2013南京市、盐城市高三三模数学试卷
2013年江苏省五市高考数学三模试卷(南通、泰州、扬州、连云港、淮安)
2013年江苏省五市高考数学三模试卷（南通、泰州、扬州、连云港、淮安）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，则A∪B= ．【答案】(-2，2)【解析】试题分析：已知集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，根据并集的定义进行求解．∵集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，A∪B=(-2，2)，故答案为：(-2，2)．2.设复数z满足(3+4i)z+5=0(i是虚数单位)，则复数z的模为．【答案】1【解析】试题分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可．因为复数z满足(3+4i)z+5=0，所以(3+4i)z=-5，两边求模可得：|(3+4i)||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．【答案】2400【解析】试题分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．经过第一次循环得到结果为s=400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=2×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=3×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=4×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=5×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=6×400，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出2400．故答案为：2400．4.“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的条件．【答案】必要不充分【解析】试题分析：当M＞N时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2M＞log2N，即前者不一定推出后者；当log2M＞log2N时，根据对数函数的单调性知有M＞N，即后者可以推出前者，得到结论．∵当M＞N时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2M＞log2N，即前者不一定推出后者；当log2M＞log2N时，根据对数函数的单调性知有M＞N，即后者可以推出前者，∴“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分5.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为．【答案】15【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15．故答案为：15．6.在平面直角坐标系x O y中，抛物线x2=2py(p＞0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为．【答案】4【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，∴纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4．抛物线焦点(0，2)，准线方程为y=-2，∴焦点到准线的距离为：4．故答案为：4．7.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为．【答案】【解析】试题分析：所有的取法共有=36种方法，用列举法求得其中，满足条件的取法共有三种方法，由此求得所求事件的概率．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数a和b，所有的取法共有=36种方法，其中，满足个数恰是另一个数的3倍的取法有1和3，2和6，3和9，共三种方法，故其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为=，故答案为．8.在平面直角坐标系x O y中，设点P为圆C：(x-1)2+y2=4上的任意一点，点Q(2a，a-3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为．【答案】【解析】试题分析：根据点Q的坐标可得点Q在直线x-2y-6=0上，求出圆心(1，0)到直线x-2y-6=0的距离，再将此距离减去半径，即得所求．设点Q(x，y)，则x=2a，y=a-3，∴x-2y-6=0，故点Q在直线x-2y-6=0上．由于圆心(1，0)到直线x-2y-6=0的距离为d==，故则线段PQ长度的最小值为-2，故答案为-2．9.函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2013)的值为．【答案】【解析】试题分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，球的函数的解析式，再利用诱导公式求得f(2013)的值为．由函数的图象可得A=5，周期T==11-(-1)=12，∴ω=．再由五点法作图可得(-1)+φ=0，∴φ=，故函数f(x)=5sin(x+)．故f(2013)=5sin(+)=5sin=5sin(336π-)=5sin(-)=-5sin=，故答案为．10.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2-a1=1．当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n= ．【答案】2n-1【解析】试题分析：设出等比数列的公比，代入a2-a1=1后求出首项和公比的关系，把a3用公比表示，利用二次函数求最值求出使a3最小的q的值，则通项公式可求．设等比数列的公比为q(q＞0)，由a2-a1=1，得a1(q-1)=1，所以．=(q＞0)，而，当q=2时有最大值，所以当q=2时a3有最小值4．此时．所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1．故答案为2n-1．11.已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．【答案】【解析】试题分析：由f(x)是偶函数可得x＞0时恒有f(-x)=f(x)，根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到f(x)，令t=f(x)，可解得A，B，C三点的横坐标，根据AB=BC可列关于t的方程，解出即可．因为f(x)是偶函数，所以x＞0时恒有f(-x)=f(x)，即x2-bx+c=ax2-2x-1，所以(a-1)x2+(b-2)x-c-1=0，所以，解得a=1，b=2，c=-1，所以f(x)=，由t=x2+2x-1，即x2+2x-1-t=0，解得x=-1±，故x A=-1-，x B=-1+，由t=x2-2x-1，即x2-2x-1-t=0，解得x=1±，故x C=1-，因为AB=BC，所以x B-x A=x C-x B，即2=2-2，解得t=-，故答案为：-．12.过点P(-1，0)作曲线C：y=e x的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第n+1(n∈N)个切点T n+1．则点T n+1的坐标为．【答案】(n，e n)【解析】试题分析：设T1(x1，)，可得切线方程代入点P坐标，可解得x1=0，即T1(0，1)，可得H1(0，0)，在写切线方程代入点H1(0，0)，可得T2(1，e)，H2(1，0)，…由此可得推得规律，从而可得结论．设T1(x1，)，此处的导数值为，故切线方程为y-=(x-x1)，代入点P(-1，0)可得0-=(-1-x1)，解得x1=0，即T1(0，1)，H1(0，0)，同理可得过点H1再作曲线C的切线方程为y-=(x-x2)，代入点H1(0，0)，可得0-=(0-x2)，可解得x2=1，故T2(1，e)，H2(1，0)，…依次下去，可得T n+1的坐标为(n，e n)故答案为：(n，e n)13.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，，CD=．若，则的值为．【答案】13【解析】试题分析：由题意求得，=①，=②，把①、②相加求得2=，由此可得=2．由求得+=15+ +，把它代入的表达式可得的值．如图所示：∵==+，∴=①；∵==+，∴=②．把①、②相加求得2=，由AB=1，，CD=，平方可得2×4=1+2+3，∴=2．设AB和CD相较于点O，∵=()•(-)=--+，∴+=15++．∴=()•()=+--=15++--=15+•()+•()=15++=15+=15+=15-=15-2=13，故答案为13．14.已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：先根据题意a1+a2+a3=0得a1≥0a3≤0a1≥|a2|-a3≥|a2|．对于方程a1a42+a2a4-a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=-•±•，设=x，由a1≥|a2|知-1≤x≤1，利用a4=-x±的单调性结合x的取值范围，即可得出a4的取值范围．a1+a2+a3=0得a1≥0，a3≤0，a1≥|a2|-a3≥|a2|．a4==-•±•，设=x，由a1≥|a2|．知-1≤x≤1，a4=-x±，由x2+4x≥0，得0≤x≤1，当a4=-x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=-+；当a4=-x-时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=--；则a4的取值范围是．故答案为：．二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等．(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面ABCD．【答案】证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．(2)如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA=PB=PC=PD，故PO⊥AC，PO⊥BD又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．【解析】(1)由矩形ABCD，对边平行得到AB∥CD，结合线面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；(2)连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得PO⊥AC，PO⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角B的大小；(2)设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围．【答案】解：(1)∵在△ABC中，b2=a2+c2-2accos B，∴b2-a2-c2=-2accos B，同理可得c2-a2-b2=-2abcos C∵∴，∵sin C≠0，可得sin B cos C=2sin A cos B-sin C cos B，∴2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin(B+C)=sin A，∵sin A≠0，∴等式两边约去sin A，可得，∵0＜B＜π，∴角B的大小．(2)∵B=，sin2A=(1-cos2A)，sin2C=(1-cos2C)T=sin2A+sin2B+sin2C=∵A+C=，可得2C=-2A，∴cos2A+cos2C=cos2A+cos(-2A)=cos2A-sin2A=sin(-2A)因此，=-sin(-2A)∵，可得-＜-2A＜，∴-1≤sin(-2A)，可得＜-sin(-A)≤因此，T=sin2A+sin2B+sin2C的取值范围为(，]【解析】(1)根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sin B cos C=2sin A cos B-sin C cos B，称项化简得2sin A cos B=sin(B+C)=sin A，在两边约去sin A得，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；(2)根据B=代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin2A+sin2B+sin2C=-sin(-2A)．最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围．17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为x的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为△T，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中k为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．(注：玻璃的热传导系数为4×10-3J•mm/°C，空气的热传导系数为2.5×10-4J•mm/°C．)(1)设室内，室外温度均分别为T1，T2，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量(结果用T1，T2及x表示)；(2)为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？【答案】解：(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q1，Q2，则，===．(2)由(1)知，当=4%时，解得x=12(mm)．