《勾股定理》重难点妙招设计单解析
勾股定理教案范本 勾股定理教案教学方法优秀6篇
勾股定理教案范本勾股定理教案教学方法优秀6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、心得体会、策划方案、合同协议、条据文书、竞聘演讲、心得体会、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, insights, planning plans, contract agreements, documentary evidence, competitive speeches, insights, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!勾股定理教案范本勾股定理教案教学方法优秀6篇作为一位优秀的人·民教师，常常需要准备教学设计，借助教学设计可以促进我们快速成长，使教学工作更加科学化。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 勾股定理重难点大视野(解析版)
专题勾股定理重难点大视野Part 1 基本概念1. 什么是勾股定理？2. 什么是原命题？逆命题？怎么将一个命题改成它的逆命题？3. 勾股定理的逆定理内容4. 什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？柏拉图提出了哪一对勾股数公式？★5. 勾股定理的证明据说，中世纪时数学系硕士研究生必须提出一种勾股定理的新证明方法才能毕业，足见其重要性，这是几何学上的第一朵“奇葩”！需要掌握住以下几个常见证法：【核心：面积法】（1）毕达哥拉斯证法（2）赵爽弦图证法（3）美国总统证法（4）（了解）欧几里得证法【注：我们现在所学几何为欧式几何，就是根据欧几里得所编著的《几何原本》所提炼而得，作为他的学生，他的论述过程还是要了解的！】6. 勾股定理逆定理是怎么证明的？7. 怎么用勾股定理解释“HL判定定理（SSA）”？Part 2 基本结论及思路1. 含特殊角（30°、45°、60°等）的三角形三边关系及面积a =0.5c c =2ab =3a a =3b a = 22c c = 2 aS =23a （含a 的代数式表示） S =234a （含a 的代数式表示）a =33c c =3 a 2. 遇到特殊角时，将特殊角放在直角三角形中求解，常见辅助线是作出垂线。
Part 3 勾股定理应用1. 勾股数2. 用「尺规」的线段或点。
3. 格点三角形的面积；格点三角形各边的长度及各边上高的求法；平面直角坐标系中一点到一条直线距离的求法。
先求★ABC的面积，再求线段AB的长，利用面积法求解。
【例题精讲】题型一、图形求值问题例1. 【2019·株洲市期末】已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8 m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD 的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10 m时，△ABD的周长为______；（2）在图2中，当BA=BD=10 m时，△ABD的周长为______；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案】（1）32m；（2）20+4√5m；（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8 m，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC=√AD2−AC2=6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32 m；（2）当BA=BD=10m时，则DC=BD-BC=10-6=4，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=√AC2+DC2=4√5，则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4√5+10=（20+4√5）m；故答案为：（20+4√5）m；（3）设DC=x，则AD=6+x，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得：x=73，由（2）知AB=10，△ABD的周长为：AD+BD+AB=803（m）．例2. 【2018·北师大附中期中】如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A. B. C. D.【答案】B．【解析】解：延长CH交FE的延长线于M，过C作CN★EF于N，则CN=BE=AD=8，易证★CHG★★EHM，★NF=CG=EM=BC－BG=8-6=2，★MN=NE+ME=10，在Rt★AMN中，由勾股定理得：CM★CH =12CM 故答案为：B .例3. 【2019·厦门市期中】如图，边长为a 的正方形ABCD ，点M 是正方形内部一点，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，★BCM 是等边三角形，则★MNC 的面积为【答案】14a 2． 【解析】解：过M 作MG ★BC 于G ，MH ★CD 于H ，则BG =CG ，AB ★MG ★CD ，★AM =MN ，★MH ★CD ，★D =90°，★MH ★AD ，NH =DH ，★★MBC 是等边三角形，★MC =BC =aMH =12a ，CH =2a ，DH =a -2a ，★CN =CH -NH =)1a ，★MNC 的面积为：12×12a ×)1a 2故答案为：14a 2. 例4. 【2019·汕头市期末】如图，直线y ＝﹣x +2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若★OBC 和★OAD 的周长相等，则OD 的长是（ ）A．2B．C D．4【答案】B．【解析】解：★直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A，B，★OA＝OB＝2．在Rt★BOA中，利用勾股定理求得：AB＝．★OBC周长＝2+BC+OC，★OAD周长＝2+OD+AD，★★OBC和★OAD的周长相等，★BC+OC＝OD+AD．★OD的垂直平分线交线段AB于点C，★OC＝CD，OC＝CA+AD．★BC+CA+AD＝OD+AD，即BC+CA＝OD，BA＝OD．★OD＝．故答案为：B．题型二、实际应用问题例1. 【2019·惠州市期末】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，★QON＝30°.公路PQ上A处距离O 点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，如果A处受噪音影响，求影响的时间.【答案】见解析.【解析】解：过点A作AC★ON于C，以A为圆心，以200为半径画弧，交MN于点B、D，则AB=AD=200，★★QON=30°，OA=240，★AC=120，火车到达B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200，AC=120，由勾股定理得：BC=160，CD=160，BD=320，★72 千米/小时=20米/秒，★影响的时间为：320÷20=16秒.例 2. 【2019·厦门六中月考】一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处这段，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高为（）A.7mB.8mC.5mD.10m【答案】B.【解析】解：如图：．在RtΔABC中，AB=3米，BC=4米，由勾股定理，得：AC=√AB2+BC2=5米.★AC+AB=3+5=8米，即大树折断之前有8米高．故答案为：B．题型三、易错问题例1. 【2019·宜城市期末】已知菱形ABCD的边长为4，★B=120°，如果点P是菱形内一点，且P A=PC=√13，那么BP的长为______．【答案】3或1.