模糊数学教案01PPT课件
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最新模糊数学教案01
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R1
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0 1 0
1
0 0
1 0 0
R2 0 1 0
0 0 1
合成(° )运算的性质：
性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3： A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C) ；
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
即(rij∧rjk) = 1，因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1，
由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.
集合上的等价关系
( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A) ； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I O=为A；零矩阵，I 为 n 阶单位方阵. 性质5：A≤B，AC≤≤BDaAij≤°bij .C ≤B ° D.
关系三大特性的矩阵表示法： 设R为 X = {x1, x2, … , xn} 上的关系，则
rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
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而
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
由格贴近度公式，得
(2 1 )2
N( A, B) e 12
模糊数学
xR
xR
可见，内积 A B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
பைடு நூலகம்
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(
2
1
)2
A B A(x1) e 21
当 U 为无限论域时， A B (A(u) B(u)) uU
这里“V”表示取上确界。 注，2.1 节中的海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度 和本节的格贴近度这些贴近度很难比较，只有在应用时加以 选择。
模糊数学
例 1 设论域 R 为实数域，F 集的隶属函数为
( xa1 )2
A(x) e 1 ,
模糊数学
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
定理 1 设 A, B F(U ) ，则 (A, B) (A B) (A B)c, 是 F 集 A,B 的贴近度，叫做 A、B 的格贴近度。记为
N1(A, B) (A B) (A B)c
n
式中，当 U 为有限论域时， A B (A(ui ) B(ui )) i 1
模糊数学
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
模糊数学课件1
当X = Y = Z时, 映射f : X × X → X ,
称为X 称为 上的二元运算
代数系: 定义了代数运算的集X与运算f 代数系 定义了代数运算的集X与运算f 的统称
记为( X , f )
六、同态、同构 同态、
若( X ,⊗ ), (Y ,⊕ )是两个代数系 , g : X → Y , ∀x1 , x2 ∈ X , 有 g ( x1 ⊗ x2 ) = g ( x1 ) ⊕ g ( x2 )
⇒ x ≤ a (或a ≤ x )。
∃ a ∈ P , ∀x ∈ P
则称 a为 P的最大（小）元。 的最大（
上限，下限： 上限，下限： 设（ P , ≤ )是半序集 A ⊆ P .∃a ∈ P , ∀x ∈ A ⇒ x ≤ a (≥ a ), 则称 a为A的上界(下界 ). 上界中的最小元素称为A的上限, 记为 sup A. 上界中的最小元素称为A的上限, 记为 inf A. 下界中的最大元素称为A的下限, 下界中的最大元素称为A的下限,
∴ ( P (U ),U,I,C ) ≅ (CH (U ),∨ ,∧ ,C )
§3 关系与格 一、关系
设X ,Y是两集合 , 直积X × Y的一个子集 R( R ⊆ X × Y ) 之间的一个二元关系。 称为 X与 Y之间的一个二元关系。 则称“ , 若( x , y ) ∈ R, 则称“ x对y具有关系 R”记作xRy . 若( x , y )∈R则记作 x R y .
(1) f为满射： f ( X ) = Y 为满射： ( 2) f为单射 : x ≠ x′ ⇒ f ( x ) ≠ f ( x′ )
(3)f 为双射： f 既是满射，又是单射 f 双射： 既是满射，又是单射. 二、逆映射 若f为双射 , 则由y = f ( x )确定Y到X的映射
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，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学第一章
A B B A
(3) 结合律(associativity)
A B பைடு நூலகம்B A
A (B C) (A B) C (A B) C A (B C)
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
例2:
在例 1中，f1 ({1, 2, 3}) {a,b,c},f2 ({1, 2, 3}) {a}.