答：当x=12mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%．【解析】(1)直接由单位面积上通过的热量公式求得单层玻璃在单位面积上通过的热量．分别求出双层玻璃在单位面积上经过玻璃及空气隔层的热量，利用合比定理转化为含有T1，T2的关于x的表达式；(2)利用在单位面积上经过两种玻璃的热量的比值等于4%求取x的值．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆的右焦点为F(1，0)，离心率为．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE=EF．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．【答案】解：(1)由题意，得c=1，，故，可得b2=a2-c2=1，∴椭圆的方程为．①(2)证明：设直线AB的方程为y=kx，②直线CD的方程为y=-k(x-1)，③由①②联解，得点A的横坐标为，点B的横坐标为，同理，联解①③，得点C的横坐标为，D的横坐标为记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1-x3))，D(x4，k(1-x4))，因此，直线AC，BD的斜率之和为====0．即直线AC，BD的斜率之和为0(定值)【解析】(1)根据题意，建立关于a、c的方程组，解之可得且c=1，再用平方关系算出b2=1，即可得到椭圆的方程；(2)设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联解可得A的横坐标为，点B的横坐标为，同理得到点C、D的横坐标关于k的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC，BD的斜率之和为0，从而证出所求证的命题是真命题．19.已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b n}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．(1)若a5=b5，q=3，求数列{a n•b n}的前n项和；(2)若存在正整数k(k≥2)，使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．【答案】解：(1)依题意，，故，所以a n=1+20(n-1)=20n-19，令，①则，②①-②得，==(29-20n)•3n-29，所以．(2)因为a k=b k，所以1+(k-1)d=q k-1，即，故，又，所以==，(ⅰ)当1＜n＜k时，由q＞1知，=＜0；(ⅱ)当n＞k时，由q＞1知，=(q-1)2q k-2(n-k)＞0，综上所述，当1＜n＜k时，a n＞b n；当n＞k时，a n＜b n；当n=1时，a n=b n．【解析】(1)由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得a n，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和；(2)由a k=b k，即1+(k-1)d=q k-1，得，，作差b n-a n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；20.设f(x)是定义在(0，+∞)的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个x，总有g n(x)＜0，则称f(x)为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有，则称f(x)为“n阶不减函数”(为函数g n(x)的导函数)．(1)若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；(2)对任给的“2阶不减函数”f(x)，如果存在常数c，使得f(x)＜c恒成立，试判断f(x)是否为“2阶负函数”？并说明理由．【答案】解：(1)依题意，在(0，+∞)上单调递增，故恒成立，得，因为x＞0，所以a≤0．而当a≤0时，显然在(0，+∞)恒成立，所以a≤0．(2)①先证f(x)≤0：若不存在正实数x0，使得g2(x0)＞0，则g2(x)≤0恒成立．假设存在正实数x0，使得g2(x0)＞0，则有f(x0)＞0，由题意，当x＞0时，，可得g2(x)在(0，+∞)上单调递增，当x＞x0时，恒成立，即恒成立，故必存在x1＞x0，使得(其中m为任意常数)，这与f(x)＜c恒成立(即f(x)有上界)矛盾，故假设不成立，所以当x＞0时，g2(x)≤0，即f(x)≤0；②再证f(x)=0无解：假设存在正实数x2，使得f(x2)=0，则对于任意x3＞x2＞0，有，即有f(x3)＞0，这与①矛盾，故假设不成立，所以f(x)=0无解，综上得f(x)＜0，即g2(x)＜0，故所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”．【解析】(1)根据“n阶不减函数”的定义，设=，将[g1(x)] ≥0化简整理，可得在(0，+∞)上恒成立，因此a≤0．再将a≤0代入g1(x)表达式，可得g1(x)＜0在(0，+∞)上恒成立，由此可得满足条件的实数a的取值范围为(-∞，0]；(2)分两步：①根据“存在常数c，使得f(x)＜c恒成立”，结合反证法证出g2(x)≤0对任意x∈(0，+∞)成立，从而得到f(x)≤0任意x∈(0，+∞)恒成立；②根据“2阶不减函数”的性质，结合函数的单调性和不等式的性质证出方程f(x)=0无解．由以上两条，即可得到所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”．21.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O的半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且AP=1，CP=3，．求证：△APC≌△DPB．【答案】证明：延长OP交⊙O与点E，F，由相交弦定理得，又AP=1，CP=3，∴DP=1，BP=3，∴AP=DP，BP=CP，而∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB．【解析】利用相交弦定理即可得出DP，BP，再利用三角形全等．的判定方法即可证明22.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．【答案】解：由题意，矩阵M的行列式=0，解得x=5，矩阵M=的特征多项式=(λ-5)(λ-6)-(-5)×(-6)，令f(λ)=0并化简得λ2-11λ=0，解得λ=0或λ=11，所以矩阵M的特征值为0和11．【解析】先根据矩阵M=不存在逆矩阵得出对应的行列式等于0求出x，再根据特征值的定义列出特征多项式，令f(λ)=0解方程可得特征值即可．23.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，已知A(0，1)，B(0，-1)，C(t，0)，，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程(以t为参数)及普通方程．【答案】解：直线AC的方程为，①直线BD的方程为，②由①②解得，动点P的轨迹的参数方程为(t为参数，且t≠0)，将平方得，③将平方得，④由③④得，．(注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“x≠0”扣(1分)．)【解析】因为动点P为动直线直线AC、BD的交点，所以可用消参法求P的轨迹方程．先利用A，B，C，D四点坐标，则可得到含参数的直线AC、BD方程，再消去参数，即可得到求动点P的轨迹的参数方程，最后消去参数t化成普通方程即可．24.选修4-5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：．【答案】证明：先证，只要证2(a n+1+b n+1)≥(a+b)(a n+b n)，即要证a n+1+b n+1-a n b-ab n≥0，即要证(a-b)(a n-b n)≥0，若a≥b，则a-b≥0，a n-b n≥0，所以，(a-b)(a n-b n)≥0．若a＜b，则a-b＜0，a n-b n＜0，所以(a-b)(a n-b n)＞0，综上，可得(a-b)(a n-b n)≥0，从而．因为，所以．【解析】先用分析法证明，再利用基本不等式，即可证得成立．25.设n∈N*且n≥2，证明：+2[a1(a2+a3+…+a n)+a2(a3+a4+…+a n)+…+a n-1a n]．【答案】证明：(1)当n=2时，有，命题成立．(2)假设当n=k(k≥2)时，命题成立，即+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]成立，那么，当n=k+1时，有==+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]+2(a1+a2+…=+2[a1(a2+a3+…+a k+a k+1)+a2(a3+a4+…+a k+a k+1)+…+a k a k+1]．所以当n=k+1时，命题也成立．根据(1)和(2)，可知结论对任意的n∈N*且n≥2都成立．【解析】直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，(1)验证n=2时不等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时成立，利用上假设证明n=k+1时，不等式也成立．26.如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；②(ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；(ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．(1)求ξ=0的概率；(2)求ξ的概率分布及数学期望．【答案】解：(1)事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”事件A和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”事件B，且A与B两者互斥，∵P(A)=，又∵由题意参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，∴P(B)=．∴；(2)ξ的所有可能取值为0，10，40，100，由(1)知，又，，，所以ξ的概率分布为：因此，(分)．【解析】(1)事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式即可得出；(2)ξ的所有可能取值为0，10，40，100，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式和数学期望计算公式即可得出．。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－ ， )，所以 2α－ β＝－ ．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－ ， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416． 证明 （ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17． 解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解， 即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4． 所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19． 解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20． 解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立， 因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明 如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解 （ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ， ， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223． 解（ 1）p 1＝ ，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n － ＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。
2013江苏盐城高三数学3月第二次模拟考试试题
江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
⒈若集合}2,1{-=m A ，且}2{=B A ，则实数m 的值为 。
b，则椭圆的离心率为 。
⒓定义运算，则关于非零实数x 的不等式的解集为 。
⒔若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为 。
⒕若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc baa ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，计90分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
⒖（本小题满分14分）已知函数33cos sin 4)(+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x x f 。
⑴求)(x f 的最小正周期；⑵求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值。
⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E 为的PC 中点。
⑴求证：PA ∥平面BDE ；⑵求证：平面PBC ⊥平面PDC 。
⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。