【解析】解：如图，★菱形ABCD的边长为4，★B=120°，★★ABP=12★ABC=60°，AC★BD，AO=CO，BO=DO，AB=BC=4，★BO=12AB=2，AO=√3BO=2√3，★P A=PC=√13，★点P在AC的垂直平分线上，★PO=√AP2−AO2=1当点P与点D在AC同侧时，BP=OB+OP=3当点P与点D在AC异侧时，BP=OB-OP=1故答案为：3或1.例2. 【2019·阜阳市联考期中】在★ABC中，已知AC=10cm，BC，AB边上的高CD=6cm，则AB=______．【答案】11cm或5cm.【解析】解：（1）如图，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=8，在Rt★BCD中，由勾股定理得：BD=3，★AB=AD+BD=11（cm），（2）如图，AB=AD-BD=5（cm），则AB=11cm或5cm，故答案为：11cm或5cm．【刻意练习】1. 【2019·禹城市期末】如图，已知OP平分★AOB，★AOB＝60°，CP＝2，CP★OA，PD★OA于点D，PE★OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B C D．【答案】C．【解析】解：★OP平分★AOB，★AOB＝60°，★★AOP＝★COP＝30°，★CP★OA，★★COP ＝★CPO ，★OC ＝CP ＝2，★★PCE ＝★AOB ＝60°，PE ★OB ，★★CPE ＝30°，★CE ＝12CP ＝1，由勾股定理得：PE★OP ＝2PE ＝★PD ★OA ，点M 是OP 的中点，★DM ＝12OP 故答案为：C ．2.【2019·高密市期末】如图，等边★AOB 中，点B 在x 轴正半轴上，点A 坐标为（1，将★AOB 绕点O 顺时针旋转15°，此时点A 对应点A ′的坐标是 ．【答案】）．【解析】解：过点A 作AE ★OB 于E ，过点A ’作A ′H ★OB 于H ．★A （1，★OE ＝1，AE由勾股定理得：OA ＝2，★★OAB 是等边三角形，★★AOA′＝15°，★★A′OH＝60°﹣15°＝45°，★OA′＝OA＝2，A′H★OH，★A′H＝OH，故答案为：）．3. 【2018·容县期末】把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．3+【答案】A．【解析】解：连接BC′，由题意得：B在对角线AC′上，★B′C′＝AB′＝3，在Rt★AB′C′中，AC′＝，★BC′＝﹣3，在等腰Rt★OBC′中，OB＝BC′＝3，在直角三角形OBC′中，OC′（﹣3）＝6﹣，★OD′＝3﹣OC′＝3，★四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+﹣3+﹣3＝故答案为：A．4. 【2019·株洲市期末】如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是______．【答案】20厘米.【解析】如图，解：由翻折知，★HEM=★AEH，★BEF=★FEM，★HEF=★HEM+★FEM=90°，★EHG=★HGF=★EFG=90°，★四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，在Rt★EFH中，由勾股定理，得：HF=√EH2+EF2=√122+162=20，即AD=20厘米．故答案为：20厘米．5. 【2019·成都市期末】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是______．【解析】解：★四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，★★ACD =45°，★FCG =45°，AC BC CF CE ，★★ACF =45°+45°=90°，在Rt ★ACF 中，由勾股定理得：AF =√AC 2+CF 2=2，★H 是AF 的中点，★CH =12AF6. 【2019·孝感市期末】如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH =6cm ，GH =8cm ，则边AB 的长是______．【答案】485cm . 【解析】如图所示，解：★★HEM =★HEB ，★GEF =★CEF ，★★HEF =★HEM +★GEF =12★BEG +12GEC =12×180°=90°， 同理可得：★EHG =★HGF =★EFG =90°，★四边形EFGH 为矩形，★EH =6cm ，GH =8cm ，由勾股定理，得：GE =10，由折叠可知，HM ★GE ，AH =HM ，BH =HM ，HM×GE=EH×GH，★HM=24 5★AB=BH+AH=2HM=48 5.故答案为485cm．7. 【2019·澧县期中】如图是“赵爽弦图”，★ABH、★BCG、★CDF和★DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．【答案】6.【解析】解：由题意得：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为：100﹣4＝96，设AE=a，DE=b，4×12ab＝96，★2ab＝96，a2+b2＝100，★（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，★a+b＝14，或a+b=-14（舍），★a﹣b＝2，可得：a＝8，b＝6，★AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．8. 【2019·阜阳市联考期中】公元3世纪，我国数学家赵爽在《周牌算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2=32．则小正方形的面积为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B.【解析】解：如图所示：★（a+b）2=32，★a2+2ab+b2=32，★大正方形的面积为20，2ab=32-20=12，★小正方形的面积为20-12=8．故答案为：B．9. 【2019·阳江市期中】如图，在★ABC中，★A=45°，★B=30°，CD★AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（）A.√2B.2C.√3D.3【答案】C.【解析】解：在★ABC中，★A=45°，CD★AB，★★ACD是等腰直角三角形，★CD=AD=1，★★B=30°，在Rt★BCD中，BC=2CD=2，★BD=√BC2−CD2=√3，故答案为：C．10.【2019·武汉市期末】如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF 的最小值等于______．【答案】√2.【解析】解：过点P作MN★AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示，★四边形ABCD为正方形，★MN★AB，★PM≤PE（当PE★AB时取等号），PN≤PF（当PF★BC时取等号），★MN=AD=PM+PN≤PE+PF，★正方形ABCD的面积是2，★AD=√2．故答案为：√2．11. 【2019·乐亭县期末】将等边三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2，现将该三角形绕点C按顺时针方向旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为（）A.（1+√3，1）B.（-1，1-√3）C.（-1，√3-1）D.（2，√3）【答案】A.【解析】解：如图，由题意知，A′C与x轴的夹角为30°，过点A′作AD★x轴，则CD=OA=√3，A′D=1，★OD=1+√3，即A′（1+√3，1）．故答案为：A．12. 【2019·汕头市期中】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A.36B.4.5πC.9πD.18π【答案】B.【解析】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，★DE=10，EF=8，由勾股定理得，DF=√DE2−EF2=6，半圆C的面积为：12×π×32=4.5π，故答案为：B．13. 【2019·广州市番禺区期末】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（）A.2B.