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抛物线专题复习讲义及练习★知识梳理 ★1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质( p0 ) ：标准方程 y 2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 22py图形▲▲ y▲▲yyyxxxxO OOO焦点pp ,0)F ( 0, pF (0,pF ( ,0)F ())2222准线ppppxxyy2222范围 x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0 对称轴 x 轴y 轴顶点 （0， 0）离心率e12. 抛物线的焦半径、焦点弦① y 22 px( p0)的焦半径 PFx P ; x 2 2 p y( p0)的焦半径 PFy P ；22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径 . 其长度为 2p.③ AB 为抛物线 y 2 2 px 的焦点弦，则 x A x Bp 2 ， y A y Bp 2 ， | AB |= x Ax B p4★重难点突破 ★重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点 : 与焦点有关的计算与论证重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( )A.17 B.15 C.7D. 01616 8点拨：抛物线的标准方程为x 21y ，准线方程为 y1 , 由定义知，点 M 到准线的距离416为 1，所以点M的纵坐标是15162.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3， 2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设 AB 为抛物线的焦点弦， F 为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B 在准线上的射影，弦 AB 的中点为 M ，则AB AF BF AA' BB' ，点M到准线的距离为1( AA' BB' ) 1AB ，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切2 2★热点考点题型探析★考点 1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[ 例 1 ]已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离[ 解析 ] 过点 P 作准线的垂线l交准线于点 R，由抛物线的定义知，PQ PF PQ PR ，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PQ PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1, 故最小值为 3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说, 用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1. 已知抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点为F，点P ( x y ) P ( x y )，P ( x y )在抛1 1， 1 ， 2 2， 2 3 3， 3物线上，且 | 1 |、 2 、 | P3 F |成等差数列，则有（）P F | P F |A．x1 x2 x3 B ．y1 y2 y3 C．x1 x3 2x2 D. y1 y3 2 y2［解析］ C 由抛物线定义， 2( x2 p ) ( x1 p) ( x3 p), 即： x1 x3 2x2．2 2 22. 已知点A(3,4), F 是抛物线y2 8x 的焦点,M是抛物线上的动点,当MA MF 最小时, M 点坐标是( )A. (0, 0)B. (3, 2 6)C. (2, 4)D. (3, 2 6)[ 解析 ] 设 M 到准线的距离为MK ,则 | MA | MF | M A MK ，当 MA MK 最小时，M 点坐标是 ( 2, 4) ，选 C考点 2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2) (2)焦点在直线 x 2y 4 0 上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论 .[ 解析 ] (1) 设所求的抛物线的方程为y 2 2 px 或 x 2 2 py ( p 0) ,∵过点 (-3,2)∴ 4 2 p( 3)或9 2 p 2∴ p2或 p934∴抛物线方程为 y24x 或 x29y ,3 2前者的准线方程是 1 y9 x, 后者的准线方程为83(2)令 x 0 得 y 2 ，令 y 0 得 x 4 ，∴抛物线的焦点为 (4,0) 或 (0,-2),当焦点为 (4,0)时 ,p4 ,2∴ p8，此时抛物线方程 y216 x∴ p 4 ，此时抛物线方程 x 28 y; 焦点为 (0,-2) p 2时2.∴所求抛物线方程为y 2 16 x 或 x 28 y , 对应的准线方程分别是 x4, y2 .【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3. 若抛物线 y 22 px 的焦点与双曲线 x 2 y 2 1的右焦点重合 , 则 p 的值3[ 解析 ]p3 1p 424. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（ 2，1）.