公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于A 、B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛。
据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。
设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。
⑴写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？⒙（本小题满分16分）如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+by ax （0>>b a ）相切于点M )1,0(。
2013届南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学试题(附加卷)(定稿)
南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选考物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡．．．上．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在 A、 B、 C 、 D 四小题中只能选做2 题，每小题题卡指定10 分，共 20 分．请在答．．．．．区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， PA，PB 是⊙ O 的切线，切点分别为A，B，线段 OP 交⊙ O 于点C．若 PA＝ 12， PC＝ 6，求 AB 的长．APO CB（第 21 题 A ）B．选修 4— 2：矩阵与变换1 a已知矩阵M ＝对应的变换将点A(1，1)变为A' (0，2)，将曲线C：xy＝ 1 变为曲线C'．b 1（1）求实数 a， b 的值；（2）求曲线 C' 的方程．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程已知圆 C 的极坐标方程为ππρ＝ 4cos(θ－)，点 M 的极坐标为(6，)，直线 l 过点 M，且与圆 C 相66切，求 l 的极坐标方程．D．选修 4— 5：不等式选讲解不等式x|x－ 4|－ 3＜ 0．第 1 页共 2 页【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答 题卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分 10 分 )如图，三棱锥 P － ABC 中，已知 PA ⊥平面 ABC ， △ABC 是边长为2 的正三角形， D ，E 分别为 PB ， PC 中点．P （ 1）若 PA ＝ 2，求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值；（ 2）若平面 ADE ⊥平面 PBC ，求 PA 的长．E DACB（第 22 题）23． (本小题满分 10 分 )如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为 13，刚开始时，棋子 在上底面点 A 处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（ 1）求 p 1，p 2 的值；ABC n 2（ 2）求证： ∑ 1 ＞n ．i=14Pi － 1 n ＋ 1D EF（第 23 题）第 2 页共 2 页。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
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数学_2013年江苏省某校高考数学三模试卷(含答案)
2013年江苏省某校高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 集合A ={3, 6}，B ={3, 9}，则A ∪B =________．2. 若复数z =a +1+(a −4)i ，(a ∈R)是实数，则a =________．3. 如果sinα=2√23，α为第一象限角，则sin(π2+α)=________．4. 已知正六棱锥P −ABCDEF 的底面边长为1cm ，高为1cm ，则棱锥的体积为________cm 3．5. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．6. 已知某一组数据8，9，10，11，12，则其方差为________．7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为________．8. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 3x 的零点个数为________．9. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 10. 在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tanC =43，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为________．11. 设等比数列{a n }的公比q ≠1，S n 表示数列{a n }的前n 项的和，T n 表示数列{a n }的前n 项的乘积，T n (k)表示{a n }的前n 项中除去第k 项后剩余的n −1项的乘积，即T n (k)=Tn a k(n, k ∈N ∗, k ≤n)，则当a 1=1，q =2，数列{S n T nT n (1)+T n (2)+⋯+T n (n)}的前n 项的和是________．12.已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，f(x)=a x g(x)(a >0，且a ≠1)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，在有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,3,⋯10)中，任意取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是________．13. 设A ，B ，C 为单位圆O 上不同的三点，则点集A ={(x, y)|OC →=xOA →+yOB →, (0<x <2, 0<y <2)}所对应的平面区域的面积为________．14. 函数f(x)=12x 2−2tx +3lnx ，g(x)=x+tx 2+3，函数f(x)在x =a ，x =b 处取得极值(0<a <b)，g(x)在[−b, −a]上的最大值比最小值大13，若方程f(x)=m 有3个不同的解，则函数y =e m+152的值域为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ，b ，c 满足b 2=a 2+c 2−ac （1）求角B 的大小；（2）在区间(0, B)上任取θ，求√22<cosθ<1的概率；（3）若AC =2√3，求△ABC 面积的最大值．16.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3（1）求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； （2）求三棱锥A 1−AB 1C 的体积．17. 工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P(x)（元）与当天生产的件数之间有以下关系：P(x)={83−13x 2，0<x ≤10520x −1331x 3，x >10设当天利润为y 元．（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本） 18. 设等比数列{a n }的首项为a 1=2，公比为q （q 为正整数），且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；等差数列{b n }满足2n 2−(t +b n )n +32b n =0(t ∈R, n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2） 若对任意n ∈N ∗，有a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1成立，求实数λ的取值范围；（3）对每个正整数k ，在a k 和a k+1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m =2c m+1的所有正整数m ． 19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√3,√32)，椭圆C 左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E ，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C 上的点M(x 0, y 0)的“伴随点”为N(x0a , y0b )． （1）求椭圆C 的方程；（2）若圆C 1的方程为(x +2a)2+y 2=a 2，圆C 1和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆C 1上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 变化时，以ST 为直径的圆C 2是否经过圆C 1内一定点？请证明你的结论；（3）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点，若点H 、J 的“伴随点”分别是L 、Q ，且以LQ 为直径的圆经过坐标原点O ．椭圆C 的右顶点为D ，试探究△OHJ 的面积与△ODE 的面积的大小关系，并证明．20. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)，(a ∈R)． （I ）设函数Y =F(X −1)定义域为D①求定义域D ；②若函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)在D 上有零点，求a 2+c 2的最小值；（II ） 当a =12时，g(x)=f′(x −1)+bf(x −1)−ab(x −1)2+2a ，若对任意的x ∈[1, e]，都有2e ≤g(x)≤2e 恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（III ）当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．三、[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 选修4−1：几何证明选讲如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线MN 交AD 的延长线于点C ，BM =MN =NC =1，求AB 的长和⊙O 的半径． 22. [选修4−2：矩阵与变换]已知矩阵A =|−2132−12|；（1）求矩阵A 的逆矩阵B ；（2）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为7x −3y =0，求直线l 的方程． 23. [选修4−4：坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =15y =a +√5t（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且PQ =4√55． （1）求圆C 的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（2）求实数a 的值．24. 已知函数f(x)＝|x −3|，g(x)＝−|x +4|+m ；(Ⅰ)已知常数a <2，解关于x 的不等式f(x)+a −2>0；(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m 的取值范围． 四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 已知A 1，A 2，A 3，…，A 10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12．（I ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（II ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望． 26. 已知m ，n 为正整数．（1）用数学归纳法证明：当x >−1时，(1+x)m ≥1+mx ； （2）对于n ≥6，已知(1−1n+3)n <12，求证(1−mn+3)n <(12)m ，m =1，2…，n ；（3）求出满足等式3n +4n +5n +...+(n +2)n =(n +3)n 的所有正整数n ．2013年江苏省某校高考数学三模试卷答案1. {3, 6, 9}2. 43. 134. √325. 206. 27. −√388. 29. (−1, 3) 10. 211. 2n −1 12. 35 13. 5214. (27, e 4)． 15. 解：（1）∵ b 2=a 2+c 2−ac ，即a 2+c 2−b 2=ac ， ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，∵ B 为三角形的内角， ∴ B =π3；（2）∵ √22<cosθ<1，∴ θ∈(0, π4)， ∴ 在区间(0, π3)上，√22<cosθ<1的概率为34； （3）∵ b =2√3，cosB =12，∴ 由余弦定理得：12=b 2=a 2+c 2−ac ≥ac ， ∴ S △ABC =12acsinB =√34ac ≤3√3，则△ABC 面积的最大值为3√3．16. 