二、映射与扩张
（2） 特殊映射
单射(injection)：
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
满射(surjection)： f 为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y. 双射(bijection)：
2
二、课程认识
在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清
晰概念多得多。
对于这类模糊现象，过去已有的数学模 型难以适用，需要形成新的理论和方法，即 在数学和模糊现象之间架起一座桥梁——模 糊数学。
2
二、课程认识
教学目的
通过本课程的学习，掌握模糊数学的
基本思想，基础理 论；从而进一步了解 模糊理论的基本应用，能够应用模糊理 论解决信息领域与工程技术中的实际问 题。
空集: 不含任何元素的集合, 记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集，或A包含
于B, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A，则称 A与B 相等，且A=B 真子集: A B且A与B不相等且A ，称A是B的真子集， 或A真包含于B, 记A B
交(int ersection) A B {x | x A且x B}
【精编】模糊数学课件PPT课件
映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
❖ 说明：
❖ 1、R是集合X到集合Y的关系，记作 RXY
❖ 2、关系R的定义域，记为D(R) ❖ 3、关系R的值域,记为C(R) ❖ 4、所有的集合运算及其性质在关系中也适用
5、令集合X ={x1 , x2 ,…, xn} ，Y ={y1 , y2 ,…, ym}, X到Y存在关系R，则关系R的“关系矩阵”为 MR=(rij)n*m，其中
⑨排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ；
2.1.3 关系
定义2-5 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关系 简称为关系.
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1；
若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0.
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第一章 绪 论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1 模糊数学的发展
1、数学的定义
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。
近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律，建立严密的理论体系。
设A,B,C为论域U中的三个任意集合
①幂等律： A∪A = A， A∩A = A； ②交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； ③结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； ④吸收律：A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
❖ 说明：
❖ 1、R是集合X到集合Y的关系，记作 RXY
❖ 2、关系R的定义域，记为D(R) ❖ 3、关系R的值域,记为C(R) ❖ 4、所有的集合运算及其性质在关系中也适用
5、令集合X ={x1 , x2 ,…, xn} ，Y ={y1 , y2 ,…, ym}, X到Y存在关系R，则关系R的“关系矩阵”为 MR=(rij)n*m，其中
⑨排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ；
2.1.3 关系
定义2-5 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二元关系 简称为关系.
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1；
若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0.
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第一章 绪 论
1.1 模糊数学的发展 1.2 模糊性 1.3 模糊数学的应用
1.1 模糊数学的发展
1、数学的定义
19世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和 数量关系的科学。
近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的 定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精 确的实验方法和精确的测量计算探索客观 世界的规律，建立严密的理论体系。
设A,B,C为论域U中的三个任意集合
①幂等律： A∪A = A， A∩A = A； ②交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； ③结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； ④吸收律：A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
模糊数学教案第一章
模糊数学教案第一章
目
CONTENCT
录
• 模糊数学概述 • 模糊集合论基础 • 模糊逻辑与模糊推理 • 模糊数学展望
01
模糊数学概述
模糊数学的定义
模糊数学是研究模糊现象的数学分支，它以模糊集合论为基础， 研究模糊性事物的数量关系和空间形式。
它将经典数学中的精确概念模糊化，引入了隶属度、贴近度等概 念，以处理模糊性事物。
扩张原理
将一个确定性集合通过某种映射规则扩展为模糊集合，以便于描 述具有连续性和不确定性的对象。
03
模糊逻辑与模糊推理
经典逻辑与形式逻辑
经典逻辑
基于二值原则，命题的真假只有 两个取值，即真和假。
形式逻辑
以数学为工具，对思维规律进行 形式化研究的逻辑分支。
模糊逻辑的基本概念
模糊集合
元素属于集合的程度不再是简 单的真或假，而是以0到1之间 的实数表示。
隶属度
元素属于某个集合的程度，用 0到1之间的实数表示。
模糊逻辑运算
基于模糊集合和隶属度进行的 逻辑运算。
模糊命题与模糊推理
模糊命题
最大值和最小值规则
由模糊量词和普通命题构成的复合命 题。
在模糊推理中，最大值和最小值规则 是常用的两种推理规则。
模糊推理
基于模糊命题的推理，其规则不同于 经典逻辑。