能使这抛物线方程为 y 2=10x 的条件是 ____________. （要求填写合适条件的序号）[ 解析 ]用排除法，由抛物线方程y2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点, 且| AM | 17 ,| AF | 3 ，求此抛物线的方程[ 解析 ] 设点A'是点A在准线上的射影，则| AA' | 3 ，由勾股定理知 | MA '| 2 2 ，点A的横坐标为 (2 2,3 p)，代入方程 2 得 p 2 或，抛物线的方程 2 或 2x 2 py x 4 y x8 y 2 4考点 3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ]设 A 、B 为抛物线y2 2px上的点,且AOB 90 (O为原点),则直线AB必过的定点坐标为 __________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线 OA 方程为yy kx2 p 2 p ) kx ,由解出 A 点坐标为( ,y 2 2 px k 2 k1y xk y 2 2 px 解出 B 点坐标为(2 pk2, 2 pk) ，直线AB方程为 y 2 pk k( x 2 pk 2 ) ,令1 k 2y 0 得 x 2 p ，直线AB必过的定点 ( 2p, 0)【名师指引】（ 1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2） B 点坐标可由 A点坐标用1换 k 而得。

k【新题导练】6. 若直线 ax y 1 0 经过抛物线y2 4x 的焦点，则实数 a[ 解析 ]-17. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A 、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为A1 , B1,则A1 FB1 ()A. 45B. 60C. 90D. 120[ 解析 ]C基础巩固训练1.过抛物线y2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于a2 2a 4(a R) ，则这样的直线（）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C.1 条或 2 条D.不存在[ 解析 ]C | AB | x A x B p a2 2a 5 (a 1)2 4 4 ，而通径的长为4．2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2 4 y 上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为（）A. 3B. 4C. 5D. 6[ 解析 ] B 利用抛物线的定义，点P 到准线y 1 的距离为5，故点 P 的纵坐标为 4．3.两个正数 a、b 的等差中项是9，一个等比中项是 2 5 ，且 a b, 则抛物线 y 2 (b a) x 2的焦点坐标为 ( )A ．(0, 1 )B ．(0,1) C．(1,0) D．(1,0)4 4 2 4[ 解析 ] D. a 5, b 4,b a 14. 如果P1，P2，⋯，P8是抛物线y2 4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1， x2，⋯， x8，F 是抛物线的焦点，若x1, x2, , x n (n N ) 成等差数列且x1 x2 x9 45 ，则 | P5F |= （）．A ． 5B ． 6 C． 7 D． 9[ 解析 ]B PF i px i 1 （i 1 ，2，⋯⋯，n），根据抛物线的定义，可知x i2x1 , x2 , , x n (n N ) 成等差数列且 x1 x2 x9 45 , x5 5 ,| P5 F |=65、抛物线y2 4x的焦点为 F , 准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点 A ，AB ⊥ l，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（）A．3 3 B ．4 3 C．6 3 D．8 3[ 解析 ] C. 过 A 作 x 轴的垂线交x 轴于点 H ，设A(m, n)，则AF AB m 1, FH OH OF m 1，m 1 2(m 1) m 3, n 2 3四边形 ABEF 的面积 = 1[ 2 (3 1)] 2 3 6 32uuur6、设O是坐标原点，24x 的焦点，A是抛物线上的一点，F 是抛物线y FA 与x轴正向uuur的夹角为60o，则 OA 为．[ 解析 ] 21 .过 A 作AD x 轴于D，令 FD m ，则 FA 2m 即 2 m 2m ，解得 m 2 ．A(3,2 3) OA 32 (2 3)2 21综合提高训练7.y 4x 2 上求一点，使该点到直线 y 4x 5的距离为最短，求该点的坐标在抛物线[ 解析 ] 解法 1：设抛物线上的点 P( x,4x 2 ) ，| 4x 24x 5 | | 4( x 1) 2 4 | 4 17 ，点 P 到直线的距离 d217 17 17当且仅当 x1 时取等号，故所求的点为 （ 1，1）2 2解法 2：当平行于直线 y 4x 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为 y 4x b ，代入抛物线方程得 4x 24x b 0 ，由16 16b0 得 b 1, x11，故所求的点为 （ ，1）229. 设抛物线 y 22 px （ p 0 ）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且 BC ∥X 轴．证明直线 AC 经过原点 O ．