线性递归数列
K阶常系数线性齐次递归数列通项公式的矩阵求法
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九江学 院学报 （ 自然科学 版）
２ ０ １ ３年第 ２期
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对于形如 ａ ＝ Ｘ １ ａ 一 １ ＋ ｘ ２ ａ 一 ２ ＋… ＋ ｘ ｋ ａ 一 ｋ（ ｎ＝ ｋ ，ｋ ＋ １ ，…）数列 ，其 中 Ｘ ｋ ≠０为常数 ，且 ａ ０ ，ａ ｌ
常见递归数列通项公式的求解策略
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
递归数列
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浅析特征根法求通项
2013-04治学之法数列通项公式直接表述了数列的本质。
数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。
因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。
下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
一、常系数齐次线性递归数列一般地，我们称由初始值a 1，a 2，a 3，…a k 及递推关系a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ）所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n ①的方程x k =c 1x k -1+c 2x k -2+…+c k ②称为其特征方程，方程的根称为｛a n ｝的特征根.下面不加证明地引进两个定理：定理1若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根x 1，x 2…x k ，（包括虚根在内）那么a n =A 1x n 1+A 2x n 2+…A k x nk ，其中A 1，A 2，A k是待定系数，可由初始值确定.定理2若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x 1，x 2…x s （s <k ），（包括虚根在内），其中x i （1≤i ≤s ）是②的t i 重根，那么t 1+t 2+…+t =R ，那么a n =A 1（n ）x n 1+A 2（n ）x n 2+A s （n ）x n s .其中A i （n）=B （i ）1+B （i ）2…+B （i ）t n ti -1，i =1，2…s ，这里B （i ）1，B （i ）2…B （i ）t （i =1，2…s ）的是待定系数，可由初始值确定.下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2+a n +1+a n =0，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为x 2+x +1=0，特征根为x 1=-12+3√2i ，x 2=-12-3√2i ，所以a n =A 1x n 1+A 2x n 2，由初始条件解得A 1=-9+3i √6，A 2=-9-3i √6因此a n =-9+3i √6，（-12+3√2i ）n +-9-3i √6（-12-3√2i ）n 评注：此类型问题解决的关键在于要熟记引入的定理1，注意特征根包括虚根，剩下的任务就是计算.例：设数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a 3=2，3a n +3=4a n +2+a n +1-2a n ，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为3x 3-4x 2-x +2=0，特征根为x 1=x 2=1，x 3=2，所以a n =（A 1+A 2n ）x n 1+A n3，有初始条件解得A 1=125A 2=35，A 3=2750因此a n =125［1+15n -272（-23）n］评注：这里的x =1是二重根，请注意，要利用定理2.二、常系数非齐次线性递归数列一般地，a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ），其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）≠0时，可以分成三类：第一类：f （n ）常数例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2…①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+2…②①和②整理可得：a n +2=6a n +1-11a n +6an -1就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.第二类：f （n ）关于n 的多项式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n -1-6a n +n 2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n -1-6a n +n 2……①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+（n -1）2…②①和②整理可得：a n +2=6a n+1-11a n +6a n -1+2n -1…③把③式中的n 用n -1代替可得：a n +1=6a n -11a n -1+6a n -2+2（n -1）-1…④③和④整理可得：a n +2=7a n +1-17a n +17a n -1-6a n -2+2就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的p 次多项式，我们只需重复上述p +1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.