(完整版)解析三角形中两条角平分线组成的角

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三角形的角平分线性质

三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。

本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。

三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。

对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。

即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。

内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。

角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。

通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

三角形中的特殊模型-双角平分线模型(解析版)

三角形中的特殊模型-双角平分线模型模型1、双角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．图1图2图32)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D 5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC，∠P2CD的平分线相交于点P3⋯⋯以此类推；结论：∠P n的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD 1(2023·绵阳市八年级课时练习)如图，在ΔABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=.【答案】115°【分析】先根据角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=12(80°+50°)=65°，∴∠BPC=180°-65°=115°.【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.2(2023·河南周口·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=()A.90°+12∂ B.90°-12∂ C.12∂ D.180°-12∂【答案】C【分析】根据四边形的内角和求得∠ABC+∠BCD=360°-∂，再根据角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∴∠ABC+∠BCD=360°-∂，由题意可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠BCD，∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠BCD=180°-∂2，∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=12∂故选：C．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．3(2023秋·山西太原·八年级校考期末)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．(1)猜想：∠BPC与∠ABP、∠ACP、∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，直接利用(1)中结论，可得∠BPC的度数为．【答案】(1)∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明见解析(2)106°【分析】(1)根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，再结合∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP即可得到结论；(2)先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到∠ABC+∠ACB=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，再代入(1)中结论求解即可．【详解】(1)解：猜想：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明：由题意得：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，∵∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP，∴∠BPC+∠ABC-∠ABP+∠ACB-∠ACP=180°，∴∠BPC+∠ABC+∠ACB-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC+180°-∠A-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP；(2)解：∵∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，∴∠BPC=∠A+13∠ABC+∠ACB=69°+37°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·绵阳市·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于点G，若∠ABC =m°，∠ACB=n°，求∠BGC的度数.【答案】∠BGC=12m°+n°【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，在ΔBCG中，∠BGC=180°-12∠EBC+12∠BCF=180°-12(∠EBC+∠BCF)=180°-12(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°-12(180°-m°+180°-n°)；=12m°+n°【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023春·广西·七年级专题练习)如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，则有2y =2x +∠A ①y =x +∠E ②，①-2×②可得∠A =2∠E ，∴∠E =12∠A =40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．7(2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习)如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC ∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．8(2023·河北·九年级专题练习)问题情境：如图1，点D 是△ABC 外的一点，点E 在BC 边的延长线上，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ．试探究∠D 与∠A 的数量关系．(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=；这两个图中，与∠A度数的比是；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．【详解】(1)解：如图2，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；如图3，∵ΔABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；故答案为30°，50°，1:2；(2)解：成立，如图1，在ΔABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在ΔDBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，⋯(1)∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，⋯(2)由(1)×2-(2)，∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0，∴∠A=2∠D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．9(2023·重庆·七年级专题练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现∠BOC=90°∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线+12∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)(4)运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．【答案】(1)∠BOC=12∠A；(2)∠BOC=90°-12∠A；(3)∠BOC=12(∠BAD+∠CDA)；(4)95【分析】(1)根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；(2)根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；(3)由角平分线的性质、四边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；(4)由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACD∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠ABC∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1∵∠2是△BOC的一个外角∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A(2)探究3结论：∠BOC=90°-12∠A∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠ECB∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A即∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)+∠A∴180°-∠BOC=12(180°-∠A)+∠A整理得：∠BOC=90°-12∠A(3)拓展结论：∠BOC =12(∠A +∠D )∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠BCD )=12(360°-∠A -∠D )=180°-12(∠A +∠D )在△BOC 中，180°-∠BOC =∠OBC +∠OCB∴180°-∠BOC =180°-12(∠A +∠D )∴∠BOC =12(∠BAD +∠CDA )(4)运用：∵CP 和DP 分别是∠DCF 和∠GDC 的角平分线∴∠PCD =12∠DCF ，∠PDC =12∠GDC∴∠PCD =12(180°-∠DCB )，∠PDC =12(180°-∠EDC )∴∠PCD +∠PDC =12(360°-∠DCB -∠EDC )∵∠DCB +∠EDC =540°-∠A -∠B -∠E =190°∴∠PCD +∠PDC =12(360°-190°)=85°在△CPD 中，∠CPD =180°-(∠PCD +∠PDC )=180°-85°=95°故答案为：95【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．