尺规三等分角不能的向量证明

定义：设S={Z
0=1
，
Z
1，
... Z
n
}是n+1个复数，将
(1) Z
0=1
，
Z
1，
... Z
n
叫做S-点；
(2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆；
(3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。

上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P
也就是从S={Z
0=1
，
Z
1，
... Z
n
}出发通过尺规作图所得到的全部复数。

定理：设Z
1，... Z
n
(n≥0)为n个复数。

设F= Q(Z
1，
... Z
n，
Z
1
'
，
... Z
n
')，(Z'代
表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z
0=1
，
Z
1，
... Z
n
}作出的充要条件是 Z
属于F(u
1，... u
n
)。

其中u
1
2属于F, u
i
2属于F(u
1
，... u
i-1
)。

换言之，
Z
含于F的
一个2次根号扩张。

系：设S={Z
0=1
，
Z
1，
... Z
n
}，F= Q(Z
1，
... Z
n，
Z
1
'
，
... Z
n
')，Z为S-点，则 [ F(z) ：
F] 是2的方幂。

以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：
证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。

从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。

如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。

由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是
6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]
由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。

证毕。