西电通院随机信 分析期中试卷

=
8
1 3
exp(
x12
x22 12
x1x2 )
5）设马氏链的状态空间为 G {1,2,3},其一步转移概率为
0.3 0.7 0
P
0
0.2 0.8
0.7 0 0.3
（1） 当初始分布为时 P{X0 1} 1, P{X0 1} 0, P{X0 1} 0 ，经过两步转移
后，处于状态 2 的概率； （2） 求该马氏链的平稳分布。
3、填空 1）当随机过程 X (t) 表示施加在单位电阻上的电压信号时，则其均方值和方差分
别代表的物理意义是 瞬时功率统计平均值 和 瞬时交流功率统计平均值 。 P6 课本原文 2）除状态空间自身外，不含任何闭集的马氏链称为 不可约的马氏链 。 P63 不可约马氏链的定义 3）若随机过程 X (t) 的相关函数为 RX (t1,t2) ，其导数过程为Y (t) ，则和的互相关
族称为随机过程，简记为 X (,t) 或 X (t) 。族中每个函数称为该过程的一个样本， 它是随机过程一次试验的物理实现，是一个确知的时间函数。 2）泊松过程是宽平稳过程 错
E X (t) t ，而宽平稳随机过程要求均值为常数（与时间 t 无关）。
3）若齐次马氏链某状态的周期为 L，则从该状态出发，必然存在一条步长为 L 的路径，使得该状态返回自身。 错 马氏链某状态的周期定义为：从该状态出发能够返回此状态的所有步长 {n :n 1,pii 0的} 最大公约数 L。L 可能小于能够返回该状态的最小步长。
yx
对于连续的情况而言，即为 F(x, y) f (x, y)dxdy
yx
对于离散的情况而言，为 F(x, y) f (x, y)dxdy P(x, y)
( x, y )A
y (x, y)
A
0
x
FX (x1, x2, 2,6) 即为随机变量 X (2) 和 X (6) 的联合分布函数。
E Y (t) E[ A] E[0 sin(0t )] 0
RY (t1, t2 ) E[ A202 sin(0t1 ) sin(0t2 )]
02
E[
A2
]
E
cos
0
(t2
-t1
)
cos 2
0
(t2
+t1
)
2
02 cos 0(t2-t1) =02 cos(0 ), t2 t1
1
3
FX
( x1,
x2, 2,6)
P
X（2）
x1,
X（6）
x2
2 3
1
0
x1 5且1 x2 4, 2 x1 3且x2 4, 3 x1 5且4 x2 6
3 x1 5且x2 6, x1 5且4 x2 6,
x1 5且x2 6 其他
解析：本题的二维分布律如下
P X (6)
P60 例 1.27 所有可能步长为{4,6,8,10, }，周期为 2，显然不存在步长为 2 的路 径，使得该状态返回自身。 4）无此题（试卷只有 1,2,3,5,6） 5）正态随机过程一二阶统计特性决定了其所有统计特性 对 正态随机过程的任意有限维概率密度函数由其均值函数与自相关函数完全确定。 而一个随机过程的有限维概率密度函数族决定了其所有统计特性。 6）有限状态马氏链中，至少有一个常返状态 对 对于有限状态马氏链，如果一个常返态都没有，则从任一状态 i 出发后经过有限 时间 Ti 后不再返回此状态。经过有限时间 Tmax max{T0,T1, ,Tn}之后，不再访问 该马氏链的任何状态，而这样的马氏链不可能状态有限。 7）两个联合平稳实随机过程的互相关函数必为偶函数 错 例如，第 4 大题中第 3）题 RXY ( )= 0 sin(0 ) ，此相关函数为奇函数。
1 5
+12
1 5
+22
1 5
=2
E
cos(0t1
)
cos(0t2
)
E
cos(0
(t2
t1
))
cos(0 2
(t1
t2
)
2
)
1 2
cos(0
)
0
1 2
cos(0
),
t2
t1
故RX
(t1,
t2
)
2
1 2
cos(0
)
cos(0
)
所以为 X (t) 平稳随机过程。
设 X (t) 的导数过程为Y (t) 0 Asin(0t ) 。
过程的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，所以其任意有限维概率密度函
数只与时间间隔有关。严平稳随机过程的定义为任意有限维概率密度函数只与时