课后专项训练1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，OG 平分∠MON ，点A ,B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点C ，交BN 于点D ；②分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线BE ，交OG 于点P ．若∠ABN =140°，∠MON =50°，则∠OPB 的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】B【分析】根据条件可知BP 平分∠ABN ，则可求出∠PBN ，根据OG 平分∠MON 求出∠BOG ，进而利用∠PBN =∠POB +∠OPB 即可求出答案．【详解】由作法得BP 平分∠ABN ，∴∠PBN =12∠ABN =12×140°=70°，∵OG 平分∠MON ，∴∠BOP =12∠NOM =12×50°=25°，∵∠PBN =∠POB +∠OPB ，∴∠OPB =∠PBN -∠POB =70°-25°=45°．故选B ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．2(2023·江苏·八年级月考)ΔABC中，点O是ΔABC内一点，且点O到ΔABC三边的距离相等；∠A= 40°，则∠BOC=()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°=110°．故选：A．3(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4(2023·重庆·八年级专题练习)已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为()A.45°B.48°C.60°D.66°【答案】D【分析】根据角平分线的性质定理证得PF=PH，PF=PG，进而得出PH=PG，从而判定AP平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．【详解】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴PF=PH，PF=PG，∴PH=PG，∵PH⊥BD，PG⊥AC，∴AP平分∠CAD，∵∠ABC=48°，∠ACB=84°，∴∠CAD=∠ABC+∠ACB=48°+84°=132°，∴∠PAC=12∠CAD=66°．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．5(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．6(2022春·重庆黔江·七年级统考期末)如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE=50°，则∠C等于( )．A.70°B.80°C.85°D.90°【答案】B【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12(180°-∠OAB )．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12(180°-∠OAB )-∠OAB -12∠ABO =90°-12(∠OAB +∠ABO )=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12(∠OAB +∠ABO )．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．8(2023·江苏·八年级月考)如图，ΔABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠BAC 的度数是．【解答】解：在ΔABC 中，∠ACD =∠A +∠ABC ，在ΔPBC 中，∠PCD =∠P +∠PBC ，∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∴∠PCD =12∠ACD ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P +∠PCB =12(∠A +∠ABC )=12∠A +12∠ABC =12∠A +∠PCB ，∴∠PCD =12∠A ，∴∠BPC =40°，∴∠A =2×40°=80°，即∠BAC =80°．故答案为：80°．9(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC =130°，则∠D =【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．10(2022秋·浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于点A2，得∠A2，⋯⋯，∠A n-1BC和∠A n-1CD的角平分线交于点A n，得∠A n(1)若∠A=80°，则∠A1=，∠A2=，∠A3=(2)若∠A=m°，则∠A2015=．【答案】40°20°10°m 22015 °【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=1 2∠A1，∠A3=12∠A2，进而可求∠A2和∠A3；(2)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，⋯，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：(1)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A=80°∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=40°同理可证：∠A2=12∠A1=20°，∠A3=12∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．(2)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC 和∠ACD 的角平分线交于点A 1，∠A =m °∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC =12∠ACD -12∠ABC =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =m 2°同理可证：∠A 2=12∠A 1=m 22 °，∠A 3=12∠A 2=m 23 °∴∠A 2015=m 22015 °故答案为：m 22015°．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =m °，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P =．(用含字母m 的代数式表示)【答案】12m o 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC +∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A +∠D =m °，且四边形内角和为360°，∴∠ABC +∠BCD =360°-m °，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC =12∠ABC ，∠BCP =12∠BCD ，∴∠PBC +∠BCP =12∠ABC +12∠BCD =12∠ABC +∠BCD =12360°-m o ∴∠P =180°-(∠PBC +∠BCP )=180°-12360°-m o 故答案为：12m o ．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC +∠BCP 的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB =．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12(∠ACB +∠ABC )=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13(2023·甘肃陇南·统考一模)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°．点M在BC的延长线上，∠ABC 的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；(2)求∠BEC的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】(1)根据尺规作图法可作∠MCA的平分线；(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=20°，∠MCE=∠DCE=70°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】(1)解：如图，CE即为所求；(2)解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=20°，∵∠ACM=180°-40°=140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE=∠DCE=70°，∴∠BEC=∠MCE-∠CBD=70°-20°=50°．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．14(2023·山东八年级期中)如图，在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，过点B作BG⊥CF于点G，∠OBG=12∠BAC成立吗？说明理由.【答案】∠OBG=12∠BAC 成立，见解析.【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案【详解】解：∠OBG=12∠BAC成立．理由如下：∵在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BOC=90°+12∠BAC．由三角形的外角性质得，∠BOC=∠G+∠OBG=90°+∠OBG，∴90°+12∠BAC=90°+∠OBG，∴∠OBG=12∠BAC【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．