第三类：f （n ）关于n 的指数函数形式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2n ，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2n …①把①式两边同时除以2n +2，整理得：a n +22n +2=52a n +12n +1-32a n 2n +14…②令b n =a n 2n 可得：b n +2=52，b n +1-32b n +14就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.（作者单位福建省泉州南安一中）摘要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。
线性递归数列的通项公式与求和公式
线性递归数列的通项公式与求和公式
通常我们得到的递推数列是这样的形式：
目标是求的通项公式。
首先，上面的递推数列通常可以写成下面这种形式：
---------------------（式1）
也叫二阶差分式（或者叫递推式）。
为了求出一阶差分式，我们可以将原式写成如下形式：
其中，因此上式就是以为元素的等比数列，公比为。
通过移项同时可得:
与上面的式子完全等价。
两式子相减则有：
因此通项公式就求出来了：
现在需要解出x1,x2：
利用二次方程根与系数的关系，可知恰为方程的两
根，注意这里的系数abc就是上面二阶差分式（式1）的系数，不用计算，可以直接拿来用。
该二次方程就是原差分方程的特征方程。
求方程的根解除x1，x2后带入通项公式即可得到f(n)的表达式。
实际做题的计算步骤（更简单）：
1.移项写出二阶差分式，得到系数abc，也就获得了二次方程的系数abc。
2.解出二次方程的两个根x1，x2。
3.带入f(n)的通项公式即可。
例子：
斐波那契数列，它满足,
首先写出移项到左边的二阶差分式的标准形式：
，获得系数abc分别为1，-1，-1，那么差分式的特征方程就为，解得
带入通用的通项公式即可得到f(n)的通项公式：
完。
另外需要注意：该通项公式仅适用于线性的递推数列！。
求数列通项的几种方法
数列通项的几种求法一、一阶线性（及非线性）齐次（及非齐次）差分方程㈠ 求数列通项，首要的是通过观察已知数列各项之间的联系，找出数列前后项之间的递推关系或者各项与所在项数之间的关系. 1．通过中学课本中对等差数列，等比数列的学习，我们找到了一种发掘递推关系的基础方法.例： ①2，4，8，14，22，32，… 观察可得： 12(-1)n n a a --=n②2，2，3，6，15，45，…12n n a na -= ③1，5，14，30，55，91，… 21n n a a n --= ④1，1，2，2，3，3，4，4，… 1n n a a -+=n ⑤1，2，1，2，1，2，1，2，… 1.2n n a a -=其中④⑤是通过对①②③方法应用总结所得到的.2．通过对上述五例的观察发现，我们自己所能发现的也只是些满足1(,)()n n f a a g n -=的形式的递推关系，既是满足方程1(,)()n n f a a g n -=的形式，也就意味着我们可以扩大递推关系的寻找方法.例：⑥1，12，123，1234，… 110n n a a n --=⑦1，4，14，58，292，… 12n n a na --=通过前面的启发，我们还可以构造1()n n a ra s p -+=，11()n n n a ra s p qa --+=+…形式的递推关系（,,,,p q r s 是常数）.小结 寻找递推关系的常用方法：ⅰ：1n n a ka -- ⅱ：1/n n a a - ⅲ：n a k - (k 是常数）㈡前面对如何寻找递推公式（关系）已经有了初步的认识，下面主要就前面提到几类递推公式（关系）来求通项（一阶差分方程）. 1.主要形式：①1()n n a a f n --=②1/()n n a a g n -= ③1(n n a a F -+=n) ④1.()n n a a G n -=① 解 1()n n a a f n --=⇒12(1)n n a a f n ---=-⇒…⇒21(2)a a f -= 将上述等式左右两边分别各自相加，可得12()nn i a a f i =-=∑所以12()nn i a f i a ==+∑② 解 1/()n n a a g n -=⇒12/(1)n n a a g n --=-⇒…⇒21/(2)a a g =将上述等式左右两边分别各自相乘，可得12/()nn i a a g i ==∑所以12.()nn i a a g i ==∑③解1(n n a a F -+=n)，两边分别乘以(1)n-可得11(1)(1)(1)()n n n n n a a F n -----=-令(1)n n n b a =- 则111(1)n n n a b ----=于是 1(1)()nn n b b F n --=-所以12(1)()ni n i b F i b ==-+∑ 从而1122(1)(1)()(1)(1)()(1)nnnini n n n i i a F i a F i a +===----=---∑∑④ 解 1.()n n a a G n -=两边取对数得，1lg lg lg ()n n a a g n -+=令lg n n c a =则11lg n n a c --=于是1lg ()n n c c G n -+=所以12(1)lg ()(1)ni n n n i c G n c +==---∑则12(1)lg ()(1)lg 1010ni n n n i G n a c n a +=---∑==方法应用举例.例1）. 12(1)n n a a n --=-,12a =求n a . 解 代入①式，则222(1)2(1)22(1)22222nnn i i n n a i i n n ==-=-+=-+=⋅+=-+∑∑ 例 2）. 21n n a a n --=，11a =，求n a . 解 代入①式，则22121nnn i i a i a i ===+=∑∑事实上， 1。
