参数估计的数值解析法_宋占勋

法进行参数估计 .目前 , 主要有图估法 、迭代法和参 数回归法等 .图估法是通过绘图的方法对参数进行
估计 , 但由于绘图存在一定的误差 , 只能粗略的对参
数进行估计 .不过这种方法简便 , 尤其在工程现场和 精度要求不高的时候非常适用 .目前借助于 Matlab 绘图 , 降低了工作强度 , 精度亦大幅度提高 .最小二 乘法[ 3] 从迭代方面去拟合方程的参数 , 还有一些方 法从最佳无偏 估计[ 4] 和线性回归方 面[ 5] 去拟合方
K
个点
(x 1 , y 1), …(xi , y i), … , (xk , yk).让 K 组(x , y )任
意组合成 φ个 组列求解 , 按照参数的 个数 φ与 K
组(x , y)值可以得到 Cφk 组解 , 然后对其求平均值 ,
这样就得到了最后的结果 .有时为了求解方便 , 使用
多于 φ组(x , y)的值来求得一组参数的结果 , 这样 最后的结果少于 Cφk 组 , 不过仍然可以对所 求的参
Abstract :T he current parameter estimate methods are summarized and compared .Considering data incompletion of parameter estimate , t he problems exist ing in current parameter estimate methods are analy zed .One high accuracy method on parameter solving is put forward by using M atlab to solve nonlinear equation .A small quant ity of experiment data can get a set of parameter solutions .T he experiment data is org anized and combined to get several parameter solutions, and their average value of parameter , t hen , the precise parameter solutions are deduced .T w o kinds of function f itt ing that are popular for the engineering weibull distribution and normal distribution are taken as ex amples, and the parameter solut ion methods are listed .Com pared wit h maximum likelihood , the feasibility of these methods are confi rmed . Key words:parameters estimate ;reliability ;incomplete date
μ2 = G2(T -1 , N -1), μ3 = G3(T -1 , N -1),
为所求参数的反函数方程 .求解过程如图 1 所示 .
E(μ1 , μ2 , μ3 , …)为最终求得的参数结果 .
正态分布函数是工程中常用的一种拟合方程 ,
拟合参 数为 μ和 σ, 取 3 组对应 的试验 数据(x 1 ,
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北 京 交 通 大 学 学 报 第 34 卷
虽然能够满足一般的要求 , 但要想得到高精度的参 数拟合 , 需要寻求一种更为有效的方法 .
本文作者采用直接求解的方法 , 通过一种合适 的方程解法找到参数的解 , 然后通过排列组合找到 参数的精确 解 .在求 解的过程中借 助于 M at lab 编 程 , 提高了计算精度 , 并在模拟数据中得到了验证 . 有关无失效数据方面问题的研究和不完整数据的参 数估计有一定的联系[ 6] , 本文的方法也可应用于无 失效数据的研究 .
数结果求均值 .
利用所求参数写出函数的表达式 , 并对其进行
拟合验证 , 从而求出精确的函数表达式 , 但是每一个
的函数的解方程过程不太一样 .本文作者针对正态
分布 、威布尔分布给出了相应的解法 , 进而对函数进
行拟合 , 得到精确的函数表达式 .
2 数值解析法的求解
设定试验数据分布的区间为 -∞<t 1 ≤… ≤t n ≤… ≤t m ≤ … < +∞, 落在不 同区间的 次数记 作 N k .取中间 t n ～ t m 的区间 , 令
程序 , 通过调用后台程序 , 实现非线性方程求解 .
3 方法验证
为了验证本文方法在威布尔分布 、正态分布中 使用的有效性 , 对威布尔分布 , 取 m =2 , η的 m 次 幂取 ω=20 ;对正态分布取均值 μ=5 , 标准差 σ=2 . 随机抽取 1 000 个样本的理论频数 , 将其分为 14 个 区间 , 如表 1 所示 .
算其平均值 , 就可以得到比较精确的 m 和 ω的值 .
非线性方程是工程中常常遇到的问题 , 然而非
线性方程并没有线性方程的求解方法成熟 , 尤其是
非线性方程解的唯一性方面 .通过 Matlab 编制程序 可以求解复杂的非线性方程 , 实现参数化 、模块化建
模与分析的自动化 .
M atlab 非线性求解方法主要有二分法 、黄金分 割法 、不动点迭代法 、牛顿法 、重根迭代法等 .本文以
第 1 期 宋占勋等 :参数估计的数值解析法
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ω= B1
t
m 2
-t
m 1
-(m -1)A1
(8)
式中 :
Ai
=ln
ti ti +1
;Bi
=ln
y
yi
i +1
.
如果得到的不完整数据有 K 组 , 那么就有 C3k
种组合 .通过 C3k 种组合 , 可以求出 C3k 组解 , 然后计
Fig .1 Solution process of numerical analytical method
如果得到的不完整数据有
K
组, 那么就有
C
3 k
种组合
.通过
C
3 k
种组合
,
可以ຫໍສະໝຸດ Baidu出
C
3 k
组解
, 然后计
算其平均值 , 就可以得到比较精确的 μ和 σ的值 .
