高中数学必修4三角函数教案

任意角的三角函数

一、教学目标

1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。

2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。

3、情感目标：培养数形结合的思想。

二、教材分析

1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

2、教学难点：从函数角度理解三角函数。

3、教学关键：利用数形结合的思想。

三、教学形式：讲练结合法

四、课时计划：2节课

五、教具：圆规、尺子

六、教学过程

(一)引入

我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？

设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r

a αcos =

a b αtan =,取r=1,则a

b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课

1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么：

（1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =；

（2）

x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y

叫做α的正切，记作αtan ，即x

y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。

2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。

3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π

πα时，有αα

αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。

4、例题

例1求

3

5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2

3,21

(-，所以

.33

π5tan ,2

13π5cos ,2

33π5sin -==-= 通过这道例题可以让学生基本上懂得应用三角函数定义解三角函数值。 例2确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证。

(1)°250cos (2));4πsin(-

(3) sin156︒ (4) tan 210︒

解：(1) 因为250°是第三象限角，所以0;°250cos <

(2) 因为-4π是第四象限角，所以;0)4πsin(<-

(3) 因为156︒是第二象限角，所以sin156︒>0

(4) 因为210︒是第三象限角，所以tan 210︒>0

用计算器验证同学们自己完成。

例3已知53sin -=α，求ααtan ,cos 的值。

解：因为,1sin ,0sin -≠<αα所以α是第三或第四象限角，由1cos sin 22=+αα 得2516)53(1sin 1cos 222=

--=-=αα，如果α是第三象限角，那么.0cos <α

于是4cos 5α==-.从而sin 353tan ()()cos 544ααα==-⨯-=，如果α是第四象限角，那么43cos ,tan 54

αα==- 小结：这道例题主要应用同角三角函数的基本关系：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα

=来解题， 5、课堂练习

(1) 已知角α的终边经过点Q(3,4),求角α的正弦、余弦、正切值。

解：由已知可得: 5OQ ==

设角α的终边与单位圆交于(,)p x y .分别过点P 、Q 作x 轴的垂线MP 、

NQ 则

4NQ =, =y MP , 3ON =, OM x =，

~OMP ONQ ∆∆ ，于是，

4sin 15

MP NQ y y OP OQ α=====; 3cos 15OM ON x

x OP OQ α===

==; sin 4tan cos 3

y x ααα===

(2) 已知tan ϕ=求sin ,cos ϕϕ的值。 解：sin

tan cos ϕϕϕ

==所以sin ϕϕ= ①，又因为sin ²ϕ=1-cos ²ϕ ②,

将式①带入式②中得22()1cos ϕϕ=-，即223cos 1cos ϕϕ=-， 故22114cos 1,cos ,cos 42ϕϕϕ===±，

当1cos 2ϕ=时，sin ϕ=1cos 2ϕ=-时，sin ϕ= (三)课堂小结

通过这节课，我们学习了任意角的三角函数，懂得应用三角函数定义解三角函数值，知道了三角函数值在各象限的符号，掌握了同角三角函数的基本关系。

(四)布置作业

P15 1、2 P20 1、4