6递归数列的通项(1)
2λ cos α , = b2 λ 2 = b1
an +1 = [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n
an = [c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ n 1
代入 an + 2 = b1an + b2 an +1 得
b2 an +1 + b1an = b2 [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n + b1[c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ = {c1[b2 λ cos nα + b1 cos( n 1)α ] + c2 [b2 λ sin nα + b1 sin( n 1)α ]}λ
∵ a n + 1 = 2 a n + 3 , ∴ a n + 2 = 2a n + 1 + 3
、 ，
a n + 2 a n + 1 = 2a n + 1 2a n a n + 1 = 3a n + 1 2a n
特征方程为 所以特征根为1和2。 再由
λ2 3λ + 2 = 0
初 等 数 学 专
a1 = 2 a n+1 = 2a n + 3 可得
a n = x + y 2 n 1
代入得
a2 = 7
题 研 究
于是设通项公式为 将 a1 = 2 a 2 = 7 所以通项公式为
x + y = 2 x + 2 y = 7 x = 3, y = 5
a n = 5 × 2 n 1 3
三、k阶循环数列的通项公式 对于阶数大于2的循环数列，我们有 定理3：设 λ1 , λ 2 , , λ t 是循环数列的特征根 它们的重数依次为 s1 , s2 , , st ( s1 + s2 + + st = k ) 那么循环数列的通项公式可以写成：
数列递推的技巧
数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。
下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。
线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。
常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。
2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。
指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。
常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。
3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。
差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。
常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。
4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。
递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。
常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。
5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。
齐次线性递归数列通项的矩阵解法
齐次线性递归数列通项的矩阵解法
作者：许震宇
来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第02期
【摘要】对于齐次线性递归数列的通项公式，常用解法多基于递归特征方程的特征根，方法生硬受限，结论不利推广。
本文引入齐次线性递归数列的递归矩阵，利用递归矩阵相似的对角矩阵或若当矩阵，得出高阶齐次线性递归数列通项的行列式表示。
【关键词】齐次线性递归数列；数列通项；递归矩阵；特征值与特征向量；相似矩阵；对角矩阵；若当矩阵；行列式
如果數列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的递归公式，用递归公式表示的数列叫作递归数列。
求递归数列的通项公式，是数学竞赛中的常见题型，常用方法多基于递归特征方程的特征根。
递推数列与递推关系
递推数列与递推关系在数学中，递推数列（也称为递归数列）是指通过给定的初始项以及各项之间的关系来定义的一个数列。
递推数列通常使用递推公式来表示，这个公式可以帮助我们计算出数列中的每一项。
本文将介绍递推数列以及递推关系，并探讨如何在实际问题中应用它们。
递推数列通常使用递推公式来定义。
递推公式可以分为两种类型：线性递推公式和非线性递推公式。
线性递推公式可以用以下形式表示：an = a(n-1) + a(n-2)其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第n-1项，a(n-2)表示数列中的第n-2项。
这个公式的含义是，数列中的每一项都等于它前两项之和。
例如，斐波那契数列就是一个线性递推数列，其递推公式为Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中F0 = 0，F1 = 1.非线性递推公式则更加复杂，它们通常涉及数列中多个前项的运算。
