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抛物线专题复习讲义及练习

★知识梳理 ★

1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质

( p

0 ) ：

标准方程 y 2 2 px

y 2 2 px

x 2 2 py

x 22py

图形

▲

▲ y

▲

▲

y

y

y

x

x

x

x

O O

O

O

焦点

p

p ,0)

F ( 0, p

F (0,

p

F ( ,0)

F (

)

)

2

2

2

2

准线

p

p

p

p

x

x

y

y

2

2

2

2

范围 x 0, y R

x 0, y R

x R, y 0

x R, y 0 对称轴 x 轴

y 轴

顶点 （0， 0）

离心率

e

1

2. 抛物线的焦半径、焦点弦

① y 2

2 px( p

0)

的焦半径 PF

x P ; x 2 2 p y( p

0)

的焦半径 PF

y P ；

2

2

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径 . 其长度为 2p.

③ AB 为抛物线 y 2 2 px 的焦点弦，则 x A x B

p 2 ， y A y B

p 2 ， | AB |= x A

x B p

4

★重难点突破 ★

重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

难点 : 与焦点有关的计算与论证

重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

1.要有用定义的意识

问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( )

A.

17 B.

15 C.

7

D. 0

16

16 8

点拨：抛物线的标准方程为

x 2

1

y ，准线方程为 y

1 , 由定义知，点 M 到准线的距

离

4

16

为 1，所以点M的纵坐标是

15

16

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3， 2）的抛物线的条数有

点拨：抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2

条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设 AB 为抛物线的焦点弦， F 为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B 在准线上的射影，弦 AB 的中点为 M ，则AB AF BF AA' BB' ，点M到准线的距离为

1

( AA' BB' ) 1

AB ，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切

2 2

★热点考点题型探析★

考点 1 抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[ 例 1 ]已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离

[ 解析 ] 过点 P 作准线的垂线l交准线于点 R，由抛物线的定义知，PQ PF PQ PR ，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PQ PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1, 故最小值为 3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离

之间的转换，一般来说, 用定义问题都与焦半径问题相关

【新题导练】

1. 已知抛物线y 2 2 px( p 0)

的焦点为F

，点

P ( x y ) P ( x y )

，

P ( x y )

在抛

1 1

， 1 ， 2 2， 2 3 3， 3

物线上，且 | 1 |、 2 、 | P3 F |成等差数列，则有（）P F | P F |

A．

x1 x2 x3 B ．y1 y2 y3 C．

x1 x3 2x2 D. y1 y3 2 y2

［解析］ C 由抛物线定义， 2( x2 p ) ( x1 p) ( x3 p

), 即： x1 x3 2x2．

2 2 2

2. 已知点A(3,4), F 是抛物线y2 8x 的焦点,M是抛物线上的动点,当MA MF 最小时, M 点坐标是( )

A. (0, 0)

B. (3, 2 6)

C. (2, 4)

D. (3, 2 6)

[ 解析 ] 设 M 到准线的距离为

MK ,则 | MA | MF | M A MK ，当 MA MK 最小时，

M 点坐标是 ( 2, 4) ，选 C

考点 2

抛物线的标准方程

题型 : 求抛物线的标准方程

[ 例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1) 过点 (-3,2) (2)

焦点在直线 x 2y 4 0 上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论 .

[ 解析 ] (1) 设所求的抛物线的方程为

y 2 2 px 或 x 2 2 py ( p 0) ,

∵过点 (-3,2)

∴ 4 2 p( 3)或9 2 p 2

∴ p

2

或 p

9

3

4

∴抛物线方程为 y

2

4

x 或 x

2

9

y ,

3 2

前者的准线方程是 1 y

9 x, 后者的准线方程为

8

3

(2)

令 x 0 得 y 2 ，令 y 0 得 x 4 ，

∴抛物线的焦点为 (4,0) 或 (0,-2),

当焦点为 (4,0)

时 ,

p

4 ,

2

∴ p

8，此时抛物线方程 y

2

16 x

∴ p 4 ，此时抛物线方程 x 2

8 y

; 焦点为 (0,-2) p 2

时

2

.

∴所求抛物线方程为

y 2 16 x 或 x 2

8 y , 对应的准线方程分别是 x

4, y

2 .

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3. 若抛物线 y 2

2 px 的焦点与双曲线 x 2 y 2 1的右焦点重合 , 则 p 的值

3

[ 解析 ]

p

3 1p 4

2

4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在 y 轴上；

②焦点在 x 轴上；

③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；

④抛物线的通径的长为

5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（ 2，1）.

能使这抛物线方程为 y 2=10x 的条件是 ____________. （要求填写合适条件的序号）