解：（1）直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又由于AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3，则AB =√2 则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ，又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ， 所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；（2）三棱锥A 1−AB 1C 的体积V A 1−AB 1C =V B 1−A 1AC =13×12×1=1617. 解：（1）当0<x ≤10时，y =x(83−13x 2)−100−2x =−13x 3+81x −100；当x >10时，y =x(520x−1331x )−2x −100=−2x −1331x +420．∴ y ={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N −2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． （2）设函数y =ℎ(x)={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N−2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． ①当0<x ≤10时，y ′=81−x 2，令y ′=0，得出x =9．当x ∈(0, 9)时，y ′>0；当x ∈(9, 10)时，y ′<0；故x =9时，y max =386． ②当x >10时，y ′=−2×1331x −2，令y ′=0，得出x =11，当x ∈(10, 11)时，y ′>0；当x ∈(11, +∝)时，y ′<0；故x =11时，y max =387． 结合①②知，当x =11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件． 18. 解：（1）由题意，∵ 3a 3是8a 1与a 5的等差中项∴ 6a 3=8a 1+a 5，则6q 2=8+q 4，解得q 2=4或q 2=2 ∵ q 为正整数，∴ q =2，又a 1=2，∴ a n =2n −−−−−− ∵ 2n 2−(t +b n )n +32b n =0∴ b n =2n 2−tn n−32∴ b 1=2t −4，b 2=16−4t ，b 3=12−2t ， 则由b 1+b 3=2b 2，得t =3 当t =3时，b n =2n ．----------（2）∵ a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1，∴ λ≥n−12n．记k n =n−12n，当n ≥2时，k n+1k n≤1，得k n =n−12n单调减，----------又k1=0，所以λ≥k2=14−−−−−−−−−（3）∵ 对每个正整数k，在a k和a k+1之间插入b k个2，得到一个新数列{c n}，∴ 当k=1时，a1=2，b1=2，即数列{c n}的前项为c1=c2=c3=2，则m=1时，T1=2c2不合题意，当m=2时，T2=2c3适合题意，当m≥3时，若后添入的数2等于c m+1个，则一定不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则(2+22+23+...+2k)+2(b1+b2+b3+...+b k)=2×2k+1，即2×(2k−1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1−2k2−2k+2=0．也就是2k=k2+k−1，k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n>n2+n−1成立，证明如下：1∘当n=5时，25=32，k2+k−1=29，左边>右边成立；2∘假设n=k时，2k>k2+k−1成立，当n=k+1时，2k+1>2k2+2k−2=(k+1)2+(k+1)−1+k2−k−3≥(k+1)2+(k+1)−1+5k−k−3=(k+1)2+(k+1)−1+k+3(k−1)>(k+1)2+(k+1)−1这就是说，当n=k+1时，结论成立．由1∘，2∘可知，2n>n2+n−1(n≥5)时恒成立，故2k=k2+k−1无正整数解．综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．19. 解：（1）由已知{3a+34b=1a2=b2+c2ca=12，解得a2=4，b2=3，∴ 方程为x24+y23=1…（2）设P(x0, y0)(y0≠0)，则(x0+4)2+y02=4．又A(−6, 0)，B(−2, 0)，所以l PA:y=y0x0+6(x+6)，S(0, 6y0x0+6)，l PB:y=y0x0+2(x+1)，T(0, 2y0x0+2)．圆C2的方程为x2+(y−6y0x0+6+2y0x0+22)2=(6y0x0+6+2y0x0+22)2．化简得x2+y2−(6y0x0+6+2y0x0+2)y−12=0，令y=0，得x=±2√3．又点(−2√3, 0)，在圆C1内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆C2经过圆C1内一定点(−2√3, 0)…（3）设H(x1, y1)，J(x2, y2)，则L(x121√3)，Q(x222√3)；1)当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+ 8kmx+4(m2−3)=0；有△=48(3+4k2−m2)>0，x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4(m2−3)3+4k2①…由以LQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：3x 1x 2+4y 1y 2=0； 整理得：(3+4k 2)x 1x 2+4mk(x 1+x 2)+4m 2=0② 将①式代入②式得：3+4k 2=2m 2∴ △>0， 又点O 到直线y =kx +m 的距离d =√1+k 2∴ HJ =√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√3|m|2m 2所以S △OHJ =12|HJ|d =√3…2)当直线l 的斜率不存在时，设方程为x =m(−2<m <2) 联立椭圆方程得：y 2=3(4−m 2)4代入3x 1x 2+4y 1y 2=0得3m 2−3(4−m 2)4=0∴ m =±2√55，y =±2√155∴ S △OHJ =12|HJ|d =√3综上：△OHJ 的面积是定值√3又△ODE 的面积也为√3，所以二者相等…20. 解：(I)①∵ 函数f(x)的定义域为(−1, +∞)，∴ 所求函数的定义域为(0, +∞)；… ②函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)=0，即x 2+ax +c +a x +1x 2=0，令t =x +1x ，方程为t 2+at +c −2=0，t ≥2， 设g(t)=0，当−a2>2，即a <−4时，只需△=a 2−4c +8≥0，此时，a 2+c 2≥16；当−a 2≤2，即a ≥−4时，只需22+2a +c −2≤0，即2a +c +2≤0，此时a 2+c 2≥45．∴ a 2+c 2的最小值为45．… （II ）由题，g′(x)=x 2+bx−1x 2，x ∈[1, e]令ℎ(x)=x 2+bx −1，注意y =ℎ(x)的图象过点(0, −1)，且开口向上，从而有 （1）当ℎ(1)≥0，即b ≥0时，g′(x)≥0，g(x)单调递增， 所以有{g(1)=1+1≥2eg(e)=e +1e +b ≤2e，得0≤b ≤e −1e ； … （2）当g(e)=e 2+eb −1≤0，即b ≤1e −e 时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，所以有{g(1)=1+1≤2eg(e)=e +1e+b ≥2e得b ≥1e −e ，故只有b =1e −e 符合；… （3）当{g(1)<0g(e)>0即1e −e <b <0时，记函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点为t ∈[1, e)，此时，函数g(x)在(1, t)上单调递减，在(t, e)上单调递增，所以，{g(1)≤2eg(e)≤2e g(t)=t +1t +blnt ≥2e，∴ t +1t+blnt ≥2e因为t ∈(1, e)是函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点，所以b =1t −t ， 故有t +1t+(1t−t)lnt ≥2e令m(t)=t +1t+(1t−t)lnt ，t ∈(1, e)，则m′(t)=(−1−1t)lnt ≤0所以函数y =ℎ(t)在(1, e)上单调递减，故m(t)>m(e)=2e恒成立，此时，1e −e <b <0；综上所述，实数b 的取值范围是[1e −e,e −1e ]． …（III ）因函数f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，则当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立，即ax 2+ln(x +1)−x ≤0恒成立， 设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x(x ≥0)，只需g(x)max ≤0即可． 由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，(I)当a =0时，g′(x)=−xx+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递减， 故g(x)≤g(0)=0成立． (II)当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1=0，因x ∈[0, +∞)，所以x =12a−1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间x ∈(0, +∞)上，g′(x)>0，则函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增，g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，此时不满足条件； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0,12a−1)上单调递减，在区间(12a−1，+∞)上单调递增，同样g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，不满足条件． (III)当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递减，故g(x)≤g(0)=0成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, 0]．21. 解：∵ AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线， ∴ ∠BAC =90∘，AB 2=BM ⋅BN ．∵ BM =MN =NC =1， ∴ 2BM 2=AB 2， ∴ AB =√2．∵ AB 2+AC 2=BC 2， ∴ 2+AC 2=9，AC =√7． ∵ CN ⋅CM =CD ⋅CA ， ∴ 2=CD ⋅√7， ∴ CD =27√7．∴ ⊙O 的半径为12(CA −CD)=514√7．22. 解：（1）∵ |−2132−12|=(−2)(−12)−1×32=−12≠0，∴ B =[−12−12−1−12−32−12−2−12]=[1234]； （2）任取直线l 上一点P(x, y)，经矩阵B 变换后点为P′(x′, y′)，则有[1234] [xy]=[x′y′]，则{x′=x +2y y′=3x +4y ，又7x ′−3y ′=0，则7(x +2y)−3(3x +4y)=0，x −y =0． 即直线l 的方程为x −y =0． 23. 解：（1）圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，即 ρ2=2ρcosθ，即 x 2+y 2=2x ， 即 (x −1)2+y 2=1，表示以C(1, 0)为圆心，半径等于1的圆． （2）由{x =1+5y =a √5t（t 为参数），可得 2x −y +a −2=0． 由弦长PQ =4√55，可得弦心距d =√r 2−(PQ 2)2=√5．再由点到直线的距离公式可得 d =√5，∴√5=√5，解得 a =1，或 a =−1．24. （I ）由f(x)+a −2>0得|x −3|>2−a ， ∵ 常数a <2，∴ x −3>2−a 或x −3<a −2，即x >5−a 或x <a +1， 故不等式的解集为(−∞, a +1)∪(5−a, +∞)； (II)∵ 函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方， ∴ f(x)>g(x)恒成立，即m <|x −3|+|x +4|， ∵ |x −3|+|x +4|≥|x −3−(x +4)|＝7， ∴ m <7，即实数m 的取值范围为m <7． 25. 解：(I)因为该同学通过各校考试的概率均为12， 所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P =C 102(12)2(1−12)8=451024．…（II ）设该同学共参加了i 次考试的概率为P i (1≤i ≤10, i ∈Z)．∵ P i ={12i，1≤i ≤9，i ∈Z 129，i =10，∴ 所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：所以Eξ=(12×1+122×2+⋯+129×9+129×10)a ，… 令S =12×1+122×2+⋯+129×9，…（1） 则12S =122×1+123×2+⋯+129×8+1210×9， (2)由（1）−(2)得12S =12+122+⋯+129−1210×9， 所以S =1+12+122+⋯+128−129×9，…所以Eξ=(1+12+122+⋯+128−129×9+129×10)a =(1+12+⋯+129)a =1−12101−12a =2(1−1210)a =1023512a （元）．…26. 