√5−1C.√10−1D.√5【答案】C.【解析】解：由题意得，AC=√AB2+BC2=√AD2+DC2=√10，AM=√10，BM=AM-AB=√10-3，★点B的表示的数为2，★点M表示的数为√10−1．故答案为：C．14. 【2019·厦门六中月考】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ΔABE沿直线BE折叠后得到ΔGBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC FD的长为【答案】4．【解析】解：★E是AD的中点★AE=DE由折叠性质得：AE=EG，AB=BG★ED=EG★在矩形ABCD中★★A=★D=90°★★EGF=90°★在RtΔEDF和RtΔEGF中，ED=EG，EF=EF★RtΔEDF★RtΔEGF(HL)★DF=FG设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x在RtΔBCF中，由勾股定理得：(()()222x x+-=+，66解得：x=4，故答案为：4．15. 【2019·广州市番禺区期末】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：★x2+y2=49，★x-y=2，★2xy+4=49，★x+y=9．其中说法正确的是（）A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★【答案】B.【解析】解：由题意得：x2+y2=49★；（x-y）2=4★，★-★得：2xy=45★，★2xy+4=49，★+★得：x2+2xy+y2=94，★（x+y）2=94，★★★★正确，★错误．故答案为：B．16. 【2018·辽阳市期末】如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将★ABC绕点A逆时针旋转15°后得到★AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中★AHC′的面积等于（）A．12﹣6B．14﹣6C．18﹣6D．18+6【答案】C ．【解析】解：在Rt ★ABC 中，由勾股定理得：AC 2＝62+62，★AC ＝6；由旋转得：★CAC ’＝15°，★★B ’AH ＝45°﹣15°＝30°；★B ’H ＝★S ★AB ’H ＝S ★AHC ’＝18﹣故答案为：C ．17. 【2019·宜昌市期中】如图所示，A ，0）、B （0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且满足2S △ABP =S △ABC ，则a 的值为（ ）A ．74BCD ．2【答案】C ．【解答】解：由题意得：OA OB =1，由勾股定理得：AB =2，★★ABC 是等边三角形，★S ★ABC =4×AB 2 过点P 作PD ★x 轴于D ，S ★ABP =S ★ABO +S 梯形BODP -S ★APD=121+（1+a ）×3×12-12×（）×a解得：a故答案为：C .18. 【2018·莆田市期中】如图，点P 是平面坐标系中一点，则点P 到原点的距离是（ ）A . 3B . √2C . √7D . √53【答案】A .【解析】解：连接PO ，★点P 的坐标是（2，7），★点P 到原点的距离=()()2227+=3．故答案为：A ．19. 【2019·固始县期末】一阵大风把一根高为9m 的树在离地4m 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗？为什么？【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C 作CE ★AB 于点E★BE=3在Rt★BCE中，由勾股定理得：BC2=BE2+EC2=32+3.92=24.21树高为9 m，因为52=25＞24.21，所以小马有危险.20. 【2019·黄石期中】在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100√2米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，计算结果保留两位小数）【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C作CD★AB于点D，★在Rt★ADC中，★ACD=45°，AC=100√2，★CD=AC=100，2AD=CD=100．在Rt★CDB中，★BCD=60°，★BD=√3CD=100√3．★AB=AD+BD=100+100√3=100（√3+1）≈273．小轿车的速度为：273÷13=21（米/秒）=75.6千米/小时．该路段限速为60千米/时<75.6千米/小时★这辆小轿车超速了．21. 【2019·北京101中学期末】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分★BED．（1）★BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；（2）若AB=2，★DCE=22.5°，求BC长．【答案】见解析.【解析】解：（1）★BEC是等腰三角形；理由如下：★四边形ABCD是矩形，★AD★BC，★★DEC=★BCE，★EC平分★DEB，★★DEC=★BEC，★★BEC=★ECB，★BE=BC，即★BEC是等腰三角形．（2）★四边形ABCD是矩形，★★A=★D=90°，★★DCE=22.5°，★★DEB=135°，★★AEB=180°-★DEB=45°，★★ABE=★AEB=45°，由勾股定理得：BC=BE=22. 【2019·黄石市期中】如图在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的结果精确到0.1米. 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】见解析.【解析】解：★在Rt★ABC中，★CAB=90°，BC=13 ，AC=5 ，由勾股定理得：AB=√132−52=12 ，由题意得：CD=13-0.5×6=10，★AD=√CD2−AC2=√102−52=5√3，★BD=AB-AD=12-5√3≈3.3.即船向岸边移动了大约3.3m．。
勾股定理知识要点及重点题型
勾股定理知识要点及重点题型一、知识梳理（一）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
1．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
（Ⅰ）ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。
(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。
∴222c b a =+∴222b a c +=.2.勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=。
3.勾股定理的面积表示法（如右图） 4．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理解决实际问题。
（3）用于证明平方关系的问题。
（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
1.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组如：3，4,5；6,8,10；···若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先求出最大边（如c ）；②验证2c 与22b a +是否具有相等关系。
若222b ac +=，则△ABC 是以∠C ＝90°的直角三角形； 若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； 若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
二、重难点突破1、重点：（1）勾股定理的性质和判定。
勾股定理教案(精选3篇)