15(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．16(2023春·八年级单元测试)如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．(1)若∠A=70°，求∠D的度数；(2)若∠A=a，求∠E；(3)连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=．【答案】(1)35°；(2)90°-12α；(3)12β【分析】(1)由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；(2))根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由(1)知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；(3)根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：(1)∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；(2)∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12(∠ABC+∠CBF)=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；(3)如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．17(2023·福建泉州·七年级阶段练习)在ΔABC 中，已知∠A =α.(1)如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α=80°时，∠BDC 度数=度(直接写出结果)；②∠BDC 的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ,求∠BFC 的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将ΔFBC 以直线BC 为对称轴翻折得到ΔGBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M (如图3)，求∠BMC 的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)①130°；②90°+12α；(2)∠BFC =12α(3)∠BMC =90°+14α【详解】：(1)①130°；②90°+12α；(2)∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴∠FBC =12∠ABC ,∠FCE =12∠ACE ∴∠BFC =∠FCE -∠FBC =12∠ACE -∠ABC =12∠A 即∠BFC =12α(3)由轴对称性质知：∠BGC =∠BFC =12α由(1)②可得∠BMC =90°+12∠BGC ∴∠BMC =90°+14α．18(2023·江苏盐城·七年级阶段练习)如图，△ABC 的角平分线相交于P ，∠A =m °,(1)若∠A =40°,求∠BPC 的度数；(2)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于Q ，且∠A =m °，求∠BQC 的度数(3)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的n 等分线相交于R ，且∠A =m °，∠CBR =1n ∠CBD ，∠BCR =1n ∠BCE ，求∠BRC 的度数【答案】(1)110°(2)90°+12m °(3)n -1n ×180°-m n(此结果形式可以不同，只要正确皆可)【详解】试题分析：(1)根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；(2)(3)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．试题解析：解：(1)∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∵BP 、CP 是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )==12×140°=70°，∴∠P =180°-70°=110°．(2)∵∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∵BQ ，CQ 是角平分线，∴∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∴∠QBC +∠BCQ =12(∠DBC +∠ECB )=12(m +180°)=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°-(∠QBC +∠BCQ )=180°-90°+12m =90°-12m ．(3)由(2)得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n (∠DBC +∠ECB )=1n (m +180°)．在△BCR 中，∠R =180°-(∠RBC +∠BCR )=180°-1n (m +180°)=n -1n ×180-m n．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．19(2023·江西上饶·八年级校考阶段练习)(1)探究1:如图1,P 是△ABC 的内角∠ABC 与∠ACB 的平分线BP 和CP 的交点,若∠A =70∘，则∠BPC =度；(2)探究2:如图2，P 是△ABC 的外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BP 和CP 的交点，求∠BPC 与∠A的数量关系?并说明理由．(3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A +∠D =α.,直接写出∠BPC 与α的数量关系；【答案】(1)125°；(2)∠BPC =90°-12∠A ，理由见解析；(3)∠BPC =180°-12α【分析】(1)借助角平分线的性质即可得到∠PBC =12∠ABC 以及∠PCB =12∠ACB ，然后在△BPC 中进一步分析可找出∠BPC 与∠A 的关系，进而求出∠BPC 的度数；(2)根据三角形内角和定理可知∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )，根据角平分线的定义可用12(∠DBC +∠ECB )表示∠PBC +∠PCB ，再利用三角形外角性质得到∠DBC +∠ECB =∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，即可求出∠BPC 与∠A 的关系；(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，由(2)的分析可直接得出∠P 与∠Q 的关系，而∠BAD 与∠CDA 是△ADQ 的外角，再结合三角形外角性质即可解答.【详解】(1)解：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A =90°+35°=125°故答案为125°(2)∠BPC =90°-12∠A 理由如下：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠DBC +∠ECB )=180°-12(∠A +∠ACB +∠A +∠ABC )=180°-12(∠A +180°)=90°-12∠A(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，如图∠BPC =90°-12∠Q ∴∠Q =180°-2∠BPC ∴∠BAD +∠CDA =180°+∠Q =180°+180°-2∠BPC =360°-2∠BPC∴∠BPC =180°-12α故答案为∠BPC =180°-12α【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.20(2023·甘肃天水·七年级统考期末)已知在△ABC 中，图1，图2，图3中的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，(1)如图1，点O 是△ABC 的两个内角平分线的交点，猜想∠O 与∠A 之间的数量关系，并加以证明．(2)请直接写出结果．如图2，若∠A =60°，△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点O ，则∠O =；如图3，若∠A =60°，△ABC 的两个外角平分线交于点O ，则∠O =．【答案】(1)∠O =90°+12∠A ，证明见解析；(2)30°；60°．【分析】(1)根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，对角度进行等价代换即可；(2)图2中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCM =12∠ACM ，再根据三角形外角的性质得到∠O =∠OCM -∠OBC 和∠A =∠ACM -∠ABC ，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠PBC ，∠OCB =12∠QCB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．【详解】解：(1)∠O =90°+12∠A ．证明：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠O =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-12∠ABC +12∠ACB =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12180°-∠A =90°+12∠A ．即∠O =90°+12∠A ．(2)30°；60°．如图2所示：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACM，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCM=12∠ACM，∴∠O=∠OCM-∠OBC=12∠ACM-12∠ABC=12(∠ACM-∠ABC)=12∠A．∵∠A=60°∴∠O=12∠A=12×60°=30°．即∠O=30°．如图3所示：∵BO平分∠PBC，CO平分∠QCB，∴∠OBC=12∠PBC，∠OCB=12∠QCB，∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12∠PBC+12∠QCB=180°-12180°-∠ABC+12180°-∠ACB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=1 2180°-∠A．∵∠A=60°∴∠O=12180°-∠A=12×180°-60°=60°．即∠O=60°．故答案为：30°；60°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．21。

