2019年杭州中考卷试卷分析
【英语】2019年浙江省杭州市中考真题(Word版含解析)
The Coffee Pot RestaurantWe' re looking for Saturday assistants(帮手) in our busy town centre restaurant. The job will include setting and clearing tables, serving customers and helping in the kitchen. We’re looking for polite and patient people who can work under pressure.Hours: 10 am-4 pm including a half-hour lunch break.Pay: Ғ 5 an hour + lunchFilm Extras WantedHave you ever wanted to be in the movies? Are you interested in acting? We’re making a film in the local area during July and August and we 'll need several young people as extras(临时演员). We’re looking for active and social 14-18 year- old. Pay: Ғ 50 a day + meals.Please include a recent photograph in your application.Newspaper Boys/GirlsWe're looking for honest young people to deliver(投递) newspapers and magazines. W e need one person for morning deliveries (7-8) and two people for evening deliveries(5-6). Y ou must be at least 13 years old and have your own bicycle. For morning deliveries you need to be good at getting up early, too! Pay: Ғ 30 a weekWhen you apply (申请),please say whether you prefer mornings or evenings.PART-TIME ASSISTANTSWANTEDShop'n'Save Supermarket needs two young people (14-18) for evening and weekend work. The job includes helping customers, putting things on the shelves, collecting trolleys, etc.Hours：5-7 evenings or 10-5 Saturdays and SundaysPay Ғ4 an hour and free lunch for weekend hours.2019年浙江省杭州市中考英语试题（解析版）第一部分听力（共两节，满分30 分）【答案】1-15 ACCBA ABCAC BAABC第二部分阅读理解（共两节，满分40 分）第一节（共15 题，每小题 2 分，满分30 分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A, B, C 和D）中选出最佳选项A16. To be a film extra, one has to be .A. polite and patient.B. active and social.C. honest and strong.D. helpful and careful.17. A part-time assistant at Shop' n' Save Supermarket needs to .A. set and clear tables.B. provide a photo.C. deliver newspapers. D help customers.18. If 13-year-old Tom is free from 5:00 pm to 7:00 pm, which job can he apply for?A. A restaurant assistant.B. A film extra.C. A newspaper boy.D. A supermarket assistant.【答案】16-18 BDC【解析】A 篇为 4 则招聘广告（话题同七下U1）16. B 细节题。
浙江省杭州市2019年中考科学试卷分析
34
56
焦耳定律的计算公式及其应用
7（2.3%）
35
57
电功计算公式的应用
7（2.3%）
35
58
生态系统的成分
9（3.0%）
37
3（1.0%）
14
18
近视眼的成因与矫正办法
3（1.0%）
15
19
远视眼的成因与矫正办法
3（1.0%）
15
20
金属的化学性质
3（1.0%）
16
21
有关元素化合价的计算
3（1.0%）
16
22
压力及重力与压力的区别
3（1.0%）
17
23
大气层的作用
3（1.0%）
18
24
光的折射规律
3（1.0%）
18
25
浙江省杭州市2019年中考科学试卷分析
1.试卷总体分布分析
总分：160分
分值分布
客观题（占比）
60（37.5%）
主观题（占比）
100（62.5%）
题量分布
客观题（占比）
20（54.1%）
主观题（占比）
17（45.9%）
2.试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题(本大题共60分,每小题3分)
8（2.6%）
29
48
欧姆定律的应用
7（2.3%）
30
49
滑动变阻器的使用
7（2.3%）
30
50
液体内部存在压强
5（1.6%）
31
51
大气压与人类生活
8（2.6%）
32
52
浙江省杭州市2019年中考语文试题(含解析)和答案
浙江省杭州市2019年中考语文试卷一、积累运用（20分）1.阅读下面的文字，完成小题。
（1）根据拼音，在词语空缺处填写汉字。
shāo jiéjué喜上眉________ 乡土情________ 取________（2）给语段中划线的字选择正确的读音。
①怯________（A．qiē B．què）②翘________（A．qiào B．qiáo）【答案】（1）梢；结；决（2）A；B【考点】常用字字音，多音字字音，同音字字形辨析，形近字字形辨析【解析】【分析】（1）根据平时积累答题，注意“梢”是木字旁，“结”不要写成“节”，“决”是两点水。
（2）根据平时对汉字读音的识记选择，“怯”应读作“qiè”，“翘”是多义字，这里应读作“qiáo”。
故答案为：⑴梢；结；决；⑵①A；②B【点评】（1）本题考查对汉字字形的积累能力。
要求在平时的学习过程中，对于形似字、同音字、易错字、形声字等，要勤于积累，加强记忆。
对于同音字，答题时要结合语言环境选择使用哪一个字。
（2）此题考查对字音的掌握情况，解答此题关键在于平时积累，平时学习时要读准每个汉字的读音，注意多音字、形近字、形声字等。
多音字的读音要结合语境选择正确的读音。
2.下列对语段中划线的词语理解不正确的一项是（）A. “故知”在句中是“旧知识”的意思。
B. “褪色”在句中是“变淡”的意思。
C. 含辛茹苦：经受艰辛困苦。
D. 桑梓：家乡（古时住宅旁常栽桑树、梓树，后用“桑梓”指代家乡）。
【答案】 A【考点】词义理解，词语在语境下的含义【解析】【分析】根据平时积累并结合语境理解词义，A理解不正确。
“故知”这里是老朋友的意思，而不是“旧知识”的意思。
BCD理解正确。
故答案为：A。
【点评】本题考查理解词语意思的能力。
解答此类题，学生应该在平时多多注意积累词语，课文后边“读读写写”中的词语，课本中出现的重点词语都要注意积累。
2019年中考数学试卷分析
2019年杭州市初中毕业升学文化考试数学总体分析2019年中考题型较2018年无变化，但考察的知识点变化较大，从解答题来看，17题去年考察反比例、今年考察分式（这个跟我预测的一样）；18题没有变化，都是考察数据统计以及数据分析但是（没有查概率，并且考察了方差公式）；19题都是简单的几何知识考察，去年是相似的简单考察，今年是角度的计算；20题都是反比例函数的知识点，去年是反比例与一次函数综合，今年考察反比例的实际应用，比较简单；21题变化较大，去年为数形结合类的知识，今年是正方形与线段计算综合；22题都是二次函数；压轴题的变化也比较大，去年是正方形，今年是圆的有关内容。
另外，填空题16题都是几何折叠题目，考生均说有一定的难度，其实难度不大，掌握好翻折的性质以及相似的应用，这道题目很快就能做出来，其他题目也略有不同。
从知识点来看，几何里面的相似占分下降，圆的占分增加，这个从今年考纲就可以看出，考纲明确指出要考察切线长定理，今年中考试卷就出现了，虽然只是一个简单选择题，但是可以看出考试方向且增加在第23题。
总体来说，今年较去年难度有所提升，难度系数应该在0.73
从四道压轴题来看，第10题考察二次函数的图象问题，具体为二次函数与坐标轴的交点问题，这道题目用排除法就能做对，比较单间；第16题考察几何题的折叠；第22题考察二次函数含参问题，值得注意的是，第10题和22题给的都是二次函数交点式，不同于以往常见的一般式和顶点式；第23题考察圆的有关知识，主要涉及到三
角形的外接圆以及角度计算。
2019年杭州中考模块百分比分布图。
2019年浙江杭州英语中考试题及解析
浙江省杭州市2019年中考英语试卷答案解析部分第一部分听力（共两节，满分30 分）第一节（共5 小题，每小题 2 分，满分10 分）1. A2. C3. C4. B5. A听力原文：略第二节（共10 小题，每小题 2 分，满分20 分）6.A7.B8.C9.A 10. C 11.B 12.A 13.A 14.B 15.C听力原文：略第二部分阅读理解（共两节，满分40 分）第一节（共15 题，每小题2 分，满分30 分）A 篇16.B 17.D 18.C【分析】文章大意：这是一则招聘广告。
16.细节理解题。
根据We're looking for active and social 14—18-year-olds.可知我们正在寻找一个积极的，爱交往的14到18岁的人，故选B。
17.细节理解题。
根据The job includes helping customers, putting things on the shelves, collecting trolleys, etc.可知这份工作包括帮助顾客，把东西放在货架上，收集手推车等，故选D。
18.细节理解题。
根据We need one person for morning deliveries (7-8) and two people for evening deliveries (5-6).以及You must be at least 13 years old and have your own bicycle. 可知送报纸需要一个至少13岁，晚上5-6点有时间的人，故选C。
【点评】考查阅读理解能力，首先通读全文，然后带着问题在文章中找到依据，选出正确答案。
B篇19.B 20.C 21.A 22.D【分析】文章大意：介绍了The Fight Temeraire这幅画的内容，寓意和价值。
19.细节理解题。
根据第一段最后一句话People chose this picture to be the greatest painting in Britain.可知人们选这幅画是英国最伟大的画，故选B。
2019年浙江杭州市中考语文试题卷附答案解析
2019年浙江杭州市中考语文试题卷一积累(20分)阅读下面的文字,完成1-3题。
◆异乡人这三个字,听起来音色苍凉；“他乡遇故如”，则是人生一快。
一个怯．生生的船家女，偶尔在江上听到乡音,就不觉喜上眉（）（shāo），顾不得娇羞。
和隔船的陌生男子搭讪；“君家居何处?妾住在横塘。
停船暂借问,或恐是同乡，”辽阔的空间，悠邈的时间，都不会使这种感情褪色:这就是乡土情（）(jié),◆民族向心力的凝聚,并不取（）（jué)于地理距离的远近。
我们第一代的华侨,含辛茹苦,寄籍外洋,生儿育女,却世代翘首神州，不忘桑梓之情，当祖国需要的时候，他们都作了慷慨的奉献。
1.根据拼音,在词语空缺处填写汉字。
(3分)⑴喜上眉（）（shāo)(2)土情（）(jié)(3)取（）（jué)2.给语段中加点的字选择正确的读音。
(2分)(1)怯(A.qièB.què)(2)(翘A.qiào B.qiáo)3.下列对语段中画横线的词语理解不正确的项是(2分)A.“故知”在句中是“旧知识”的意思，B.“褪色”在句中是“变淡”的意思。
C.含辛茹苦:经受艰辛困苦。
D.桑样:家乡(古时住宅旁常栽桑树、梓树,后用“桑梓”指代家乡)。
4.古诗文名句填空。
(5分)千百年来,中华大地诞生了无数风流人物。
有的洁身自好，“出淤泥而不染，①”；有的坚守道义，“②,于我如浮云”，更有舍生取义的英雄，如文天祥,他在经过零丁洋时,写下面③？④”的铮铮誓言，他们都称得上是“富贵不能淫，⑤,威武不能屈”的大丈夫。