勾股定理教案（精选3篇）勾股定理教案（精选3篇）作为一位无私奉献的人民教师，有必要进行细致的教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
怎样写教案才更能起到其作用呢？以下是大熊猫壹号书店整理的勾股定理教案（精选3篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
勾股定理教案1学习目标1、通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2、探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数型结合的思想。
重点难点或学习建议学习重点：用面积的方法说明勾股定理的正确。
学习难点：勾股定理的应用。
学习过程教师二次备课栏自学准备与知识导学：这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。
邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。
学习交流与问题研讨：1、探索问题：分别以图中的直角三角形三边为边向三角形外作正方形，小方格的面积看做1，求这三个正方形的面积？S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=发现：2、实验在下面的方格纸上，任意画几个顶点都在格点上的三角形；并分别以这个三角形的各边为一边向三角形外做正方形并计算出正方形的面积。
请完成下表：S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的关系1121454162091625发现：如何用直角三角形的三边长来表示这个结论？这个结论就是我们今天要学习的勾股定理：如图：我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”，所以勾股定理可表示为：弦股还可以表示为：或勾练习检测与拓展延伸：练习1、求下列直角三角形中未知边的长练习2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
（注：下列各图中的三角形均为直角三角形）例1、如图，在四边形中，∠，∠，，求。
检测：1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
初中数学《勾股定理》详细教案设计
【教案设计】一、教学目标：1、掌握勾股定理的概念和基本应用方法；2、能够运用勾股定理解决有关直角三角形问题；3、培养学生的观察能力和解决问题的能力。
二、教学重难点：1、勾股定理的概念和基本应用方法；2、如何使用勾股定理解决有关直角三角形问题。
三、教学过程：1、前置技能讲解由于学习前置技能的重要性，需要在正式的教学开始前，要对学生们进行一番前置技能讲解。
重点包括三个方面：（1）了解三角形的基本概念学生需要了解在三角形中，线段是连接两个点的，边是线段围成的，角是由两个边相交而成的，而三角形则是由三条边相交而成的。
学生们需要对这些基本概念有着十分清晰的认知，才能够更好的理解勾股定理。
（2）认识三角形的类型学生们需要认识到将三角形按照角度划分的分类方式，主要是锐角三角形、等腰三角形和直角三角形。
在这其中，直角三角形才是勾股定理所要研究的重点类别。
（3）直角三角形的概念学生们还需要了解到直角三角形的特点，即其中一角度为90度，同时两条边的长度不同，其中一边长被称作斜边，两条边分别被称作直角边。
2、勾股定理的讲授由于勾股定理的公式较为简单，需要通过实际的教学过程来演示也是非常必要的，具体过程如下：（1）介绍勾股定理的定义时，需要向学生们明确介绍勾股定理的概念及其应用范围。
勾股定理的定义是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
有趣的是，这个定理的名称来源是中国的先秦时期的一位数学家，他的名字叫做“张丘建”。
而在西方，则是荷兰人皮拉古拉斯在17世纪提出了这个公式。
（2）勾股定理公式的应用通过完成一些勾股定理的演示题目，能够让学生们更好的理解勾股定理，从而更好的运用这个公式。
在演示之前，可以先对勾股定理的公式进行一些推导，让学生们能够自己动手杜撰这个公式。
下面是几个具体的演示题目:1) 请问以下的三角形是否是直角三角形？2) 如果以下的三角形是直角三角形，请根据勾股定理计算斜边的长度多少?3) 显然这是一个勾股定理的演示例子3、巩固和拓展当学生们通过上述的演示题目理解了勾股定理的公式之后，可以通过以下几个方面来巩固和扩展学生们对这个内容的认知：（1）给予一些在生活中有参考价值的实际例子，例如我们如何通过勾股定理来计算所需的建筑材料数量，如砖块和木板等等；（2）提供一些有关于勾股定理的延伸内容，例如勾股定理理论的起源和发展，以及如何通过图形的方式更好的理解这个定理的数学公式。
勾股定理重难点妙招设计单修订版
勾股定理重难点妙招设计单集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]《勾股定理》(一)重难点解决妙招设计单一、教材分析（一）教材的地位与作用勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、了解勾股定理的内容。
3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
数学思考：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
解决问题：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。
情感与态度：1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
（三）教学重、难点重点：探索和证明勾股定理难点：用拼图方法证明勾股定理二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学策略本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
四、教学程序（一）、时间安排1、创设情境导入新课————————————————— 1分钟快速吸引学生注意力，使学生恢复上课状态2、新知探究———————————————————— 7分钟通过问题引领，观察思考，使学生真正进入思维过程3、深入探究交流归纳————————————————— 10分钟加深问题，层层深入，探究一般规律4、拼图验证加深理解————————————————— 15分钟动手操作，加以验证，演绎推理，全面认识勾股定理，形成技能5、应用新知解决问题————————————————— 6分钟灵活运用，检验认知水平6、回顾小结整体感知————————————————— 5分钟知识条理化，反思收获，加深认识7、布置作业巩固加深————————————————— 1分钟明确任务（二）板书设计设计意图：强化过程、突出重点。
勾股定理的重难点解析
3.16勾股定理/教学目标1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明．2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．教学重点与难点重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．教学过程设计一、激发兴趣引入课题通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．二、勾股定理的探索，证明过程及命名1．猜想结论．勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.教师用计算机演示：（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c，∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等．（2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证．2．证明猜想．目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明．3．勾股定理的命名．我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？