三角形的内角平分线和外角平分线组成的角

4.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为P，已知
∠A=80°，求∠CPB的度数。
解：∵ ∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=50° ∴∠CPB=130°
1
2
9--3
变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠CPB的度数。
解：∵ ∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=（180°－ α ）/2， ∴∠CPB=180°－（180°－ α ）/2
=90°＋ α/2
归纳：三角形的两条内角平分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半。
1
2
9--4
2：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠CPB的度数。
解：∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线
∴ ∠1=1/2 ∠ABE, ∠2=1/2 ∠ACB
解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分
线，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°- 1/2 （∠CBD+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+∠ACB+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+180°）
=90°- 1/2 ∠A
E
D
归纳：三角形的两条外角平分线所夹的锐角等于90°减去第三角的一半。
∵ ∠1= ∠2+ ∠P

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

三角形的角平分线几何语言

三角形的角平分线几何语言一、引言角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线是重要的概念之一，它在解决三角形相关问题时起到了关键作用。

本文将通过几何语言，详细讲解角平分线的性质、定理以及应用。

二、性质1. 角平分线上的点与角的两边相连，构成两个相等的角。

2. 三角形的一个内角的角平分线与对边相交，将对边分成两个相等的线段。

3. 三角形的一个内角的角平分线与对边相交的点到三角形另外两个顶点的距离相等。

三、定理1. 角平分线定理：如果一个点在一个角的角平分线上，则这个点到角两边的距离比较近的边上的距离与比较远的边上的距离之比等于角的两边的长度之比。

四、应用1. 构造角平分线：给定一个角ABC，要求构造它的角平分线。

首先，以B为圆心，以BC的长度为半径作一条弧，再以C为圆心，以AC 的长度为半径作一条弧。

两条弧相交于点D，连接AD，则AD是角ABC的角平分线。

2. 利用角平分线证明定理：已知三角形ABC，角BAD是角BAC的角平分线，证明AD与BC垂直。

首先，由角平分线的性质可知，角BAC=2*角BAD。

又AD与BC相交，根据同位角的性质，可得角BAC=角BDA+角BAD，代入角BAC=2*角BAD，得角BDA=角BAD。

由此可知，AD与BC平行，又由平行线的性质可得AD与BC垂直。

3. 利用角平分线解决三角形相关问题：已知三角形ABC，角BAD是角BAC的角平分线，且BD=CD，证明AB=AC。

首先，由角平分线的性质可知，角BAC=2*角BAD。

又BD=CD，根据等角对应线段相等的性质，可得AB=AC。

由此可知，AB=AC。

五、总结角平分线是解决三角形相关问题时常用的工具，它具有一系列的性质和定理。

通过构造角平分线和利用角平分线的性质，可以解决一些与三角形相关的问题。

在解题过程中，需要准确理解角平分线的概念，灵活运用相应的定理和性质。

通过不断练习和思考，可以提高解题的能力和准确性。

三角形中角平分线的性质及计算

三角形中角平分线的性质及计算三角形是初中数学中的重要内容，而角平分线是三角形中的一个重要概念。

本文将介绍三角形中角平分线的性质及计算方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个角都有一条角平分线。

1. 角平分线的定义：角ABC的角平分线是从顶点B出发，将角ABC分成两个相等的角的线段。

2. 角平分线的性质：a. 角平分线将角分成两个相等的角。

例如，在三角形ABC中，角ABD和角CBD是相等的。

b. 角平分线上的点到两边的距离相等。

例如，在三角形ABC中，点D到边AB的距离等于点D到边BC的距离。

二、角平分线的计算方法1. 已知两条边和夹角的角平分线计算：如果已知三角形的两条边和夹角的大小，我们可以通过计算来确定角平分线的长度。

例如，已知三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，夹角BAC的大小为60°，我们要计算角平分线BD的长度。

首先，我们可以利用余弦定理计算角BAC的大小：cosBAC = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)cos60° = (5² + 7² - BC²) / (2 * 5 * 7)BC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos60°BC ≈ 8.66cm然后，我们可以利用角平分线的性质计算角平分线BD的长度：BD = (AB * AC) / (AB + AC) * √(1 - (BC / (AB + AC))²)BD = (5 * 7) / (5 + 7) * √(1 - (8.66 / (5 + 7))²)BD ≈ 3.22cm2. 已知一个角和两条边的角平分线计算：如果已知三角形的一个角和两条边的长度，我们可以通过计算来确定角平分线的长度。

角平分线三个定理-概述说明以及解释

角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。

它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。

这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。

在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。

以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。

角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。

这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。

这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。

这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。

利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。

它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。

通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。

1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。

角平分线的角度关系

角平分线的角度关系
角平分线是指一个角内，由顶点引出一条线段，使其把角分成
两个大小相等的角，这条线段就是这个角的角平分线。

对于一个三
角形，若它的内角的平分线作相交于点 O，则三角形内任意两个角
的平分线所成角度互相相等。

根据角平分线定理可知，平分线将角分成的两个小角相等，被
平分角的对边上的三角形的两个小角之和等于这个角的邻边对角和，即：
设三角形 ABC 中∠A 的平分线为 AD，则相交于 AD 点的 BC 边被分成 BD，DC 两段。

