自动控制实验_单容、双容水箱

单容水箱其具体原理可用下图表示：一、液位控制系统的工作原理当连杆位于电位器中点位置时，浮子电压为零，电压差为零，所以电动机不动，控制阀门有一定的开度，使水箱中流入水量与流出水量相等，从而液面保持在希望高度上，此时我们称系统达到平衡状态。

当连杆位于电位器中点位置偏上时，根据杠杆原理，箱内液面下降，此时电压差增大，使电动机工作，而控制闸门的开度，使入水量大于出水量，箱内液面逐渐升高，从而渐渐达到平衡状态。

当连杆位于电位器中点位置偏下时，根据杠杆原理，箱内液面上升，此时电压差减小，使电动机工作，而控制闸门的开度，使入水量小于出水量，箱内液面逐渐降低，从而渐渐达到平衡状态。

二、液位控制系统原理框图给定液位实际液位电位器放大器电动机减速器水池阀门门三、 自动控制系统各部分的数学模型的建立以及其传递函数在本控制系统中，我们设Q1为进水量（平衡状态下的增量），Q2为出水量，Ho 为平衡时的水面高度，H 为液面实际高度（平衡状态下的增量），C 为水箱的横截面积。

1)电位计独立工作没什么意义，我们把给定液面体现在电位器上，这就需要电位器和连杆，浮子一起工作，他们是一个整体，实际液面也通过电位器，连杆，浮子与给定电位比较，因为电位器体现的是电压的大小，而我们通过杠杆原理还有浮子，将液面高度与电压的关系联系起来，且两者的关系为正比关系，H （s ）为液面高度的拉式变化，U （s ）为电压的拉式变化，Go （s ）=Ku)(H U(S)S 。

2) 电动机的数学模型设)(t u 为输入的控制电压)(V ，i 电枢电流)(A ,M 为电机产生的主动力矩)(m N •,ω为电机轴的角速度)/(s rad ，L 为电机的电感)(H ，R 为电枢导数的电阻)(Ω，)(t e 电枢转动中产生的反电势)(V ，J 为电机和负载的转动惯量)(2m Kg *根据电路的克希霍夫定理（KVL ）：)()(t u t Ri dtdiL=++θ 整理后得：)(2122r rm m e M dt dM T K u K dt d T dt d T T +-=++θωωω式中：R LT =θ称为直流电动机的电气时间常数；m m K K JR T θ=称为直流电动机的机电时间常数；θK K 11=，θK K R K m =2为比例系数。

直流电动机电枢绕组的电感比较小，一般情况下可以忽略不计，上式可化简为r mM K u K dt d T 21-=+ωω即r m M K u K dt d dt d T 2122-=+θθ对上式取拉氏变换，设初始条件为零，得电动机传递函数：s (T m s +1)Θ(s )=K 1U (s )即G m (s )=Θ(s )U(s)=K 1s (T m s+1)3)阀门处得数学模型阀门，入水口，水池也前后之间的关系是正比关系，而直接与他们关系的是出水量，所以此环节传递函数为G v (s)=Q 1(s)Θ(s)=K α 4)水池液面变化的数学模型由于有出水口，影响水箱内液面的除了入水量，还有出水量。

当液流为层流时，系统是线性的；当液流是紊流时，如果变量的变化保持在较小的范围内，则系统可以线性化。

基于系统是线性的或者是线性化的这一假设，可以求得系统的微分方程。

当Q1=Q2时，H=Ho ；当Q1不等于Q2时，水面的高度H 也会发生变化，其变化率与流量差Q1-Q2成正比，此时有CdHdt=(Q 1−Q 0) –(Q 2−Q 0) 于是水池的微分方程为FdHdt=Q 1−Q 2 根据托里拆利流体定律，设Q 2=√2gH ；上式为非线性关系，在工作点（Q 10，H 0）附近进行泰勒级数展开，取一次项得：Q 2=K M H因为在微小时间间隔dt 内，容器内存储的液体增量等于输入量减去输出量。

则水池的微分方程可表示为：FdHdt=Q 1− K M H 设T=F K M, K R =1;1)()()(1c +==Ts K s Q s H s G R四、 传递函数)()(s H s H io的建立总的动态结构图模型如下：uamkkkTssTsKusQsHsG11c)1)(1()()()(+++==实际参数取值及Simulink仿真结果如下：实际液位给定液位—双容水箱一、数学模型的建立图1为实验中使用的双容水箱示意图，由于其较复杂，因此可以将其简化为图2所示的示意图。

