第三章 有界线性算子空间(续)

e， 若找不到非零元素 x0 M f ， 即只有 x0 0 与 M f 正交， 说明 H 就 是 f 的零空间，即 H M f ，此时，对于 x A ，都有 f ( x) 0 ( x,0) 即 0 ，也可以写成内积的形式。
5.2 Hilbert 空间 H 的共轭空间 H * 设定义域 H 为完备的内积空间，定义在 H 上的所有有界线性泛 函集记为 H *
x 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 x 时，上式可取得上确界，等号成立。 若
| f ( x) || ( x, ) | x
则 f 为有界线性泛函，当然也有连续的。
②有界线性泛函可以写成内积的形式。 已经看到，内积 ( x, ) 是线性变换，当 时，还是有界线性变 换。 但有界线性变换是否一定可写成内积的形式呢？答案是肯定的， 有下面的定理： 设 f 是 Hilbert 空间 H 到 C 的有界线性泛函，则 唯一的 H ， 使 f ( x) 可表示为内积： f ( x) ( x, ) 。
L( x) L1 ( x) L2 ( x)
数乘定义： K 和 L L ， L L1 是指，对于 x A ，都有
L( x) L1 ( x)
有界线性变换的加法与数乘借助下图可以更好地加以理解
L L1 x A L2 + y B
L x A y B
L1
+

注意， 有界线性算子的加法与数乘是借助信号空间的加法和数乘 进行定义的。
L sup
xA x 0
Lx x
推论
L sup
xA x 0
Lx x
sup
xA x 1 x 0
Lx x
sup Lx
xA x 1
证明：
显然有
L =sup
xA x 0
Lx Lx sup sup Lx x x xA xA
x 1 x 0 x 1
若能证明
L sup Lx 则推论得证
即对于 x A 都有：
L1 ( x) 、 L2 ( x) B ， L1 , L2 都是线性的，且
L1 ( x) K1 x L2 ( x) K2 x
L L1 L2 L 是指，L 也是 A B 的线性变换。
由加法定义，对于 x A ，因为 L( x) L1 ( x) L2 ( x) B ，故 L L1 L2 将 x A 变换到 Lx B ，是 A B 映射。而且可证明是线性的。 进一步还是有界线的，即对于 x A
③ 的求法 设 f 是 H C ，为 Hilbert 空间上的有界线性泛函， f ( x) ( x, ) ， 下面讨论如何求 。 a，找 f 的零空间 Mf
M f {x; x H , 且f ( x) 0}
b，找非 0 元素 x0 H ，且 x0 M f
x0 与 M f 正交，是指 x0 与 M f 中的任何元素都正交。
LL1 L1L I
特殊情况： A B 此时若 A 为巴拿赫空间， L1 一定有界，即若 L L 则 L1 L 。
4 线性泛函与线性泛函空间 本节介绍特殊的线性变换，即线性泛函，研究线性泛函时同样其 定义域也是赋范线性空间，其值域为数，同样也是赋范线性空间。线 性泛函除了具有前面介绍的线性变换的所有性质外， 其具有其特殊性。 值域的理解：数（不解释为信号空间）
5.1 内积空间上的线性泛函 ①内积是有界线性泛函 设 f 是内积空间 A 到数域 C 的泛函，具有内积的形式：
f ( x) ( x, ) ，其中 x, A
可证
f ( x y) ( x y, ) ( x, ) ( y, ) f ( x) f ( y)
故 f 是定义在 A 上的线性泛函，其范数：
f f ( x) | ( x, ) | sup sup x x xA xA
x 0 x 0
利用许瓦兹不等式：
| ( x,) | ( x, x)1/ 2 ( y, y)1/ 2 x y
f | ( x, ) | x sup x x xA
xA x 1
由于 L sup
xA x 0
Lx x
Lx x