例如，阿凯米德圆问题中的非线性递推公式为an+1 = (an + bn)/2，bn+1 = √(anbn)，其中a1 = 1，b1 = 1/√2。
这个递推公式可以用来计算阿凯米德圆的面积的逼近值。
递推数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，当我们研究自然界中的一些变化规律时，常常会用到递推数列。
比如，在研究兔子繁殖问题时，我们会遇到斐波那契数列。
又如，在计算机科学中，递推数列在算法设计中有很大的作用。
一些计算机算法的时间复杂度可以用递推数列来表示。
递推关系是指数列中各项之间的关系。
在定义递推数列时，我们需要给出数列中每一项与前几项之间的递推关系。
递推关系可以是简单的线性关系，也可以是复杂的非线性关系。
通过递推关系，我们可以计算出数列中的每一项，这样就可以用递推数列来解决很多实际问题。
总之，递推数列是数学中一种重要的数列形式，通过递推公式和递推关系，我们可以计算出数列中的每一项。
递推数列在实际问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们揭示自然界中的一些变化规律，同时也在算法设计中发挥重要作用。
《数列》知识点、题型、解法全方位解析
《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉数列的基础知识与一般性结论：(一)数列的概念：项，项数。
一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集{1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。
(二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，）1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式，2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项，3.前n 项和公式：①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表示，如2)(1n n a a n S +=）注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11(1)(2)n n G n G n G -=⎧⎪⎨≥⎪⎩②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞=(三)定义数列的方式方法:1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式:2.用通项公式定义:3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象(五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列.2.从”函数”类型及项与项的关系分:①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数.②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。
一类二阶线性递归数列{δn}的若干性质
第 ３期
Ｎｏ． ３
一
类二 阶线性递归数 列 ｛ ｌ 的若干性质
才 让 东智
（ 青海师范大 学 民族部 ， 青海 西宁 ８００ ） １０ ８ ＋Ｌ
摘
要 ： ｛ ｌ ｛ １ 用 和 Ｌ 分别表示 Ｆｂｎ ｃｉ ｉ ａｃ数列和 Ｌｕａ 数列 ， 文利用组合分 析中的计数方 法 ， 论 了形如 ｄ ｏ ｃｓ 本 讨 ＝
维普资讯
２ ０２点 ０
青 海师 范 大学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｈ ｉ ｏｍａ Ｕｎｖ ｒｉ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ ｇ ａ Ｎ ｒ ｌ ｉｅｓ ｙ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｅ Ｑｉ ｔ ｎ
２ｏ ２ ０
一 一
收 稿 日期 ：０ ２一０ ２ ０ 一 ５— １ ３
作者 简介： 才让东智 （９ ３～）男 （ １６ ． 藏族） 青海人 ， ， 讲师 。
维普资讯
第 ３期
才让 东 智 ： 一类 二 阶线 性 递 归数 列 ｛ ｝ 的若 干性 质
１ １
证 明 ：１ 对 ”作 归纳 法 ， Ｌ。＝ ２ Ｆ。 ｌ （） 由 ， ＝ 及 。＝ ３ 公 式对 ＝ ｌ 立 。 知 成 假定 公 式对 于 ≤ ｋ
１， 一１ ＝ 一１ ＋ ２．
则 当 ＝ ｋ＋ ｌ时 ， 由递 推 式 （ ） （ ）和 （ ） 即得 １ ，２ ３，
（ ＋ｌ ＝
证 明 ： 据 引理 １ 引理 ２ 即得 根 和 ，
ＬＦ ＝ （ ＋ｑ （ ‘ ｑ ）＝ ［ ｐ ）・ 一
√ 、 ） ／
＝
一ｑ
＋ｑ －
一 ｑ ］
［ｐ ” 一ｑ ” （ 州）＋Ｐ 一 ¨（ ） 一ｑ 一 ” ・ 加 ） ” 加 ” （ ］ ［ｐ ” 一ｑ ” （ ¨Байду номын сангаас＋ （ ” ｐ一 一ｑ 一 ¨） 加 ） ” （ ］
14-- 高阶数列、线性递归数列
第四节 线性递归数列
第四节、线性递归数列
定义 1 若数列{an}中第 k 项以后的任一项 ank (n 1) 与其
前 k 项 ank 1 ， ank2 ， ， an 满足递推关系
ank f (ank1, ank 2 , , an )
1a1
C
k k
k
a1
当 n k 1时等式也成立，由①、②得：对任意的 n N *等式成立。
二、高阶等差数列
定义 2 对于数列{an} ，如果它的 k 阶差分数列{k an } 是非