证明 :因为抛物线 y22 px （ p 0 ）的焦点为 Fp,0 ，所以经过点 F 的直线 AB 的方程2可设为 xmyp，代人抛物线方程得 y 22 pmy p 20 ．2若记 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，则 y 1, y 2 是该方程的两个根，所以 y 1 y 2p 2 ．因为 BC ∥ X 轴，且点 C 在准线 xp上，所以点 C 的坐标为p, y 2 ，22故直线 CO 的斜率为 ky 22 p y1 .p y 1 x 12即 k 也是直线的斜率，所以直线经过原点 ．OAACO10.椭圆 x2y21上有一点 M （ -4， 9）在抛物线 y 22 px （p>0 ）的准线 l 上，抛物a 2b 25线的焦点也是椭圆焦点 .（1）求椭圆方程；（2）若点 N 在抛物线上，过 N 作准线 l 的垂线，垂足为 Q 距离，求 |MN|+|NQ| 的最小值 .解：（ 1）∵ x2y 2 1 上的点 M 在抛物线 y 2 2 pxa 2b 2（p>0 ）的准线 l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.∴ c =-4 ， p=8 ⋯⋯①9∵M （ -4，）在椭圆上∴ 1681 1 ⋯⋯② a 225b 2∵ a 2b 2c 2 ⋯⋯③∴由①②③解得： a=5、b=3∴椭圆为 x 2 y 2125 9由 p=8 得抛物线为 y 2 16 x设椭圆焦点为 F （4， 0），由椭圆定义得 |NQ|=|NF|∴ |MN|+|NQ| ≥ |MN|+|NF|=|MF|= ( 4 4)2(90)2 41 ，即为所求的最小值 .5 5参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为F （ 1 ，0），对应于这个焦点的准线方程为x=- 1.22（ 1）写出抛物线 C 的方程；（ 2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A 、B 两点， O 点为坐标原点，求△ AOB 重心 G 的轨迹方程；解：（ 1）抛物线方程为： y 2=2x.（ 4 分）（ 2）①当直线不垂直于x 轴时，设方程为 y=k(x- 1)，代入 y 2=2x ，22得： k 2x 2-(k 2+2) x+k0 .4设 A （ x 112212k222， y 121 22 ， y ）， B(x ， y )，则 x +x = k+y =k(x +x-1)= k .x0 x 1x 2k 2 233k 2设△ AOB 的重心为 G （x ， y ）则，y0 y 1 y 2233k消去 k 得 y 2= 2 x2为所求，（ 6 分）39②当直线垂直于 x 轴时， A（1，1），B（1，-1），（8 分）2 2△AOB 的重心 G（1， 0）也满足上述方程 . 3综合①②得，所求的轨迹方程为y2 = 2 x 2 ，（9 分）3 9抛物线专题练习一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1．如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（ 1, 0）B．（ 2, 0）C．（3, 0）D．（－ 1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ． x2+ y 2-x-2 y - 1 =0 B． x2+ y 2+x-2 y +1=041C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D ．x2+ y 2-x-2 y + =043．抛物线y x 2上一点到直线2x y 4 0 的距离最短的点的坐标是（）A ．（ 1， 1） B．（1,1） C．(3,9) D．（ 2，4）2 4 2 44．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A ．6 m B． 2 6 m C． 4.5m D ．9m5．平面内过点 A （ -2， 0），且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2=－ 2xB ． y 2=－4x C． y 2=－ 8x D．y 2=－ 16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（ -5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A ． y 2=-2 xB ． y 2=-4 x C． y 2=2x D ． y 2=-4x 或 y 2=-36x7．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A( x1, y 1) ，B(x2 , y 2) 两点，如果 x1+ x2=6，那么 |AB|= （）A ． 8B ．10 C． 6 D． 48．把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a (2, 3) 平移，所得的曲线的方程是（）A ．( y 3) 2 4(x 2)B ．( y 3) 2 4( x 2)C．( y 3)2 4(x 2) D ．( y 3) 2 4( x 2)9．过点 M （2， 4）作与抛物线 y 2=8 x 只有一个公共点的直线l 有（）A ． 0 条B ．1 条 C． 2 条 D ．3 条10．过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是 p、 q，则11 等于（）p qA ． 2a1C． 4a4 B ． D ．2a a二、填空题11．抛物线y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3 ，则焦点到 AB 的距离为．