解法1：（1）证：用数学归纳法证明：当x =0时，(1+x)m ≥1+mx ；即1≥1成立， x ≠0时，证：用数学归纳法证明： （1）当m =1时，原不等式成立；当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ， 因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m =k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ， 则当m =k +1时，∵ x >−1，∴ 1+x >0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x ， 所以(1+x)k+1≥1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式也成立． 综合(1)(II)知，对一切正整数m ，不等式都成立． （2）证：当n ≥6，m ≤n 时，由（1）得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是(1−mn+3)n ≤(1−1n+3)nm =[(1−1n+3)n ]m <(12)m ，m =1，2，n ．（3）解：由（2）知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +⋯+(1−nn+3)n <12+(12)2+⋯+(12)n =1−12n <1，∴ (n+2n+3)n +(n+1n+3)n +⋯+(3n+3)n <1．即3n +4n +...+(n +2)n <(n +3)n ．即当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ． 故只需要讨论n =1，2，3，4，5的情形：当n =1时，3≠4，等式不成立；当n =2时，32+42=52，等式成立；当n =3时，33+43+53=63，等式成立；当n =4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n =5时，同n =4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有n =2，3．解法2：（1）证：当x =0或m =1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x >−1，且x ≠0时，m ≥2，(1+x)m >1+mx ． ①（1）当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ，因为x ≠0，所以x 2>0，即左边>右边，不等式①成立；（2）假设当m =k(k ≥2)时，不等式①成立，即(1+x)k >1+kx ，则当m =k +1时， 因为x >−1，所以1+x >0．又因为x ≠0，k ≥2，所以kx 2>0．于是在不等式(1+x)k >1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x ，所以(1+x)k+1>1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（2）证：当n ≥6，m ≤n 时，∵ (1−1n+3)n <12，∴ [(1−1n+3)m ]n <(12)m ，而由（1），(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0， ∴ (1−m n+3)n ≤[(1−1n+3)m ]n <(12)m ．（3）解：假设存在正整数n 0≥6使等式3n 0+4n 0+⋯+(n 0+2)n 0=(n 0+3)n 0成立， 即有(3n 0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0=1． ② 又由（2）可得(3n0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0 =(1−n 0n 0+3)n 0+(1−n 0−1n 0+3)n 0+⋯+(1−1n 0+3)n 0<(12)n 0+(12)n 0−1+⋯+12=1−12n 0<1，与②式矛盾．故当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法1．。
江苏南京、盐城2013高三第三次模拟考试-数学(word解析版)
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•盐城三模）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（1，3]．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：先由条件求得A和B，再由两个集合的交集的定义求得A∩B．解答：解：∵函数f（x）=的定义域为A，∴A={x|x≤3}．∵函数g（x）=lg（x﹣1）的定义域为B，∴B={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]，故答案为（1，3]．点评：本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集的求法，集合的表示法，属于基础题．2．（5分）（2013•盐城三模）已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=5．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数求出z的表达式，然后求解复数的模即可．解答：解：因为复数z满足（z+1）i=3+5i，所以z+1=所以z==，两边求模可得：|z|===5．故答案为：5．点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算能力．3．（5分）（2013•盐城三模）某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为8．考点：伪代码．专题：图表型．分析：根据伪代码可知该题考查一个分段函数y=，再利用输出值为3，即可求得输入值．解答：解：本题的伪代码表示一个分段函数y=∵输出值为3∴或∴x=8∴输入值x=8故答案为：8．点评：本题考查算法知识，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定伪代码表示一个分段函数，属于基础题．4．（5分）（2013•盐城三模）如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：图表型．分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据方差的计算方法，把七个数字求出平均数和方差即得．解答：解：由茎叶图知，七个数据为88，89，89，90，91，91，92，平均数为=90；方差为[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=．故答案为：．点评：茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．（5分）（2013•盐城三模）已知函数f （x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象可得=，解方程求得ω的值．解答：解：由函数的图象可得==，解得ω=，故答案为．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，根据周期求出ω的值，属于中档题．6．（5分）（2013•盐城三模）在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有种方法；其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况（2，4）；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有=10种方法，其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况（2，4）；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，因此取到的卡片上的数字之积为偶数的情况共有1+6=7，∴取到的卡片上的数字之积为偶数的概率P=．故答案为．点评：熟练掌握组合的计算公式和意义、古典概型的概率计算公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量、的坐标，得到=（﹣3，3），设=（m，n）可得•=﹣3m+3n=0．而=（m﹣3，n+1）=λ，得到m﹣3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．解答：解：∵=（3，﹣1），=（0，2）∴=﹣=（﹣3，3）设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①又∵=（m﹣3，n+1），=λ，∴m﹣3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2故答案为：2点评：本题给出向量、的坐标，再•=0且=λ的情况下求实数λ的值．着重考查了向量的平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•盐城三模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是①④（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①由线面垂直的判定定理可知正确；②m与n可能平行可能相交；③m与n可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确．解答：解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；选项②错误，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m与n可能平行可能相交；选项③错误，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．故答案为：①④点评：本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，属基础题．9．（5分）（2013•盐城三模）如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．（5分）（2013•盐城三模）记定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x）．如果存在x0∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（x0）（b﹣a）成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为2．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分别计算出f（2）﹣f（﹣2），2﹣（﹣2），利用f （2）﹣f（﹣2）=f′（x0）[2﹣（﹣2）]，即可解出．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3．又f（2）﹣f（﹣2）=23﹣3×2﹣[（﹣2）3﹣3×（﹣2）]=4，2﹣（﹣2）=4．设x0∈[﹣2，2]为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的“中值点”．则4f′（x0）=4，得f′（x0）=1．∴，解得．∴函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上“中值点”为，其个数为2．故答案为2．点评：正确理解“中值点”，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．11．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若=2，则双曲线的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由=2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．解答：解：如图因为=2，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴，e2=4⇒e=2．故答案为：2．点评：本题是对双曲线的渐进线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．12．（5分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x ﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，0）．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为2x+y﹣2=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l 的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），圆心C到直线l的距离为定值求得k的值，从而求得直线l的方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0 即[x﹣（3﹣m）]2+（y﹣2m）2=9，表示以C（3﹣m，2m）为圆心，半径等于3的圆．∵直线l经过点（1，0），对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|m﹣3﹣1|=|m ﹣4|，不是定值．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．此时，圆心C到直线l的距离d==为定值，与m无关，故k=﹣2，故直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0，故答案为2x+y﹣2=0．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13．（5分）（2013•盐城三模）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣5．