间间隔有关而与时间起点的选择无关的随机过程，因此正态随机过程的宽平稳和
严平稳等价。
3）使用什么来完整描述随机过程的全部统计特性？ 有限维分布函数族、有限维概率密度函数族，或有限维特征函数族。
cos
,其中 =t2
t1
3）有随机过程 X (t) Acos(0t ) ，其中 0 是常数， A 和 是相互独立的随
机变量， 服从[0, 2 ] 上的均匀分布， A 的分布律如下表所示：
A
-2
-1
0
1
2
PA
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
讨论 X (t) 与其导数过程的联合平稳性
解：
E A=（-2） 1 +（-1） 1 +0 1 +1 1 +2 1 =0
本题所对应的二维联合概率，只在点 (x1, x2 ) (2, 4),(3,6),(5,1) 处有值且为 1/3，而在其他
任何位置都为 0。所以当分布函数的积分范围包含这三点之中的一点时，概率为 1/3；包含 两点时，概率为 2/3；包含三点时，概率为 1，不包含任一点则概率为 0。
2）两个随机过程 (t) Asin(t ) 和(t) Bsin(t ) ，其中 A, B,,
函数
RXY
(t1,t2 )
等于
RX (t1, t2 t2
)
。
RXY
(t1, t2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
E
X
(t1),Y
(t2
)
E
X
(t1),
lim
t0
X
(t2 +t)-X t
(t2 )
lim
t0
E
X
(t1),
X
(t2
+t)-X t
(t2
)
=
lim
t0
E
X
(t1),
X
(t2 +t) t
-E
X
(t1),
X (t2 t
p3 p1 p13 p2 p23 p3 p33 p3 0.7 p1 0 p2 0.3 p3
且有 p1 p2 p3 1，解之可得
p1 p2
8 7
/ /
23 23
p3 8 / 23
6）某电子系统受突发干扰的次数 N (t) 是泊松过程，干扰的到达率为 ，求： （1） t 5 和 t 10 时的平均干扰次数； （2）在 N(5) 3的条件下， N(10) 5 的概率；
333
3
E X (6) 1 1 1 4 1 6 11
33 3
3
RX
(2, 6)
E
X
(2) X
(6)
1 3
2
4
1 3
3
6
1 3
51
31 3
0
1
FX
( x,
2)
P(
X（2）
x)
3
2
3
1
x2 2 x3
3 x5 x5
0
1
FX
(
x, 6)
P(
X（6）
x)
3
2
3
1
x 1 1 x4
4 x6 x6
P28
4、计算 1）随机过程如右图所示，该过程仅由三个样本函数组成，而且每个样本函数均 等概发生。试求
（1） E X (2), E X (6), RX (2,6)
（2） FX (x,2), FX (x,6)，FX (x1, x2,2,6)
解：
（1） （2）
E X (2) 1 2 1 3 1 5 10
解：
mX (t1) mX (t2 ) mX (t) 0
K
K11
K21
K12 K22
8 4
4 8
,
K
88 44
48
K
1
1/6 1 / 12
1 / 12 1 / 6
可以得到
fX
( x1,
x2;0,1 /
3)
2
1 K
1/2
exp
(x1, x2 )T
K 1( x1, 2
x2
)
期中考试试题解析
制作者 Imbamboo 2016.11
1、简述 1）何为宽遍历随机过程？研究此类随机过程的意义何在？
如果均方连续的平稳过程 X (t) 的均值函数和自相关函数都具有遍历性，则该过程 为宽遍历随机过程。 在实际应用中很难得到随机过程的概率分布，不能计算随机过程的统计平均，可
用此类过程的时间平均来替代统计平均(t 趋于无穷时取等号)。 2）为何正态随机过程宽平稳和严平稳等价？ 正态随机过程的概率密度函数可以由其均值函数和自相关函数完全确定。宽平稳
解： （1）两步转移概率矩阵为
0.3 0.7 0 0.3 0.7 0 0.09 0.35 0.56
P(2)
P2
0
0.2
0.8
0
0.2 0.8 0.56 0.04