5.下列各句中，所引古诗文名句不符合语境的一项是（）(3分)A.贾爷爷真可谓“老骥伏枥，志在千里”，七十岁了还不想着颐养天年，而是去山区兴办企业,带动当地人民脱贫致富。
B.“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，自从富春江两岸实施了“亮灯工程”火树银花的夜景总是给游客带来惊喜，C.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，祝愿远行求学的你，克服成长路上的困难，学业进步，早日实现心中的梦想，D.在中秋佳节这个特殊日子，归国探亲的旅法华侨用杜甫的诗句“露从今夜白,月是故乡明”来表达心情，是最恰当不过了。
2019年浙江省杭州市中考语文试卷含答案解析
2019年浙江省杭州市中考语文试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列各句中，所引古诗文名句不符合语境的一项是（）A. 贾爷爷真可谓“老骥伏枥，志在千里”，七十岁了还不想着顾养天年，而是去山区兴办企业，带动当地人民脱贫致富。
B. “忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，自从富春江两岸实施了“亮灯工程”，火树银花的夜景总是给游客带来惊喜。
C. “长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，祝愿远行求学的你，克服成长路上的困难，学业进步，早日实现心中的梦想。
D. 在中秋佳节这个特殊日子，归国探亲的旅法华侨用杜甫的诗句“露从今夜白，月是故乡明”来表达心情，是最恰当不过了。
2.下列文学、文化常识，分类恰当的一项是（）A. 谦辞：家君、，在下、愚见、寒舍B. 法国：莫泊桑、普希金、法布尔、都德C. 小说：《儒林外史》、《水浒传》、《朝花夕拾》、《骆驼祥子》D. 律诗：《游山西村》、《春望》、《木兰诗》、《钱塘湖春行》3.根据你对艾青诗歌的了解，选出不是评论艾青诗歌的一项（）A. 这是一首长诗，用沉郁的笔调细写了乳娘兼女佣（“大堰河”）的生活痛苦……我不能不喜欢《大堰河》﹣矛盾B. 归真返璞，我爱好他的朴素、平实，爱读他那用平凡的语言，自由的格式，不事雕琢地写出的激动人心的诗篇。
﹣唐弢C. 他的诗）把我们从怀疑、贪婪的罪恶的世界，带到秀嫩天真的儿童的新月之国里去……它能使我们在心里重温着在海滨以贝壳为餐具，以落叶为舟，以绿草上的露点为圆珠的儿童的梦。
﹣郑振铎D. 在国难当头的年代，诗人歌唱“土地”具有格外动的力量，而诗人那种不断转折和强化的抒情方式，当然也是和充满险阻坎坷的时代相吻合的。
﹣孙光萱4.鸡蛋小面包[西班牙]胡丽塔•尼古拉斯在餐桌上我们从来不说话，因此我很吃惊妈妈给我讲在鱼店听到的事。
有人告诉她一位女士非常需要一个女孩为她读书。
“我想到了你。
你已经12岁了，书读得很好。
特别是﹣﹣鱼店老板亲口告诉我，那一家人花钱如流水，那位女士有很多珠宝首饰。
2019年浙江杭州中考数学试卷(含解析)
2019年浙江省杭州市初中毕业、升学考试数学一、选择题:本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题綸出的四个迭项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2019浙江省杭州市，1，3分）计算下列各式，值最小的是【】A．2×0+1-9 B．2+0×1-9 C．2+0-1×9 D．2+0+1-9【答案】A【解析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．A.2×0+1-9=-8，B．2+0×1-9=-7，C．2+0-1×9=-7，D．2+0+1-9=-6，故选：A．【知识点】有理数的混合运算2.（2019浙江省杭州市，2，3分）在平面直角坐标系中,点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则【】A.m=3，n=2B.m=-3，n=2C.m=2，n=3D.m=-2，n=3【答案】B【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选：B．【知识点】直角坐标系内点的坐标特征3.（2019浙江省杭州市，3，3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB=【】A．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A和PB与⊙O相切，根据切线长定理，可知：P A=PB=3，故选：B．【知识点】切线长定理4.（2019浙江省杭州市，4，3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则【】A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72【答案】D【解析】设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选：D．【知识点】一次方程（组）及应用模型思想应用意识5.（2019浙江省杭州市，5，3分）点点同学对数据26，36，36，46，5█，52进行统计分析.发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是【】A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差【答案】B【解析】这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．【知识点】统计的应用6.（2019浙江省杭州市，6，3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)连接AM交DE干点N，则【】A.AD ANAN AE= B.BD MNMN CE= C.DN NEBM MC= D.DN NEMC BM=N E A B C D M【答案】C【解析】根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM 与△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN AN BM AM =，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴NE AN MC AM =，∴DN NE BM MC=．故选：C ． 【知识点】相似三角形的判定与性质7.（2019浙江省杭州市，7，3分）在△ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则 【 】A.必有一个内角等干30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°【答案】D【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B ，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形，故选：D ．【知识点】三角形内角和定理8．（2019浙江省杭州市，8，3分）已知一次函数y 1=ax +b 和y 2=bx +a （a ≠b ），函数y 1和y 2的图象可能是【 】xy 1O x y 1O x y 1O xy1OA B C D【答案】A【解析】根据直线①判断出a 、b 的符号，然后根据a 、b 的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．A 、由①可知：a ＞0，b ＞0，∴直线②经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由①可知：a ＜0，b ＞0，∴直线②经过一、二、三象限，故B 错误；C 、由①可知：a ＜0，b ＞0，∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D 、由①可知：a ＜0，b ＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．【知识点】一次函数的图象和性质9. （2019浙江省杭州市，9，3分）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于【 】A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx【答案】D【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选：D ．【知识点】三角函数 矩形的性质10．（2019浙江省杭州市，10，3分）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有N 个交点，则 【 】 A ．M=N-1或M=N+1 B ．M=n-1或M=N+2 C ．M=N 或M=N+1 D ．M=N 或M=N-1【答案】A 【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx 2+（a+b ）x+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选：C ．【知识点】二次函数图象及其性质 抛物线与x 轴的交点二、填空题:本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
浙江杭州2019中考试题数学卷(解析版)
一、选择题1. =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．依此即可求解考点：算术平方根2.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若21 BC AB ，则EFDE =（ ）A ．B ．C ．32 D ．1 【答案】B考点：平行线分线段成比例3.下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，可得答案．该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆，考点：简单几何体的三视图4.如图是某市2016年四月每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（）A ．14℃，14℃B ．15℃，15℃C ．14℃，15℃D ．15℃，14℃【答案】A【解析】考点：(1)、众数；(2)、条形统计图；(3)、中位数5.下列各式变形中，正确的是（ ）A ．x 2•x 3=x 6B ．=|x| C ．（x 2﹣）÷x=x ﹣1 D ．x 2﹣x+1=（x ﹣）2+41 【答案】B【解析】试题分析：直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．A 、x 2•x 3=x 5，故此选项错误；B 、=|x|，正确；C 、（x 2﹣）÷x=x ﹣，故此选项错误；D 、x 2﹣x+1=（x ﹣）2+，故此选项错误；考点：(1)、二次根式的性质与化简；(2)、同底数幂的乘法；(3)、多项式乘多项式；(4)、分式的混合运算6.已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为（ ）A ．518=2B ．518﹣x=2×106C ．518﹣x=2D ．518+x=2 【答案】C【解析】试题分析：设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，可得：518﹣x=2，考点：由实际问题抽象出一元一次方程7.设函数y=x k（k ≠0，x ＞0）的图象如图所示，若z=y1，则z 关于x 的函数图象可能为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：反比例函数的图象8.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）A．DE=EB B．2DE=EB C．3DE=DO D．DE=OB【答案】D【解析】考点：圆周角定理9.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0【答案】C【解析】试题分析：如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解m2+m2=（n﹣m）2， 2m2=n2﹣2mn+m2， m2+2mn﹣n2=0．考点：(1)、等腰直角三角形；(2)、等腰三角形的性质10.设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】C【解析】试题分析：根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．考点：(1)、因式分解的应用；(2)、整式的混合运算；(3)、二次函数的最值二、填空题（每题4分）11.tan60°= ．【答案】【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可考点：特殊角的三角函数值12.