地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型PDF
合集下载
《地下水动力学》课程总结
应用
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件
图5-3潜水流中的水头分布图
潜水面渗流速度为 ，当潜水面坡度很小、渗径∂s由∂x代替时，得到
（5—41）
实质是在潜水含水层渗流中，垂直分量流速vz远远小于水平分量流速vx和vy，而vz可以忽略，即假定等水头面是铅垂面，渗流被视为是水平流。这就是裘布依假定。单位宽度含水层断面上的流量为
（5—42）
该方程称为裘布依方程。
可见由质量守恒建立的渗流连续性方程（地下水运动的连续性方程）更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。
5.1渗流连续性方程
依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：△x∙△y∙△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。
注意：（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。（2）为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？
5.2.2含水层水体压缩与膨胀方程
由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两部分组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。
孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水（或放水）含水层水头（或水位）下降时，释放出来的水量与含水层水头（或水位）增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。
（*）
图5-1多孔介质单元水均衡要素图
潜水面渗流速度为 ，当潜水面坡度很小、渗径∂s由∂x代替时，得到
（5—41）
实质是在潜水含水层渗流中，垂直分量流速vz远远小于水平分量流速vx和vy，而vz可以忽略，即假定等水头面是铅垂面，渗流被视为是水平流。这就是裘布依假定。单位宽度含水层断面上的流量为
（5—42）
该方程称为裘布依方程。
可见由质量守恒建立的渗流连续性方程（地下水运动的连续性方程）更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。
5.1渗流连续性方程
依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：△x∙△y∙△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。
注意：（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。（2）为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？
5.2.2含水层水体压缩与膨胀方程
由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两部分组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。
孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水（或放水）含水层水头（或水位）下降时，释放出来的水量与含水层水头（或水位）增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。
（*）
图5-1多孔介质单元水均衡要素图
第五章 地下水运动
g
k
k
导水系数：水力坡度等于1时，通过整个含 水层厚度上的单宽流量
T KM
水力坡度
大小等于水头梯度 I=dH/dn，方向沿 着等水头线的法线方向指向水头降低的 dH 方向的矢量，定义为水力坡度，记为I。
I gradH dn
I
x
H x
I
y
H y
v x x
v y y
v z z
0
一、潜水非稳定运动的基本微分方程
H Kh x x y
H Kh y
H W t
源项表示在垂直方向上有水流入含水层，此时W为正； 汇项指在垂直方向上有水流出含水层，此时W为负。
1 n dV s Vs dp
n dV v V v dp
(5)
多孔介质压缩系数的推导
令：
s
1 dV s V s dp 1 dV v V v dp
p
上两式代入（5）式可得：
(1 n ) s n
p
n
p
(6)
多孔介质的基本概念
储水率：水头降低1个单位时单位体积含水层所释放的水量； 储水系数：水平横截面积为1个单位面积、厚度为M的含水层，水头改变1 个单位时弹性释放的水量
按 运 动 要 素
地下水水流状态分类
层 流 紊 流
按 运 动 状 态
恒定流 非恒定流
Re
vd
Laminar flow (层流)
Turbulent flow (紊流)
二、达西定律
1856年法国工程师达西 （Darcy）
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
地下水渗流基本方程及数学模型总结
方程右端项：
( nz ) z H H [ (1 e) e ] t 1 e t t H z ( n ) t