则有：
∠BAD = ∠CAD (平分线所分割的这个角)
∠ABD = ∠ACD (根据前面所述定理)
∠ADB + ∠BDA = ∠ADC + ∠CDA = ∠A (三角形内角和
为180°)
因此，AD 是∠A 的平分线，BAD、CAD 分别是∠BAC 的平分线。

同理，可得 CBE 为∠C 的平分线，而 BEA、AEC 为
∠ABC 的平分线。

角平分线定理在解决题目中，可以通过找到几个角的平分线，进而找到所求角的度数。

同时，在平面几何的证明中，角平分线定理也是一个常被用到的证明。

总之，角平分线是个重要且常用的概念。

以上是对“角平分线的角度关系”的简要介绍和讲述。

三角形中的角平分线定理

角形中的角平分线定理
角平分线定理（Angle Bisector Theorem）是几何学中的一个重要定理，它涉及到角的平分线和角内部的边的比例关系。

具体表述如下：
在一个三角形中，如果一条线段从某个顶点的角的两边中间穿过，并将该角分为两个相等的角，那么这条线段被称为该角的角平分线。

角平分线将对边（即与该角相对的边）分成两个部分，它们的比例等于另外两边的比例。

具体来说，设在三角形ABC中，角BAC的角平分线通过顶点A，与边BC相交于点D。

那么有以下比例关系成立： AB/BD = AC/CD 其中，AB和AC是角BAC的两条边，BD和CD是角平分线AD所分割的对边BC的两段。

这个定理可以用于解决一些与角平分线和边比例有关的问题，例如根据已知比例求解未知边长，或者根据已知边长求解未知比例等。

在解题时，可以利用角平分线定理来建立比例方程，并通过求解方程得到所需的结果。

需要注意的是，角平分线定理只适用于三角形中的角，而且前提条件是角的平分线将角分成两个相等的角。

1/ 1。

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理：三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中，三角形是一个重要的几何图形。

学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理，对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。

本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的直线段。

对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A引出一条角平分线AD，则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。

（插图1：三角形ABC，AD为角BAC的角平分线）角平分线的性质有以下几点：1.1 角平分线的定理定理1：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

定理2：如果一条线段平分一个角且通过角的顶点，那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质，这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。

1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分，还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。

具体地说，如果在线段BC上任取一点D，且AD是∠BAC的角平分线，则有以下结论：结论1：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。

对于任意一个三角形ABC，如果线段DE是边AC的垂直平分线，则AD=DC，且线段DE与边AC垂直。

（插图2：三角形ABC，DE为边AC的垂直平分线）垂直平分线有以下性质：2.1 垂直平分线的定理定理1：如果一条直线垂直平分一个线段，那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。

第03讲三角形与角平分线

第3讲三角形与角平分线知识导航1.三角形内外角平分线夹角模型；2.其它常见角平分线夹角模型.【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型模型一三角形两内角平分线夹角【例1】如图，点P 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证:∠P ＝90°＋12∠A. PCBA【例2】已知在△ABC 中，∠A ＝60°.(1)如图1，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，求∠BOC 的度数；(2)如图2，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，则∠BO 1C ＝__，∠BO 2C ＝_____； (3)如图3，∠ABC ，∠ACB 的n 等分线交于点O 1，O 2，……O n －1. 则∠BO 1C ＝_______，∠BO n －1C ＝__________.(用含n 的代数式)图1图2图3O 2O 1A CA BCO模型二三角形两外角平分线夹角【例3】如图，点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，求证:∠P ＝90°－12∠A. ABCDE模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠AC D.求证:∠P＝12∠A.AB C DE针对练习11.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数.PACE2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数.3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型 ◆方法技巧◆角平分长性质＋三角形内角和定理十三角形外角性质＋整体思想，化归思想＋设参数计算模型四◆角平分线＋高线夹角模型(设参计算＋整体思想)【例5】(1)已知△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，如图1，设∠B ＝x ，∠C ＝y ，试用x ，y 表示∠DAE ，并说明理由；(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD ⊥BC 于D ”改为“F 是AE 上一点，FD ⊥BC 于D "，试用x ，y 表示∠DFE ＝_________；(3)在图3中，若把(2)中的“点F 在AE 上”改为“点F 是AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用x ，y 表示∠DFE ＝_______；(4)在图3中，分别作出∠BAE 和∠EDF 的角平分线，交于点P ，如图4，试用x ，y 表示∠P ＝_____.图4图1图2图3PF DBE AFDBE CEBD AABCDEF模型五燕尾形双角平分(设参计算＋整体思想)【例6】如图，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，它们交于点P .求证:∠P ＝12(∠A ＋∠D ). P DCBA模型六蝶形(8字形)双角平分(设参计算＋整体思想)【例7】(1)模型:如图1，AD ，BC 交于O 点.求证:∠D ＋∠C ＝∠A ＋∠B. (2)模型应用:如图2，∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点E . ①若∠D ＝30°，∠B ＝40°，则∠E 的度数是______；②直接写出∠E 与∠D ，∠B 之间的数量关系是:__________；(3)类比应用:如图3，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E .若∠D ＝m °，∠B ＝n °，(m ＜n ).求∠E 的度数.(用含有m ，n 的式子表示)图1图2图3EABCDBCDOEDC A针对练习21.如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠P ＝20°，∠D ＝10°，求∠A 的度数.ABCDP2.如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I . (1)写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式并证明；(2)直接写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式为___________.图1图2I ABDCE AB CD EI。