已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 ．【答案】21 【解析】试题分析：先求出棕色所占的百分比，再根据概率公式列式计算即可得解．棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%， 所以，P （绿色或棕色）=30%+20%=50%=21． 考点： (1)、概率公式；(2)、扇形统计图13.若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 （写出一个即可）．【答案】-1【解析】试题分析：令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x ﹣y），考点：因式分解-运用公式法14.在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．【答案】105°或45°【解析】考点：(1)、菱形的性质；(2)、等腰三角形的性质15.在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为．【答案】（﹣5，﹣3）【解析】试题分析：直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，∴D点坐标为：（5，3），∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．考点：(1)、关于原点对称的点的坐标；(2)、平行四边形的判定与性质16.已知关于x 的方程=m 的解满足（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是 ． 【答案】52＜m ＜32 【解析】考点：(1)、分式方程的解；(2)、二元一次方程组的解；(3)、解一元一次不等式三、解答题17.计算6÷（﹣3121 ），方方同学的计算过程如下，原式=6÷(-21)+6÷31=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】-36【解析】试题分析：根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可 试题解析：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式=6÷（﹣21+）=6÷（﹣）=6×（﹣6）=﹣36． 考点：有理数的除法18.某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当季汽车产量（辆）百分比的统计图如图所示．根据统计图回答下列问题：（1）若第一季度的汽车销售量为2100辆，求该季的汽车产量；（2）圆圆同学说：“因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从75%降到50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说的对吗？为什么？【答案】(1)、3000辆；(2)、说法不对，理由见解析【解析】考点：折线统计图19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.【解析】考点：相似三角形的判定与性质20.把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．【答案】(1)、15米；(2)、t=2+2或t=2-2；(3)、0≤m ＜20【解析】试题分析：(1)、将t=3代入解析式可得；(2)、根据h=10可得关于t 的一元二次方程，解方程即可；(3)、由题意可得方程20t ﹣t 2=m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m 的范围．试题解析：(1)、当t=3时，h=20t ﹣5t 2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；(2)、∵h=10， ∴20t ﹣5t 2=10，即t 2﹣4t+2=0， 解得：t=2+2或t=2﹣2， 故经过2+2或2﹣2时，足球距离地面的高度为10米；(3)、∵m ≥0，由题意得t 1，t 2是方程20t ﹣5t 2=m 的两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac=202﹣20m ＞0， ∴m ＜20， 故m 的取值范围是0≤m ＜20．考点：(1)、一元二次方程的应用；(2)、二次函数的应用21.如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DE 上，点A ，D ，G 在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC ，CG ， AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin ∠EAC 的值．（2）求线段AH 的长．【答案】(1)、55；(2)、1056 【解析】考点：(1)、正方形的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、解直角三角形22.已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．①求证：2a+b=0；②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．【答案】(1)、a=1，b=1；(2)、①、证明过程见解析；②、当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．【解析】试题解析：(1)、由题意得：，解得：，故a=1，b=1．(2)、①、∵y1=ax2+bx=a，∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），∵函数y2的图象经过y1的顶点，∴﹣=a（﹣）+b，即b=﹣，∵ab≠0，∴﹣b=2a，∴2a+b=0．②、∵b=﹣2a，∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．∵1＜x＜，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．考点：二次函数综合题23.在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：①∠APB=120°；②AF+BE=AB．那么，当AM∥BN时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ 的长．【答案】(1)、∠APB=90°，AF+BE=2AB；理由见解析；(2)、AQ=43﹣3或43+3【解析】(2)、如图1，过点F作FG⊥AB于G，∵AF=BE，AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF+BE=16，∴AB=AF=BE=8，∵323=8×FG，∴FG=43，在Rt△FAG中，AF=8，∴∠FAG=60°，当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，①如图2，当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，∴PB=4，PA=43，∵BQ=5，∠BPA=90°，∴PQ=3，∴AQ=43﹣3或AQ=43+3．考点：四边形综合题。
浙江省杭州市2019年中考真题数学试题(含解析)
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1.计算下列各式，值最小的是（）A. 2×0+1-9B. 2+0×1-9C. 2+0-1×9D. 2+0+1-9【答案】 A【考点】有理数的加减乘除混合运算【解析】【解答】解：A.∵原式=0+1-9=-8，B.∵原式=2+0-9=-7，C.∵原式=2+0-9=-7，D.∵原式=2+1-9=-6，∵-8＜-7＜-6，∴值最小的是-8.故答案为：A.【分析】先分别计算出每个代数式的值，再比较大小，从而可得答案.2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A. m=3，n=2B. m=-3，n=2C. m=3，n=2 B.m=-2，n=3【答案】 B【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2.故答案为：B.【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】 B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，又∵PA=3，∴PB=3.故答案为：B.【分析】根据切线长定理可得PA=PB，结合题意可得答案.4.已知九年级某班30位学生种树72株，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设e男生有人，则（）A. 2x+3（72-x）=30B. 3x+2（72-x）=30C. 2x+3（30-x）=72 D. 3x+2（30-x）=72【答案】 D【考点】一元一次方程的其他应用【解析】【解答】解：依题可得，3x+2（30-x）=72.故答案为：D.【分析】男生种树棵数+女生种树棵数=72，依此列出一元一次方程即可.5.点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数 C. 方差 D. 标准差【答案】 B【考点】中位数【解析】【解答】解：依题可得，这组数据的中位数为：=41，∴计算结果与被涂污数字无关的是中位数.故答案为：B.【分析】中位数：将一组数据从小到大或从大到小排列，如果是奇数个数，则处于中间的那个数即为中位数；若是偶数个数，则中间两个数的平均数即为中位数；依此可得答案.6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（）A. B. C.D.【答案】 C【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：A.∵DE∥BC，∴，，∴，，∵≠ ，∴≠ ，故错误，A不符合题意；B.∵DE∥BC，∴，，∴，，∵≠ ，∴≠ ，故错误，B不符合题意；C.∵DE∥BC，∴，，∴= ，故正确，C符合题意；D.∵DE∥BC，∴，，∴= ，即= ，故错误，D不符合题意；故答案为：C.【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.7.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）A. 必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C. 必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°【答案】 D【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：设△ABC的三个内角分别为A、B、C，依题可得，A=B-C ①，又∵A+B+C=180°②，②-①得：2B=180°，∴B=90°，∴△ABC必有一个内角等于90°.故答案为：D.【分析】根据题意列出等式A=B-C①，再由三角形内角和定理得A+B+C=180°②，由②-①可得B=90°，由此即可得出答案.8.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A B C D【答案】 A【考点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：A.∵y1=ax+b图像过一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，又∵y2=bx+a图像过一、二、三象限，∴b＞0,a＞0，故正确，A符合题意；B.∵y1=ax+b图像过一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，又∵y2=bx+a图像过一、二、四象限，∴b＜0,a＞0，故矛盾，B不符合题意；C.∵y1=ax+b图像过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，又∵y2=bx+a图像过一、二、四象限，∴b＜0,a＞0，故矛盾，C不符合题意；D.∵y1=ax+b图像过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，又∵y2=bx+a图像过一、三、四象限，∴b＞0,a＜0，故矛盾，D不符合题意；故答案为：A.