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第三步：方程的左端项=方程的右端项
H H H (K xx ) (K yy ) (K zz ) xyz x x y y z z H z( n ) xy t
（二）含水层的状态方程
根据Terzaghi有效应力公式：水压力p减少，将引起含 水层状态发生哪些变化？ p减少 p减少 地下水体积膨胀，从而释放出一部分地下水； 地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，
这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，有效应力增大 ，压缩多孔介质（固体+空隙），结果使含水层空隙度 n变小、介质挤密、厚度变薄，从孔隙中（挤压）释放 一部分地下水；
（二）含水层的状态方程 含水层的弹性存储
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维 变形，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。 含水层上覆（岩土体、地表建筑物和大气压力等）荷载形成的总压应 力由固体颗粒粒间应力的垂向分量s和孔隙水压力p两者来平衡。
测压水头
p hp
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第二步：化简方程右端项：
e e e p H 根据 (1 e)和dp dH , 得 (1 e) p t p t t d p H 根据 和dp dH , 得 dp t p t t
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
第一步：化简方程左端项： 由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视 ρ 近似不变：
( v x ) H ( K xx ) x x x H H K xx K xx x x x x H H [ K xx (K xx )] x x x x
地下水运动的数学模型
第四章 地下水运动的数值模型解析解虽然具有精确可靠的特点，但采用解析解反映自然状态和复杂人类活动干扰下的地下水运动是相当困难的。
因此，当含水层的条件严重偏离现有解析模型的简化假设时，人们通过数值模型来获得近似的地下水流场及演变趋势。
第一节 地下水流数值方法概述地下水流的数学模型采用偏微分方程描述地下水流的时间和空间连续状态，而数值模型则是采用离散（非连续）时空模型中水头的分布与演变对数学模型进行近似描述。
从精确数学模型到近似数值模型的转化，虽然会损失一些精度，但使复杂地下水流问题的分析得以通过机械计算实现，而且误差也是可控的。
把偏微分方程求解的数值方法引入到地下水流问题的求解始于20世纪70年代，主要方法包括有限差分法、有限元法和边界元法，此后又发展了有限分析法、多重网格法和无网格法等。
这些方法的共同特点是将模型空间及边界离散为由一系列的节点以及联系这些节点的单元（无网格法除外），含水层的水头在这些节点上定义，从而实现了水头分布空间连续函数向离散变量的转化，表示为2121211122111221202()02()02()002(0)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk f f f f a b c e x L x x t t t t f x f f f f a b c e x L x x t t f f f f a b c x L e x xd f dfe ef a b f c x L dx dx t t f x u---------∂∂-++=<<∂∂∆∆=-∂∂-++=<<∂∂∆∆∂∂=+++<<∂∂+-++=<<∆∆==，，，，{}(,,);1,2,3,,p H x y z H p M ⇒=⋅⋅⋅ （4.1.1）式中；H 为含水层的水头；x 、y 、z 为空间坐标；p 为数值模型的节点；M 为节点的数目。
地下水动力学基础
地下水动力学基础
微 元 体 中 水 均 衡 与 达 西 定 律 结 上式(连续方程)结合达西定律、储水率定义，得出 合 得 承压水的基本微分方程 微 H H H H 分 方 x ( K xx x ) y ( K yy y ) z ( K zz z ) W S S t 程
注意：稳定流问题没有初始条件！ 边界条件：对所求解微分方程的未知函数,给出边界上有关的
已知信息，常用有第一类边界条件（已知水位边 界）、第二类边界条件（已知流量边界）等。 对于稳定流问题，如全部为已知流量边界(即第二 类边界)条件，则无唯一解。应至少有一段（片） 为一类边界条件。 初始条件：微分方程求解的是某初始时刻以后的变化过程。 初始时刻是人为选定的。 初始条件要求给出：初始时刻的水头函数(或数 值)或状态。
1 没有与时间有关的因素，H,W不随时间变化！
2 只有边界条件，没有初始条件！
3 若边界条件全部为流量边界，则无唯一解
思考：
自然界有真正的稳定流吗？
研究稳定流有什么意义？
潜水面边界条件描述
潜水面形状描述 H (x , y , z , t ) = z 或 F ( x , y , z , t ) = H (x , y , z , t ) - z = 0
边界形状： 三维问题边界：封闭曲面（可多个组合） 二维问题边界：封闭曲线（可多个组合） 一维问题边界：两个端点
已知确定函数！
什么含义? 什么含义?