（1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载；（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．三、勾股定理的应用1．已知直角三角形任两边求第三边．例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．（1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；（2）a＝40，c ＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b．说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题．教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）．例2求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）．教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影．练习 1投影显示：（1）在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:BC:AB＝__________；（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则BC:AC:AB ＝___________；若AB＝8,则AC＝_____________；又若CD⊥AB，则CD=______________.（3）等边出△ABC的边长为 a，则高AD＝__________，S △ABC＝______________说明：（1）学会利用方程的思想来解决问题．（2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论：①等腰直角三角形三边比为1:1:；②含30°角的直角三角形三边之比为1::2；③边长为a的等边三角形的高为a，面积为（板书）例 3 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝90°．求 BD的长．分析：（1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和Rt△ADC；（2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高；（3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系，通过列方程来解决．教师板书详细过程．解: 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2．∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.2．利用勾股定理作图．例4 作长为的线段．说明：按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长．3．利用勾股定理证明．例5 如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC.求证：AC2-BC2=AD2-BD2=AB（AD-BD）．分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理．Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2；Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2．（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：AC2-BC2=（AD2+CD2）-（CD2+BD2）=AD2-BD2＝（AD+BD）（AD-BD）＝AB（AD-BD）．例6 已知：如图3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点，DE⊥AB于E，求证：AC2=AE2-BE2．分析：添加辅助线———连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明．4．供选用例题．（1）如图3-157，在Rt△ABC中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面积．提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC内作∠ABE=15°，交CA边于E．（2）如图3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求AC 边的长．分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题．（3）如图3-159（a），在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD．提示：添加辅助线——延长BA，CD交于E，构造30°角的Rt△EAD,Rt △EBC.利用它们的性质来解决问题（见图3-159（b））.或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题．（见图3-159（c））答案：AB=23-2，CD=4-3．（4）已知：3-160（a）,矩形ABCD．（四个角是直角）①Ｐ为矩形内一点，求证PA２＋ PC2＝ PB2＋ PD2②探索P运动到AD边上（图3－160（b））、矩形ABCD外(图3－160（C）)时，结论是否仍然成立．分析：（1）添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F．在四个直角三角形中分别使用勾股定理．（2）可将三个题归纳成一个命题如下：矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等．四、师生共同回忆小结1．勾股定理的内容及证明方法．2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为90°）转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理．五、作业1．课本第106页第2～8题．2．阅读课本第109页的读一读：勾股定理的证明．课堂教学设计说明本教学设计需2课时完成．1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．2．各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课．（1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边．（2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？（3）举出三个事例（见图3－161（a）（b）（ c））．对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方．（4）用教具演示图3－151，验证对直角三角形所做的猜想．。
勾股定理重难点解决妙招
勾股定理重难点解决妙招：
重点：勾股定理的证明及应用
难点：应用能力
以前求线段的长度有全等法，等边对等角。
而今引入勾股定理来解决求线段长的问题，是生活的需要，它的由来是学生求知的兴趣点，所以克服“证明”的难点就由毕达哥拉斯的故事来引入，从而知识的学习成为了学生主动地参与，并且不仅只有一种证明方法，美国的总统也能证明勾股定理，从而挑战新的证明方法是学生比较有兴趣的。
当然多种方法的得来可以对学生进行课前布置，查查资料丰富自己的视野。
这样课上效果就更好了。
第一阶段的难点克服后，“应用”难点的解决首要的是联系感知应用价值，在经历一段时间的训练后，再用口诀强化，效果会很明显。
口诀的总结很关键，具体如下：直角三角形，数形结合最重要，由直角定斜边，思维定式先不要。
求斜边根号下平方和，求直边根号下平方差（因式分解挺巧妙）；不知求斜还是直，分类讨论要用到!
