第四讲总体均数的参数估计

推断统计的基本原理（A）
抽样分布
三种分布： 总体分布：总体内个体数值的频数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一种统计量的概率分布 例子： 将某市600名学生数学竞赛的分数作为一个总体，其600个考分的 频数分布是＿＿＿；若从中随机抽出40个考分为样本，这40个考 分的频数分布是＿＿＿＿；若将所抽到的40个考分计算其均数及 标准差后还回总体，再随机抽40个考分，计算其均数及标准 差……这样反复进行下去，就获得n＝40的一切可能样本的平均 数与标准差，若将这一切可能个样本的平均数及标准差分别进行 频数分布，就形成一个实验性的平均数抽样分布及标准差的抽样 分布。

估计量

参数估计中，把要估计参数称为待估参数 ，把用来 估计参数的统计量称为估计量，用 表示；把计算出 来的值作为估计量的值，称为估计值，也用 表示。 于是，参数估计就成了待估参数、估计量和估计值之 间的关系。用数学语言来概括，就是：设总体X服从F （x），该总体有参数 ，现根据自该总体的样本 （X1,X2,…Xn）构造出一个估计量 去估计 ，估计 值 由样本的一组观察计算得出。
该总体的一个容量为n的简单随机样本，则样本 均数 X 亦服从正态分布，且总体均数与样本均数、 总体方差与样本均数的方差之间存在以下关系：
X
2 X


n
2
定理3
设总体X具有总体均数μ与方差σ 2，当样本容量n趋于无
穷大时，则样本均数 X 的分布趋于正态分布，且样本的
数学期望（即均数） X ，样本均数的方
X / n
例：
某类产品的强度服从正态分布，其总体均数
为100，总体标准差为5。现从该总体中抽取 一个容量为25的简单随机样本，求这一样本 的样本均数介于99-101的概率。
解：根据定理3，当 X 99 时
Z X 99 100 5/ 25 1
/
n
当 X 101 时， Z X 101 100 5/ 25 1
推断统计的基本原理
例示：
假设某次心理学测验中5名被试的得分分别是120
分，125分，130分，135分和140分。若将这5名 被试看作是一个总体，从中抽取2名被试作为样 本，则样本均数的抽样分布如何？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 被试编号 1 2 3 4 5 测验得分（Xi） 120 125 130 135 140 次数（f） 1 1 1 1 1 概率（P） .20 .20 .20 .20 .20
心理与教育统计学
第四讲 推断统计 席居哲
内容提要
推断统计的基本原理
抽样分布
参数估计 假设检验
总体均数的参数估计与假设检验
总体均数之差的参数估计与假设检验 总体方差及比例的参数估计与假设检验
推断统计的基本原理
问题：
若要了解全国15岁青少年的智力发展状况，该如
何做？
（1）全测？ （2）猜测？ （3）部分施测？估计？
/
n
查表 3 得： P {99 X 101 } P { 1 X 1} 2 . 34134 . 68268
有限总体修正系数
在不放回抽样（不重复抽样）时，比如检验
灯泡 定理4：
设总体X的总体平均数为μ，方差σ 2，
（X1,X2,…,Xn）是以不放回的抽样形式从该总体 中抽取的一个容量为n的简单随机样本，则样本 均数 X 的平均数与方差分别为（在n/N≥.05时才 需要；若n/N<.05则可以省略该系数）：
点估计：用某一样本统计量的值来估计相应总体参数
的值叫总体参数的点估计。（无偏性，有效性，一致 性） 区间估计：以样本统计量的抽样分布（概率分布）为 理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估 计量估计总体参数的所在范围，称为总体参数的区间 估计
参数估计

参数估计和假设检验是统计推断的基本任务
X
2 X

N n N 1


n
2
例：
某公司2000个产品的强度服从正态分布，其
总体均数为100，总体标准差为5。现从该总 体中不放回地抽取400个产品作为样本，求样 本均数的均数和方差。
推断统计的基本原理（B）
参数估计
在解决实际问题时，往往没有条件事不需要计算
出总体的参数，这就需要研究者根据样本资料进 行合理的分析，对总体参数作出科学的估计 根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫总 体参数估计。总体参数估计分点估计与区间估计。
差x
2