设c n=，若在数列{c n}中，c8＞c n（n∈N*，n≠8），则实数p的取值范围是（12，17）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．专题：综合题；分类讨论；等差数列与等比数列．分析：由c n表达式知c n是a n，b n中的较小者，易判断{a n}是递减数列，{b n}是递增数列，由c8＞c n（n≠8）知c8是c n的最大者，从而可知n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，进而可知a n与b n的大小关系，且c8=a8或c8=b8，分两种情况讨论，当c8=a8时，a8＞b7，当c8=b8时，b8＞a9，分别解出p的范围，再取并集即可；解答：解：当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，因为a n=﹣n+p，所以{a n}是递减数列；因为b n=2n﹣5，所以{b n}是递增数列，因为c8＞c n（n≠8），所以c8是c n的最大者，则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，因此，n=1，2，3，…7时，2n﹣5＜﹣n+p总成立，当n=7时，27﹣5＜﹣7+p，∴p＞11，n=9，10，11，…时，2n﹣5＞﹣n+p总成立，当n=9时，29﹣5＞﹣9+p，成立，∴p＜25，而c8=a8或c8=b8，若a8≤b8，即23≥p﹣8，所以p≤16，则c8=a8=p﹣8，∴p﹣8＞b7=27﹣5，∴p＞12，故12＜p≤16，若a8＞b8，即p﹣8＞28﹣5，所以p＞16，∴c8=b8=23，那么c8＞c9=a9，即8＞p﹣9，∴p＜17，故16＜p＜17，综上，12＜p＜17．故答案为：（12，17）．点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列的函数特性，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生逻辑推理能力，难度较大．14．（5分）（2013•盐城三模）设点P是曲线y=x2上的一个动点，曲线y=x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．解答：解：设，由y=x2得，所以过点P且与直线l垂直的直线方程为．联立y=x2得：．设Q（x1，y1），则，所以，．所以|PQ|===．令t=．g（t）=．则，当t∈（0，2）时，g′（t）＜0，g（t）为减函数，当t∈（2，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）为增函数，所以．所以PQ的最小值为．故答案为．点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是把高次幂的函数式通过换元降幂，是中档题．二、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•盐城三模）已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1=sin2α+cos2α”的代换，然后化简分式2tanα的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin2α，sinβ，通过二倍角的正弦函数，求出sin（2α﹣β）的值，结合角的范围求出角的大小即可．解答：解：（1）cos2α=cos2α﹣sin2α==，因为tanα=2，所以，所以cos2α=．（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以又cos2α=，∴，，因为β∈（0，π），cosβ=﹣．所以，，所以sin（2α﹣β）=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ==﹣，又，∴2α﹣β=﹣．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键．16．（14分）（2013•盐城三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，A1A=AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）证明：C1E⊥平面BDE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出．利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；（2）利用面面垂直的性质即可得出BD⊥侧面ACC1A1．利用相似三角形的判定和性质即可得出，再利用线面垂直的性质定理即可证明．解答：证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵F为C 1B的中点，∴．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E为A1A的中点，∴，∴四边形AEFG是平行四边形．∴EF∥AG．∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）∵点D是正△ABC的BC边的中点，∴BD⊥AC，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1．∴BD⊥C1E．∵，∴Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴∠A1EC1=∠ADE．∴，∴C1E⊥ED．∵ED∩DB=D．∴C1E⊥平面BDE．点评：熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得、平行四边形的判定和性质定理、线面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．17．（14分）（2013•盐城三模）已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的单调增区间；（2）先求切线方程为y=﹣x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．解答：解：（1）当m=0时，函数f（x）=﹣2x+3+lnx由题意知x＞0，f′（x）=﹣2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜时，所以f（x）的增区间为（0，）．（2）由f′（x）=mx﹣m﹣2+，得f′（1）=﹣1，知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=﹣x+2，于是方程：﹣x+2=f（x）即方程m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，（x＞0）．则g′（x）==，①当m=1时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由g′（x）=＜0得＜x＜1，故g（x）在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在（1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→﹣∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；③当0＜m＜1时，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，由g′（x）=＜0得1＜x＜，故g（x）在区间（0，1），（1，）上单调递增，在（，+∞）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；∴由上述知：m=1．点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．18．（16分）（2013•盐城三模）将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1≤S2．记折痕长为lcm．（1）若l=4，求S1的最大值；（2）若S1：S2=1：2，求l的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式．专题：综合题；分类讨论；函数思想；导数的综合应用．分析：（1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．利用不等式即可求得S1的最大值；（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32，按三种情形进行讨论：根据S1的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；解答：解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，所以，当且仅当x=y=2时取等号，即S 1的最大值为4．（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32．当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则，即y=，由，解得，所以l==，，设f（x）=，x＞0，则=，x＞0，故当x∈（）时f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（4，8）时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（）=64，f（8）=80，所以f（x）的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]．当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则，即y=，由，解得0，所以l==，0，所以l的范围为[6，]；当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则，即y=4﹣x，由，得0≤x≤4，所以l==，0≤x≤4，所以l的取值范围为[8，4]，综上，l的取值范围为[6，]．点评：本题考查利用导数、不等式求函数的最值，考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．19．（16分）（2013•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1．（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；（2）若m=6，①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：是定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由焦点在x轴上得，m＞8﹣m＞0，解出即可；（2）①设点P坐标为（x，y），则，由两点间距离公式可表示出PM2，根据二次函数的性质即可求得PM2的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H （x0，y0），利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长，是定值可证；解答：解：（1）由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8，所以实数m的取值范围是（4，8）；（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为，①设点P坐标为（x，y），则，因为点M的坐标为（1，0），所以PM2=（x﹣1）2+y2===，，所以当x=时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（）；②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则，，两式相减得，，即，令k=k AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），令y=0，则x N=ky0+x0=，因为F（2，0），所以FN=|xN﹣2|=，因为AB=AF+BF=e（3﹣x 1）+e（3﹣x2）=|x0﹣3|．故==，即为定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．20．（16分）（2013•盐城三模）记等差数列{a n}的前n项和为S n．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）若a1=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=（a＞0），求证：≤．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}为等差数列，等价于a n+1﹣a n=d（d为常数）；（2）已知数列前n项和公式求通项公式，需用公式，整理化简即可得到数列{a n}的通项公式；（3）与不等式有关的数列证明题通常用放缩法来解决．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，（1）由于，从而，所以当n≥2时，=，即数列{}是等差数列．（2）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，∴，即数列{}是等差数列，设其公差为t，则，所以，=[1+（n﹣1）t]2﹣[1+（n﹣2）t]2=2t2n﹣3t2+2t，所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1又由等差数列{a n}中，a2﹣a1=a3﹣a2，即（4t2﹣3t2+2t）﹣1=（6t2﹣3t2+2t）﹣（4t2﹣3t2+2t）所以t=1，即a n=2n﹣1．（3）由于a n=a1+（n﹣1）d，，则，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q（q＞0）．