（柯西Cauchy条件）
对于稳定流问题：至少有一段 (点、片)是第一类边界条件， 否则是无解的。
为什么仅归纳出三种边界类型？难 道没有其它类型的边界条件吗？
地下水流动微分方程（简化情况2） －－潜水水流的微分方程式
潜水含水层近似简化为二维流概念图
微 元 体 中 水 均 衡 与 达 西 定 律 结 上式(连续方程)结合达西定律、储水率定义，得出 合 得 承压水的基本微分方程 微 H H H H 分 方 x ( K xx x ) y ( K yy y ) z ( K zz z ) W S S t 程
注意：稳定流问题没有初始条件！ 边界条件：对所求解微分方程的未知函数,给出边界上有关的
已知信息，常用有第一类边界条件（已知水位边 界）、第二类边界条件（已知流量边界）等。 对于稳定流问题，如全部为已知流量边界(即第二 类边界)条件，则无唯一解。应至少有一段（片） 为一类边界条件。 初始条件：微分方程求解的是某初始时刻以后的变化过程。 初始时刻是人为选定的。 初始条件要求给出：初始时刻的水头函数(或数 值)或状态。
1 没有与时间有关的因素，H,W不随时间变化！
2 只有边界条件，没有初始条件！
3 若边界条件全部为流量边界，则无唯一解
思考：
自然界有真正的稳定流吗？
研究稳定流有什么意义？
潜水面边界条件描述
潜水面形状描述 H (x , y , z , t ) = z 或 F ( x , y , z , t ) = H (x , y , z , t ) - z = 0
边界形状： 三维问题边界：封闭曲面（可多个组合） 二维问题边界：封闭曲线（可多个组合） 一维问题边界：两个端点
已知确定函数！
什么含义? 什么含义?
（柯西Cauchy条件）
对于稳定流问题：至少有一段 (点、片)是第一类边界条件， 否则是无解的。
为什么仅归纳出三种边界类型？难 道没有其它类型的边界条件吗？
地下水流动微分方程（简化情况2） －－潜水水流的微分方程式
潜水含水层近似简化为二维流概念图
地下水动力学PDF
地下水动力学
第一章 地下水运动的基本概念和基本定律 第二章 地下水向河渠的稳定运动 第三章 地下水向完整井的稳定运动
第一章 地下水运动的基本概念和基本定律
§1—1 §1—2
地下水运动的基本概念 渗流基本定律
§1—1
1) 多孔介质的概念
地下水运动的基本概念
1. 多孔介质及其特性
多孔介质(Porous medium)：地下水动力学中具有空隙的岩石。广义上包
岩石中的渗流 （a）实际渗透 (b)假想渗流
2) 渗流（seepage flow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、 渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地 下水流的一种假想水流。
§1—1
地下水运动的基本概念
2) 渗流（seepage flow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、 渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地 下水流的一种假想水流。其特点是： （1）假想水流的性质与真实地下水流相同； （2）充满含水层空隙空间和岩石颗粒所占据的空间；
§1—2
渗流基本定律
实验过程：通过供水管从上面注入水，实验中保持恒定水头，水渗经试样
（砂子）以后由出水管流进量筒中，水渗经试样的水头损失用测压管测定。
实验结果：单位时间内通过筒中砂的流量Q与垂直水流方向的介质面积A及 上下测压管的水头差Δ H成正比，与渗透长度L成反比。
H1 H 2 Q KA l
气相—空气，非饱和带中 液相—水：吸着水 Hygroscopic water
薄膜水
毛细管水 重力水
pellicular water
capillary water gravitational water
第一章 地下水运动的基本概念和基本定律 第二章 地下水向河渠的稳定运动 第三章 地下水向完整井的稳定运动
第一章 地下水运动的基本概念和基本定律
§1—1 §1—2
地下水运动的基本概念 渗流基本定律
§1—1
1) 多孔介质的概念
地下水运动的基本概念
1. 多孔介质及其特性
多孔介质(Porous medium)：地下水动力学中具有空隙的岩石。广义上包
岩石中的渗流 （a）实际渗透 (b)假想渗流
2) 渗流（seepage flow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、 渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地 下水流的一种假想水流。
§1—1
地下水运动的基本概念