2
n
, 即 X N ( , / n )。这个定理又称为中心极限定理。
2
要指出的是，在小样本的情况下，中心极限定理不一定
成立，不能保证抽自非正态分布总体的样本均数服从正 态分布。 在样本均数服从正态分布的情况下，我们可以用下
面的公式将转换成标准正态分布 Z X X X
当总体σ 未知，总体呈正态分布，样本容量无论
大小时，或者当总体σ 未知，总体虽不呈正态分 布，但样本容量较大（n>30）时，样本平均数与 总体平均数离差统计量均呈t分布。总体平均数 的置信区间可按t分布，用σ 的估计值计算。
Z分布
这里是 自由度 （df）
S为总体标准差的估计值 同等的表示还有：

参数估计的基本思想是：

设总体X服从分布F(x)，该总体有参数 ，自总 体中抽取一个样本（X1，X2，…，Xn），此时可 以根据以下两种方法估计 ：

（1）根据样本的观察值计算出一个与 相应的 估计值，用这个估计值直接作为对参数 这种方法称为参数的点估计 的估计。

（2）根据样本的观察值计算出两个估计量
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
则：

2
X
N

120 125 130 135 140 5 X
2
130

X
50
N
（1）抽样分布与统计量
不难发现：样本均数的均数
X 正好等于总体平均数 , 样本均数的方差 X 等于总体方差
区间估计小结
区 间 估 计 小 结
练习
P.115
参数的区间估计
设总体X有待估参数θ ，（X1,X2,…,Xn）是
抽自该总体的一个容量为n的简单随机样本。 现建立两个统计量
ˆ1和 ˆ2，且 ˆ1 ˆ2， 为一给定概率，称作显
1 为置信水平，若关系式 而称区间（ 著性水平， P {ˆ1 ˆ2 } 1 成立，
t X
x/
n 1
x 为样本的标准差
等等
利用t分布进行参数区间估计的通式
例子
从某小学三年级随机抽取12名学生阅读能力
得分为28，32，36，22，34，30，33，25， 31，33，29，26。试估计该校三年级阅读能 力总体均数在95%和99%的置信区间。
提示：要先查t(11).05和t(11).01的值。
ˆ1 , ˆ2）为参数 的置信水平 1 下的区间 ˆ1和 ˆ2 分别称为置信区间的下
置
估计或置信区间。 信限和上置信限。
以总体均 数为例说 明总体参 数区间估 计做法
即1- α ， 置信水平 （.95）； 而α为 显著性水平 （.05）
参数的区间估计（1）

σ已知条件下总体平均数的区间估计
当总体σ 为已知，总体呈正态分布，样本容量n
无论大小时，或者当总体σ 已知，虽总体不呈正 态分布，但样本容量大（n>30）时，样本均数与 总体均数的离差统计量均呈正态分布。总体均数 可按Z分布，用已知σ 计算
例：σ 已知时总体均数的区间估计
某小学10岁全体女童身高历年来标准差为
6.25cm，现从该校随机抽25名10岁女童，平 均身高为134.2cm，试估计该校10岁全体女 童平均身高的95%和99%的置信区间。
可表示为：Zα/2
通式为： P { X Z /
2
n X Z /
2
n}
即总体均数在 X Z / 2
1 的置信水平下的置信区 n , X Z /
2
间为
n
参数的区间估计(2)
σ未知条件下总体均数的区间估计

(4)充分性：一个估计量充分地利用了样本提供的所有 有关待估参数的信息，就称其为充分估计量
点估计


点估计有许多具体的方法，如矩法、最大似然法、最 小平方法和贝叶斯估计法等。下面以最简单的矩法为 例。 矩法的基本思想就是用样本统计量直接作为相对应的 总体参数的估计量 [例]从总体X中抽取一个容量为5的样本，其观察值是： 100,120,105,122,111。求总体平均数与总体方差的点估 计值。
2
的
2
1 n
我们就得到如下定理：
定理1
设总体X服从分布F（x）,（X1,X2,…,Xn）是抽自
该总体的一个简单随机样本，则总体均数μ 与样 本均数 X 、总体方差σ 2（或标准差σ ）与样本均 2 数的方差 （或标准差 X <又称标准误>）之间存 X 在下述关系：
X X
2，用区间（ 1, 2）作为参数
1和
可能的取值范围，
并指出参数落在这一区间的概率。即区间估计
判断估计量的优劣标准

（1）无偏性

根据抽样分布原理，样本平均数的数学期望 （即平均数） ，故 作为总体平均数的 估计量时，是一个无偏估计量。但样本方差S2n 却是一个有偏估计量，若要使其无偏，则须用 其另一种算法S2，有时标记为S2n-1即：