以下证明：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∵（b1+b n）﹣（b p+b k）==，当q＞1时，因为y=q x为增函数，p﹣1≥0，k﹣1≥0，∴q p﹣1﹣1≥0，q k﹣1﹣1≥0，∴b1+b n≥b p+b k；当q=1时，b1+b n=b p+b k；当q=1时，因为y=q x为减函数，p﹣1≥0，k﹣1≥0，∴q p﹣1﹣1≤0，q k﹣1﹣1≤0，∴b1+b n≥b p+b k，综上：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∴n（b1+b n）=（b1+b n）+（b1+b n）+…（b1+b n）≥（b1+b n）+（b2+b n）+…（b n+b1）﹣1+…+b1），=（b1+b2+…+b n）+（b n+b n﹣1即．点评：本题考查数列的综合问题，属于较难的题目．注意在证明与数列有关的不等式时，放缩法也是解题的法宝．21．（10分）（2013•盐城三模）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；（2）设PA=a，可得、含有字母a的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为=（a，a，2），同理得到平面ADE的一个法向量=（﹣a，﹣a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得•=﹣a2﹣a2+4=0，解之得a=，由此即可得到线段PA的长．解答：解：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A 且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）∴=（，1，﹣2），=（0，1，1）设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ==即直线AE与PB所成角的余弦值为；（2）设PA=a，则P（0，0，a），可得=（，1，﹣a），=（0，2，﹣a）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则•=0且•=0∴，令z=2，得y=a，x=．可得=（a，a，2）是平面PBC的一个法向量∵D、E分别为PB、PC中点，∴D（，，），E（0，1，）因此，=（，，），=（0，1，），类似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一个法向量=（﹣a，﹣a，2）∵平面ADE⊥平面PBC，∴⊥，可得•=﹣a2﹣a2+4=0，解之得a=因此，线段PA的长等于．点评：本题给出侧棱PA与底面△ABC垂直的三棱锥，求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段PA的长，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．22．（10分）（2013•盐城三模）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n．（1）求p1，p2的值；（2）求证：＞．考点：综合法与分析法(选修）；相互独立事件的概率乘法公式；数学归纳法．专题：证明题．分析：（1）通过棋子移动结合路径直接求出p1，利用棋子移动的情况直接求解p2的值；（2）通过棋子移动通过数列是等比数列求出p n．然后利用数学归纳法证明＞．在证明n=k+1时，利用分析法证明即可．解答：解：（1）棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A出发．由3条路径，所以p 1=．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p 2==．（2）因为移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n．故落在下底面顶点的概率为1﹣p n．于是，移了n+1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=，从而p n+1﹣=，所以数列{}是等比数列，首项为公比为，所以，用数学归纳法证明：＞．①当n=1时左式=，右式=，因为，所以不等式成立．当n=2时，左式=，右式=，所以不等式成立；②假设n=k（k≥2）不等式成立，即．则n=k+1时，左式==，要证，只要证，即证：，只要证，只要证3k+1≥2k2+6k+2，因为k≥2，所以=6k2+3=2k2+6k+2+2k（2k﹣3）+1＞2k2+6k+2所以，即n=k+1时不等式也成立，由①②可知＞对任意n∈N*都成立．点评：本题考查概率的应用，概率与数列相结合，数学归纳法与分析法证明不等式的应用，考查逻辑推理能力与分析问题解决问题的能力．三、【选做题】在23、24、25、26四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）（2013•盐城三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA=12，PC=6，求AB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；直线与圆．分析：延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．利用切割线定理即可得出⊙O的半径R，利用切线长定理得到PA=PB，由半径OA=OB，于是可得OP垂直平分AB．在Rt△OAP中，由面积即可得出AE，从而得出AB．解答：解：如图所示，延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PC•PD．设⊙O的半径为R，∵PA=12，PC=6．∴122=6（6+2R），解得R=9．∵PA，PB与⊙O都相切，∴PA=PB．又∵OA=OB，∴OP垂直平分AB．即OP⊥AB，AB=2OE．在Rt△OAP中，．∴=．∴．点评：熟练掌握圆的性质、切割线定理、切线长定理、线段的垂直平分线的判定与性质、“等积变形”是解题的关键．24．（2013•盐城三模）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵M=对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），将曲线C：xy=1变为曲线C′．（1）求实数a，b的值；（2）求曲线C′的方程．考点：二阶矩阵；双曲线的标准方程；几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：（1）先根据矩阵M对应的变换将点A（1，1）变为A′（0，2），建立二元一次方程组求出实数a，b的值；（2）由（1）得矩阵M，然后设曲线C：xy=1上的任意一点P（x'，y'），变换后的点为P'（x，y）的关系，将点P（x'，y'）的坐标代入曲线C：xy=1的方程即可求出曲线C′的方程．解答：解：（1）由已知得M=，即=，∴∴．（2）设点P（x'，y'）是曲线C：xy=1上的任意一点，变换后的点为P'（x，y）则=，即，解得，因为x′y′=1，所以=1，即．即曲线C′的方程为．点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．25．（10分）（2013•盐城三模）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos （θ﹣），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：先把圆C极坐标方程化成直角坐标方程，得到圆心坐标和半径，再设直线l的直角坐标方程，由于直线与曲线C相切，从而圆心到直线l的距离等于半径，可得直线的直角坐标方程，最后利用极坐标与直线坐标之间的关系化成极坐标方程即可．解答：解：圆C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4．…（3分）点M的直角坐标为（3，3），当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y﹣3=k（x﹣3），圆心到直线的距离为r=2，…（6分）因为圆心到直线l的距离d=，所以k=0或k=．故所求直线的方程为y=3或x﹣y﹣6=0，其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin（﹣θ）=3…（10分）点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．26．（2013•盐城三模）选修4﹣5：不等式选讲解不等式x|x﹣4|﹣3＜0．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过去掉绝对值符号，转化为二次不等式求解即可．解答：解：原不等式转化为：或解得或即或3＜x＜4或x＜1．综上不等式的解集为：{x|x＜1或3＜x＜2+}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解题的关键，考查分类讨论思想的应用．。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)-(5744)
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(1，3] 2．5 3．8 4．1275．236．7107．2 8．①④9．56210．211．2 12．2x＋y－2＝0 13．(12，17) 14．33 2二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（1）方法一：因为tanα＝2，所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα．…………………………2分又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝45，cos2α＝15．…………………………4分所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－35．…………………………6分方法二：因为cos2α＝cos2α－sin2α…………………………2分＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1，…………………………4分又tanα＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35．…………………………6分（2）方法一：因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，π2 )．又cos2α＝－35＜0，故2α∈(π2，π)，sin2α＝45．…………………………8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)．…………………………10分所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22．…………12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4．…………………………14分方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈(0，π2)，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．从而2α∈(π2，π)．…………………………8分由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈(π2，π)，因此tan β＝－17．…………………………10分所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋(－43)×(－17)＝－1．………………………… 12分又2α－β∈(－π2，π2)，所以2α－β＝－π4．…………………………14分16．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ＝∥EA ．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．…………………………4分因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．…………………………6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ．…………………………9分（第16题）A BCDEC 1A 1B 1FG根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．………………………12分因为BD∩EB＝B，BD 平面BDE，EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE．…………………………14分17．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，所以f′(x)＝－2＋1x＝－2x＋1x(x＞0)．………………………2分由f′(x)＞0得x∈(0，12) ．所以函数f(x)的单调增区间为(0，12)．………………………4分（2）由f′(x)＝mx－m－2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．……………………6分由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，即关于x的方程12m(x－1)2－x＋1＋ln x＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．则g′(x)＝m(x－1)－1＋1x＝mx2－(m＋1)x＋1x＝(x－1)(mx－1)x(x＞0)．……………8分①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞1m，由g′(x)＜0得1＜x＜1m，所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，1m)上为减函数，在(1m，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故0＜m＜1不合题意．