有了以上的技巧与方法指导，我想学生在理解与应用勾股定理解决时就不会茫然，剩下的事就是熟能生巧了！。
重难点妙招设计单模板
每个学生准备一个木条订制三角板，根据老师的示范进行分组讨论练习。
练习：一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米．
重难点妙招设计单参考模板
妙招名称
勾股定理巧应用
妙招针对的重难点问题
学段
学科教材版本章节来自针对的重难点问题名称
初中
数学
北师大版
第一章
勾股定理实际应用
背景介绍
学生在利用勾股定理解决实际问题的时候审题不清，计算出错。
妙招描述
准备三块木条订制一个直角三角形，三边标上字母。
实施过程
将直角三角形平放桌面，根据审题的已知数字，标在相应的位置上，然后根据勾股定理进行计算。
《勾股定理》重难点创新教学方法
《勾股定理》重难点创新教学方法一、设计说明本节课选自上海科学技术出版社数学八年级下册第18章第一节“勾股定理”的内容，本节课揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，由形的特征转化为数量之间的关系，架起了几何与代数之间的桥梁，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，有着广泛的应用，同时又是对同学们进行爱国主义教育的良好素材。
二、教学重难点教学重点：探索和证明勾股定理教学难点：用拼图方法证明勾股定理三、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
四、重难点教学策略本节课采用动手实践，发现探究式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
五、重难点创新教学方法（一）主动探究 动手实践----锻炼学生的动手能力如果直接根据赵爽弦图直接进行勾股定理的探究，势必显得有些生硬刻板，学生也难以接受。
基于以上教学铺垫，学生对勾股定理有了初步的感知，为了帮助学生进一步探索勾股定理，设计了如下的教学实践活动。
实验材料准备：用硬纸板剪4个大小相同的直角三角形，并在分别标记两条直角边分别为a 和b ，斜边为c 。
一张大白纸。
实验要求：在大白纸上画出一个边长为a b 的大正方形。
在大正方形内部摆放4个直角三角形硬纸板。
实验过程：画出你的设计方案。
以小组为单位交流讨论，展示自己本组的设计方案。
此时，学生已经跃跃欲试，不一会功夫，一幅幅漂亮的图案便呈现在眼前。
图4图2图3图1a（二）面积搭桥 猜想证明----培养学生的思维能力师：你们的设计方案太精美了，你能计算出空白处的面积吗？ 生1：我们研究的是图1，空白处的面积是2c 。
勾股定理 相关概念难点及答案解析
1. 勾股定理
1.1 勾股定理的概念
直角三角形两直角边 a、b 的
等于斜边 c 的
。（即：2
2
【答案】
平方和;平方
1.2 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是
的方法；
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
① 图形进过
后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
② 根据同一种图形的
不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法三：S
梯形
2
，
梯形
2∆
∆
2
1
2
1 2
，化简
2
A
.
得证
a
c
【答案】
S
正方形 EFGH
S
正方形 ABCD
a2
b2
B
c2 ；2
D
b
E
a
c
拼图；割补拼接；面积；4S∆
B
b
2
C
2
2. 勾股定理的逆定理
2.1 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系
，那么这个三角形是
。
【答案】
2
2
2 ;直角三角形;
2.2 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的
个命题叫做
。如果把其中一个叫做
【答案】
结论；题设；互逆命题；原命题；逆命题。
和
，这样的两
，那么另一个叫做它的
。
2.3 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为
a，b，c 为
常见的勾股数有
，即2
勾股定理重难点妙招设计单修订稿
勾股定理重难点妙招设计单集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]《勾股定理》(一)重难点解决妙招设计单一、教材分析（一）教材的地位与作用勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、了解勾股定理的内容。
3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
数学思考：在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
解决问题：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。
情感与态度：1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
（三）教学重、难点重点：探索和证明勾股定理难点：用拼图方法证明勾股定理二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学策略本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
四、教学程序（一）、时间安排1、创设情境导入新课—————————————————1分钟 快速吸引学生注意力，使学生恢复上课状态2、新知探究————————————————————7分钟 通过问题引领，观察思考，使学生真正进入思维过程3、深入探究交流归纳—————————————————10分钟 加深问题，层层深入，探究一般规律4、拼图验证加深理解—————————————————15分钟 动手操作，加以验证，演绎推理，全面认识勾股定理，形成技能5、应用新知解决问题—————————————————6分钟 灵活运用，检验认知水平6、回顾小结整体感知—————————————————5分钟 知识条理化，反思收获，加深认识7、布置作业巩固加深—————————————————1分钟 明确任务（二）板书设计设计意图：强化过程、突出重点。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题02勾股定理重难点知识(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过一、基础知识点综述知识点1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.3. 勾股数：若三个正整数a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²，则称a ，b ，c 是勾股数. 常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……（1）设n 为正整数，由a =2n +1，b =2n （n +1），c =2n （n +1）+1，可得许多组互质的勾股数； （2）设n 为不小于4的偶数，由a =2n ，b =n 2-1，c = n 2+1，可得许多组互质的勾股数. 4. 含特殊角的三角形的小结论图 形结 论222233312333268c a b a a b S abS a b c=======222221214c a a c S aS c ====【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】323333=4c a a c S a==△2323=4h a S a=△ 5. 勾股定理应用（1n （n 为正整数）的点； （2）平面直角坐标系中点与点之间的距离； （3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高； （4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）； （5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题） 6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）毕达哥拉斯证明方法A BDC A'D'C'赵爽弦图证明法ab c总统证明法ac bb ac【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4刘徽证明法ac b ac b上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程.二、精选题型精讲题1. 基础题型（1）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c =13∶5∶12 B ．a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b +c )(b -c ) D ．a :b :c =8∶16∶17（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）图1-1A ．CD ,EF ,GHB .AB ,EF ,GHC .AB ,CD ,GH D .AB ,CD ,EF（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1+S 2值为图1-2【答案】（1）D ;（2）B ；（3）68.【解析】解：（1）A ：22213512=+，所以A 正确； B ：a 2-b 2=c 2，即a 2 = b 2+c 2，所以B 正确；C：a2=(b+c)(b-c)，即b2 =a2+c2，所以C正确；D：82+162≠172，故D错误.（2）由图可知：AB2=8；CD2=20；EF2=5；GH2=13；∴AB2 +EF2 =GH2故答案为B；（3）如图1-3所示.因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=∠CAD=45°，图1-3因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，即S1=36；如图1-4，图1-4由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，所以AE=CF=EF，因为正方形边长为12，所以AC2，所以EF2,即S2=32，故S1+S2=68.5【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题2. 基础强化探究（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A (8，0)、C （0,1）、D 为OA 的中点，P 是BC 边上一点. 