第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章 矩阵的对角化、若当标准型

§3.1 矩阵对角化

线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。

一、特征值、特征向量性质

定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。

定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。

由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。 定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。

定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，

称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。

由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关

特征向量的个数。

定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则

rank()i i n n I A αλ=--

证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以

dim dim ()i

i i n V N I A λαλ==-

dim ()i n n R I A λ=--

rank()i n n I A λ=--

例1 求123323001A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 1

23det()3

2

30

1

I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-

所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。

1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--

2233rank 3331000---⎡⎤

⎢⎥=----=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--

3233rank 3231005--⎡⎤

⎢⎥=---=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何

重复度，则i i m α≤。

证明 因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向

量12,,

,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基

121,,,,,i

i

n ααεεεεε+

设121

[]i

i

n P ααεεεεε+=，则

121

[]i

i

n AP A ααεεεεε+=

121[,]i

i

i i i n A

A ααλελελεεε+=

121

*[]i

i

i

i

n i

O

ααλλεεεεελ

+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣

⎦

PB =

其中()()

i i n n αα-⨯-∆∈C ，*i i

i

B O

λλλ

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦

。

所以矩阵A 与B 相似，故特征多项式

det()det()n n I A I B λλ-=-

()det()i i i n I ααλλλ-=--∆

又因为

det()()()i m n i I A f λλλλ-=-

所以i i m α≤。

二、矩阵的对角化

定义3 设n n A ⨯∈C ，若A 与对角阵相似，则称A 可对角化，可对角化的矩阵

称为单纯矩阵。

定理5 设n n A ⨯∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。

证明 设12,,

,σλλλ为A 的全部相异特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的

几何重复度，1,2,

,i σ=。

充分性 因为1

i i m n σ

==∑，i i m α=，所以A 有n 个线性无关的特征向量

12

11122

2

121212,,

,,,,,,,,,

,p p p p p p p p p σ

σσ

σ

ααα 其中12,,

,i

i i

i

p p p α为i λ对应的特征向量，1,2,,i σ=。

设

1

2

1

1122

2

121212[,,

,,,,,,,,,

,]P p p p p p p p p p σ

σσ

σ

ααα= 则

1122diag[,

,,,,,,,,]AP P σσλλλλλλ=

故

11122diag[,,,,,,,,,]A P P σσλλλλλλ-=

必要性 设A 与12diag[,,,]n μμμ相似，则12,,

,n μμμ是A 的特征值，不妨

设

1

2

11122diag[,

,,,

,,,,

,]m m m A P P σ

σσλλλλλλ-=

则A 关于特征值i λ至少有i m 个线性无关的特征向量，即i i m α≥，又由定理4：

i i m α≤，故得i i m α=，1,2,,i σ=。

由定理5的证明显然有下面的结论。

推论1 设n n A ⨯∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

推论2 设n n A ⨯∈C ，若A 有n 个不同的特征值，则A 为单纯矩阵。

三、正规阵及其对角化

定义4 设()n n n n A ⨯⨯∈C R ，如果H H A A AA =，则称A 为复（实）正规阵。

显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。

定义5 设,()n n n n A B ⨯⨯∈C R ，若()n n n n U ⨯⨯∃∈U E ，使得

H A UBU =（T A UBU =）

则称,A B 酉（正交）相似。

引理1（司楚尔（Schur ）引理） 设n n A ⨯∈C ，则n n U ⨯∃∈U ，使得H A URU =，

其中R 是上三角阵，且R 的对角线为A 的特征值。 证明 用归纳法 当1n =时，命题显然。假设n m =时命题成立，要证1n m =+时命题也成立。

设(1)(1)m m A +⨯+∈C ，1λ为A 的特征值，1u 为其对应的特征向量，且1||||1u =。将

1u 扩充为1m +C 的标准正交基

121,,

,m u u u +

记112

1[]m U u u u +=，则