2) 渗流（seepage flow）：具有实际水流的运动特点（流量、水头、压力、 渗透阻力），并连续充满整个含水层空间的一种虚拟水流；是用以代替真实地 下水流的一种假想水流。其特点是： （1）假想水流的性质与真实地下水流相同； （2）充满含水层空隙空间和岩石颗粒所占据的空间；
§1—2
渗流基本定律
实验过程：通过供水管从上面注入水，实验中保持恒定水头，水渗经试样
（砂子）以后由出水管流进量筒中，水渗经试样的水头损失用测压管测定。
实验结果：单位时间内通过筒中砂的流量Q与垂直水流方向的介质面积A及 上下测压管的水头差Δ H成正比，与渗透长度L成反比。
H1 H 2 Q KA l
气相—空气，非饱和带中 液相—水：吸着水 Hygroscopic water
薄膜水
毛细管水 重力水
pellicular water
capillary water gravitational water
1-7描述地下水运动的数学模型及其解法
2020/4/15
12
三、建立数学模型的实例
例１ 潜水非稳定流方程
(Kh H ) (Kh H ) W H
x
x y
y
t
H c1 H(t)
H c2 z(t)(位置水头)
H c3 z(t（) 渗出面）
H c4 hw (t（) 定水头边界）
H n
c5 （ 0 隔水边界）
H (x, y,t) t0 (x, y)
➢区域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作为 给定水头边界处理；
➢无限边界 H(x, y,t)
x2 y2
H
亦为第一类边界；
0
➢潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水
位为一类边界。
2020/4/15
9
（2）第二类边界条件
当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这 部分边界为第二类边界或给定流量边界。相应的边界 条件表示为：
（1）第一类边界条件
若在渗流区的某部分边界上各点在每一时刻的水头是已知
的，则称这部分边界为第一类边界或给定水头边界，常表
示为：
H(x, y, z,t) S1
1(x, y, z,t),
H (x, y,t) 1 2 (x, y,t),
（x, y, z) S1
（x, y) 1
分别表示在三维和 二维条件下边界上 2的020点/4/1在5 t时刻的水头
H
K n
s2
q (x, y, z,t), 1
（x, y, z) S2
或
T H n
2
q (x, 2
y,t)， （x, y) 2
式中：n为边界 S2 或 2的外法线方向； q1和q2为已知函数，分别表示S2 上单位面积和 2上单位
地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)
d
dp
dp dH
e (1 e)
p
说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水 层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。
2.2 水和多孔介质的压缩性
•地下水弹性储存概念
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密， 忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。
含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒
间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.
测压水头
s (1 ) p
hp
p
为单位水平面积中颗粒间接触面积的水
平投影.
由于 <<1，令（K.Terzaghi)
p s
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
s (1 ) p p
故
（1-12）
1 dVb
（1-13）
d Vb
上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关
系。
➢ 水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为l m (即体积为l m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。 此时，有效应力增加了H＝g×1=g。
➢ 介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为
...