三角形两个外角角平分线形成的角

三角形两个外角角平分线形成的角三角形两个外角角平分线形成的角在数学中，我们经常会遇到各种有趣的几何形状和性质。

其中，三角形作为最简单的几何形状之一，具有丰富的性质和应用。

今天，我们将探讨三角形中一个非常有趣的性质：两个外角角平分线形成的角。

让我们回顾一下三角形的一些基本知识。

三角形是由三条线段组成的，每条线段称为三角形的边，而它们的端点称为三角形的顶点。

三角形的内角是指三角形内部的角度，而外角是指由一条边向外延伸形成的角度。

在任意一个三角形中，每个内角和对应的外角之和始终为360度。

这是一个很有趣的性质，意味着任何一个三角形的内角和外角的度数之和始终是一个固定值。

现在让我们来研究一个特殊性质。

在一个三角形中，如果我们取其中一个外角的角平分线和另一个外角的角平分线，这两条角平分线所形成的角度是否有什么特殊性质呢？让我们以一个具体的例子来说明。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别表示三个顶点，a、b、c分别表示三条边。

现在，我们选择由边AB的延长线形成的外角和由边AC的延长线形成的外角的角平分线。

这两条角平分线交于一点，我们将该交点记为D。

那么，我们选择的两个外角角平分线所形成的角，即∠BDC，它是否有特殊性质呢？让我们来研究一下。

我们可以发现∠BDC是一个内角，因为它是三角形BDC的角。

既然它是一个内角，根据前面提到的性质，它与对应的外角之和应该等于360度。

在这种情况下，对应的外角是∠BAC和∠BCA，它们之和为360度。

现在，我们来证明∠BDC是∠BAC和∠BCA的一半。

我们可以观察到角平分线BD和角平分线DC相交于角平分线的延长线上，即在三角形ABC的外部。

根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个相等的角。

∠BDC必然是∠BAC和∠BCA的一半。

通过这个例子的分析，我们可以得出结论：三角形两个外角的角平分线所形成的角度是对应内角的一半。

这个性质有很多应用和推广。

在解决与角平分线相关的几何问题时，我们可以利用这个性质来简化问题的分析和计算过程。

三角形内外角平分线的探索

如图：射线OC是 ∠AOB的平分线。
课堂任务一课堂任务二课堂任务三
课堂任务
1、探究三角形的两内角平分线所成的角与第三个角的度数关系。 2、探究三角形的两内角三等分线所成的角与第三个角的度数关系。 3、探究三角形的两外角平分线所成的角与第三个角的度数关系。 4、探究三角形的两外角三等分线所成的角与第三个角的度数关系。 5、探究三角形的一内角平分线和一外角平分线所成的角与第三个角的度数关系。
理论基础
三角形的角——由三角形的两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形的外角——由三角形一边和一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
角的平分线——在角的内部，把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
如图：∠A，∠B， ∠C是△ABC的内角。
如图：∠ACD是 △ABC的一个外角。
6、探究三角形的一内角三等分线和一外角三等分线所成的角与第三个角的度数关系。
等分内角
平分内角
三等分内角
等分外角
平分外角
三等分外角
等分内外角
平分内外角
等分内外角
一、选择题: 1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°
3.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等
边三角形
二、填空题: 1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________. 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则 ∠A=_______度. 3.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.

初中数学什么是三角形的角平分线定理

初中数学什么是三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指：一条角的平分线，把该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。

在三角形的任意一个内角上，做一条平分线，将这个角分成两个相等的角，这条平分线将对立面的边分成两个线段，且这两个线段的比例相等，即称这条线段为该角的平分线。

三角形的角平分线定理可以用来解决以下问题：1. 求角平分线的长度在已知三角形的两边和一条角平分线时，可以利用角平分线定理计算出另一条边的长度。

2. 求角的大小在已知三角形的两边和一条角平分线的长度时，可以利用角平分线定理计算出该角的大小。

3. 求三角形的面积在已知三角形的两边和一条角平分线的长度时，可以利用角平分线定理将三角形分成两个三角形，进而计算出三角形的面积。

下面是三角形的角平分线定理的详细解释：假设ABC 为三角形，其中∠BAC 的平分线交BC 边于点D，那么有以下结论：1. BD/DC = AB/AC-即角平分线分割对边成比例。