04
金融风险管理
在金融领域，模糊数学可 用于风险评估和决策制定， 帮助金融机构更好地管理 风险和把握市场机会。
THANK YOU
感谢聆听
模糊数学展望
模糊数学的发展趋势
1 2
模糊数学与人工智能的结合
随着人工智能技术的快速发展，模糊数学在处理 不确定性、模糊性以及非线性问题上将发挥更大 的作用。
目
CONTENCT
录
• 模糊数学概述 • 模糊集合论基础 • 模糊逻辑与模糊推理 • 模糊数学展望
01
模糊数学概述
模糊数学的定义
模糊数学是研究模糊现象的数学分支，它以模糊集合论为基础， 研究模糊性事物的数量关系和空间形式。
它将经典数学中的精确概念模糊化，引入了隶属度、贴近度等概 念，以处理模糊性事物。
扩张原理
将一个确定性集合通过某种映射规则扩展为模糊集合，以便于描 述具有连续性和不确定性的对象。
03
模糊逻辑与模糊推理
经典逻辑与形式逻辑
经典逻辑
基于二值原则，命题的真假只有 两个取值，即真和假。
形式逻辑
以数学为工具，对思维规律进行 形式化研究的逻辑分支。
模糊逻辑的基本概念
模糊集合
元素属于集合的程度不再是简 单的真或假，而是以0到1之间 的实数表示。
隶属度
元素属于某个集合的程度，用 0到1之间的实数表示。
模糊逻辑运算
基于模糊集合和隶属度进行的 逻辑运算。
模糊命题与模糊推理
模糊命题
最大值和最小值规则
由模糊量词和普通命题构成的复合命 题。
在模糊推理中，最大值和最小值规则 是常用的两种推理规则。
模糊推理
基于模糊命题的推理，其规则不同于 经典逻辑。
04
金融风险管理
在金融领域，模糊数学可 用于风险评估和决策制定， 帮助金融机构更好地管理 风险和把握市场机会。
THANK YOU
感谢聆听
模糊数学展望
模糊数学的发展趋势
1 2
模糊数学与人工智能的结合
随着人工智能技术的快速发展，模糊数学在处理 不确定性、模糊性以及非线性问题上将发挥更大 的作用。
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
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关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}，R 为从 X 到 Y 的二元关系，记
rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
§1.2 模糊理论的数学基础
经典集合
经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异， 即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属 于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)， 二者必居其一.
0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ；
A∪ = A ， A∩ = ；
还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc；
排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集.
集合的直积： X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系
R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成：
R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
定义：若R为 n 阶方阵，定义
R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3},
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系
( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A) ； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I O=为A；零矩阵，I 为 n 阶单位方阵. 性质5：A≤B，AC≤≤BDaAij≤°bij .C ≤B ° D.
0 0 0
R1
0 0 1
0 1 0
1
0 0
1 0 0
R2 0 1 0
0 0 1
合成(° )运算的性质：
性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3： A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C) ；
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
(2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性；
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1；
若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为
映射
R (x , y ) = 0.
R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
关系的三大特性：
设R为 X 上的关系
(1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性；
R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)},
R2 ={(x, y) | y – z = 1}= {(2,1), (3,2), (4,3)},
则R1与 R2的合成
R1 ° R2={(x, y) | x + z = = {(2,3), (3,2), (4,1)}. 5}
集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )；
集合的表示法：
(1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
AB 若xA，则xB；
AB 若xB，则xA；
A=B AB且 AB.
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A).
并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }.
映射与扩张
映射 f ： X Y
集 xA.
取大运算, 如2∨3 = 3
特征函数满足：
AB(x) A(x) B(x);
AB(x) A(x) B(x);
Ac (x) 1A(x).
扩张：点集映射 集合变换
取大运算, 如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系.