基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式与利用均值不等式求最值
基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号） 最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
专题03 均值不等式基础方法15类
专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (4)【题型四】“积定求和”型 (6)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (7)【题型六】“常数”因子法： (8)【题型七】“单分母”构造因子法 (9)【题型八】“双分母”构造法 (11)【题型九】有和有积无常数型 (12)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (14)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (15)【题型十二】多元分离型 (16)【题型十三】反解消元型 (18)【题型十四】换元型 (19)【题型十五】较简单的三元均值 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (27)培优第三阶——培优拔尖练 (31)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2y B ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >. 故选：B.【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．2【答案】A【分析】利用基本不等式可求出12x x+和12y y +的最小值，相加可得出结果.【详解】由基本不等式得111122222223222x y x y x y x y +++≥⋅⋅ 当且仅当2x =，2y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为32故选A.2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13 D ．3【答案】C【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a >0，∵19296a a +≥，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ）A ．22B ．222C ．2D 2【答案】D【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，20x ->， ∵()()11(2)2(2)22222y x x x x =-+≥-⋅=--22x =时等号成立，∵2故选：D.【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。
高考数学点睛不等式专题均值不等式使用技巧
高考数学点睛不等式专题均值不等式使用技巧
基本不等式（常用不等式和均值不等式）作为一种求最值的工具在高中数学各专题求最值中都用得到，所以作为一种工具咱们必须要掌握，但是由于基本不等式公式少，所以只能在技巧上增加难度，这次课主要探讨一下均值不等式单独出题的时候常见的类型以及常用的解题技巧有哪些。
均值不等式使用要求：
1.“正，定，等”，缺一不可
2.在给定定义域内运用均值不等式一定要注意等号能否取到，若取不到，根据单调性求最值。
3.积定和最小，和定积最大
使用技巧一、拼凑法，目的是产生定值。
注意：做的时候要根据问题和条件中的形式合理的选取方法，分子中有z，所以要看条件中z的部分，另外，分母中存在xy，而条件中又是平方的形式，所以很明显要使用常用不等式，接下来逐渐凑成所需要的条件。
使用技巧二、换元
注意：出现圆或者椭圆的形式，换元时换成含有三角函数的形式。
注意：整体代换法，但是带入后必须能够转化为关于某个参数的一元二次函数的形式，然后用根的知识来解。
使用技巧三、灵活运用条件中给出的定值，特别是常数1
注意：题目也可以用整体代换法使用技巧四、取平方
使用技巧五、多次不等式的使用
注意本题目用了两次不等式，第一次用常用不等式，第二次用均值不等式，但是需要注意多次使用不等式必须要满足等号同时取到才可以。
使用技巧六、多个参数的不等式，减少参数或者拼凑出已知条件的形式
注意：为什么这么拆？因为题目中都是平方的形式，需要用到常用不等式，问题中的y
用到了两次，且带有系数根号2，所以前面需要拆成两组，并且是把y拆成两个数相加的形式，因为有根号2，所以拆完之后的两个y方第一个必须是第二个的2倍。
均值不等式解题方法和技巧总结
利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
基本不等式(均值不等式)技巧窍门
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
高中基本不等式求最值解题技巧
高中基本不等式求最值解题技巧高中基本不等式求最值解题技巧一、基本不等式的概念和特点高中数学中，不等式是一个重要的概念，它与等式一样，是数学中的一种关系。
而基本不等式是不等式中的一种基础类型，它具有许多特点和求解技巧。
基本不等式一般为形如a/x + b/y ≥ c的形式，其中a、b、c为常数，x、y为变量，且x、y均大于0。
在基本不等式中，我们常常需要求解其最值，即找到使得不等式成立的最大或最小值。
这就需要掌握一些技巧和方法来解决这类问题，从而提高我们的数学解题能力。
二、基本不等式求最值的一般步骤1. 分析问题：我们需要对题目给出的基本不等式进行分析，明确要求的最值是最大值还是最小值。