2. ∠BAD = ∠CAD-即角平分线将∠BAC 平分成两个相等的角。

3. 以AD 为直径的内切圆与三角形ABC 相切于点E-即角平分线的交点D 与内切圆的圆心E 重合。

4. BE/EC = AB/AC-即角平分线分割底边成比例。

证明：我们可以根据三角形相似、三角形内切圆的性质等来证明角平分线定理。

首先，根据相似三角形的性质，可以得出：∠ABD ~ ∠ACD（AA相似），即AB/BD = AC/CD同时，根据三角形内切圆的性质，可以得出：AE = DE = CE因此，我们可以根据比例相等，得出：BD/DC = AB/AC又因为AD 是三角形的角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，即两个角相等。

因此，由相似三角形的性质，可以得出：∠ABD ~ ∠ACD（AAS相似），即∠ABD = ∠ACD又因为AE = DE，所以∠AED 是等腰三角形，即∠AED = ∠ADE。

因此，由角度和相等，可以得出：∠BED = ∠BDE因此，由相似三角形的性质，可以得出：∠BDE ~ ∠BEC（AA相似），即BE/EC = BD/DC = AB/AC因此，我们可以得出三角形的角平分线定理。

三角形中的角平分线

三角形中的角平分线三角形是中学数学中常见的一个几何图形，它由三条线段组成，每条线段连接两个角，并形成三个角。

在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角，并与对边相交的线段。

角的平分线在三角形中具有重要的几何性质和应用。

本文将详细介绍三角形中角平分线的特点和应用。

一、定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角，并与对边相交的线段。

对于任意三角形ABC，若AD为角BAC的角平分线，则∠BAD≅∠CAD。

二、三角形角平分线的性质1. 角平分线将角分成两个相等的角。

若AD为角BAC的角平分线，则∠BAD≅∠CAD。

2. 角平分线与对边相交于三角形的内心。

三角形的内心是角平分线三条的交点，记为I。

即角平分线BE、CF和AD的交点为内心I。

3. 角平分线与对边的比例关系。

根据内切角的性质，有以下比例关系：AB/AC = BD/DC = c/bBC/BA = CE/EA = a/cCA/CB = AF/FB = b/a4. 角平分线长度的性质。

设角BAC的角平分线AD与对边BC相交于点D，则有以下关系： BD/DC = AB/AC (根据角平分线与对边的比例关系)AD/DC = AB/BC (根据角平分线定理)根据以上性质，可以推导出角平分线长度的计算公式。

三、三角形角平分线的应用1. 寻找三角形的内心。

通过求解角平分线的交点，可以确定三角形的内心。

内心是三角形的一个重要特征点，在几何学和三角学中有广泛的应用。

2. 解决三角形的相关问题。

通过应用角平分线的性质，可以解决各种与角平分线相关的三角形问题，如角平分线的长度、角平分线与周长的关系等。

这些问题是解决几何学和三角学中经典问题的重要方法之一。

3. 构造等分角。

如果需要将某个角等分为多个角，可以通过绘制角平分线来实现。

通过绘制角平分线，可以将原角等分为任意个相等的角。

四、结语三角形中的角平分线在数学中具有重要的地位和应用。

三角形中角平分线的定义

三角形中角平分线的定义三角形，这个我们在小学数学课上学过的形状，真的是个奇妙的东西。

三条边，三个角，听起来简单，但里面的奥妙可不少。

今天咱们就聊聊三角形中的角平分线，哎呀，这个名字一听就有点复杂，对吧？别担心，我来给你捋一捋，让你一下子明白过来。

角平分线顾名思义，它就是把一个角给分成两个相等的角。

这就像是把一块蛋糕切成两份，虽然都一样大，但你觉得两边的味道是一样的吗？哈哈，可能不会，因为每个人都有自己喜欢的那一块。

但在数学里，这两个角可就是一模一样的，完全不差分毫。

这条线从角的顶点出发，直直地延伸到对面的边上，像个英勇的骑士，一路披荆斩棘。

你可能会问，这个角平分线有什么用呢？角平分线在我们生活中也有不少应用。

比如说，建筑设计、工程测量，甚至是打理花园，都是需要用到这种神奇的线的。

想象一下，设计师在画图纸时，心里默念：“要把这个角平分，才能确保这个房子建得又稳又美！”是不是听起来很酷？三角形的角平分线有个很棒的性质：它把对面的边分成的两段，和它的两个角的比值是相等的。

简单说，就是边上的两段长度和相应的角大小是有关系的。

就像是你和朋友去吃饭，最后你们各自点了多少菜，大家心里都有数，绝对不想让对方多点或少点，这样才公平嘛，对吧？讲到这里，可能有人会觉得这些性质有点抽象。

别着急，咱们用个例子来说明一下。

想象你有个三角形ABC，角A的角平分线穿过对面的边BC，交点叫D。

你会发现，BD 和DC的长度比就是角A的大小与角B的大小的比。

这可是个绝对的真理，听起来是不是有点像魔法？这种规律性让我们对三角形的理解更深入，也让我们在解题时有了更多的工具。

你看，虽然数学有时让人觉得枯燥无味，但只要好好去了解，就会发现里面的乐趣。

就像在翻一本书，你不知道书里有多精彩，直到你真正打开它的一页。

角平分线就是这样一种神奇的存在，它在三角形里默默无闻，却又扮演着极其重要的角色。

生活中也处处有它的影子，只是我们常常没注意到而已。

角平分线不仅是数学中的一个概念，更是让我们在生活中找到平衡与和谐的小秘密。

三角形的角平分线

三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个角的两边上各取一个点，使得这两条线段分别与这个角的两边相交且相等的情况。