由于很小，且p变化不大，故
e ( p0 p) 1 ( p0 p)
V V0
1 ( p0
p)
V V0[1 ( p0 p)]
V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
由于V~V0变化不大，故
地下水运动的基本规律
1、 ω （1）表达式中过水断面ω是指砂柱的横截面 积；在该面积中，包括砂颗粒所占据的面积 及空隙所占据的面积；而水流实际通过的是 空隙实际的过水面积ω’（图3-2），即：
度)
ω’=ωnｅ
(nｅ为有效孔隙
过水断面Ω（黄色阴影）与实际过水断面（蓝色阴影）
有效孔隙度：重力水流动的空隙体积与岩石体积之比。显然，有 效孔隙度小于孔隙度。
物理意义： 渗透流量与过水断面面积和上、下游水头差成正比，与 渗透路径长度成反比。 根据水力学已知：通过某一断面的流量等于流速与过水断面 面积的乘积，即Q=ωv 因此，达西公式又可写成：
V= K I
式中：V——渗透流速。 物理意义：渗透流速与水力坡度的一次方成正比。
三、参数物理意义
定义：水力梯度为沿渗透途径水头损失与 相应渗透长度的比值。
表达式：
h I L
物理意义：单位长度渗透途径为克服摩擦阻
力所耗失的机械能；从另一个角度可以理解 为驱动力。
4、渗透系数（K）
（1）物理意义 因为：K=VI 令： I=1 则： K=V 物理意义：渗透系数是水力梯度等于1时的渗透流速。 （2）分析 当I为定值时，K越大，则V越大；当V为定值时， K越大，则I越小。可见，渗透系数K可定量说明岩 石的渗透性能。 K不仅与岩石的空隙性质有关，还与水的某些物 理性质有关（如粘滞性）。当水的物理性质变化不 大时，可把K看成单独说明岩石渗透性能的参数。
地下水必定沿着水头变化最大的方向， 即垂直于等水头线的方向运动，因此， 流线与等水头线构成正交网格。
（二）流网的绘制 1、根据边界条件绘制容易确定的等水头线或流线
地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型
第二节 数学模型
导水系数T
当水力坡度为1时，通过整个含水层上 的单位宽度流量。即：
T=K·M
第二节 数学模型
水的状态方程 对于给定质量的水体积，增加一个压力
dPw，水体积产生一定的压缩，根据质量守 恒定律：
ρVw=常数 取全微分有：
ρdVw+Vwdρ=0
由于dPw=dH
第二节 数学模型
达西定律的实质是水流在流动过程中消耗的 能量与流速和渗流长度成正比，与含水层的 渗透系数成反比。
HH1H2
vL K
达西定律的适用范围
Re ud
第一节 达西定律
当雷诺数Re<100时，适用； 当雷诺数Re>100时，不适用； 在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。
第二节 数学模型
地下水渗流连续性方程 表示：在渗流场中的 任何局部，都必须满足质量守恒和能量守恒。
第二节 数学模型
对于稳定渗流，且假定n、ρ不变，则为地
下水稳定流的连续性方程：
x(K x H x) y(K y H y) z(K z H z) 0
第二节 数学模型
形式相似，意义有所差别
x(Tx H x) y(Ty H y)* H t
承压水二维流的微分方程：
第二节 数学模型
当水头变化很小时，即ΔH<0.1h时，对均质 各向同性的潜水有
2xH2 2yH2 T THt
T=Kh h为潜水含水层平均厚度
第二节 数学模型
H(x,y),t0 z,H t0(x,y),z
第二节 数学模型
注：对于稳定流来说，定解条件中没有初始条 件，因为地下水作稳定流时其运动要素是不随 时间而变化的。
6水文地质学-地下水运动规律
有3页没用，跳过吧 有有3有3有页3页3没页没页用没用没，用，用跳，跳，过跳过跳吧过吧过吧吧
豆丁完全解决方案，1000W高质量文档+1天上传5W文档通 过率8成==1年后月被动收入5W以上，全套解决方案售价仅 8W元，有意请联系扣扣709604208
豆丁完全解决方案，1000W高质 量文档+1天上传5W文档通过率8 成==1年后月被动收入5W以上， 全套解决方案售价仅8W元，有意
雨季潜水面 平均潜水面 旱季潜水面
一般情况下，地下水在地层空隙中运移速度极其缓 慢，因而特称为渗透或渗流。
地下水的渗透受控于含水层的产状、水力坡度【水 位差】、空隙度、透水性、空隙大小、地温等多种 因素。
地层的孔隙度与岩土的颗粒形状、堆积程度、分选 性有关。
地层的透水性与空隙的连通程度有关。
假想水流
等效平均直线水流 方向和水流通道
采用充满整个含水层的假想水流代替仅在空隙中运动 的实际水流的前提条件。
假想水流通过任一过水断面的流量必需等于实际水 流通过同一过水断面的流量。
假想水流在任一过水断面上的水头必需等于实际水 流在同一过水断面上的水头。
假想水流在流动过程中所受的阻力必需等于实际水 流在渗流过程中所受的阻力。
均质体是一个定常数，因而 公式推导关键在于如何确定 h
水头i和过水断面积ω。
M
过水断面实际为一系列弯曲
程度不同的曲面，但是根据
井附近的水力坡度不大于1/4
的假设，可以认为过水断面
为一系列垂直于含水层底板
的圆柱面。圆柱面的高度即
为承压水层厚度M。
ω=2πxM。
i=sinα=dy/dL≈tgα=dy/dx。
A H2
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。
、方程，方程的左端表示单位方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。
、 以及 。
时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。
，高等于 柱 的水量均衡方程。
是铅 ，实际上意味着6．单位面积（或单位柱体）含水层是指量。
贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。
（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。
（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。
（ ） ）不同，前者有疏干重力水和弹性8．在渗流场中边界类型主要分为）4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。
（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。
（ ））5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。
在补给期时，给水 度 µ 大，水位上升大，µ 小，水位上升小，在蒸发期时，µ 大，水位下降大，µ 小，水位下降小。
（ ）8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。
（9． 地下水三维流基本微分方程 div (K·gradH) = 于潜水。
（ ））m s = ¶H / ¶t 既适用于承压水也适用10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水 层的水量均衡方程。
第四章 地下水运动的基本规律.