要注意不等式中的常数和变量的具体取值范围。
2. 辅助变量法：辅助变量法是解决基本不等式求最值问题的常用方法。
通过引入一个新的变量，可以将原不等式转化为关于辅助变量的方程组，从而更容易地确定最值的取值范围。
3. 推广性分析：分析不等式中各项参数的推广性，确定不等式成立的条件，从而辅助我们找到最值的解法。
4. 求导分析：对于涉及函数的基本不等式问题，可以利用导数的性质进行求解。
通过求导分析函数的单调性和极值情况，可以确定不等式的最值区间。
5. 综合利用不等式性质：利用不等式的性质，结合数学推理和逻辑推导，可以更灵活地解决不等式求最值的问题。
三、高中基本不等式求最值的解题技巧与举例分析以基本不等式a/x + b/y ≥ c为例，我们可以通过具体的数学题目来演示基本不等式求最值的解题技巧。
给定不等式2/x + 3/y ≥ 5，求x和y的最小值。
我们可以引入辅助变量法，令t=1/x，s=1/y，那么不等式可以转化为2t + 3s ≥ 5。
通过求解辅助不等式2t + 3s = 5的解集，确定最值的取值范围。
进一步分析可知，不等式成立的条件为t>0，s>0，因此我们可以确定最值的解。
我们可以利用推广性分析的方法，分析a、b、c的取值范围，从而求解最值问题。
均值不等式应用技巧
均值不等式应用(技巧)一.均值不等式1、(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2、 (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3、若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”) 3、若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4、若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的与的最小值,当两个正数的与为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定与最小,与定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域(1)y ＝3x 2＋12x 2 (2)y ＝x ＋1x解:(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x ＞0时,y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2; 当x ＜0时, y ＝x ＋1x = －(－ x －1x )≤－2x ·1x=－2 ∴值域为(－∞,－2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式技巧
基本不等式技巧1.均值不等式：均值不等式是由算术平均值、几何平均值和调和平均值构成的一类不等式。
a) 算术平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >=√(ab)。
证明方法：可使用平方差等公式，即(a-b)^2 >=0，展开可得a^2-2ab+b^2 >=0，即(a+b)^2 >= 4ab，开方可得(a+b)/2 >= √(ab)。
b) 几何平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有√(ab) <=(a+b)/2证明方法：可使用二次根式的单调性，即二次根式对非负实数单调递增。
由于√(ab)为非负实数，所以√(ab)的值在a和b之间，取(a+b)/2，则有√(ab) <= (a+b)/2c)调和平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有2/(1/a+1/b)<=(a+b)/2证明方法：可使用调和平均值的定义和算术平均值不等式。
调和平均值为2/(1/a+1/b)，算术平均值为(a+b)/2、由算术平均值不等式可知(a+b)/2 >= √(ab)，将√(ab)替换成2/(1/a+1/b)，则得到2/(1/a+1/b) <= (a+b)/22.柯西不等式：柯西不等式是数学分析中的一种不等式，用于矢量空间中的内积。
柯西不等式：对于任意实数序列a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
证明方法：可使用平方差公式以及数学归纳法证明。
以下是一些基于均值不等式技巧的应用场景：1.平均分配：在一些问题中，需要将一定数量的资源按照均匀分配原则进行分配。
这时可以使用均值不等式来证明分配结果的合理性和均衡度。
2.证明不等式：在证明一些数学不等式时，可以利用均值不等式来简化证明过程，找到合适的均值不等式进行推导。
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式，运用基本不等式并检验其
等号成立的条件，若等号取不到则，结合函数 y = x + a (a 0) 单调性，并运用其图像与性 x
质求出其函数的最值即可。
【例5】（★★★）函数 y = x2 + 5 的值域为
.
x2 + 4
【答案】
5 2
,
+
【解析】令 x2 + 4 = t(t 2) , 则 y = x2 + 3 = x2 + 4 + 1 = t + 1 (t 2) .
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
1. 基本不等式原始形式
(1)若 a,b R ,则 a2 + b2 2ab .
(2)若 a,b R ,则 ab a2 + b2 . 2
2.基本不等式一般形式(均值不等式)
若 a 0,b 0 ,则 a + b 2 ab .