若△POD 为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为图2-1【答案】(3,1)、 (2－3,1)、(2+3,1)；【解析】解：因为D 是OA 的中点，A (8，0)，所以OD =4，①当OD 为底时，P 在线段OD 的垂直平分线上，即P 点横坐标为2， 即P 点坐标为（2,1）；②当OD 为腰时，分别以O 、D 为圆心，以OD 的长为半径画弧，与线段BC 的交点即为P ，如图2-2所示.图2-2∵OP 1=2，OC =1，在Rt △COP 1中，由勾股定理得：CP 13，即P 13,1)； 过D 作DH ⊥BC 与H ， ∵DP 2=OD =2，在Rt △DHP 2中，由勾股定理得：HP 13，即P 2(23,1)； 同理，得P 33【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD 、EFGH 、MNKT 的面积分别为a 、b 、c . 若a +b +c =15，则b=图2-3【答案】5.【解析】解：设八个直角三角形的面积为S ， a =4S +b ，c =b －4S ， ∵a +b +c =15， ∴4S +b +b + b －4S =15， 解得：b =5.（3）如图2-4所示，在矩形ABCD 的对称轴l 上找一点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有个；图2-4【答案】5.【解析】解：因为P 在ABCD 的对称轴上，所以PB =PC ，即△PBC 为等腰三角形（l 与BC 交点除外） 当AB 为底时，P 是AB 的垂直平分线与l 的交点，有一个；当AB 为腰时，分别以A 、B 为圆心以AB 的长为半径画弧，与直线l 的交点有4个，均符合要求 综上，符合条件的P 点有5个. 如下图2-5所示.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8图2-5题3. （1）尺规作图：如图1，请在x 轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，已知点A （4，2），点B 在x 轴上，若∠OAB =90°，试求点B 的坐标；（3）如图3，已知点A （4，2），点P 在x 轴上，若△OAP 为等腰三角形，试求点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图3-4所示，图3-4找到点A (4,2)，连接OA ，由勾股定理得：OA =25以O 为圆心，以OA 的长为半径画弧，交于x 正半轴于点M ，即为所求. （2）如图3-5所示，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9图3-5过A 点作AC ⊥x 轴于C ，设B 点坐标为（m ，0） 则OC =4，CA =2，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AO 2+AB 2=OB 2, 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2 =20,在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AC 2+CB 2=AB 2，即4+（m -4）2=AB 2 ∴20+4+（m -4）2=m 2解得：m =5，即B 点坐标为（5,0）；（3）①以O 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 1，P 2，如图3-6所示，图3-6由（1）知，P 1（25，0），P 2（－25，0）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧，交x 轴于点P 3，如图3-7所示，图3-7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10由对称性可得：P 3（8,0）；③当OA 为底时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4，过A 作AH ⊥x 轴于H ，如图3-8所示，图3-8设P 4坐标为（m ，0），则AP 4=OP 4=m ，HP 4=4－m ，AH =2， 在Rt △AHP 4中，由勾股定理得： m 2=(4－m )2+22，解得：m =52，即P 4（52，0）. 综上所述，△OAP 为等腰三角形时，P 点坐标为（25，0），（－25，0），（8,0），（52，0）. 题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A ,B 两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF 表示楼体, AB =150m , CD =10m , ∠A =30°, ∠B =45°(A ,C ,D ,B 四点在同一直线上).问:(1)楼高多少米?(2)若每层楼按3m 计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.图4-1【答案】见解析.【解析】解：(1)设楼高为x m , 则CF =DE =x ,【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11∵∠A =30°,∠B =45°,∠ACF =∠BDE =90°,∴AF =2CF =2x ,在Rt △ACF 中,根据勾股定理得AC =3x , ∵∠BDE =90°,∠B =45°,∴BD =x ,∴3x +x =150－10,解得x =703－70(m ),即楼高为703－70(m ).(2)x =703－70≈70(1.73－1)=70×0.73=51.1(m )<3×20(m )，∴我支持小华的观点,这楼不到20层.题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m ，在入口的一侧安装了停止杆CD ，其中AE 为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C 恰好与地面接触．此时CA 为0.7m ．在此状态下，若一辆货车高3m ，宽2.5m ，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）图5-1【答案】见解析.【解析】解：在线段AB 之间找一点F ，使BF=2.5 m ，过点F 作GF ⊥AB 交CD 于点G ，如图5-2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12图5-2∵AB=3.2 m ，CA=0.7 m ，BF=2.5 m ，∴CF=AB －BF+CA=1.4 m ，∵∠ECA=60°，∴GF= CA=≈2.38m ，∵2.38<3∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．题6. 如图6-1所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）在△ABC 中，试求出AB 边上的高．【答案】见解析.【解析】解：（1）（5,1）、（1,5）、（7，7）；（2）求得△ABC 的面积为：9－1.5－2－1.5=4，由勾股定理得，线段AB 10，所以AB 45510=.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
勾股定理知识讲解
勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考热点：主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理： １．勾股定理〔重点〕内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
〔难点〕勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形〔22a b +＞2c 〕和钝角三角形〔22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 〔重点〕①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
勾股定理的教学设计及反思
勾股定理的教学设计及反思过程与方法：在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想.．情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；重难点、关键重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用．难点：理解勾股定理的推导过程．【教学过程设计】(一)问题与情景1、你听说过“勾股定理”吗？(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理(2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。
书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。
”这作为勾股定理特例的出现。
2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。
（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？（二）师生行为教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。
针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。
学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。
阐述自己发现的结论。
（三）设计意图①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。
②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。
并通过方法的反思，获得解决问题的经验。
在本次活动中教师用重点关注：①学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。
②给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说唱自己的看法。
勾股定理 教学设计
《勾股定理》教学重点和难点创新
1、教学重点：勾股定理的猜想
2、教学难点：勾股定理的证明
重点创新：
（1）做一做，在纸上任意画一个直角三角形，分别测量它的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与小组同学进行交流.