【分析】根据一次函数图像与系数的关系：k＞0，b＞0时，图像经过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，图像经过一、三、四象限；k＜0，b＜0时，图像经过二、三、四象限；k＞0，b＞0时，图像经过一、二、四象限；依此逐一分析即可得出答案.9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A. asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosx.D. acosx+bsinx【答案】 D【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，∵四边形ABCD为矩形，AD=b，∴∠ABH=90°，AD=BC=b，∵OB⊥OC，∴∠O=90°，又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，∴∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，∴AH= ，∵tan∠BAH=tanx= ，∴BH=a·tanx，∴CH=BC-BH=b-a·tanx，在Rt△CGH中，∵sin∠HCG=sinx= ，∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，= +bsinx- ，=bsinx+acosx.故答案为：D.【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1 D. M=N或M=N-1【答案】 C【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题【解析】【解答】解：∵y=（x+a）（x+b），∴函数图像与x轴交点坐标为：（-a，0），（-b，0），又∵y=（ax+1）（bx+1），∴函数图像与x轴交点坐标为：（- ，0），（- ，0），∵a≠b，∴M=N，或M=N+1.故答案为：C.【分析】根据函数解析式分别得出图像与x轴的交点坐标，根据题意a≠b分等于0和不等于0的情况即可得出两个交点个数之间的关系式，从而得出答案.二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，11.因式分解：1-x2=________.【答案】（1+x）（1-x）【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】解：∵原式=（1+x）（1-x）.故答案为：（1+x）（1-x）.【分析】根据因式分解的方法——公式法因式分解即可得出答案.12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于________。
杭州中考语文试卷评析
2019 年杭州中考语文试卷评析2019 年杭州市中考已经结束，对于今年杭州市中考试卷是难是易?下面我们来听听杭州市江干区中学语文教研员、高级教师章新其对2019 年杭州市中考试卷的评析今年的杭州市中考语文卷，在试卷结构、题量、要求、基本考点和难度上继续保持稳定的前提下，也有几处明显的变化。
第8 题是考查语言简明表述的试题，往年也采用新闻材料要求考生概括内容要点，但都只需进行信息筛选和重组，今年采用了“杭州市采取一系列措施治理交通拥堵问题”的新闻，则要求考生在整体把握材料信息的基础上进行分类，并在限定的字数范围内分点概括出三条措施。
考查的能力要求由筛选重组提高到分类概括。
第9 题算是今年新出现的语言应用考查题，运用一段说明“蛋白质对于人体的作用”的文字，要求考生从标点使用、语言结构和用词得体三个方面修改不当之处。
虽然这些都是初中语文教学在语言表达上的基本要求，但在同一试题中考查三个考点还是第一次出现，这样的命题更符合语言综合运用的实际情况。
第10 题考查语言生动表达和修辞方法的运用。
往年这个考点的试题为仿照画线句子进行接写或仿照示例对某一事物进行描写。
今年的试题是给考生提供了一幅“三个中学生志愿者在公交车站维持秩序”的图片，要求写一段描写性的文字，并至少运用一种修辞方法。
这一变化，由于没有了仿句或仿例，淡化了句式上的要求，摆脱了模仿上的束缚，只要表现图片上的内容并运用恰当的修辞方法，考生尽可以根据自己的语言表达特点进行描写，自主性更强，开放度更大。
现代文阅读，历年都是考查文学性的散文和说明性的科普文。
而今年一篇仍是考散文的阅读，另一篇则由科普文变为张贺写的论述文《历史与文化最有价值》（因命题的需要，标题由命题者改为“从埃菲尔铁塔谈起” ）。
作者通过论述要珍爱文化古迹的话题表达了“历史与文化最有价值，因此要尊重历史、热爱文化”的思想观点。
四道阅读试题根据议论文的“论点、论据和论证”的写作特点进行编制，较为全面地考查了考生阅读这类文章的基本能力，既符合“阅读简单的议论文，区分观点与材料，发现观点与材料之间的关系”的初中议论文阅读要求，也促使初中语文教师对议论文阅读教学的重视。
浙江省杭州市2019年中考语文试题及答案解析
浙江省2019年中考试题（杭州卷）;;语文试题卷;;1. 下列句中加点字的注音和画线词语的书写全都正确的一项是（）A. 西湖龙井茶的历史可追溯．（suò）到我国唐代，在“茶圣”陆羽撰写的《茶经》中，就有杭州天竺、灵隐二寺产茶的记载．（zǎi）。
B. 鹳鹊楼又称鹳雀楼，因时有鹳雀栖．（xī）息其上而得名，坐落在蒲州（今山西永济）府城；后倾圮，其匾．（biǎn）额移至城楼上。
C. 突如奇来的暴雨带来了丰沛．（pèi）的降水，植物种子纷纷发芽、生长，往日死寂的沙漠不久就变成了绚．（xuàn）丽的花海。
D. 英雄精神既体现在刹．（chà）那间的生死抉择，也体现在经年累．（lěi）月的执着坚守，比如那些默默钻研技术几十载的航天人。
【答案】D【解析】试题分析：字音重点考核多音字、形声字、形似字、音近字、方言、生僻字等。
字形题从表象上看主要考核双音节词语和成语，有时会考核三字的专业术语和熟语。
A溯（sù）。
B栖（qī）息。
C突如其来。
2. 阅读下面的文字，完成下面小题。
当今的艺术仿佛．．．．的灯光，3D电影院里上下左右晃动的．．在兴致勃勃地享受一场技术的盛宴，舞台上扑朔迷离座椅，魔术师利用光学仪器制造的视觉误差等……①从声光电的全面介入到各种闻所未闻的机械设备，技术的发展速度令人吃惊。
然而，有多少人思考过这个问题：技术到底赋予．．了艺术什么？②关于世界，关于历史，关于神秘莫测．．．．的人心——技术增添了哪些发现？③在许多贪大求奢的文化工程、④文艺演出中，我们不难看到技术崇拜正在形成。
（1）．文段中加点的词语，运用不正确的一项是（______）A．仿佛B．扑朔迷离C．赋予D．神秘莫测（2）．文段中画线的标点，使用有误的一项是（____）A．①B．②C．③D．④【答案】(1). B(2). A【解析】试题分析：（1）扑朔迷离，指难辨兔的雌雄。
形容事情错综复杂，难以辨别清楚。
2019年浙江省杭州市中考数学试卷解析版
2019年浙江省杭州市中考数学试卷解析版一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．计算下列各式，值最小的是（）A．2×0+1﹣9B．2+0×1﹣9C．2+0﹣1×9D．2+0+1﹣9解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，B．2+0×1﹣9＝﹣7C．2+0﹣1×9＝﹣7D．2+0+1﹣9＝﹣6，故选：A．2．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．3．如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．4D．5解：连接OA，OB，OP，∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴PB＝P A＝3，故选：B．4．已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：3x+2（30﹣x）＝72．故选：D．5．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．ADAN =ANAEB．BDMN=MNCEC．DNBM=NEMCD．DNMC=NEBM解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DNBM =AN AM，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NEMC =ANAM，∴DNBM =NE MC．故选：C．7．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．8．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．解：A、由图可知：直线y1，a＞0，b＞0．∴直线y2经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1，a＜0，b＞0．∴直线y2经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1，a＜0，b＞0．∴直线y2经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1，a＜0，b＜0，∴直线y2经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．10．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N ＝2，此时M ＝N ；当ab ＝0时，不妨令a ＝0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y ＝（ax +1）（bx +1）＝bx +1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N ＝1，此时M ＝N +1； 综上可知，M ＝N 或M ＝N +1． 故选：C ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）因式分解：1﹣x 2＝ （1﹣x ）（1+x ） ． 解：∵1﹣x 2＝（1﹣x ）（1+x ）， 故答案为：（1﹣x ）（1+x ）．12．（4分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这（m +n ）个数据的平均数等于mx+ny m+n．解：∵某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m +n 个数据的平均数等于：mx+ny m+n．故答案为：mx+ny m+n．13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm 2（结果精确到个位）．解：这个冰淇淋外壳的侧面积=12×2π×3×12＝36π≈113（cm 2）． 故答案为113．14．（4分）在直角三角形ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝√32或2√55． 解：若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2−x 2=√3x ，所以cos C =BCAC =√3x2x=√32； 若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2+x 2=√5x ，所以cos C =ACBC =综上所述，cos C 的值为√32或2√55． 故答案为√32或2√55． 15．（4分）某函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1，写出一个满足条件的函数表达式 y ＝﹣x +1（答案不唯一） ． 解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1， ∴{k +b =0b =1 解得：{k =−1b =1，所以函数的解析式为y ＝﹣x +1， 故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A ′点，D 点的对称点为D ′点，若∠FPG ＝90°，△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 10+6√5 ．解：∵四边形ABC 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，设AB ＝CD ＝x ， 由翻折可知：P A ′＝AB ＝x ，PD ′＝CD ＝x ， ∵△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1， 又∵△A ′EP ∽△D ′PH ， ∴A ′P ：D ′H ＝2，∵P A ′＝x ， ∴D ′H =12x ，22∴x ＝2（负根已经舍弃），∴AB ＝CD ＝2，PE =√22+42=2√5，PH =√12+22=√5， ∴AD ＝4+2√5+√5+1＝5+3√5，∴矩形ABCD 的面积＝2（5+3√5）＝10+6√5． 