平面向量的数量积教案

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

博白县龙潭中学 庞映舟

一、教学重难点：

1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证；

2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；

二、教学过程：

（一）创设问题情景，引出新课

问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

新课引入：本节课我们来研

究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的

物理背景及其含义 （二）新课：

1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析：

问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F →

,在数学中我们给它一个名字叫投影。

“投影”的概念：作图

定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→

a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

2、背景的第二次分析：

问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？

平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0.

注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.

3、向量的数量积的几何意义：

数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积.

三、例题讲解：

例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→

b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹

角θ=00，求→a ·→

b ；

解：由向量的数量积公式得：

①→a ·→b =|→a ||→

b |cos θ=8×6×cos O 60=8×6×21=24 ①→a ·→b =|→a ||→

b |cos θ=8×6×cos O 0=8×6×1=48 归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到： 性质（1） 当→a 与→b 同向时，→a ·→b = →→b a ； 练习2已知｜→a ｜＝1，｜→b ｜＝2，当→a 与→b 的夹角为090时，求→a ·→b 和→a ⋅→a 解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得： ①→a ·→b =|→a ||→

b |cos θ=1×2×cos O 0=1×2×1=2 ②→a ·→a =|→a ||→b |cos θ =1×1×cos O 0=1×1×1=1 归纳总结：⑵特别地→a ⋅→a 常记作2→a ，这时2→a = 2→a ； ⑶→a ⊥→b ⇔ →a ·→b = 0 ；

四、练习： 五、课堂小结：“1+3”

一个概念：数量积的定义→a ·→b = |→a ||→b |cos θ 三个性质：

1、当→a 与→b 同向时，→a ·→b = →→b a ；

2、特别地→a ⋅→a 常记作2→a ，这时2→a = 2→a ；

3、→a ⊥→b ⇔ →a ·→b = 0 ；

六、作业：课本109页 练习A ，2，练习B ，1、2 ;b 30b ,2b ,12a 10→→→→→→•==a a ，求的夹角为与、已知;

b 45b ,4b ,25a 20→→→→→→•==a a 求的夹角为与、已知