L
x1
x
对于 0 必 x1 A 使
Lx1 x1
x x1 L
L
改写成 L 令 x2
x1 x1
即总 x2 A ，且 x2 1使 Lx2 L
c，构造 y
y f ( x) x0 f ( x0 ) x
显然有 y H ，且 y M f 因为 f ( y) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x) 0
d，求内积 ( y, x0 )
( y, x0 ) ( f ( x) x0 f ( x0 ) x, x0 ) f ( x)( x0 , x0 ) f ( x0 )( x, x0 ) 0
可以证明该内积是合理的，即
( f , f ) ( , ) [( , )* ]* ( f , f )*
设
f f + f f ( x) f ( x) f ( x) ( x, ) ( x, ) ( x, * ) ( x, * ) ( x, * * )
x 0
sup Lx
xA x 1
L 的完备性定理： L 完备的充分条件是 A 完备。
定理是说：A 完备， L 一定完备。但 A 不完备， L 可能完备也可 能不完备。 证明略。
3.5 线性算子的进一步介绍 复合映射： 复合映射前面已介绍过，
L A L2 B L1 C
一般复合映射：
L: AC L1 : A B; L2 : B C
3. 有界线性算子空间
3.1 有界线性算子集 设 A、B 为两个赋范线性空间，由 A 到 B 的所有有界线性变换构 成一有界线性算子集
L {L; L : A B的有界线性变换}
3.2 有界线性算子集构成线性空间 在 L 上定义加法运算和数乘运算则有界线性算子集构成线性空 间。 加 法 定 义 ： L1 、 L2 L ， L L1 L2 是 指 ， 对 于 x A ， 都 有
记为 L( x) L1L2 x 由于 x A ，上式都成立，故记为
L L1L2
当 L1, L2 L 都是 A 到 B 的映射时，两者要构成复合映射必须有
A B 映射，而且还有下列关系：
L1 ( L2 L3 ) L1L2 L1L3 ( L1 L2 ) L3 L1L3 L2 L3
L1 L L1 0 L1
数乘：若 K , L L 可以证明 L L1 L 即 L1 也是 A 到 B 的有界线性变换且满足数乘的 a、b、c、d 四 条。
3.3 有界线性算子集构成线性赋范空间 在有界线性算子集构成的线性空间的基础上， 为其中的每个元素 L 定义一个范数 L ，则构成线性赋范空间。 L 的范数定义： 对于 L L（即 A B 的有界线性变换） ，满足 Lx K x 的最小 K 值定义为 L 的范数，记为 L ，即
即
f ( x) f ( x0 ) ( x, x0 ) ( x0 , x0 )
f * ( x0 ) x0 x, ( x, ) ( x , x ) 0 0
f * ( x0 ) 其中 x0 ( x0 , x0 )
可见 与 x0 平行，且 x0 M f 。
4.2 有界线性泛函集与泛函空间 ① A* { f ; f 为A C的有界线性泛函} ②定义加法与数乘构成线性空间 加法：
f f1 f 2 是指对于 x A ，若都有 f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) 。
数乘：
f f1 是指对于 x A ，若都有
x 1 x 0 x 1
④共轭空间 此时 A* 就构成了一个线性赋范空间，称为 A* 的共轭空间。
A* 的完备性定理： A* 总是完备的。
上面曾介绍
L 的完备的充分条件是
A 完备，但不是必要条件。
5．Hilbert 空间上的有界线性泛函 前面介绍有界线性变换（含线性泛函）其定义域和值域都有赋范 性空间，本节介绍的有界线性泛函为其定义域内积空间。 而且还对有界线性泛函定义内积构成内积空间。
f ( x) f1 ( x)
可以证明，上面的代数定义是合理的。
③定义 A* 每个元素的范数构成赋范线性空间
f sup
xA x 0
| f ( x) | x
该范数定义是合理的，同样有推论
f sup
xA x 0
| f ( x) | | f ( x) | sup sup | f ( x) | x x xA x A
对第三条加以说明：
L L1 L2 sup
x A x 0
Lx x
sup
xA x 0
L1 ( x) L2 ( x) x L1 ( x) x sup
xA x 0
sup
x A x 0
L1 ( x) L2 ( x) x
sup
xA x 0
L2 ( x) x
4.1 线性泛函的概念 线性泛函是线性赋范空间 A 到复数域 C 的映射，且对 x, y A 及
, K ，有
f ( x y) f ( x) f ( y)
线性泛函的性质： ①连续性：一定连续 处处连续 ②有界性：有界 连续 有界是指 x A ，有 | f ( x) | K x 对于数域，范数用| |代替。
H * { f ; f 为H C的有界线性泛函}
定义代数运算： f f1 f 2 和 f f1 其含义是指对于 x H 和 C 都有：
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f ( x) f1 ( x)
H * 构成线性空间。
定义内积：
( f , f ) (, )*
L( x) L1 x L2 ( x) L1 ( x) L2 ( x) K1 x K 2 x K x
其中 K K1 K2 还可证明满足加法的 a、b、c、d 四条。 对于加法中的 0 元素的解释：
x A y B
L 0 是指对于 x A ，都有 Lx 0
L1 L2
这样有界线性算子空间就构成了一线性赋范空间。
3.4
L 的完备性定理
L 是赋范线性空间，也是距离空间， (L1, L2 ) L1 L2
体现的是两
个变换的差别，可以借助下图和公式理解。
L L1 x + Lx
L 2
Lx ( L1 L2 ) L1 L2 sup x xA
可以证明： 对于上面的 L 集合，定义了上述加法与数乘运算以后，构成了一 个由有界线性算子构成的线性空间， 即上面的加法与数乘是合理的代 算运算，即 加法：若 L1, L2 L, 可以证明L1 L2 L 简单地对上式进行解释。
L1, L2 L 是指 L1 和 L2 都是线性赋范空间 A 到 B 的有界线性变换，
sup Lx Lx2 L
xA x 1
由于 的任意性，当 0 时，上式变为
sup Lx Lx2 L
xA x 1
即 L sup Lx
xA x 1
证毕
可以证明，上面定义的范数是合理的，即满足：
L 0 L 0L0
L | | L
L1 L2 L1 L2
但一般 L1L2 L2 L1 逆映射 逆映射前面也介绍过 对于 A B 的一一线性映射， 逆映射 L1 将 B 映射为 A，可以证 明 L1 也是线性的。
一般来说，L 有界， L1 不一定有界，但有巴拿赫定理： 若有界线性算子 L 将巴拿赫空间 A 映射为另一个巴拿赫空间 B， 则 L1 是由 B 到 A 的有界线性变换。 L 和 L1 构成的复合映射满足下列关系：