故答案为10+6√5三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简：4x x −4−2x−2−1圆圆的解答如下：4x x −4−2x−2−1＝4x ﹣2（x +2）﹣（x 2﹣4）＝﹣x 2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 解：圆圆的解答错误， 正确解法：4x x −4−2x−2−1=4x(x−2)(x+2)−2(x+2)(x−2)(x+2)−(x−2)(x+2)(x−2)(x+2) =4x−2x−4−x 2+4(x−2)(x+2)=2x−x 2(x−2)(x+2) =−xx+2．18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号123 4 5数据甲组4852474954乙组﹣22﹣3﹣14（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①x甲=x乙+50．②S甲2＝S乙2．理由：∵S甲2=15[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．S乙2=15[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，∴S甲2＝S乙2．19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v 关于t 的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v 关于t 的函数表达式为：v =480t ，（t ≥4）．（2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时 将t ＝6代入v =480t 得v ＝80；将t =245代入v =480t 得v ＝100．∴小汽车行驶速度v 的范围为：80≤v ≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t =72代入v =480t 得v =9607＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B 地．21．（10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2，且S 1＝S 2．（1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD ＝HG ．解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴DE ＝1﹣a ，∵S 1＝S 2，∴a 2＝1×（1﹣a ），解得，a 1=−√52−12（舍去），a 2=√52−12， 即线段CE 的长是√52−12； （2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC ＝1，∴CH ＝0.5，∴DH =√12+0．52=√52，∵CH ＝0.5，CG =√52−12， ∴HG =√52，∴HD ＝HG ．22．（12分）设二次函数y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x 1，x 2是实数）．（1）甲求得当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；乙求得当x =12时，y =−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x 1，x 2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点（m ，n 是实数），当0＜x 1＜x 2＜1时，求证：0＜mn ＜116．解：（1）当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x 1＝0，x 2＝1，∴y ═x （x ﹣1）＝x 2﹣x ，当x =12时，y =−14，∴乙说的不对；（2）对称轴为x =x 1+x 22， 当x =x 1+x 22时，y =−(x 1−x 2)24是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点，∴m ＝x 1x 2，n ＝1﹣x 1﹣x 2+x 1x 2，∴mn ＝[−(x 1−12)2+14][−(x 2−12)2+14]∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0＜−(x 1−12)2+14≤14，0＜−(x 2−12)2+14≤14，∵x 1≠x 2，∴m 与n 不能同时取到14， ∴0＜mn ＜116．23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA ．（1）若∠BAC ＝60°，①求证：OD =12OA ．②当OA ＝1时，求△ABC 面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE ＝OD ，连接DE ，设∠ABC ＝m ∠OED ，∠ACB ＝n ∠OED （m ，n 是正数），若∠ABC ＜∠ACB ，求证：m ﹣n +2＝0．解：（1）①连接OB 、OC ，则∠BOD =12∠BOC ＝∠BAC ＝60°，∴∠OBC ＝30°，∴OD =12OB =12OA ；②∵BC 长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD=3 2，△ABC面积的最大值=12×BC×AD=12×2OB sin60°×32=3√34；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=12∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．。
2019年杭州中考数学试卷答案解析
2019年杭州市初中毕业升学文化考试数学考生须知：1. 本试卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟。
2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在纸卷首页指定位置位置写上姓名和座位号3. 必须在答题纸的对应位置上答题，写在其它地方无效。
答题方式详见答题纸上的说明。
4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
5. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。
1．计算下列各式中，值最小的是（ ） A ．2019⨯+- B ．2019+⨯-C ．2019+-⨯D ．2019++-【答案】A 【解析】A ．20198⨯+-=-B ．2019=7+⨯--C ．2019=7+-⨯-D ．2019=6++-- 故选A2．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．3,n 2m == B ．3,n 2m =-= C ．2,n 3m ==D ．2,n 3m =-=【答案】B 【解析】两点关于y 轴对称，则1212,y x x y =-=3,2m n =-=故选B3．如图，P 为O 外一点，,PA PB 分别切O 于A,B 两点．若3PA =，则PB =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】,PA PB 是O 的两条切线，由切线长定理可得：3PA PB ==故选B4．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有x 人，则（ ）A ．23(72)30x x +-=B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=【答案】D 【解析】由题意可得，男生有x 人，则女生有(30)x -人， 男生每人种3棵树，女生每人种2棵树， ∴32(30)72x x +-=故选D5.点点同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）A.平均数B.中位数C.方差D.标准差【答案】B【解析】由题意可得，被涂污数字的范围在50到59之间，无论取多少，将五个数据从小到大排列之后，最中间的数字都为46，故计算结果与被涂污数字无关的是中位数。
2019浙江杭州中考数学解析
2019年浙江省杭州市中考数学试卷（满分120分考试时间100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2019浙江杭州，1，3分）9＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B ．【逐步提示】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是能利用a a =2(a ＞0)进行解答，首先应将被开方数9写成32，再利用“a a =2(a ＞0)”即可锁定答案． 【详细解答】解：因为9＝23＝3，故选择B ．【解后反思】本题亦可以理解为求9的算术平方根，根据算术平方根的定义进行切入思考与计算：看什么正数的平方等于9，这个正数就是9的算术平方根．另外，二次根式实质上就是非负数的算术平方根，熟练地掌握二次根式的性质：（1）2)(a ＝a （a ≥0）；（2）2a ＝a ＝⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，是进行二次根式化简求值的基础．【关键词】二次根式；二次根式的求值；算术平方根2．（2019浙江杭州，2，3分）如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ．若BC AB ＝21，则EFDE＝（ ） A ．31 B ．21 C ．32D ．1【答案】B ．【逐步提示】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是能利用平分线分线段成比例定理找到对应线段，列出比例式即可．【详细解答】解：∵a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，∴EF DE ＝BC AB ＝21．故选择B ． 【解后反思】此类问题容易出错的地方是因找不准对应关系而出错．根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系：如下图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，则有DF DE AC AB =，DE EF AB BC =，DE DF AB AC =，EFDFBC AC =，EFBCDE AB =等等． F EDCB A n m cb a 第2题图【关键词】图形的相似；平行线分线段成比例 3．（2019浙江杭州，3，3分）下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）【答案】A ．【逐步提示】本题考查了圆柱三视图的识别，解题的关键是掌握三视图的定义：从前向后得到的正投影叫做主视图，从左向右得到的正投影叫做左视图，从上向下得到的正投影叫做俯视图．解题时，先观察第三题图示的圆柱，从前往后看该圆柱，得到的视图为矩形；再从上往下看，得到的该圆柱的视图也是矩形；最后从左往右看，得到的该圆柱的视图是圆，从而锁定答案．【详细解答】解：因为该圆柱的主视图为矩形，俯视图为矩形，左视图为圆，故选择A ．【解后反思】在考查三视图知识时，有时给出几何体实图，判断其三视图的正确性或求几何体的某个视图的面积，无论哪种题型，只要能熟练地掌握三视图的作图方法才是王道．作几何体的三视图时，主视图下面是俯视图，右面是左视图，并且遵循“长对正、宽相等、高平齐”的原则．另外，记住常见的几何体的三种视图的形状是解决问题的关键，在判断时还应注意物体的放置方式．下表给出了几种常见几何体的三视图：F ED CB A n m cb a 第3题图主视图俯视图左视图左视图俯视图主视图A ．B ．主视图俯视图左视图主视图俯视图左视图【关键词】视图与投影；视图；画三视图4．（2019浙江杭州，4，3分）如图是某市2014年四月份每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（）A．14℃，14℃B．15℃，15℃C．14℃，16℃D．15℃，14℃某市2016年四月份第4题图【答案】A．【逐步提示】本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．解题时，首先将条形图中的数据用统计表表示出来，然后按照中位数和众数的定义及计算公式进行计算即可：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．【详细解答】解法1：将统计图中的数据用统计表表示如下：14出现的次数最多，所以在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是14℃，14℃，故选择A．