(完整版)解析三角形中两条角平分线组成的角

解析三角形中两条角平分线组成的角

当同学们学完三角形的角平分线后，利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法，以便大家在平时的作业时可简便计算。

一、三角形两内角角平分线组成的角：

如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？

解：在△ABC 中

∠A+∠ABC+∠ACB= 180o

又 ∵∠A=n o

∴∠ABC+∠ACB=180o －n o

∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线

∴∠OBC=

2

1∠ABC ∠OCB =2

1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2

1∠ACB =2

1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2

1(180o －n o ) =90o －21 n o

在△BOC 中

∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o

∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB)

=180o －(90o －

21 n o ) =180o －90o +

21 n o =90o +2

1 n o 即：∠BOC=90o +2

1 ∠A 通过上述解题过程不难发现，其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。

二、三角形两外角角平分线组成的角：

如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？

解：在△ABC 中

∠A+∠ABC+∠ACB= 180o

C

又 ∵∠A=n o

∴∠ABC+∠ACB=180o －n o

∵∠ABC+∠CBD=180o

∠ACB+∠BCE=180o

∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB)

=360o －180o +n o

=180o +n o

∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC=

2

1∠CBD ∠OCB =2

1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2

1∠BCE =2

1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2

1(180o +n o ) =90o +21 n o

在△BOC 中

∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o

∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o +

2

1 n o ) =180o －90o －2

1 n o

=90o －2

1 n o

即：∠BOC=90o －21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。

三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角：

如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？

解：∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线

∴∠OBC=2

1∠ABC ∠OCB =2

1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A

E

在△ABC ，△BOC 中

∠A+∠ABC+∠ACB= 180o

∠BCO+∠OCB+∠BOC= 180o

∵∠BCO=∠OCB +∠ACB

∠OBC=

2

1∠ABC ∠OCB =2

1(∠A+∠ABC) ∴∠OCB +∠ACB+2

1∠ABC +∠BOC= 180o ∴21∠A+21∠ABC+∠ACB+2

1∠ABC +∠BOC= 180o ∴2

1∠A+∠ABC+∠ACB+ +∠BOC= 180o ∴∠A+∠ABC+∠ACB= 2

1∠A+∠ACB+∠ABC +∠BOC ∴∠BOC=21∠A 到此我们可得到三角形一外角角平分和一内角角平分所组成的角为第三角的一半。 当然三角形的角平分线组成的角还有好多种情况，这需要同学们在以后的学习中自我总结，归纳得出新的规律。