第四章地下水运动的基本规律第一节重力水运动的基本规律（1）达西定律达西定律是由法国水力学家H.Darcy于1856年通过大量的室内实验得出的。
达西实验装置与条件：等径圆筒装入均匀砂样，圆筒断面为ω；上下各置一个稳定的溢水装置——保持实验过程水流的稳定；水流实验时，上端进水，下端出水——参见图4-1，示意流线（图中兰色线）；砂筒中，安装了2个测压管；下端出水口，测定出水量Q。
实验过程：（1）通过改变水头，稳定测量出水量；（2）改变试样筒内的砂样（粒径变化），重复实验。
实验结果：出水端的流量Q与砂柱断面为ω、测压管水头之间的关系为：图4—1 达西试验示意图（4—1）式中：——渗透流量（出口处流量，即为通过砂柱各断面的流量）；——过水断面（在实验中相当于砂柱横断面积）；——水头损失（，即上下游过水断面的水头差）；——渗透途径（上下游过水断面的距离）；——渗透系数（与砂柱样品有关的系数）。
（4—1）为达西定律表达方法之一。
达西公式的变化形式：由水力学中水动力学基本原理：（4—2）——水力梯度，相当于/，即水头差除以渗透途径。
（4—2）代入（4—1）有：（4—3）（4—1）与（4—3）为达西定律的不同表达方法。
由（4—3）达西公式表明：渗透流量（Q）与渗透系数（K）、过水断面（ω）及水力梯度（I）成正比。
从水力学已知，通过某一断面的流量等于流速与过水断面的乘积，即：（4—4）即。
比照公式（4—4）与（4—1），达西定律又可以表达为：（4—5）式中：称作渗透流速，即单位面积上的流量——也称为比流量。
由（4—5）式表明：渗透流速与水力梯度一次方成正比关系，故达西定律又称为线性渗透定律。
下面探讨达西公式（4—5）式中各项的物理涵义。
（2）渗透流速（V）过水断面ω：砂柱的横切面积，是指水流通过的包括岩石骨架与空隙在内的整个断面。
实际过水断面：扣除结合水所占据范围以外的空隙面积，也就是重力水所占据的空隙面积。
实际过水断面ω′与过水断面ω的关系，可以表示为：（参见图4-2，插图4-1）图4—2 过水断面（斜阴线部分）与实际过水断面（直阴线部分）颗粒边缘涂黑部分（最好改为红色）为夸大表示的结合水A 过水断面（水流可以穿越颗粒）B 实际过水断面（水流只沿孔隙运动）插图4-1 过水断面与实际过水断面动画有效孔隙度：重力水流动的空隙体积（不包括结合水占据的空间）与岩石体积之比。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
H�
x�
H(
x� �
�为程方流定稳维二水潜的性同向各质均 �时泄排和给补他其无当�h=H�有时此 �面准基为板底水隔以�平水板底水隔若 �
型模学数 节二第
) z,y,x ( 0 H �
0� t
) t,z,y,x ( H
型模学数 节二第
0�
H �
2
2
y�
�
H �
2
2
x�
时流定稳维二作水压承的性同向各质均对
H� * �
t�
T
�
H �
2
2
y�
�
H �
2
2
x�
时流定稳非维二作水压承的性同向各质均对
型模学数 节二第
H� * �
t�
T
�
T
�
�
H �
2
2
y�
�
H �
2
2
x�
流维二压承定稳非性同向各质均
H� t� *� � ��) H� y�
。�架骨括包�间空部全满
:设假个两
律定西达 : 律定本基的动运水下地 节一第
律定西达 节一第
流渗称简�流水透渗 。同相力阻的受 所流水实真和力阻的受所内积体在流水想假 �力压的流水实 真于等力压的流水想假的上积面一任于用作 �量流流水实真的面断该过 通于等量流的流水想假�面断水过一同于对
� � �
型模学数 节二第
