数值计算方法试卷十一A+答案

解得
x1 =
18 9 , x2 = 7 14 18 9 , x2 = 。 7 14
9分 12 分
故该矛盾方程组的最小二乘解为 x1 = 2.
⎡4 6 2 4⎤ ⎡ 4 6 2 4⎤ ⎡ 2 5 3 6⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 解 2 4 3 5 → 0 1 2 3 → 0 2 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 6 2 4 0 2 2 4 0 0 1 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
∫
2
1
1 dx ，并估计误差。 x
5．用切线法求方程 x 4 − 3 x + 1 = 0 的最小正根。 （1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件 （2） 写出切线法迭代公式； （3） 选初始值 x 0 ，计算出 x1 。 四、证明题（本题 10 分，每小题 5 分） 证明 由 x n +1 = φ ( x n ) 1． 设 x = φ ( x ), ρ = max φ ′( x) < 1 ，
所以， e n = 1 − 10 h e n −1 = L = 1 − 10 h e0
n

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当 h < 0.2 时，有 1 − 10h ≤ 1, en ≤ e0 所以欧拉法绝对稳定。 5分
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数值计算方法试卷十一 A（闭卷）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．近似值 0.450 × 10 2 的误差限为（ A． 0.5 2. 求积公式 A. 1 B. 0.05
2 0
） 。 C．0.005 D. 0.0005 ） 。
∫
f ( x )dx ≈
1 4 1 f (0) + f (1) + f (2) 的代数精确度为（ 3 3 3
⎡2 1 1 ⎤ ⎥ ⎢ 4.已知 A = 1 2 2 ，则 A ∞ = （ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 3 5 ⎦ ⎣
A. 4 B. 5
） 。
C. 6
D. 9 ） 。
5.当实方阵 A 满足 λ1 = −λ 2 , λ 2 > A. x k +1 B.
λi (i > 2) ，则乘幂法计算公式 e1 =（
C. x k D. x k +1 − λ1 x k
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 3.142. 2. Δx1 − Δx 2 . 3. 1
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4. 全部特征值和特征向量
) ⎧ y (n0 = y n + hf ( x n , y n ) +1 ⎪ h ⎪ (m +1) (m ) 5. ⎨ y n +1 = y n + f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1 ) . 2 ⎪ ⎪m = 0,1,... n = 0,1,L , N − 1 ⎩
∫
2
1
8分
所以， R4 ( f ) ≤ 分
M2 1 = 2 96 12 × 4
12
5． （1） 由于 f (0) = 1 > 0, f (0.5) = −0.4375 < 0
3
所以 x ∈ [0, 0.5]
*
在区间 [0, 0.5] 上 , f ′( x) = 4 x − 3 < 0, f ′′( x) = 12 x ≥ 0, 则由条件 f ( x0 ) f ′′( x) ≥ 0, 取 x0 = 0.5 ，切线法收敛。 （2）切线法迭代公式为： x n +1 = x n −
[
]
三、 计算题(每题 12 分，共 60 分) 1． 解 由
ϕ ( x1 , x 2 ) = ( x1 + x 2 − 3) 2 + ( x1 + 2 x 2 − 4) 2 + ( x1 − x 2 − 2) 2
6分
⎧ ∂ϕ ⎪ ∂x = 3 x1 + 2 x 2 − 9 = 0 ⎪ 1 ⎨ ⎪ ∂ϕ = 2 x + 6 x − 9 = 0 1 2 ⎪ ⎩ ∂x 2
两式相减，应用中值定理得
x n − x * = ϕ ( x n −1 ) − ϕ ( x * ) = ϕ ′(ξ n ) x n −1 − x * ≤ ρ x n − x * ≤ L ≤ ρ n x n − x *
由 ρ < 1 得 x n → x * (n → ∞) 。 2. 由欧拉公式得 5分
y n = (1 − 10h) y n −1 ~ y n = (1 − 10h) ~ y n −1
的一种变换方法。 。
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1. 求矛盾方程组
⎧ x1 + x 2 = 3 ⎪ ⎨ x1 + 2 x 2 = 4 ⎪x − x = 2 2 ⎩ 1
的最小二乘解。
2．用列主元法解方程组
⎧2 x1 + 5 x 2 + 3x3 = 6 ⎪ ⎨2 x1 + 4 x 2 + 3x3 = 5 ⎪4 x + 6 x + 2 x = 4 2 3 ⎩ 1
故得方程组的解为 3. （1） 雅可比法迭代公式为：
x1 = −1, x 2 = 1, x3 = 1,
12 分
⎧ ( m +1) 1 (m) ) = (1 + ax 2 ⎪ x1 4 ⎪ ⎪ ( m +1) 1 ( m) ) = (3 + ax1( m ) + ax3 ⎨ x2 4 ⎪ ⎪ ( m +1) 1 (m) ) = (1 + ax 2 ⎪ x3 4 ⎩
m = 0,1,L
5 分 （2）因为 a < 2 时， A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。 8
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分 （3）取 a = 1 ， X 分 4.解
(0)
= (1, 1, 1) T ，
计算得 X ( 0 ) = ( ,
2 5 2 T , ) 4 4 4
12
1 1 4 4 4 1 dx ≈ [1 + 2( + + ) + ] ≈ 0.697 8 5 6 7 2 x 1 1 2 用 f ( x ) = , f ′( x ) = − 2 , f ′′( x) = 3 , M 2 = max f ′′( x) = 2 x x x
x k +1 + λ1 x k
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1.
π = 3.14159L ，具有 4 位有效数字的近似值为
。 。 。
2. 已知近似值 x1 , x2 ，则 Δ( x1 − x 2 ) = 3．已知 f ( x) = x − 1 ，则差商 f [1,2,3] =
2
4．雅可比法是求实对称阵 5．改进欧拉法的公式为 三、计算题（每小题 12 分 ，共 60 分）
B. 2 C. 3 D. 4
3. 若实方阵 A 满足 （ A. C.
使 A = LR 。 ） 时， 则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵 R ， B. 某个 det Ak ≠ 0 D. det Ak ≠ 0 ( k = 1, L , n)
det A ≠ 0
det Ak ≠ 0 (k = 1, L n − 1)
∗ ∗
n = 0,1, L ，得到的序
列 {x n } 收敛于 x ∗ 2． 对于初值问题， ⎨
。
⎧ y ′ = −10 y ，证明当 h < 0.2 时，欧拉法绝对稳定。 ⎩ y (0) = 1
数值计算方法试卷十一 A 参考答案
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．B． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B
4 xn − 3xn + 1 , n = 0,1,L 3 4 xn −3
4分
8分
（3）由 f ( x0 ) f ′′( x) ≥ 0, 取 x0 = 0 ，用上迭代公式计算得 x1 = 分
1 3
12
四、证明题（每小题 5 分，共 10 分） 1.证明 由 x n +1 = φ ( x n )
n = 0,1,L ， x ∗ = φ ( x ∗ )
⎡ 4 − a 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3．已知方程组 − a 4 − a⎥ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢3⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦⎢ ⎣ 0 −a 4 ⎥
（1） 写出雅可比法迭代公式； （2） 证明 a < 2 时，雅可比法收敛； 4．用 n = 4 的复化梯形公式计算积分