3. 基本不等式的两个重要变形
(1)若 a 0,b 0 则 a + b ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”). 2
【答案】 2 3 3
【解析】由 x2 + y2 + xy = 1,得1 = (x + y)2 − xy, (x + y)2 = 1+ xy 1+ (x + y)2 ,解得 4
− 2 3 x + y 2 3 ,又 x 0, y 0 ,所以 0 x + y 2 3 ,因此 x + y 的最大值为 2 3
【例2】（★★）已知 0 x 4 时,则 y = x(8 − 2x) 的最大值为
【答案】8
基本不等式的方法
基本不等式的方法基本不等式是数学中常用的一种方法，用于证明和推导不等式。
通过应用基本不等式，可以得到许多重要的数学结论和不等式定理。
本文将介绍基本不等式的概念、应用和证明方法。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在一定条件下，两个数或多个数之间的大小关系。
常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
二、基本不等式的应用1. 算术平均-几何平均不等式：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n >= (a1*a2*...*an)^(1/n)这个不等式常用于证明其他不等式的推导过程中。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)这个不等式常用于证明向量之间的关系，以及求解最优化问题。
3. 均值不等式：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1*a2*...*an)这个不等式常用于证明其他不等式的推导过程中。
三、基本不等式的证明方法1. 数学归纳法：通过证明基本不等式在某个特定条件下成立，然后推导出在一般情况下也成立。
2. 数学推导法：通过数学运算和推导，将不等式转化为等式或已知的不等式，从而证明原始的不等式成立。
3. 几何法：通过几何图形的性质和关系，推导出相应的不等式。
四、基本不等式的应用举例1. 证明算术平均-几何平均不等式：设a、b为非负实数，且a≠b，则有(a+b)/2 >= sqrt(ab)通过数学推导，可以得到等式左边减去右边的结果大于等于0，从而证明不等式成立。
2. 证明柯西-施瓦茨不等式：设a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn为实数，则有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)通过数学推导，可以将等式右边展开，然后应用基本的数学运算，最终得到等式左边减去右边的结果大于等于0，从而证明不等式成立。
基本不等式十大解题技巧
基本不等式十大解题技巧
基本不等式是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点和难点之一。
以下是基本不等式解题的十大技巧：
1. 均值不等式法：利用算术平均值与几何平均值的关系，将不等式中的变量转化为平均值的形式，然后利用均值不等式进行证明。
2. 柯西不等式法：利用柯西不等式，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
3. 均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。
4. 几何平均值不等于算术平均值法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
5. 利用三角不等式法：利用三角不等式，将不等式中的变量转化为三角形的三边长度，然后利用三角不等式进行证明。
6. 利用柯西不等式的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
7. 利用平均不等式法：利用平均不等式，将不等式中的
变量转化为平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
8. 利用柯西不等式法的逆推法：利用柯西不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为乘积形式，然后利用柯西不等式进行证明。
9. 利用均值不等式的逆推法：利用均值不等式的逆命题，将不等式中的变量转化为和的形式，然后利用均值不等式进行证明。
10. 利用几何平均值不等于算术平均值法的逆推法：利用几何平均值与算术平均值的关系，将不等式中的变量转化为几何平均值的形式，然后利用不等式进行证明。
以上是基本不等式解题的十大技巧，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用基本不等式。
基本不等式技巧窍门
基本不等式技巧窍门一、基本不等式的概念和基本类型1.算术平均数和几何平均数的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= sqrt(ab)2.算术平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= 2ab/(a+b)3.几何平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：sqrt(ab) >= 2ab/(a+b)根据这些基本不等式，可以进一步推导一系列其他类型的不等式。
二、基本不等式的应用实例1.求函数的极值：当函数的取值范围为非负数时，可以通过基本不等式推导出函数的最大值或最小值。
2.解决几何问题：例如，求解三角形的最大面积或最短边长等问题时，可以利用基本不等式来推导和证明相关的不等式。
3.证明数学定理：基本不等式可以作为证明数学定理的重要工具，例如，证明柯西-施瓦茨不等式和霍尔德不等式等。
三、基本不等式的技巧和窍门1.设想数学模型：在使用基本不等式时，可以通过设想合适的数学模型来降低问题的复杂性，从而更容易利用基本不等式进行推导和证明。
2.利用对称性和等价变形：基本不等式通常具有对称性和等价变形的特点，可以根据这些特点对给定的问题进行适当的变形，从而使得不等式的应用更为简单和直观。
3.运用递归和数学归纳法：对于一些复杂的不等式问题，可以通过递归和数学归纳法的思想，将复杂问题分解为简单的基本情况，然后利用基本不等式进行递推和证明。
4.运用等比数列的性质：在一些涉及等比数列的不等式问题中，可以通过运用基本不等式的几何平均数和谐均值不等式来简化问题，从而得到更简洁的推导和证明过程。
总结起来，基本不等式是一种重要的数学工具，能够帮助解决各种求极值的问题。
在应用基本不等式时，需要灵活运用各种技巧和窍门，根据具体的问题和数学模型进行变形和推导。
通过学习和掌握基本不等式的应用，可以提高解决数学问题的能力和思维能力。
均值不等式公式总结及解题技巧