S
Pd � �� �
) n � 1( nd
�
s s
Vd
V
SPd � � � �
S S
0=ndsV-sVdn-sVd 量常=sVn-sV 分微全取
Vd
V
�量常一为积体的粒颗�此因�变 不本基积体身本粒颗而�形变隙空的向方 直垂为现表要主下用作的力压在架骨粒颗 程方态状的架骨粒颗 �
型模学数 节二第
律定西达 节一第
。律定西达从服动运水下地数多大绝�下况情然天在 � �用适不�时001>eR数诺雷当 � �用适�时001<eR数诺雷当 �
d� u
�
� eR
围范用适的律定西达 �
律定西达 节一第
M·K=T �即。量流度宽位单的 上层水含个整过通�时1为度坡力水当
T数系水导 �
。速流透渗的时1为度坡力水 � K数系透渗 �
。w、v、u为度速流渗的上向方Z、Y、X在�ρ为度
�为量水的元单入流�向方X沿�内间时tΔ在
tΔzΔyΔuρ=tΔxQρ
型模学数 节二第
型模学数 节二第
t � x �z � y �
) u� (�
x�
�
�即�量水的加增向方X为差之者两
� � x� x� � x Q� � t �x � ) z �y � u � ( � t �z �y � u � � t � � x � ) x Q � ( � � � �
念 概 个 几 .1 型模学数和程方分微本基的流渗 节二第
型模学数 节二第
sμ率水释
�
。水释性弹称合�量水分部一出挤而 缩压被架骨层水含因时同�量水的定一出放 释而从�胀膨而小减力压水于由积体水时此 �
Hdg� � Hd � � � Pd
�等相力压的加增架 骨与力压的少减低降头水�衡平持保为�变不 力压总层岩覆上时此�HΔ低降头水�后水抽 �
律定本基水下地 章二第
。透渗 为称动运的中隙空土岩在水下地�透渗 。质介为称土岩的 水下地存赋将们我。动运中其在 并�中隙空的土岩于存赋水下地�质介
律定西达 节一第
流水透渗
流水 际 实
律定西达 : 律定本基的动运水下地 节一第
律定西达 节一第
充流水透渗想假�在存粒颗的土岩虑考不�2� 下地虑考只�折曲回迂的径途流渗虑考不�1� 。向流要主的流水
y� �
�)
H�
x�
hx K(
x� �
程方克斯涅西布 �程方分微的流维二水潜
型模学数 节二第
度厚均平层水含水潜为h
t� T � T �
2
hK = T
H �
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H� �
�
H �
2
y�
�
x�
质均对�时h1.0<HΔ即�时小很化变头水当 �
型模学数 节二第
有水潜的性同向各
0�)
H�
y�
H(
y� �
�)
程方态状的架骨粒颗
wPd wPdα
)ZΔ(·α=)ZΔ(d
Z� �
s
)n-1(=nd
n �1 nd
�
) Z� ( d
s
Vd
V
�有形变向方直垂在仅架骨层水含定假
型模学数 节二第
密的水下地�zΔ、yΔ、xΔ为别分长边��Z、Y、X�
为标坐其�体元单小微一任取中场流渗在。满充流 水续连被都间空部全场流渗�说假的流渗对据根 程方性续连流渗�2�
)A � H � (/ Q � * �
*μ数系水释性弹
�
型模学数 节二第
。水释的用作同共状膨体水下地 和缩压架骨层水含于由是水压承而 �水释力重是全完程过水释水潜�理机水释
别区的数系水释性弹与度水给水潜 �
型模学数 节二第
�sP为力用作 反的架骨粒颗层岩�wP为力压水的内层水含 �P为力压总的层岩覆上层水含前水抽。程过 的存储或水释性弹的起引所时化变头水在其 究研�体土层水含压承的态状衡平于处一取 �
�量水的渗水表地从