威布尔分布的参数为 m 、η和 δ, 其中 δ为位置
1 数值解析法
定义 K 区 间 A1 =(a0 , a1), …, A i =(ai -1 , ai), …, An =(an -1 , an), 通过 n 次试验每次发生在
Ai 区间内的频次为 N i .假设分布函数为 y =f (x),
令
xi
=ai
-1 +a 2
i
,
yi =Ni , 得 到函数 上的
可靠性数据是指在各项可靠性工作及活动中所 产生的描述产品可靠性水平及状况的各种数据 , 它 们可以是数字 、表格 、符号 、文字和曲线图等形式 .收
集可靠性数据是为了在产品寿命周期内有效地利用 数据 , 为改进产品的设计 、生产提供信息[ 1] .从工程 检测中得到的数据大多时候服从截尾分布[ 2] , 并且 是不完整的数据 , 一般集中在有限的区域内 .参数估 计的准确性对可靠性工程有着直接的影响 , 在对不 完整数据进行参数估计时 , 需要选用一种合适的方
T=
tn
+ 2
t
n
+1
,
…,
t m -1 +t m 2
为这(m -n )个 区间 的中 值 , N =(N 1 , N 2 , … , N m -n)为落在这(m -n)个区间的频次 .
N -1 =f (μ1 , μ2 , μ3 , … , T -1)为要拟合的参数 方程 , 其中 μ1 = G1(T -1 , N -1),
表 1 分布函数的理论观察频次 T ab .1 Obser vation of distribution function
in theory frequency
第 34 卷 第 2010 年 2
1期 月
北 京 交 通 大 学 学 报
JO U RNA L OF BEIJING JIAO T ON G U N IV ERSI T Y
VFole.b3.4 2N01o0.1
文章编号 :1673-0291(2010)01-0137-03
参数估计的数值解析法
宋占勋 , 谢基龙 , 周素霞 , 杨 月
(北京交通大学 机械与电子控 制工程学院 , 北京 100044)
摘 要 :对目前参数估计的方法进行了总结与对比 .针对不完整数据参数估计时的情况 , 分析了目 前关于参数估计方法存在的问题 .利用 M at lab 求解非线性方程 , 提出了一种高精度数值解析法 .利 用少量的实验数据便可求出一组参数的解 , 然后排列组合试验所得到的数据 , 可以求出多组参数的 解 , 求解多组参数的平均值 , 从而得到参数的精确解 .并以两种工程中常用的拟合函数正态分布和 威布尔分布为例 , 列出了数值解析法的具体求解步骤 , 通过与极大似然法的比较 , 验证了本文方法 的可行性 . 关键词 :参数估计 ;可靠性 ;不完整数据 中图分类号 :TB11 文献标志码 :A
参数 , 即在 <δ时不会失效 .一般情况下 , 在工程中
使用的零部件是不考虑在使用前就失效的 , 所以只
需要考虑形状参数 m 和尺度参数 η.然而在分布函
数和密度函数中都是 ηm , 故用 ω代替 .取 3 组对应
的数据(t 1 , y 1),(t 2 , y2), (t 3 , y3)来求解参数 , 带入
3
2 2
y y
1(x
2
2
-
x
2 1
)+ln
y y
1(x
2
2 2
-x 23)
-x 3)-2ln
y2 y3
(x
1
-x 2)
(3)
σ2
=(x 1
-
x
2)(x
2 2
- x 23)-(x 2
-
x
3)(x
2 1
- x 22)
2
(x 2 - x 3)ln
y1 y2
-(x 1 - x2)ln
y2 y3
(4)
图 1 数值解析法的求解过程
y 1), (x2 , y 2), (x 3 , y3)来求解参数 .带入正态分布
密度函数 , 并求比值
y1 y2
=exp
(x
22 σ2
μ)2
-(x
12 σ2
μ)2
(1)
y2 y3
=exp
(x
32 σ2
μ)2
-(x
22 σ2
μ)2
(2)
通过求解式(1)、式(2)可以得到
ln μ=
2ln
y y
2(x
黄金分割法为例 , 对不 完整数据进行 处理 .首 先在
M atab 中定义一维数组 T =(T 1 , … , T i , …, T n), N =(H1 , …, Hi , … , H n), 以 及非 线性 函数 N -1 = f (μ1 , μ2 , μ3 , …, T -1), 然后编 制黄金分 割法后 台
威布尔分布密度函数 , 并求其比值
y1 y2
=
t1 t2
m -1
exp
t
m 2
-tm1
ω
(5)
y2 y3
=
t2 t3
m -1
exp
t
m 3
-tm2
ω
(6)
通过求解式(5)、式(6)可得
[ B 1 -(m -1)A 1] (tm3 -t m2 )=
[ B2 -(m -1)A 2] (t m2 -tm1 ) (7)
Numerical Analytical Method for Parameters Estimate
SONG Zhanxun , XIE Jilong , ZHOU Suxia , Y ANG Y ue
(Schoo l of Mechanical and Electronic Control Engineering , Beijing Jiaotong U niversity , Beijing 100044, China)
程的参数 , 在多次计算中找到一个近似解 .这些方法
收稿日期 :2007 -11 -26 ;修回日期 :2009 -10 -31 基金项目 :国家“ 973” 计划项目资助(2007C B714705);铁道部科技研究开发计划重点项目资助(2006J017)
作者简介 :宋占勋(1983 —), 男 , 河南安阳人 , 博士生.emai l :songzhanxun @t om .com .