解法2：看图知：12℃出现5次；13℃出现2次；14℃出现12次；15℃出现3次；17℃出现4次；16℃出现2次；18℃出现2次；这30个数据从小到大排列为：12、12、12、12、12、13、13、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、15、15、15、16、16、17、17、17、17、18、18， 处于数列中间位置的两个数据是14、14，∴中位数=（14+14）÷2=14；众数是在一组数据中,出现次数最多的数据，∵14这个数据出现的次数最多，∴众数是14 ∴中位数、众数依次为：14、14，而只有A 选项符合要求，∴答案选A.【解后反思】此类问题容易出错的地方之一是数据写反了，把天数当作中位数、众数；二是中位数是取中间的数，对中间的数不理解．本题为统计题，这类题要熟记概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据（众数答案不唯一）．另外，从图中获取有用信息，也是正确解题的保证． 【关键词】三数；众数；条形统计图；中位数5．（2019浙江杭州，5，3分）下列各式的变形中，正确的是（ ） A ．x 2·x 3＝x 6 B ．x x =2C ．(x 2－x 1)÷x ＝x －1D ．x 2－x ＋1＝(x －21)2＋41【答案】B ．【逐步提示】本题考查了代数式的恒等变形，解题的关键是掌握整式的乘除法法则、二次根式的性质、及完全平方公式的特点．解题时，先按同底数幂乘法法则、整式乘除法法则计算A 、C 选项的式子，判断这两个选项的变形的正确性；再根据完全平方式的特点，对D 选项的式子进行变形，从而判断选项D 的正确性；最后根据二次根式性质判断B 选项的正确性，从而轻松解题． 【详细解答】解：∵x 2·x 3＝x 2＋3＝x 5，x x =2，(x 2－x 1)÷x ＝(x 2－x 1)·x 1＝x －21x，x 2－x ＋1＝x 2－x＋41＋43＝(x －21)2＋43，∴只有选项B 正确，故选择B ． 【解后反思】本题是代数式的有关运算，涉及到整式的运算、二次根式的性质，分式的运算．只要熟练地掌握相关的运算法则与性质，对各个选项的变形逐一判断，即可得到正确答案．四个选项的变形，分别考查了代数式的四个领域：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：a m ×a n =a m +n （m 、n 都是正整数）；整式除法，转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算；配方法得掌握完全平方公式的结构特征：前平方、后平方、积的2倍在中间，就不难进行代数式的配方变形．【关键词】代数式的恒等变形；同底数的乘除法；二次根式的性质；配方法；整式的除法 6．（2019浙江杭州，6，3分）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场．设从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，则可列方程为（ ） A ．518＝2(106＋x ) B ．518－x ＝2×106 C ．518－x ＝2(106＋x ) D ．518＋x ＝2(106－x ) 【答案】C ．【逐步提示】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找等量关系．读懂题意方可找出等量关系：从甲煤场运煤到乙煤场后，才能使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，这样就得从甲场原有的518吨煤中减去从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，而乙场原有的煤加上x 吨为乙场现有的煤，此时甲场的煤吨数为乙场的煤的吨数的2倍，等量关系就一目了然了！【详细解答】解：根据“甲煤场有煤518吨－甲煤场运x 吨煤＝2(乙煤场有煤106吨＋甲煤场运x 吨煤)”，可列方程518－x ＝2(106＋x )，故选择C ．【解后反思】构建方程（或方程组）模型，首先应找到题目中的相等关系，先可用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出满足题意的方程（或方程组）．本题相当于课本中的劳力调配问题，本题中的物资调配后甲场剩余的煤的吨数为乙场调配后的煤的吨数的2倍．只要抓住了这个等量关系，就不难列方程了．【关键词】一元一次方程；一元一次方程的应用；劳力调配问题7．（2019浙江杭州，7，3分）设函数y ＝xk（k ≠0，x ＞0）的图像如图所示．若z ＝y 1，则z 关于x 的函数图像可能为（ ）【答案】D ．【逐步提示】本题考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，解题的关键是能够利用反比例函数的图像确定k 的取值范围与两个函数关系式之间的转换．首先由函数y ＝xk（k ≠0，x ＞0）的图像确定k 的符号，然后将y ＝x k 代入z ＝y 1，得到z 与x 的函数关系式z ＝x k⋅1，最后k 1＞0、x ＞0来确定一次函数的图像为第一象限内过原点的一条射线（不包括原点）．【详细解答】解：由图可知双曲线在第一象限内，故k ＞0．∵y ＝xk，z ＝y 1，∴z ＝y 1＝xk 1＝x k ⋅1． ∵k ＞0，x ＞0， ∴z=1k x 是正比例函数， 1k＞0，∴图像是过原点在第一象限的一条射线（不包括原点）． 故选择D ．【解后反思】本题主要考查正、反比例函数的图像与性质，给出的两个反比例函数关系式，代入变形后，恰好得到正比例函数解析式，由反比例函数的图像确定反比例系数的符号，从而再由正比例函数的系数的符号及自变量的取值范围就易确定正比例函数的图像了．一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）的基本性质：当 k ＞0、b ＞0，这时此函数的图像经过一、二、三象限；当 k ＞0、b ＜0， 这时此函数的图像经过一、三、四象限；当 k ＜0、b ＞0，这时此函数的图像经过一、二、四象限；当 k ＜0、b ＜0， 这时此函数的图像经过二、三、四象限．反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）的基本性质：当k ＞0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大．【关键词】反比例函数的图像与性质；一次函数图像与性质8．（2019浙江杭州，8，3分）如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上（不与A 、C 重合），点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E ．若∠AOB ＝3∠ADB ，则（ ） A ．DE ＝EB B ．2DE ＝EB C ．3DE ＝DO D ．DE ＝OB第7题图B ．C ．D ．第8题图【答案】D．【逐步提示】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断，解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的两底角相等及等角对等边等有关性质．由四个选项中都是线段DE与相关线段的大小比较，且题目中条件为角之间的倍数关系，这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了：不妨连接OE，首先由OB＝OE，得到∠B＝∠OEB；再由三角形的外角性质，得到∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB ＝∠EOD＋∠D，加上已知条件∠AOB＝3∠ADB，就不难推导出∠DOE＝∠D，最后由等角对等边，得到DE＝EO＝OB．【详细解答】解法1：连接OE，如下图．∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB．∵∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，∠AOB＝3∠ADB，∴∠B＝∠OEB＝2∠D．∴∠DOE＝∠D．∴DE＝EO＝OB．故选择D．解法2：设∠ADB=x，则∠AOB=3x，连BC、OE，∵∠AOB=∠ADB+∠DBO,又∠AOB=3∠ADB, ∴3x=x+∠DBO，∴∠DBO=2x，∵OB=OE，∴∠OEB=∠DBO=2x∵∠OEB=∠EOD+∠BDO,∴∠EOD=2x-x=x，∴∠EOD=∠BDO,∴DE=OE=OB,∴选项【D】正确；由【D】知DE=OB，假设【A】正确，则DE=EB=OB=OE，则△OEB为等边三角形；而题目没有给出任何一个角的度数，∴【A】不正确；又∵没有给出角的度数，∴无法确定EB、DO和DE之间的数量关系；∴【B】、【C】都不正确；综上所述，选项【D】正确；【解后反思】本题是一道探究题，由两个角之间的3倍关系去探索线段DE与图中相关线段的数量关系．如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件，是解题的关键．连接OE 后，就容易利用圆的半径相等，加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质，得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论，从而就探究出DE 与圆的半径相等的正确结论了．【关键词】圆的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角性质9．（2019浙江杭州，9，3分）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n （m ＜n ），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ） A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0 B ．m 2－2mn ＋n 2＝0 C ．m 2＋2mn －n 2＝0 D ．m 2－2mn －n 2＝0 【答案】C ．【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m 、n 及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n －m 表示；最后由勾股定理，得到m 、n 的等量关系，化简后即可选择正确答案． 【详细解答】解：如下图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则AC ＝CD ＝m ，AD ＝DB ＝n －m ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝m 2－2mn ＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选择C ．【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°（45°的邻补角）的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m 、n 的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m 、n 的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相互转换，就显得尤为重要了． 【关键词】直角三角形；等腰三角形；勾股定理10．（2019浙江杭州，10，3分）设a ，b 是实数，定义关于﹫的一种运算如下：a ﹫b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，则下列结论：①若a ﹫b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②a ﹫(b ＋c )＝a ﹫b ＋a ﹫c ；③不存在实数a ，b ，满足a ﹫b ＝a 2＋5b 2；④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a ﹫b 的值最大．其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 【答案】C ．【逐步提示】本题考查了定义新运算，解题的关键是读懂题意，按照题目中定义的运算进行计算并利用已学数学知识进行探索相关结论．首先将新定义的运算转化为常规的运算，即利用完全平方公式展开、合并，得到a ﹫b ＝4ab ；然后逐一判断、探索题中给出的四个结论的正确性：首个结论容易判断为对的；次个结论，根据新定义运算，分别计算两边的式子，也可轻松地判断为正确的；第三个结论得利用配方法，将原等式转化为关于a 、b 的二元二次方程，再利用配方法转化为两个完全平方式的和为0，就容易得到a 、b 的值皆为0的情况下，存在“a ﹫b ＝a 2＋5b 2”的结论，从而判断出第三个结论错误；最后一个结论的探索较难，得利用二次函数知识进行解决，设矩形的周长l 为定值，用矩形的一边a 及l 表示矩形的另一边b ，建立关于矩形的面积S 关于a 的二次函数，并将此函数解析式化为顶点式，即可求出矩形面积最大值的情况下a、CBAmb 的相等关系了，从而a ﹫b 的值最大的结论也为正确． 【详细解答】解：由a ﹫b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，得a ﹫b ＝4ab ．