均值不等式应用【知识必备】 1．基本不等式(1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2．基本不等式变式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x+≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 5．若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 【题型分析】 题型一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋1x =－（－x －1x）≤－2x·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项 例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式做题技巧小结
技ｘ Ｓ －： 分 离 或 裂项
最小值．
典例精析 求函数 ｙ＝
解 析 ＋ ２ ｙ ＝ （ ８ ＋ ） （ ＋ ２ ｙ ） ＝ ０ ＋ 号＋ ≥
仅 当 ， ｙ：
～［ （ ＋１ ）一１ ］ ［ １ ＋ ２ （ ＋１ —１ ） ］
（ ＋１ ）
—
＝
÷时 取等 号． 故Ｙ ＝ ２
当 。＿ ｌ ， 叭： ＋ ｌ ＞ ０ 时 ， ｙ ≥ ２ √ 揪 ｔ ＋ ５ ＝ ９ （ 当
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ６ ． ２ ４
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解 题 技 巧 与 方法
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技Ｉ 一： 凑项 （ 增减项 ） 与 凑 系数 （ 利 用 均 值 不 等 式 做 题 时， 条 件 不 满 足 时关 键 在 于 构造 条 件 ． 通 常 要 通 过 乘 或 除 以
± ± ：￡ ＋ ＋５
ｙ ２ ＝ （ ｖ ／ 乏
＋ ＝ ） ＝ ４十 ２
＝
＋１ ， 化简 原式 再分离求 最值．
ｙ ： ：
．
≤４＋（ ２ ｘ一１ ）＋（ ５— ２ ｘ ）＝ ８ ．
又 Ｙ＞ ０ ， 所 以 ０＜ｙ ≤２ ． 当且 仅 当 ２ ｘ…１ ５ ２ ｘ ， 即
， ． ・ ． ３ ０一ａ ｂ＞ １２ ，
‘ ０＋２ ｂ ＞２ ￣
令 Ⅱ＝
・ ・ ・
， 则 “ ＋ ２
均值不等式应用(技巧)
均值不等式应用（技巧）一．均值不等式1. 定理：若a ，b R ∈，则22a b 2ab +≥，222b a ab +≤，ab b a 2≥+，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当a=b 时取等号）常用结论：①y=b a b a22a b a b+≥+≤-或②2a b 112a b +≤≤≤+（a ，b R +∈ ） 2.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
3、解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
4解析：0,0x y >>3212x y +=lg lg x y+,,0a b c >()4a a b c bc+++=-2a b c ++21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
5、分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2 中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22 ＝ 2x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤3427分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b 来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值lg lg lg()x y xy +=xy x y +3x 2y 12xy 326x y⋅220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解：32x y =2,3x y ==lg lg x y +lg 6a b +≥2a b c ++()()a b a c +++()()a b a c ++，于是就可以利用均值不等式了.技巧二： 分离或裂项1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
2求函数1+=1+2x y x x （）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
2、解：可将上式转化为所以值域为：-)∞⋃∞（技巧三：换元1、求2710(1)1x xy x x ++=>-+的值域。
4-,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11==12+1-3(1++21+-3+1x y x x x x x x =++（）（）（）（））1（）（）>-1+1>01+21+y +1<-1-+1>11+21+=-+2-1--+1--1x x x x x x x x y x x ≥≤≤≥当时，（）（）当时，（）0（）（（））此时（）（）2、求函数的最大值.3、、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
4、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯+=（当t =2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B AB g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
2分析 ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.3、解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 25y x =+t =22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时22822sin cos x y x x+=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。
技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、 已知正数x 、y 满足811x y +=，求2x y +的最小值。
2、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.3、设为正实数，，则的最小值是.1解法：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y+22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。
当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
,,x y z 230x y z -+=2y xz3分析本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.技巧五：整体代换(条件不等式) 1：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
1．错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。