………………………10分②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1m或x＞1，由g′(x)＜0得1m＜x＜1，所以函数g(x)在(0，1m) 为增函数，在(1m，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故m＞1不合题意．综上，实数m的值为m＝1．………………………14分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上；②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上；③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①．设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则x 2＋y 2＝16．………………………2分因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4．………………………5分（2）由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48．因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32．当折痕是情形①时，设AM ＝xcm ，AN ＝ycm ，则12xy ＝16，即y ＝32x．由0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8．所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8．………………………8分设f(x)＝x 2＋322x 2，x ＞0，则f ′（x)＝2x －2×322x 3＝2(x 2＋32)(x ＋42)(x －42)x3，x ＞0．故x 163（163，42）4 2 （42，8）8f ′（x) －0 ＋f(x)6449↘64↗80 所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]；………………11分当折痕是情形②时，设AM ＝xcm ，DN ＝ycm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝163－x ．由0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163．ABCD（情形①）MNABCD （情形②）MNABCD（情形③）MN所以l＝62＋(x－y)2＝62＋4(x－83)2，0≤x≤163．所以l的范围为[6，21453]；………………………13分当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm，则12(x＋y)×8＝16，即y＝4－x．由0≤x≤6，0≤4－x≤6，得0≤x≤4．所以l＝82＋(x－y)2＝82＋4(x－2)2，0≤x≤4．所以l的取值范围为[8，45]．综上，l的取值范围为[6，45]．………………………16分19．解（1）由题意得，m＞8－m＞0，解得4＜m＜8．即实数m的取值范围是(4，8)．………………………2分（2）因为m＝6，所以椭圆C的方程为x 26＋y22＝1．①设点P坐标为（x，y），则x26＋y22＝1．因为点M的坐标为（1，0），所以PM2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－x23＝2x23－2x＋3＝23(x－32)2＋32，x∈[－6，6]．………………………4分所以当x＝32时，PM的最小值为62，此时对应的点P坐标为（32，±52）．………………………6分②由a2＝6，b2＝2，得c2＝4，即c＝2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x＝3，离心率e＝6 3．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则x12 6＋y122＝1，x226＋y222＝1，所以x12－x226＋y12－y222＝0，即k AB＝y1－y2x1－x2＝－x03y0．………………………9分令k＝k AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，则x N＝ky0＋x0＝23x0．因为F(2，0)，所以FN＝|x N－2|＝23|x0－3|．………………………12分因为AB＝AF＋BF＝e(3－x1)＋e(3－x2)＝263|x0－3|．故ABFN＝263×32＝6．即ABFN为定值6．………………………16分20．解（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n(n－1)2d，从而S nn＝a1＋n－12d．所以当n≥2时，S nn－S n－1n－1＝(a1＋n－12d)－(a1＋n－22d)＝d2．即数列{S nn}是等差数列．………………………2分（2）因为对任意正整数n，k(n＞k)，都有S n＋k＋S n－k＝2S n成立，所以S n＋1＋S n－1＝2S n，即数列{S n}是等差数列．………………………4分设数列{S n}的公差为d1，则S n＝S1＋(n－1)d1＝1＋(n－1)d1，所以S n＝[1＋(n－1)d1]2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝[1＋(n－1)d1]2－[1＋(n－2)d1]2＝2d21n－3d21＋2d1，因为{a n}是等差数列，所以a2－a1＝a3－a2，即(4d21－3d21＋2d1)－1＝(6d21－3d21＋2d1)－(4d21－3d21＋2d1)，所以d1＝1，即a n＝2n－1．又当a n＝2n－1时，S n＝n2，S n＋k＋S n－k＝2S n对任意正整数n，k(n＞k)都成立，因此a n＝2n－1．………………………7分（3）设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，b n＝a a n，所以b nb n－1＝a a n－a n－1＝a d，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列．………………………9分记公比为q(q＞0)．以下证明：b1＋b n≥b p＋b k，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．因为(b1＋b n)－(b p＋b k)＝b1＋b1q n－1－b1q p－1－b1q k－1＝b1(q p－1－1)( q k－1－1)．当q＞1时，因为y＝q x为增函数，p－1≥0，k－1≥0，所以q p－1－1≥0，q k－1－1≥0，所以b1＋b n≥b p＋b k．当q＝1时，b1＋b n＝b p＋b k．当0＜q＜1时，因为y＝q x为减函数，p－1≥0，k－1≥0，所以q p－1－1≤0，q k－1－1≤0，所以b1＋b n≥b p＋b k．综上，b1＋b n≥b p＋b k，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．…………………14分所以n(b1＋b n)＝(b1＋b n)＋(b1＋b n)＋…＋(b1＋b n)≥(b1＋b n)＋(b2＋b n－1)＋(b3＋b n－2)＋…＋(b n＋b1)＝(b1＋b2＋…＋b n)＋(b n＋b n－1＋…＋b1)，即b1＋b2＋…＋b nn≤b1＋b n2．……………………16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．A．选修4—1：几何证明选讲证明如图，延长PO交⊙O于D，连结AO，BO．AB交OP于点E．因为PA与⊙O相切，所以PA2＝PC・PD．设⊙O的半径为R，因为P A＝12，PC＝6，所以122＝6(2R＋6)，解得R＝9．……………………4分因为PA，PB与⊙O均相切，所以PA＝PB．又OA＝OB，所以OP是线段AB的垂直平分线．……………………7分即AB⊥OP，且AB＝2AE．在Rt△OAP中，AE＝OA・P AOP＝365．所以AB＝725．……………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解（1）由题知，1 ab111＝2，即1＋a＝0，b＋1＝2，解得a＝－1，b＝1．……………………4分（2）设P' (x，y)是曲线C'上任意一点，P'由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到，所以1 －11 1x0y0＝xy，即x0－y0＝x，x0＋y0＝y，解得x0＝y＋x2，y0＝y－x2．……………………7分ABPO C（第21题A）D E因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2・y －x 2＝1，即y 24－x24＝1．即曲线C'的方程为y 24－x24＝1．……………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)．……………………3分当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设直线l 的方程为y －3＝k(x －33)，由圆心C(3，1)到直线l 的距离等于半径2．故|23k －2|k 2＋1＝2．……………………6分解得k ＝0或k ＝3．所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0．…………………8分所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin(π3－θ)＝3．……………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解原不等式等价于x ≥4，x 2－4x －3＜0，或x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．……………………5分解得x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x| x ＜1或3＜x ＜2＋7}．……………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，从而→PB ＝(3，1，－2)，→AE ＝(0，1，1)．设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|→PB ・→AE|→PB|×|→AE||＝14．AB C EDP（第22题）yxz F即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14．……………………4分（2）设P A 的长为a ，则P(0，0，a)，从而→PB ＝(3，1，－a)，→PC ＝(0，2，－a)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1・→PB ＝0，n 1・→PC ＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0．令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a ．所以n 1＝(33a ，a ，2)是平面PBC 的一个法向量．因为D ，E 分别为PB ，PC 中点，所以D(32，12，a 2)，E(0，1，a2)，则→AD ＝(32，12，a 2)，→AE ＝(0，1，a 2)．设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2・→AD ＝0，n 2・→AE ＝0．所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a 2z ＝0．令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a ．所以n 2＝(－33a ，－a ，2)是平面ADE 的一个法向量．……………………8分因为面ADE ⊥面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1・n 2＝(33a ，a ，2)・(－33a ，－a ，2)＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即PA 的长为3．……………………10分23．解（1）p 1＝23，p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59．……………………2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n+1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．……………………4分从而p n+1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ．……………………6分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k(k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k+1－1＞k2k ＋1＋14(12＋12×13k+1)－1＝k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2．要证k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k2k ＋1．只要证3k+13k+1＋2≥k 2＋3k ＋1k2＋3k ＋2．只要证23k+1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k+1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k+1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k(2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k+13k+1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n2n ＋1对任意的n ∈N *都成立．……………………10分。