3空气动力学基础-第3章 低速平面位流

点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只 有周向速度 V ，而没有径向速度V r 。 绕点涡的环量Γ 是个确定的常数，例 如绕半径为 r 的圆环作环量计算，有： Vθ
V (2r )
r
式中的 是个常数称为点涡的强度，逆时针方向为正。 从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比：
M
( x ) cos ( y )sin ( x )2 ( y )2
y
η
θ
( y ) cos ( x )sin M ( x )2 ( y )2
ξ
x
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§3.2.4
点涡
点涡：涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被
1. 位函数φ 及流函数 ψ 所满足的方程 有无旋条件，就有位函数φ 存在，并且位函数与速度分量 之间满足： u v x y 平面流动的连续方程是：
u v 0 x y
结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：
2 2 2 0 2 x y
该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程， 给定适当边界条件方程是容易求解的。
一．速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任 意常数而不影响流动。 二．速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的 速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。 三．对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉 普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原 理。 四．速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度 方向垂直于等位线。 五．连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位 函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两 点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。
Q 4
lim
h 0
x 2 y 2 2 xh h 2 ln 2 2 x y
2hx , (当x 0时 ln(1 x) x) 2 2 x y
lim
h 0
x M 2 除奇点处速度无定义之外，流 2 x y 场其他区域都是是无旋的。 显然等位线Φ =C是一系列圆心在 x 轴上的圆，且都过原点。
.
p


Q (Байду номын сангаас 2 ) 2
其中θ
1
,θ
2
分别是点P与源和汇的连线与正x的夹角
y 1 arctan xh
y 2 arctan x
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现在我们考虑一种极限情况，当 h→0 但同时 Q 增大，使
Qh M 保持不变的极限情况。 2
这时位函数变成
Q ( x, y) 4
V 2r
这与无限长涡线产生的诱导速度一致。
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由几何条件可立刻写出 u 、 v 分量：
y y u V sin 2 x 2 y 2 2r r
y Vθ u θ x v
x x v V cos 2r r 2 x 2 y 2
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对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：
u v 0 x y
u v 或： x y
数学上这是使 vdx udy 成为某个函数ψ 的全微分的 充要条件 ，即
d vdx udy
其中： v x
dx dy x y
（注：等位线Φ＝C 是一系列同心圆）
流函数由
Q Vr 2r r r
积分得：
Q Q y arctan 2 2 x
（注：流线ψ＝c1 即θ＝c2 是一系列射线） 此外注意上式中θ 的值域为[-2π ,2π ],但反 正切函数的值域为[-π /2,π /2]，故两种表达 有一定区别。
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代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不 变：x’2+y’2 = x2+y2 ，得到在 (x,y) 坐标系中的偶极子：
x cos y sin M x2 y2 y cos x sin M x2 y2
如果偶极子位于（ξ，η），轴线和 x轴 成θ角，正向指向第三象限，则
空气动力学基础
第3章 低速平面位流
沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室
2014年3月
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3.1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 § 3.2 几种简单的二维位流
§
3.2.1 § 3.2.2 § 3.2.3 § 3.2.4
§
直匀流 点源 偶极子 点涡
§
3.3 一些简单的流动迭加举例
3.3.1 直匀流加点源 § 3.3.2 直匀流加偶极子 § 3.3.3 直匀流加偶极子加点涡
§
§
3.4 二维对称物体绕流的数值解
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本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。

在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个 方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的 由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂 的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困 难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速 度与压强相互耦合，需要一并求出
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设半径为 r 处的流速是 Vr ，那末这个源的总流量是
Q 2 rVr
流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比
Vr
Q 2r
u Vr cos
Q x Q x 2 x 2 y 2 2r r
x、y 向的速度可分别写为
Q y Q y v Vr sin 2 r r 2 x 2 y 2
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等流函数线与等位线正交。
由 C1 , 由 C2 , 可得 : vdx udy 0， 斜率K1＝ v u u v
可得 : udx vdy 0， 斜率K 2＝
故：K1K 2＝－ 1
平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量
dy dx V ui vj i j, n i j y x ds ds B B B Q (V n )ds dy dx d B A A A y A x
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求流函数：
cos 上述位函数可写为: M r
利用极座标下流函数与位函数的关系：
cos M 2 r r r
对Ψ 积分得：
sin M r
显然流线ψ =C是一些圆心在 y 轴上 的圆，且均过原点。
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即：
y M 2 2 x y
, 代入速度与位函数关系 u x v y
可积分求位函数。
比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：
Vr , V r r
由
Q Vr r 2r
位函数由上式积分得：
Q Q ln r ln( x 2 y 2 ) 2 4
y
B ds
V
n
x
o
A
位函数 Φ 和流函数 Ψ 之间满足柯西-黎曼条件：
笛卡儿坐标： x y 极 坐 标： r r
y x r r
速度分量与位函数和流函数之间的关系是：
笛卡儿坐标： u 极 坐 , x y 标： Vr , r r v y x V r r
两个分速的表达式是
M ( y 2 x 2 ) cos 2 u M 2 2 2 x (x y ) r2
M (2 xy ) sin 2 v 2 M 2 2 y (x y ) r2
合速
V u 2 v2 M r 2
要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的 正负源形成的偶极子其轴线在－x方向，对于 指向正 x 方向的偶极子，上述位函数、流函数 和速度分布都要改变符号。
拉普拉斯方程可用算子 ▽2 表为 ▽2φ＝0。它是 个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。 叠加原理:如果有 1 , 2 ,..., n 分别满足拉普拉斯方 程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方 程： a11 ... ann 由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此 也满足叠加原理：
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流线与等位线是正交的如图
常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左 面远方流来，流速为 V 此时
V x V y
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§3.2.2 点源

点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开 去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一 种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原 点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 Vθ 。
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1.
2.
3.
4. 5.
流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数 值可以差任意常数而不影响流动。 等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向 与速度矢量方向重合。 对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普 拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。 等流函数线与等位线正交。 平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线 的流量。
除奇点处速度无定义之外，流 场其他区域都是无旋的。
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§3.2.3 偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0） 处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动 情况如图:
应用叠加原理，位函数和流函数如下
Q ln ( x h) 2 y 2 ln x 2 y 2 2
n 1 u a1 ... an a1u1 ... anun x x x



压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理
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数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找 一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找 一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位 函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯 努利方程求解压强分布。
u y
代入无旋条件：
v u y y
2 2 2 0 2 x y
也满足拉普拉斯方程：
这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。
位函数与流函数的关系称为柯西－黎曼条件：
, x y y x
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2. 叠加原理

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如果偶极子轴线和 x 轴成θ角，正向指向第三象限如图所示， 在 x’y’ 坐标系中的位函数及流函数可写为：
x, M ,2 x y ,2 y, M ,2 x y ,2
根据二坐标系的旋转变换关系：
y
x x cos y sin
,
x
y , y cos x sin

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• 人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化 ，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因 为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方 程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而 压强可利用伯努利方程求解 • 本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得 一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行 叠加得到满足非常简单边界条件的流动。对复 杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值 解法大意
§3.2 几种简单的二维位流 §3.2.1 直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
ua
vb
ay bx c
流动是无旋的，由速度位全微分
d adx bdy
积分可得位函数：
ax by
又可求出流函数：
ax by c'
ay bx
y
x
如果源的位置不在坐标原点，而在 A（ξ,η）处，则
Q y arctan 2 x
相应的速度分量为：
Q ln ( x ) 2 ( y ) 2 2
Q (x ) u x 2 ( x )2 ( y ) 2 Q ( y ) v y 2 ( x )2 ( y ) 2