图1图21.双容水箱环节第一水箱部分，输入信号为流量差（Q1-Q2），输出信号为水位h1，故有12111112()Q Q dt A dh dhA Q Q dt-==-水箱连通管道部分，输入为压差信号（h1-h2），输出为流量Q2，有122rh h Q f -=fr 为局部阻力系数第二水箱输入信号为流量差（Q2-Q3）,输出信号为水位h ，有232223()Q Q dt A dh dhA Q Q dt-==-因此有如下框图：设20Q 、10h 、0h 为初始值，则110222011001[()()]()h h h h dQ Q Q h h h h d h h ===+----而0011011012021110011()2()2h h h h r h h h h h h Q dQ d h h h h h h f ====-==---令0110211()h h h h dQ d h h R===-则有22011001[()()]Q Q h h h h R=+--- 故211()Q h h R=- 所以2111dQ dh dhdt R dt R dt=-123Q1 Q2Q3H1h即12dh dQ dhR dt dt dt=+2321221dQ dQ d h A dt d t R dt =+ 231122dQ dh d h dh RA R dt d t dt dt=++ 2311211122dQ d h dh RA A A R A Q Q d t dt dt ++=-23112121312()dQ d h dh RA A A A Q Q A R d t dt dt++=--故3112212121212()(1)()()()()Q s A Rs Q s H s RA A s A A s RA A s A A s+=-++++在双容水箱中，主要是通过Q1对Q3的跟随补偿，来实现液面高度h 的稳定的，因此将Q3的变化转化为h 的变化，此时，假设出水口阀门是长开的，即出水口水流量是由高度h 来调控的，则3hQ R=，故 1122212121212()()(1)()()()Q s H s A Rs H s RA A s A A s R A A s A A Rs +=-++++122112121()()()()(1)H s RW s Q S R A A s A A Rs A Rs ==++++ 2.电动机视为比例函数，记1()()()m U s G s K H s ==3.阀门及齿轮结构一起作为比例函数，因此有12()()()v Q s G s K U s ==整体系统采用单回路调节反馈系统，因此令21K =；同时为了简化计算过程，令11K =，121A A R ===，此时，1221121212()()()()(1)1=32H s RW s Q S R A A s A A Rs A Rs Rs s ==+++++++此时，整个系统结构图为： 二、 控制器设计在控制其中，假设衰减率ϕ取0.75，则此时，0.221m =；控制器使用Simulink 仿真时，框图如下，通过调节PID 参数系数，可得到采用不同调节器时的仿真结果， 图1所示为在开始后的第5s 加入一个频率为2rad/s 的正弦信号，观察其0~5s 为无Q3影响时的响应图，5~10s 为Q3对已经稳定的系统的影响，因此来模拟Q3变化时对系统的影响，四个系统用来模拟控制器采用不同参数时的区别。

图1其中加入的延迟正弦信号波形如图2所示。

图21.采用P 调节此时，021()32W s s s =++ 控制器W1(s)Q1H干扰Δh20*()32W s s s =++，代入smw jw =-+可得：2122232tan 320*()m j m m W mw jw ωωωωω-----+-+=1S =2321tan 22232m m m ωωπωωω--=--+故146.32S ==因此控制器传递函数为：0()46.32W s =此时，传递函数为：246.32()348.32W s s s =++ 扰动影响为：00()'()1()()a W s Ws W s W s =+当1()X s s=时， 00001()lim[()]lim[()'()]()11lim[]0.0211()()2s s s a y sY s sX s W s W s s s W s W s S →→→∞=====++ 32.00s t mw≈= 使用Simulink 仿真，结果如下：111146.32'23.00''90.00'''180.00S S S S ====由上图可知，采用比例调节器时，S1越大，系统越容易发生振荡，但是系统的动态、静态偏差都减小，抗干扰能力增强了。

2.采用PI 调节的分析与整定此时，021()32W s s s =++20*()32W s s s =++，代入smw jw =-+可得：2122232tan 320*()m j m m W mw jw ωωωωω-----+-+=220(1)(23)S w m mw w =+-+22221(23)(32)S m mw w m w w mw =-+---+估算w 的取值范围： 设220(1)(23)0S w m mw w =+-+=时， 6.7873w = 设22221(23)(32)0S m mw w m w w mw =-+---+=时，有2223620mw w mw --+=，即0.9398, 2.4934w =-因此，同时满足010,0S S ≥≥时有0.9398 6.7873w ≤≤，做出011**S S S 相对w 的图，观察可知：当011**S S S 取最大值时，5.706w = 016.3213S = 146.6890S =使用Simulink 仿真，结果如下：由于此时系统在5s 时刚刚稳定，因此所加正弦信号的延迟时间改为了6s ，PI 调节同时又P 作用和I 作用，既具有比例作用快速稳定的特点，同时保证调节过程不会过分振荡，也具有积分作用使调节结果无差。

3.采用PD 调节的分析与整定此时，021()32W s s s =++20*()32W s s s =++，代入smw jw =-+可得：2122232tan32 0*()mjm mW mw jwωωωωω-----+ -+=221(23)S mw ww=--+22221(23)(32)S m mw w m w w mw=--+---+当221(23)0S mw ww=--+=时， 6.7873w=当22221(23)(32)0S m mw w m w w mw=--+---+=时， 1.3837w=因此，同时满足010,0S S≥≥时有 6.7873w≥由212*(1)0Sm ww∂=+≥∂，S1、S2均为递增。