这两条线段被称为该角的角平分线。

在本文中，我们将详细介绍三角形的角平分线的性质和应用。

一、角平分线的定义及性质在一个三角形ABC中，如果从角A的两边上各取一个点D和E，使得AD=AE，且线段DE与边BC相交于点F，那么线段DF和EF分别被称为角A的角平分线。

角A的角平分线有以下性质：1. 角平分线将角等分：即角ADF=角ADE=1/2角A。

2. 角平分线平分对应的弧：如果将三角形ABC所对的外接圆记作O，那么角平分线DF和EF将分别平分弧BC所对应的弧。

3. 角平分线互相垂直：即角ADF和角ADE互相垂直。

4. 角平分线所在的直线与三角形对边平行：即DF∥BC和EF∥BC。

二、角平分线的应用角平分线在几何学中有着广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用场景。

1. 角平分线的作图在几何作图中，角平分线的作图是一个常见的题型。

给定一个三角形ABC和其中一个角A，要求作出角A的角平分线。

具体作图步骤如下：（1）以点A为圆心，任意长度作弧交边BC于点D和点E；（2）以点D为圆心，和点E为半径作圆；以点E为圆心，和点D 为半径作圆。

这两个圆交于点F；（3）连接点A和点F，线段AF即为角A的角平分线。

2. 角平分线的性质运用角平分线的性质在解决几何问题中发挥着重要作用。

以下是一个例子：问题：在三角形ABC中，角B的角平分线交边AC于点D，若AC=8 cm，AD=5 cm，求BC的长度。

解法：根据角平分线的性质，我们可以得知，如果角B的角平分线平分了边AC，那么AB/BC=AD/DC。

代入已知条件，得到AB/BC=5/3。

由于AB+BC>AC，所以AB+BC>8。

假设BC=x，则AB=5x/3。

代入AB+BC>8的条件，得到5x/3+x>8，解得x>4/3。

因为x是一个长度，所以x必须大于0，综上所述，BC的长度必须大于4/3（约1.3333）。

初中数学三角形双角平分线模型

BB 双角平分线模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；∠BDC=90°+21∠A ∠BDC=90°-21∠A ∠BDC=21∠A 【分析】三个结论的证明例1、如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。

（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。

在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）E D CB A＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A ＝90°＋21∠A （方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E解：∵BD 、CD 为角平分线 ∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。

∵∠BDE 是△ABD 的外角∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD =∠BAD+21∠ABC 同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB ＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC 例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。

解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF 又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ）＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21（∠A ＋180°）＝90°－21∠A 【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。

三角形两个外角的角平分线与第三个角的关系

三角形两个外角的角平分线与第三个角的关系大家好，今天咱们聊聊三角形里的一个有趣的数学问题——两个外角的角平分线与第三个角之间的关系。

乍一听，这好像是很复杂的数学问题，但别急，我们一步步来，保证让你觉得有趣又容易理解。

1. 角平分线的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是角平分线。

简而言之，角平分线就是把一个角分成两个相等的角的那条线。

它不仅仅是一个几何概念，在实际生活中也经常出现，比如说画一张对称的纸条的时候，你就是在用角平分线来保证两边对称。

1.1 外角的角平分线三角形的外角角平分线是什么呢？假设你有一个三角形，选一个角，比如说角A。

三角形的外角角平分线就是那条把角A的外角分成两个相等的角的线。

如果你画一条这样的线，它会从角A的外部延伸，穿过对面的边。

1.2 外角角平分线的性质外角角平分线有个很有趣的性质，就是它会与三角形的另外两个角产生一些特别的关系。

这个性质其实就是我们今天的重点：外角角平分线与第三个角的关系。

听起来有点抽象？没事，咱们一步步来解开谜底。

2. 三角形内角与外角的关系了解外角角平分线之前，我们得先知道三角形的内角和外角之间的关系。

每个三角形的内角加起来总是180度。

这是我们都知道的基础知识。

至于外角呢，它是内角的补角，也就是说，外角加上内角的那个边所对的内角总和是180度。

2.1 外角角平分线的角度关系当外角角平分线画出之后，它会将外角分成两个相等的部分。

这个分成的角度有个很重要的特点，就是这两个角的和会等于外角的两倍。

所以，外角角平分线的出现，实际上是在告诉我们一些关于角度的秘密。

2.2 外角角平分线与三角形其他角的关系。

如果我们知道外角角平分线的存在，那么它还会和三角形的其它两个角产生一种非常有趣的关系。

举个例子，假设你有一个三角形ABC，角A是你关心的角，那么角A 的外角角平分线会和角B和角C产生一些非常有趣的比例关系。

具体来说，如果你把角A的外角角平分线向外延伸，那么它会与角B和角C的角度有关联，这种关联会让你对三角形的角有更深入的理解。