零常数列，那么称{an}为 k 阶等差数列。当 k 2 时，k 阶等差数 列称为高阶等差数列。，
{1n
}
，{n1n
}
，…，{n
r1
1 n 1
}
，{2
n
}
，{n2
n
}
，…，{n
r2
1 2
n
}
，…，
{m n }
，{nm n } ，…，{nrm
1 m
n
}
线性无关(详细过程可参见文献
5)，
因为V
是k
维线性空间，从而
{1n}
，{n1n
}
，…，{n
r1
1 n 1
}
，{2
k
k
ci
C
l j
n
jl
(k
i)l
nk i
i1 l 0
j
k
n
C
l j
n
j
l
ci (k i)l ki
有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用
有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用摘要】本文旨在对现行中学教材中的一般递推数列进行研究，用二阶线性递推的理论探讨其求数列通项及数列和的一般方法。
【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Of the second-order linear recursion (push) the theory of series and its applicationZong Yumei【Abstract】The purpose of this paper to the existing secondary school textbook series of the general recursive study, using the theory of second-order linear recursive order to investigate the series, and several passed out and the general approach.【Key words】second-order linear recursive sequence; homogeneous type; characteristic equation; eigenvalue1关于递推数列的通项问题对于数列a1,a2,a3......,an (1)如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有an＝２+p1an+1+p2an=0(2)则称数列(1)为二阶线性递推数列。
我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。
满足以下两个条件：（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。
除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：f（1，c1，c2）＝a1f（2，c1，c2）=a2那末，也就找到了an的一般表达式。
数列的递推与递归
数列的递推与递归数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
而数列的递推与递归是数列研究中的两个重要概念。
本文将探讨数列的递推和递归的含义、特点以及其应用。
一、数列的递推数列的递推是指通过前一项或前几项来确定后一项的方法。
递推关系通常是数列的定义式，可以通过运算操作或公式得出。
递推关系常见的形式有线性递推和非线性递推。
1.1 线性递推线性递推是指数列中的项与前一项之间存在线性关系。
常见的线性递推关系是通过数列的差分算子来表示的。
例如，一个数列的线性递推关系为an = an-1 + d，其中an表示第n个项，d为公差。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列中的项与前一项之间存在非线性关系。
这种关系常见于一些特殊的数列，如Fibonacci数列和Lucas数列。
非线性递推的定义通常需要借助递推关系表达式或者递推公式。
二、数列的递归数列的递归是指通过前面的项来定义后一项的方法。
递归关系通常是用数列前一项的表达式来表示的。
递归关系是数列的重要定义方式，可以描述数列的规律与特性。
2.1 线性递归线性递归是指数列的每一项都由前面的有限个项来确定的递归关系。
例如，斐波那契数列就是一个线性递归数列，其递推关系为Fn = Fn-1+ Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1为初始条件。
2.2 非线性递归非线性递归是指数列的每一项都由前面的无限项来确定的递归关系。
这种递归关系常见于一些特殊的数列，如康托尔集合和自然数集合等。
三、递推与递归的应用递推与递归在数学中有广泛的应用，特别是在数列和函数的研究中起到重要作用。
3.1 数列模型递推和递归可以用来建立数列的模型，通过递推或递归关系可以简洁地描述数列的变化规律。
这种模型常用于解决实际问题中的数学建模和计算机算法等领域。
3.2 函数拟合递推和递归可以应用于函数拟合问题。
通过数列的递推或递归关系，可以得到一组函数值，从而拟合出数学函数表达式，用来描述实际问题中的规律和趋势。
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+
二阶线性递归数{In}的若干性质
二阶线性递归数{In}的若干性质
张黎明
【期刊名称】《青海师范大学民族师范学院学报》
【年(卷),期】2000(0)1
【摘要】@@ 用Fn和Ln分别表示斐波那契(比萨的)数和Lncas数.{I(3,3,n)}、{P(2,2,n……)}两数列的递推公式为In=In-1+In-2,Pn=Pn-1+Pn-2.本文利用组合分析中常用的计算方法,建立递归方程(引理1,2)、组合计算(定理2,4等证明)和数学归纳法,讨论了数列{In}和{Pn}的有趣性质,以及二者与斐波那契数和Lncas数的联系.得到了较系统的结果,可将斐波那契数的性质可经推广到数列{In}、{Pn}上去.【总页数】3页(P31-32,21)