（2）猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
这样设计的目的：培养学生动手的能力，也能培养学生的大胆猜想和独立思考的能力。
难点创新：
怎样用我们学过的知识来证明勾股定理呢？
方法一：
“割”
分割为四个直角三角形和一个小正方形
方法二：
“补”
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
方法三：
“拼”
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
这样设计的目的：通过学生动手设计来证明勾股定理，加深了学生对勾股定理的理解，也培养了学生一题多解的数学思路，深刻理解数形结合的数学思想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《勾股定理》(一)重难点解决妙招设计单
一、教材分析
（一）教材的地位与作用
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标
知识与技能：
1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、了解勾股定理的内容。
3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
数学思考：
在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
解决问题：
1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。
情感与态度：
1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，
激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作
意识和探索精神。
（三）教学重、难点
重点：探索和证明勾股定理
难点：用拼图方法证明勾股定理
二、学情分析
学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学策略
本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
四、教学程序
教学环节教学内容活动和意图
创设情境导入新课
教师引导学生观察教材第70页24届国际数
学家大会的会徽，并出示自制教具（赵爽弦图），
观察它们的联系，提出问题，数学家大会为什么用
它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？
[设计意图]这样的引
入可唤起学生的好奇心和
求知欲，激发学生对勾股定
理的兴趣，从而较自然的引
入课题。
新知探究
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在
2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用
地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种
数量关系。
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看
看能发现些什么？
地面图18.1-1
（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C
面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三
通过讲述故事来进一步
激发学生学习兴趣，使学生
在不知不觉中进入学习的
最佳状态。
“问题是思维的起点”，通
过层层设问，引导学生发现
新知。
五、几点说明
（一）、时间安排
1、创设情境导入新课—————————————————1分钟
快速吸引学生注意力，使学生恢复上课状态
2、新知探究————————————————————7分钟
通过问题引领，观察思考，使学生真正进入思维过程
3、深入探究交流归纳—————————————————10分钟
加深问题，层层深入，探究一般规律
4、拼图验证加深理解—————————————————15分钟
动手操作，加以验证，演绎推理，全面认识勾股定理，形成技能5、应用新知解决问题—————————————————6分钟
灵活运用，检验认知水平
6、回顾小结整体感知—————————————————5分钟
知识条理化，反思收获，加深认识
7、布置作业巩固加深—————————————————1分钟
明确任务
（二）板书设计
设计意图：强化过程、突出重点。
（三）教学评价
过程性评价：
1、关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考，
能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；
2、关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。
知识性评价：
1、掌握勾股定理内容及证明，体会数形结合的思想
2、熟练运用勾股定理解决实际问题，内化知识形成技巧
学生评价：
教师不是知识的占有者，也不是课堂上的主宰者，而是学习共同体的一员，在教学过程中难免会出现一些问题。
例如：学生对数学活动的兴趣，参与的热情不均衡；
学生动手操能力有差别；
学生在小组活动中能否敢于讲出自己的探索，猜想过程及结果等。
学生在学习新知的过程中可能出现的典型错误主要是把定理中两直角边的平方和错误的理解成和的平方。
自我评价：
本节课在教学过程中设计的一系列的教学环节，充分体现了新课改的理念。
“数因形而直观，形因数而入微”数形结合，由特殊到一般，突出重点，突破难点，抓住关键，课堂练习及时反馈，正确评价等等这一系列的教学环节的设计对培养学生思维和创新意识都起了非常重要的作用。
在教学过程中，我始终：
坚持一个原则——教为主导，学为主体的原则
坚守一个理念——先学后教，以学定教的理念
贯穿一个思想——享受数学，快乐学习的思想
在教学过程中，我重点关注学生的参与程度、思维方式、合作交流等情况，及时记录学生的独特想法，同时向学生渗透数学思想，改进学生的学习方式。
促使学生在学习过程中不断获得成功的体验。