tdxd ) h x v( � x� � tdh x v � qd � q
�量水的出流面断游下从 �量水的入流面断游上从�内间时td
型模学数 节二第
tdh x v � q
� x� tdxd � � � � ) h x v( �
� � � x� � h x v � h x v� � � � td � xd � � xd � � � ) h x v( �
。恒守量能和恒守量质足满须必都�部局何任 的中场流渗在�示表 程方性续连流渗水下地
� z� t� z� y� y� x� x� � �zK ( � ) �y K ( � ) �x K ( � ) z � y � x � n � ( � z � y � x � �) � � �� H� H� � H� �
型模学数 节二第
� � � � z z y � y � x � x � � zK ( yK ( xK ( 0 � �) �) �) � H� � H� �� � H�
地为则�变不ρ、n定假且�流渗定稳于对
型模学数 节二第
�程方性续连的流定稳水下
� � � � � � � � t� z z y y x x � zK ( yK ( xK ( �) �) ) z � n � ( � z � � � �) � � �� H� H� � H� �
为程方性续连�此因 �变不为似近yΔ、xΔ而�上�zΔ�向方直垂在 是要主�时形变生产层水含�中层水含压承在
程方分微本基的层水含压承�3�
型模学数 节二第
�程方态状的缩压架骨层水含、程方态状的水到用�
P�
t�
z ��n� � t� n� �
) z � (�
P� t�
t�
�) n � 1 ( z � � �
型模学数 节二第
。面平直垂个一为似近面断水过 � 速 流 直 垂 即 � 数 函 的t 间 时 和 标 坐 y 、 x 为 仅 �化变度 深随不头水 或计不略忽 可
�化变有没度高z沿v、u量分平水的度速流渗 � �流变缓为�缓平较比面水潜 � �设假衣布裘
型模学数 节二第
x
xd
h
H
ε
z
tdxd �
x�
K � � xv
� t� x� tdxd � � tdxd � � � � ) h x v( � H�
� �� �
�衡平量水
型模学数 节二第
�程方分微的流维二水压承
H� t� *� �) H� y�
y
T(
y� �
�)
H�
x�
x
T(
x� �
别差所有义意�似相式形
H� t�
� � ��)
H�
y�
hy K(
2
) �n � � ( g� � s � t� �
H�
x
K(
H�
t�
g� �
H�
t�
��
P�
t�
型模学数 节二第
H�
t�
*� � )
H�
y�
y
T(
y� �
�)
H�
x�
x
T(
x� �
M � s� � �
y x
T � M� yK
*
T � M � xK
�有则�流 维二平水作流水透渗�厚等平水层水含压承若
� z� y� x� � � � � � t � x �z � y � � � ) w� (� ) v� (� ) u � (� �
�为量水的加增体元单�内间时tΔ在�此因
型模学数 节二第
H�
z�
z
H�
H� x�
y�
K� � w
y
K� � v
x
K� � u
有向方Z、Y、X在速流流水�律定西达据根
型模学数 节二第
� 是 量 增 量 水 体 土xΔ
型模学数 节二第
tdxd
H�
t�
�
� 量 化 变 积 体 的 水 层 水 含 xd 的 应 对 其
td H� t�
� 化 变 面 水 潜 内 间 时td 在 �降下或升上的面水潜起引会化变的量水