【作者】张黎明
【作者单位】青海民族师范高等专科学校物理系,海南,813000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.二阶线性递归序列的几个性质 [J], 胡宏
2.二阶线性递归数列的若干性质 [J], 吴礼斌;褚仁华
3.一类二阶线性递归数列{δn}的若干性质 [J], 才让东智
4.二阶整线性递归数列的性质及应用 [J], 宋文霞
5.二阶整数递归序列的若干性质(英文) [J], 张之正;丁建立
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E13.数列的周期性研究
┏e=e ┃a=jc-2ej ⑤ ┗b=j²+jd ⑥ 为使方程*有两不同的虚根，必须k-j≠0
8
而由③-⑤知，（k-j)(c-2e)=0 ∴c=2e
又Δ*=Δ④=(kc+d)² 须令其＜0 ∴k,j共轭
再由an-j=e(an-1-j) ²/(can-1+d) ⑦, ②÷⑦有
（an-k）/(an-j)=[(an-1-k)/(an-1-j)]²=[(a1-k)/(a1-j)]2n-1
（其中 a=d= cosθ，b= -sinθ，d= sinθ），我们来探 求其存在周期性的条件。
思路 1：对于③④，可考虑消去 bn，即可得到 an=
- （a+d）·an-1 (ad-bc)an-2，即 an= 2cosθ·an-1-an-2
马上回到了上面㈠的问题。
这里采取思路 2：若把③④看做一个对点（an，bn）
一表示为an=A·zⁿ+B·z₁ⁿ (A ,B为待定系数)。
简证：由❶与韦达定理知 an+1-zan=z₁(an+zan-1)= … =z₁ⁿ(a1-za0) ❸；同理有 an+1-z₁an=zⁿ(a1-z₁a0) ❹
2
这样，由❸- ❹即得
an=(a1-za0) z₁ⁿ／(z₁- z) -(a1-z₁a0) zⁿ／(z₁- z) 又∵a1、a0、z₁、z 为常数 ∴引理 1 证毕
a 又 A = AA = = 与 的系 k+1
k ╰c d╯ ╰ck dk╯ ╰cak+dck cbk+ddk╯
n+k
数对应，∴成立 ∴综合①②，命题 1 得证。
╭aT 0╮
Ⅱ.现在只需证明存在数 T 使 AT 为数量矩阵 ╰0 aT ╯ ,
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线性递归数列
【基础知识】
1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()
()(11（一阶递归）
其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()
(1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q
a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）
b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）
解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα
+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】
例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨
⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
例3、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。
例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
例6、已知数列}{n a 满足101=a ，44
11n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。
例7、已知)
2()(+=
x a x x f ，且21)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （N n ∈），求n x 。
例8、已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(1611n n n a a a +++=+，求n a 。
例9、设正数列}{n a 满足12+-≤n n n a a a ，证明2
1+≤n a n （2=n ，3，4，…）
【练习】
1、已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a 。
（1）11=a ，1251+=+n n a a （N n ∈）
（2）11=a ，121-+=+n a a n n （N n ∈） （3）21=a ，11
1++=+n n a n n a （N n ∈） （4）21=a ，n
a n n a n n 211+-=+（N n ∈） （5）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和） （6）101=a ，4
110n n a a =+（N n n ∈≥,2） （7）⎩⎨⎧==+=++1
322112a a a a a n n n
2、已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b 。
3、已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明N x n ∈（N n ∈）。
4、已知数列}{n a 满足：)31(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数。