概率论与数理统计练习题练习题及参考答案

《 概率论与数理统计》练习题一
一、判断正误，在括号内打√或×
1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2
σμN 的样本，则∑==
n
i i
X
n
X 1
1
服从)1,0(N 分布；
2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；
3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；
6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,
8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；
9．（√）设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216
3
6161ˆX X X ++=μ
是μ的无偏估计量；
10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。

二、填空题
1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则
=EX
DX
p -1: 3．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,
,
0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；
4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为
则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为
则12+X 的概率分布为
22)(21
σμπ
σ--
x e
7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,
)(==Y E a X E ，则=)(XY E )()(y f x f Y X ⋅
8．设1θ 与2θ 是未知参数θ的两个 0.99 估计，且对任意的θ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ
有效；
9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H ，
则当2
2
2
1
2
1)()(n n Y D X D σσ+
=
+时，
0)
(σμ-X n 服从)1,0(N ；
10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概率是 α.
三、计算题
1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件
B A 的概率)(B A P 。

解：因为5.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，所以
4.0)|()()(==A B P A P AB P 。

进而可得7.0)()()()(=-+=AB P B P A P B A P 。

2.设随机变量),(~p n B ξ，且28.1)(,6.1)(==X D X E ，试求n ，p 。

解：因为随机变量),(~p n B ξ，所以
)1()(,)(p np X D np X E -==，
由此可得28.1)1(,
6.1=-=p np np ，解得8=n ，2.0=p ；
3.已知连续型随机变量)2,3(~-N X ，试求它的密度函数)(x f 。

解：4)23(=-X E
4.已知一元线性回归直线方程为x a y
4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ，试求a ˆ。

解：0，2；
5.设总体X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<+=,0,
10,)1();(其它，
x x x f θθθ 式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。

解：0.8 ；
6.设
n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。

已知估计量
∑==n
i i X k 1
22
ˆσ
是2σ的无偏估计量，试求常数k 。

解：
)
10exp(101
)(2
z z f -=π
7. 设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。

解：（1）由于
12)(0
===
⎰
⎰
⎰
+∞
-+∞
∞
--+∞
∞
-dx e A
dx Ae
dx x p x x
即 2A =1，A =
21，所以x
e x p -=2
1)(； （2）2
121}10{1
1
0---==<<⎰e dx e X P x ；
四、证明题
1.设二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨
⎧<<<<=其他。

，
；
，，
010104),(y x xy y x f
证明:X 与Y 相互独立。

2. 1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。

证明：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨
⎧<<<<=其他。

，
；
，，
010104),(y x xy y x f
可得两个边缘密度函数分别为：
⎩⎨
⎧<<==⎰
∞
+∞
-其他。

，
；
，
0102),()(x x dy y x f x f X
⎩⎨
⎧<<==⎰∞+∞
-其他。

，
；
，
0102),()(y y dx y x f y f Y
从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，所以X 与Y 相互独立。

2．若事件B A ⊂，则)()(B P A P ≤。

《概率论与数理统计》练习题二
一、判断正误，在括号内打√或×.
1．若0)(=AB P ，则AB 一定是空集； 2．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； 3．n X X X ,,,21 是取自总体),(2
σμN 的样本，则∑
==
n
i i X n
X 1
1
服从),(2
n
N σμ分布； 4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 5．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 6．（√）设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A ={甲胜乙负}，则A 为{甲负乙胜}； 7．（√）设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、三个事件都不发生”； 8．若B A 、为两个事件，则必有A B A AB =⋃；
9．设随机变量X 和Y 的方差存在且不为零，若)()()(Y D X D Y X D +=+成立，则X 和Y 一定不相关；
10. （√）设)1,(~μN X ，321,,X X X 来自于总体的样本，3215
1
5252ˆX X X ++=μ
是μ的无偏估计量； 二、填空题
4．对于随机变量X ，函数)()(x X P x F ≤=称为X 的 0.73 ；
5．设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，)()(Y D X D 、分别为其方差，则=+)(Y X D 3/20；
6．若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则其概率密度函数)(x p =
7．设),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的联合密度函数,)(x f X 与)(y f Y 分别是关于X 与Y 的边缘概率密度,且X 与Y 相互独立,则有=),(y x f a 2；
8．对于随机变量X ，仅知其3)(=X E ，25
1
)(=
X D ，则由契比雪夫不等式可知 ≥<-)2|3(|X P 无偏；
9．设),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X ，X 与Y 相互独立，1,,,21n X X X 是X 的样本，2,,,21n Y Y Y 是
Y 的样本，则=-)(Y X D 0H 成立；
10．n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本的条件是：（1）n X X X ,,,21 相互独立；（2）n X X X ,,,21 与总体X 有相同的概率分布。

三、计算题
3. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,!
2)(2
===-k k e k X P k …，试求随机变量23-=X Z 的数学期望。

解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：
)(21)(2
22)(+∞<<-∞=
--
x e
x f x σμσ
π；
进而，将2,3=-=σμ代入上述表达式可得所求的密度函数为：
=
)(x f )(214
)3(2
+∞<<-∞+-x e
x π
；
4.设连续型随机变量X 的密度函数为
⎩
⎨
⎧<<+=其他，，0,
10,)(x b ax x f 且3
1
)(=
X E ，试求常数a 和b 。

解：由4ˆ=b
可得6ˆˆ-=-=x b y a ； 5. 若随机变量X 在区间)6,1(上服从均匀分布，试求方程012=++Xy y 有实根的概率。

解：2
1
)1();()(1
1++=
+=∞
-∞
+=
⎰⎰+θθθθθdx x dx x xf X E 由矩估计法知，令
X ＝＋＋2
1
θθ 得参数θ的矩估计量 θθˆ
ˆ112=X
X －－＝。

6.已知随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量72+-=Y X Z ，试求Z 的密度函数。

解：
n
1。

7. 已知随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x p x
,)(，
试求（1）常数A ；（2）{}10<<X P 。

解：
十、证明题
一个电子线路上电压表的读数X 服从[θ,θ+1]上的均匀分布，其中θ是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设n X X X ,,,21 是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值X 不是θ的无偏估计；(2)
θ的矩估计是θ的无偏估计。

设),,,(21n X X X 是取自总体),0(2
σN 的样本，试证明统计量∑=--n
i i X X n 1
2)(11是总体方差2σ的无偏估计量。

证明：
（1）由θ≠)(X E ，知X 不是θ的无偏估计；
（2）θ的矩估计为21-
X ，由θ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21X E ，知它是θ的无偏估计。