n p p E p D D n

n

n n

μμμ-==

=从而2

{||}1DX

P X EX εε

-<≥-由切比雪夫不等式，lim (

)1

n

n P p n

με→∞

-<=从而22(

)

(1)(

)11n

n

D p p n P p n

n

μμεεε--<≥-

=-n →∞

令2(1)11p p n

ε--

→●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数n 很大时，频率与其概率之差可为任意小，即说明了其频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。