（1）∵a ﹫b ＝0，∴4ab ＝0． ∴a ＝0或b ＝0． 故①正确．（2）∵a ﹫(b ＋c )＝4a (b ＋c )＝4ab ＋4ac ，a ﹫b ＋a ﹫c ＝4ab ＋4ac ，∴a ﹫(b ＋c )＝a ﹫b ＋a ﹫c ． 故②正确．（3）∵a ﹫b ＝a 2＋5b 2，∴a 2＋5b 2＝4ab ． ∴(a －2b )2＋b 2＝0． ∴a －2b ＝0且b ＝0． ∴a ＝b ＝0． 故③不正确．（4）设a ，b 是矩形的长和宽，其周长l 为定值，面积S ＝ab ，则l ＝2(a ＋b )，从而b ＝2l－a ．∵S ＝ab ＝a (2l －a )＝－(a 2－2la ＋162l －162l )＝－16)4(22l l a +-，∴当a ＝4l ＝422ba +时，S 有最大值162l ，此时a ＝b ．∴当a ＝b 时，a ﹫b 的值最大． 故④正确． 综上，正确的有①②④． 故选择C ．【解后反思】本题系新定义运算题，在此背景下设置了四个由易到难的知识点的探索题来让考生做，解题的关键有三：一是要将新定义运算转化为常规运算；二是能利用配方思想探索第三个结论的正确性，三是利用二次函数知识进行探索最后一个结论的正确性．另外，用高中的数学知识极易探索最后一个结论的：对于两个正数a 、b ，我们有ab ba ≥+2，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，也就是说，当两个正数a 、b 相等时，ab ≤2ba +中等号成立，此时ab 的值才最大，从而4ab 的值才最大，也就有a﹫b 的值最大．【关键词】新定义运算；探索新定义运算性质；二元二次方程的解；二次函数的最值；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（2019浙江杭州，11，4分）tan60°＝ ． 【答案】3．【逐步提示】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据60°的正切值，直接得出答案．【详细解答】解：利用30°的直角三角形三边关系1﹕3﹕2及正切函数的定义可知，tan60°＝的邻边的对边︒︒6060＝13＝3．故填3．在直角三角形中，由于sin A =斜边； cos A =斜边；tan A =的邻边的对边A A ∠∠，一般只需已知直角三角形三边的长，根据这个关系可求出该直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切．这样，我们就可以利用手中一副三角板，轻松地记住特殊角的三角函数值了：30°的直角三角形三边关系1﹕3﹕2，45°的直角三角形三边关系1﹕1﹕2，利用三角函数定义即可求出30°、45°、60°的三角函数值．【关键词】锐角三角函数值12．（2019浙江杭州，12，4分）已知一包糖果共有5种颜色（糖果仅有颜色差别），如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图．在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率为．【答案】50%．【逐步提示】本题考查了扇形统计图及概率的求法，解题的关键是法利用扇形图求出棕色糖果所占的百分比，这样再利用样本去估计总体，将绿色、棕色两种糖果的百分比相加，即为所求事件的概率．【详细解答】解：∵棕色的百分比+黄色的百分比+红色的百分比+绿色的百分比+橙色的百分比=100%，∴棕色的百分比=100%-20%-15%-30%-15%=20%， ∴绿色的百分比+棕色的百分比=30%+20%=50%， 即取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是50%，即12【解后反思】本题系统计与概率的综合题，渗透了用样本估计总体的统计核心思想．扇形统计图，一般是两种形式出现：一种形式是以百分比的形式出现，这样，用1减去其他百分比，即可算出该百分比，另外一种形式是度数，则根据圆心角的度数除以360度，可算出该百分比，具体题目，还应灵活应用．本题中的求概率方法，颇像课本中转盘问题的概率的求法，只是赋予了糖果的实际背景罢了！ 【关键词】扇形统计图；概率；用样本去估计总体；第12题图一包糖果颜色分布13．（2019浙江杭州，13，4分）若整式x 2＋ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 ．【答案】答案不唯一，如－1或－4或－9等．【逐步提示】本题考查了二项式在有理数范围内因式分解的方法，解题的关键是利用平方差公式进行分解，从而容易思考得到解题的方法：k 的值一定是完全平方数的相反数，即－1，－4，－9，－16，－25，－36，……，－n 2，唯有如此，原式才能转化为两数的平方差的形式，也才能在有理数范围内因式分解．【详细解答】解法1：答案不唯一，如－1或－4或－9等，因为x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，x 2－4y 2＝(x ＋2y )(x －2y )，x 2－9y 2＝(x ＋3y )(x －3y )，所以填－1或－4或－9等均符合要求，故填－1或－4或－9等． 解法2：由整式22x ky 联想到：a 2-b 2=（a+b ）(a-b); 因此k 必须是一个负整数，且k 是一个完全平方数， ∴k=-1，-4，-9，……:【解后反思】本题系开放性试题，主要考查因式分解法的逆向运用，即二项式能在有理数范围内因式分解下式子中待定系数的确定．只要掌握因式分解的定义及常用方法、平方差公式，本题中k 的值就容易锁定，因此此题出题形式新颖，入手容易，答案开放，是道好题． 【关键词】因式分解；运用公式法；平方差公式；开放性试题14．（2019浙江杭州，14，4分）在菱形ABCD 中，∠A ＝30°．在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 ． 【答案】45°或105°．【逐步提示】本题考查了菱形和等腰三角形的性质及分类思想，解题的关键是能够根据题意正确地画出符合题意的图形求出相关的角度．∠A ＝30°的菱形ABCD 是唯一确定的，但顶角为120°的等腰三角形BDE ，点E 可能在△ABD 内，也可能在△CBD 内，所以在解题时构图就得画全了．其次，根据菱形的性质，要求出∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质，求出∠EBD 的度数；最后利用分类思想和两角的和（或差）的定义，就能求得∠EBC 的度数为．【详细解答】解：如下图，在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在△EBD 中，∠BED ＝120°，EB ＝ED ，则∠EBD ＝30°．∵在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，∴∠C ＝∠A ＝30°，CB ＝CD ． ∴∠CBD ＝∠CDB ＝75°．当点E 在△ABD 内，∠EBC ＝∠EBD ＋∠CBD ＝30°＋75°＝105°； 当点E 在△CBD 内，∠EBC ＝∠CBD －∠EBD ＝75°－30°＝45°． 故填45°或105°．【解后反思】本题系几何知识的综合题，综合考查了三角形、四边形的相关知识．利用菱形的对角相等、四边相等的性质求出相关的角度，考查了等腰三角形的两个底角相等的知识，同时渗透了分类思想的考查．解题的关键在于构出符合题意的几何图形，同时也关注了数学的严谨性与分析问题的数学思维的缜密性，所以说，学会画图是学好数学的必备基本功． 【关键词】菱形的性质；等腰三角形的性质；分类思想15．（2019浙江杭州，15，4分）在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (0，1)，C (3，1) ．若线段AC 与DCB ABD 互相平分，则点D 关于坐标原点的对称点的坐标为 ． 【答案】(－5，－3)．【逐步提示】本题综合考查了线段中点坐标的求法与关于原点对称点坐标的求法，解题的关键是能抓住线段AC 与BD 互相平分时它们的中点坐标的求法，即线段中点坐标公式的应用．解题时应分三步走：首先利用线段中点坐标公式，求出线段AC 的中点M 的坐标，此点也是线段BD 的中点；其次再利用线段中点坐标公式，求出点D 的坐标；最后根据平面直角坐标系内，关于原点对称点坐标的特点，求出点D 关于坐标原点的对称点的坐标．【详细解答】解：设线段AC 的中点为M (x 1，y 1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=22132523211y x ，故M (25，2)． 设D (x 2，y 2)，则由线段AC 与BD 互相平分可知点M 也是线段BD 的中点，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=212202522y x ，解得⎩⎨⎧==3522y x ．∴D (5，3)．∴点D 关于坐标原点的对称点的坐标为(－5，－3)． 故填(－5，－3)．识．另外，对于本题的正确解答，尚需要能熟练地解二元一次方程组．【关键词】平面直角坐标系；中心对称；原点对称点的坐标；线段中点的坐标公式；二元一次方程组的解法16．（2019浙江杭州，16，4分）已知关于x 的方程x 2＝m 的解满足⎩⎨⎧=+-=-n y x n y x 523（1＜n ＜3）．若y ＞1，则m 的取值范围是 ． 【答案】52＜m ＜32． 【逐步提示】本题考查了方程组、不等式组等知识，解题的关键是熟练地解方程组与不等式组以及利用不等式的性质．在解题时，先用n 的代数式表示x 、y ，即解关于x 、y 的二元一次方程组；然后根据1＜n ＜3及y ＞1，列出关于n 的一元一次不等式组，求出n 的取值范围；再次利用不等式的性质求出x 的取值范围，最后求得x2的取值范围，即为m 的取值范围是． 【详细解答】解法1：由方程组解得⎩⎨⎧-=+=122n y n x ．∵1＜n ＜3，y ＞1，∴由⎩⎨⎧<<>-31112n n 解得1＜n ＜3．∴1＋2＜n ＋2＜3＋2，即3＜x ＜5． ∴31151<<x ． ∴32252<<x ． ∵m ＝x2， ∴m 的取值范围是52＜m ＜32． 故填52＜m ＜32． 解法2：∵2x =m, ∴x=2m1.消x ，找出y 与n 的关系： x-y=3-n ①; x+2y=5n ②;②- ①得：3y=6n-3 ∴y=2n-1∵y ＞1,∴2n-1＞1,∴n ＞1 又0＜n ＜3 ∴1＜n ＜3消y ，找出x 与n 的关系： ①×2得：2x-2y=6-2n ③ ②+③得：3x=6+3n ∴n=x-2 ∵1＜n ＜3 ∴1＜x-2＜3 ∴3＜x ＜5∴3＜2m ＜5 ∴25＜m ＜23【解后反思】本题系方程（组）、不等式（组）及不等式性质与代数式的变形的综合应用：（1）我们可以用代入法或加减法解含有字母系数的二元一次方程组；（2）根据1＜n ＜3及y ＞1，列出关于n 的一元一次不等式组求出n 的取值范围，从而求出x 的取值范围，这是解本题的关键．因为本题涉及到的等式、不等式较多，所以在解题时应认真分析题意，找到适当的解题思路与方法，方可正确解答．若三个正数a 、b 、c ，满足a ＞b ＞c ，则a 1＜b 1＜c1．另外，本题亦可以用反比例函数的性质来解答，即求出x 的取值范围后，对于m 关于x 的反比例函数m ＝x 2，在每一象限内m 都随着x 的增大而减小：当3＜x ＜5时，52＜m ＜32．【关键词】二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法；不等式的性质；反比例函数的性质三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019浙江杭州，17，6分）计算：6÷(－21＋31)． 方方同学的计算过程如下： 原式＝6÷(－21)＋6÷31＝－12＋18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【逐步提示】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练地掌握有理数的运算法则和运算顺序．在解题时，应认真审题，判断方方同学的计算过程是否正确，给出明确答复，然后将正确的解题过程书写出来：先算括号里面的加法运算，再按有理数的除法法则进行计算即可． 【详细解答】解：不正确，应计算如下：原式＝6÷(－61)＝6×(－6)＝－36． 【解后反思】有理数的运算顺序和实数的运算顺序、整式的运算顺序一样，这就是数式相通．方方同学将有理数的乘法分配律胡乱用于除法，导致解答过程不正确，这也是平时教学中学生易出错的地方．而对于若干个有理数的和除以一个数，可以等于每一个数除以这个有理数，再把所得的商相加，即(a ＋b ＋c )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m ＋c ÷m ，这还是缘于有理数的乘法分配律，即(a ＋b ＋c )÷m ＝(a ＋b ＋c )×m 1＝a ×m1＋b ×m 1＋c ×m 1．但是m ÷(a ＋b ＋c )≠m ÷a ＋m ÷b ＋m ÷c ，因为m ÷(a ＋b ＋c )＝m ·cb a ++1． 【关键词】有理数；有理数的混合运算 18．（2019浙江杭州，18，8分）某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当地汽车产量（辆）的百分比的统计图如图所示，根据统计图回答下列问题：（1）若第一季度的汽车销售数量为2100辆，求该季度的汽车产量； （2）圆圆同学说：“因为第二、第三这两个季度汽车占当季汽车产量的百分比由75%降为50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量”，你觉得圆圆说得对吗？为什么？【逐步提示】本题考查了统计图的识图能力，解题的关键是对折线统计图的纵轴所表示意义的理解与应用．（1）利用第一季度的汽车销售数量为2100辆，占该季度汽车产量的70%，直接利用小学学习过的知识列除法算式计算即可；（2）从折线统计图中的纵轴的意义是表示“某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当地汽车产量（辆）的百分比”，做为分析题意的切入点来思考，因为每个季度的汽车生产数量不确定，第18题图某汽车厂去年每个季度汽车销售数量 占当季汽车产量百分比统计图。