12．抛物线 y =2x2的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是．13． P 是抛物线 y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q，点 Q 的坐标是．14 ．抛物线的焦点为椭圆x 2 y21 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程9 4为．一．选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D A B C B A C C C 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11． 212．x k 13．（1， 0）14． y2 4 5x4三、解答题15．已知动圆M 与直线 y =2 相切，且与定圆C：x2( y 3)2 1 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[ 解析 ] ：设动圆圆心为M （ x， y），半径为r，则由题意可得M 到 C（ 0， -3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（ 0， -3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为x212 y ．16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－ 3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m 的值．（ 12 分）[ 解析 ] ：设抛物线方程为 x22 py( p 0) ，则焦点 F （p,0 ），由题意可得2m 26 p，解之得 m 2 6或 m 2 6 ，p ) 2m2(3 5 p 4p 42故所求的抛物线方程为 x28y ， m 的值为 2 617．动直线 y =a ，与抛物线 y21x 相交于 A 点，动点 B 的坐标是 (0,3a) ，求线段 AB 中2点 M 的轨迹的方程． (12 分 )[ 解析 ] ：设 M 的坐标为（ x ，y ）， A （ 2a 2 ， a ），又 B (0,3a) 得x a 2y 2a消去 a ，得轨迹方程为 xy 2 ，即 y 24x419．如图，直线 l 和 l 相交于点 M ， l ⊥ l ，点 N ∈l 1 ．以 A 、B 为端点的曲线段 C 上的任1212一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等．若△ AMN 为锐角三角形， |AM|= ， |AN|=3 ，且|BN|=6 ．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． (14 分 )[ 解析 ] ：如图建立坐标系，以 l 1 为 x 轴， MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O 为坐标原点．由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点，以 l 2 为准线的抛物线的一段，其中 A 、 B 分别为 C的端点．设曲线段 C 的方程为 y 22 px( p 0), ( x A x x B , y 0) ，其中 x A , x B 分别为 A 、B 的横坐标， p MN ．所以， M (p,0), N ( p,0) ． 由 AM17 ， AN3 得22(x(x Ap )2 2 px A 17①2Ap )2 2 px A 9②2x A4 p>0 解得p 4p 2联立①②解得 ．将其代入①式并由 x A ，或x A．p1 2因为△ AMN pp2为锐角三角形，所以x A ，故舍去x A． ∴ p=4， x A 1．22由点 B 在曲线段 C 上，得x B BN p 4．综上得曲线段 C 的方程为2y2 8x(1 x 4, y 0) ．20．已知抛物线y2 2 px( p 0) ．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B， | AB | 2p ．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N，求Rt NAB面积的最大值．(14 分 ) [ 解析 ] ：（Ⅰ）直线l 的方程为 y x a ，将y x a代入 y 2 2 px ，得x2 2( a p) x a 2 0 ．设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) ，4(a p) 2 4a2 0,则x1 x2 2( a p), 又 y1 x1 a, y2 x2 a ，x1 x2 a2 .∴| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 2[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 8 p( p 2a) ．∵0 | AB | 2 p, 8p( p 2a) 0 ，∴0 8p( pp p．2a) 2 p ．解得 a2 4（Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点 Q，令坐标为(x3 , y3 ) ，则由中点坐标公式，得x3 x1 x2a p ，y3y1 y2 ( x1 a) ( x2 a)p ．2 2 2∴| QM |2 (a p a) 2 ( p 0) 2 2p 2．又MNQ 为等腰直角三角形，∴| QN | | QM | 2 p ，∴SNAB1| AB | | QN |2p | AB |2p 2 p2 2 22 p 2即NAB 面积最大值为 2 p 2精选。