2019年浙江省杭州市中考语文试卷及答案解析
2019年浙江省杭州市中考语文试卷一、积累（20分）阅读下面的文字，完成1—3题。
1.根据拼音，在词语空缺处填写汉字。
（3分）（1）喜上眉□（shāo）（2）乡土情□（jié）（3）取□（jué）2.给语段中加点的字选择正确的读音。
（2分）（1）怯（A.qiè B.què）（2）翘（A.qiào B.qiáo）3.下列对语段中画横线的词语理解不正确的一项是（2分）A.“故知”在句中是“旧知识”的意思。
B.“褪色”在句中是“变淡”的意思。
C.含辛茹苦：经受艰辛困苦。
D.桑梓：家乡（古时住宅旁常栽桑树、梓树，后用“桑梓”指代家乡）。
4.古诗文名句填空。
（5分）千百年来，中华大地诞生了无数风流人物。
有的洁身自好，“出淤泥而不染，①_______”；有的坚守道义，“②_______，于我如浮云”；更有舍生取义的英雄，如文天祥，他在经过零丁洋时，写下“③_______？④_______”的铮铮誓言。
他们都称得上是“富贵不能淫，⑤_______，威武不能屈”的大丈夫。
5.下列各句中，所引古诗文名句不符合语境的一项是（3分）A.贾爷爷真可谓“老骥伏枥，志在千里”，七十岁了还不想着颐养天年，而是去山区兴办企业，带动当地人民脱贫致富。
B.“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，自从富春江两岸实施了“亮灯工程”，火树银花的夜景总是给游客带来惊喜。
C.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”，祝愿远行求学的你，克服成长路上的困难，学业进步，早日实现心中的梦想。
D.在中秋佳节这个特殊日子，归国探亲的旅法华侨用杜甫的诗句“露从今夜白，月是故乡明”来表达心情，是最恰当不过了。
6.根据下图，推测“杳”字的意思。
（2分）7.下列文学、文化常识，分类恰当的一项是（3分）A.谦辞：家君、在下、愚见、寒舍B.法国：莫泊桑、普希金、法布尔、都德C.小说：《儒林外史》、《水浒传》、《朝花夕拾》、《骆驼祥子》D.律诗：《游山西村》、《春望》、《木兰诗》、《钱塘湖春行》二、阅读（55分）（一）名著阅读（7分）8.根据你对艾青诗歌的了解，选出不是评论艾青诗歌的一项是（3分）A.这是一首长诗，用沉郁的笔调细写了乳娘兼女佣（“大堰河”）的生活痛哭……我不能不喜欢《大堰河》。
深度剖析问题,引导学生自主探究——以2019年中考浙江杭州卷第23题的解析为例
2019年中考浙江杭州卷第23题以圆为背景，利用圆的轴对称性，结合垂径定理、圆心角、圆周角及弧之间的关系来探究系数之间的关系.本文通过分析此题的解题思路，深度剖析试题的条件，与读者分享层层递进、深度探究的过程.一、试题呈现题目（2019年浙江·杭州卷）如图1，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA.（1）若∠BAC =60°，①证明：OD =12OA .②当OA =1时，求△ABC 面积的最大值.（2）点E 在OA 上，OD =OE ，连接DE ，设∠ABC =m ∠OED ，∠ACB =n ∠OED （m ，n 是正数）.若∠ABC ＜∠ACB ，求证：m图1二、思路分析第（1）小题中，由圆周角为60°能得到对应的圆心角为120°，在半径、半弦和弦心距组成的三角形中能得到OD 与半径及弦BC 的关系.在△ABC 中，知道边BC 的长，只要边BC 上的高取到最大值时，就可以求出△ABC 面积的最大值.第（2）小题中，将锐角三角形ABC 中的∠ABC 和∠ACB 分别用∠OED 的倍数关系m ，n 来表示，在给定OD =OE 和∠ABC ＜∠ACB 的条件下探索m ，n 的关系，用图形的性质去探索代数之间的关系.显然，只需要弄清楚图形中角的位置及大小关系，然后建立等量关系，就能得到代数之间的关系.由于第（1）小题的思路及解法比较简单，故本文只探讨第（2）小题的解法.三、解法赏析视角1：利用代数思想，找等量关系，建立方程解题.解法1：如图2，连接OB ，OC.深度剖析问题，引导学生自主探究——以2019年中考浙江杭州卷第23题的解析为例童永芳收稿日期：2020-07-22作者简介：童永芳（1974—），女，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.摘要：以2019年中考浙江杭州卷第23题为例，通过分析解题思路，赏析有代表性的几种解法，深度剖析试题中给出的条件，挖掘结论中隐藏的本质，以达到锻炼学生的思维、培养学生的创新意识的目的，发挥中考试题教育教学的价值.关键词：中考试题；解法赏析；深度剖析；自主探究图2设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，建立方程组ìíî()m+nα+β=180°，2()m+1α+β=180°.整理，得m-n＋2=0.解法2：如图3，连接OB，OC，延长DO交AB于点G，作OF⊥AC，垂足为点F.图3设∠OED=∠ODE=α，得∠AOF=mα，∠GOE=2α，∠ACB=nα.由∠ODC=∠OFC=90°，得∠DOF+∠ACB=180°.所以∠GOF=∠ACB.所以mα+2α=nα.整理，得m-n+2=0.解法3：如图4，连接OB，OC，延长AO交BC于点G.图4设∠OED=∠ODE=α，则∠ABC=mα，∠BAG=90°-nα，∠GOD=2α.由∠OGD为△ABG的外角，得∠OGD=∠ABD+∠BAG=mα+90°-nα.在Rt△OGD中，有∠OGD=90°-∠GOD.所以mα+90°-nα=90°-2α.整理，得m-n+2=0．解法4：如图5，连接OB，OC，延长DO交AB于点G.图5设∠OED=∠ODE=α，则∠ABC=mα，∠GAO=90°－nα，∠AOG=2α.由∠AGD为△BDG的外角，得∠AGD=∠ABD+∠BDG.在△AGO中，∠AGD=180°-()∠AOG+∠GAO，所以90°+mα=180°-()2α+90°－nα.整理，得m-n+2=0．事实上，只要抓住此题中给出的等量关系OD=OE，∠AOC=2∠ABC，∠AOB=2∠ACB，且OD⊥BC，用含m，n，α的代数式表示相关的量，再利用合适的等量关系建立方程就可以找出它们之间的关系．视角2：利用角平分线、等腰三角形的基本性质解题.解法5：如图6，连接OB，OC，延长OD交⊙O于点F，连接AF.图6因为OD⊥BC，所以点F平分BC.所以AF平分∠BAC.所以∠OAC-∠OAB=2∠OAF.由OE=OD，OA=OF，得DE∥AF.所以∠OED=∠OAF.由OA=OC=OB，得∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC.所以∠AOB －∠AOC =2()∠OAC －∠OAB .由于∠ACB -∠ABC =12()∠AOB －∠AOC =∠OAC -∠OAB =2∠OAF ，得n -m =∠ACB -∠ABC ∠OED =2∠OAF ∠OAF =2.整理，得m-n ＋2=0.与前面几种解法相比较，解法5中没有设未知数，只是利用几何图形中的性质关系进行解题.虽然解题过程不是那么简单，但是揭示了题目变化中的不变量的本质关系，其来源于两个等腰三角形顶角之差等于底角之差的两倍，解法十分微妙.视角3：利用圆的基本性质解题.解法6：如图7，延长DO ，交⊙O 于点F ，图7设∠OED =∠ODE =α，则∠AOF =2α.因为 BF = CF ，所以 AB - AF = AC + AF ，即2nα-2α=2mα+2α.整理，得m -n ＋2=0.综上，在圆中探究系数之间的关系，可以从结论出发，转化为探究∠ABC ，∠ACB 及∠OED 之间的关系，然后利用圆的轴对称性，结合垂径定理、圆心角、圆周角及弧之间的关系来证明.四、深度剖析此题中除了结论值得探究，题目中给出的条件也值得我们进行深度思考.思考1：题目的已知条件中“∠ABC ＜∠ACB ”的含义是什么？没有这个条件会产生怎样的结论？显然，根据条件∠ABC =m ∠OED ，∠ACB =n ∠OED ，可知∠ABC 与∠ACB 的大小决定着m 与n 的大小.“∠ABC <∠ACB ”表示m ＜n ，所以会得到n -m =2，即m -n +2=0.若是没有这个条件，则结论是||m -n =2.结合图8，可以看出，条件“∠ABC ＜∠ACB ”表明点A 须在直径GH 的右侧运动.图8思考2：题干中的条件“锐角三角形ABC ”起着怎样的作用？如果没有这个条件又会怎样？如图9，延长CO ，BO ，分别交⊙O 于点M ，N ，则∠MBC =∠NCB =90°.当点A 在CN 上运动时，∠ACB 为钝角.当点A 在BM 上运动时，∠ABC 为钝角.当点A 在BC 上运动时，∠BAC 为钝角.结合条件“∠ABC ＜∠ACB ”，显然，可以发现点A 只能在GN 之间.那么，试题中如果没有“锐角三角形ABC ”这个条件，会产生怎样的结果呢？图9当∠ACB 为钝角时，即点A 在CN 上，可以得到结论m -n ＋2=0.当∠ABC 为钝角时，即点A 在BM 上，可以得到结论n -m +2=0.符合思考1得出的结论.如图10，当∠BAC 为钝角时，即点A 在BC 上，且在OD 所在直线的右侧，延长DO ，交⊙O 于点F ，连接AF ，过点D 作DI ⊥AF ，则可以推出点E 在线段DI 上，即证明DE ⊥AF ，所以∠OED +∠OAF =90°.由此得到n -m =2()90°-∠OED ∠OED ，即n -m ＋2=180°∠OED.此时，原来的结论并不成立，n -m +2的值关于∠OED 成反比例关系.同理，当点A 在BC 上，且在OD 在直线的左侧时，可以得到结论m -n +2=180°∠OED.图10思考3：题目中的条件“OD =OE ”，说明△OED 是一个等腰三角形，且确定了两腰.若没有确定两腰，直接给出条件“△OED 是一个等腰三角形”，显然会产生另外两种结论，其结论是否与原结论相通？结合思考1和思考2可知，在没有条件限制的情况下，点A 可以在整个圆弧上运动.当OD=OE 时，将∠OED 的度数转换成弧度，以该弧度为自变量x ，m -n +2的值y 为因变量.当点A 在OD 所在直线的右侧时，函数图象如图11所示，一段为定值，一段为类似反比例函数图象的一部分；当点A 在OD 所在直线的左侧时，函数图象如图12所示，一段为定值，一段为反比例函数图象，符合思考2的结论.图11图12当DO =DE 或EO =ED 时，如图13和图14所示，同样以∠OED 的弧度数为自变量，m -n +2的值为因变量作出函数图象，其结果都是一段为定值，一段为反比例函数图象的一部分，与OD =OE 时的结果类似.图13图14综合以上分析，在OD =OE 的前提下，∠ABC 与∠ACB 的大小决定着m ，n 的大小，故舍弃该条件，只需利用||m -n 来体现结论.当∠BAC 为钝角时，||m -n -2的值与∠OED 的值成反比例关系，比例系数为180°；当∠BAC 为锐角时，||m -n -2=0，是一个定值.而若仅仅要满足m -n +2=0，点A 可以在GC 上，为了防止学生对题目的第（1）小题进行不必要分类（思考∠ABC 与∠ACB 是不是钝角），故此题在题干中添加“锐角三角形ABC ”的条件，同时，在第（2）小题中添加“∠ABC ＜∠ACB ”的条件.自此，点A 仅在GN 上运动.若当DO =DE 或当EO =ED 时，m -n +2的值是定值或与∠OED 成反比例关系.五、反思探究性学习指学生在学科领域内或现实生活情境中选取某个问题作为突破点，通过质疑发现问题，通过分析研讨解决问题，通过表达与交流等活动获得知识、掌握方法.探究以问题为导向，问题的提出源于仔细观察、深度剖析.问题从何而来？从什么角度去分析？本文的研究思路给学生做了示范.题目中的结论和每个条件都是探究的突破口.中考试题凝聚了命题者的心血，内涵丰富.在解题教学中，教师要引导学生对典型的中考试题进行深度探究，并对问题提出新的猜想，进而提高学生学习数学的兴趣，激发学生热爱探究的精神，培养学生勇于创新的意识.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］王红梅.基于模型思想的解法探究：从2017年杭州市中考数学第10题说起［J ］.中学数学教学参考（中旬），2017（11）：37-39.。