第三章有界线性算子空间(续)

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第三章线性算子与线性泛函

证明：用 X 表示 R上以 2 为周期的连续函数全体，赋予
范数 || x || m ax{| x(t) |; t }, 那么 X 是一 Banach空间。
对每个 x X , 其 F - 级数的前 n + 1 项的部分和记为( S n x )(t )。
n
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共鸣定理的应用
• 1.机械求积公式的收敛性 • 2. Lagrange插值公式的发散性定理：差值
多项式作为连续函数的近似表达时，插值点的无限增多不能更好的逼近插值函数。 • 3. Fourier级数的发散性问题：存在连续的周期函数，其Fourier级数在给定点发散。
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1.机械求积公式的收敛性
如果 fn 在X的每点x处有界, 那么 fn一品课件
定理2.设X,Y都是Banach空间，则B(X,Y)在强收敛意义下是
完备的。
定理3：设X是赋范线性空间，Y是Banach空间， {Tn}B(X,Y) 满足条件：(1){||Tn ||}是有界数列； (2)在X中的某一稠密子集G中的每个元素x,{Tn(x)}都收敛. 则{Tn}强收敛于某一个算子TB(X,Y),且||T||lim||T||.
第三章线性算子与线性泛函
• 一致有界原理（共鸣定理）及其应用 • Hahn-Banach定理，非零有界线性算子存在
性定理 • 共轭空间与共轭算子 • 开映射、逆算子及闭图形定理 • 算子谱理论简介
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第一节共鸣定理及其应用
• 定义：设A是距离空间X的子集，若A在X中的任意一个非空开集中均不稠密（A没有内点），则称A 是稀疏(疏朗)集；称X是第一纲的，若X可表示成至多可数的稀疏集的并；不是第一纲的X称为是第二纲的。

泛函分析之B空间上的有界线性算子

特征值（点谱）、只有零解（连续谱、剩余谱）值域是 E 的真子空间，且在 E 稠密，称为连续谱值域之闭包是 E 的真子空间，称为剩余谱定理：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λ为 T 的特征值，T 对应与λ的全部特征值及零元素组成 E 的一个闭子空间，称为对应于λ的特征向量空间，此空间的维数为λ的重复度；
界逆算子时，(T-1)*=(T*)-1. 定义：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子，则λ为 T 的正则值，正则值的全体是正则集 ρ (T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为 T 的预解式或预解算子；
IF λ不是 T 的正则值，则λ为 T 的谱点，谱点的全体是谱σ(T). σ(T)分为以下三种：
λ是 T 的正则值，则对 ∀μ是复数，|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是 T 的
正则值，且：
∑ (µI − T )−1 =
∞ n=
0
(
−1)
n
(
µ
−
n
λ ) (λI
−
T
)− (n+1)
|| (µI - T)-1 - (λI - T)-1 ||≤ | µ - λ ||| (λI - T)-1 || 2 1− | µ - λ ||| (λI - T)-1 ||
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映入 B 空间 E1,则 T 的值域或者是 E1 或者是 E1 中第一类集。逆算子定理：
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映射成 B 空间 E1 中的某个第二类集 F,且 T 是单射，则 T 存在有界逆算子。推论：
（E,||||1）（E,||||2）为 B 空间，IF ∃K>0,ST, ∀x∈E,||x||1≤K||x||2,

第三章有界线性算子-黎永锦

第3章有界线性算子音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家)Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞→lim ,则T 也是连续的.Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的.Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理.Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性.在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论.3.1 有界线性算子算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子.定义3.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,T 是从X 到Y 的算子,且满足（1） Ty Tx y x T +=+)(, X y x ∈,任意；（2） Tx x T αα=)(, K X x ∈∈α,任意.则称T 为X 到Y 的线性算子.明显地,若Y 是数域K ,则X 到K 的线性算子就是线性泛函.例 3.1.1 定义从∞l 到0c 算子)2()(i i i xx T =则对任意∈)(i x ∞l ,有0>M ,使得∞<≤M x i ||sup .故)0(02|2|→→≤i M x i i i .因此0)(c x T i ∈ ,即T 是∞l 到0c 的算子,并且Ty Tx y x y x y x T iii i iii βαβαβαβα+=+=+=+)2()2()2()( 所以T 是∞l 到0c 的线性算子.例 3.1.2 设T 是从0c 到nR 的算子,且对任意0)(c x x i ∈=,定义)(i y Tx =,这里n i ≤时,i i x y =, n i >时,0=i y ,则T 是从0c 到nR 的线性算子.类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立.定理 3.1.1 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 在X 上连续当且仅当T 在某个X x ∈0处连续.线性算子的连续与有界性有着密切的联系.定义 3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,若存在数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤,X x ∈对任意成立.则称T 是有界线性算子,否则称为无界的.类似于线性有界泛函,有下面的定理.定理3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 是有界的当且仅当T 是连续的.由上面定理可知,当T 是X 到Y 的线性连续算子时,必有0>M ,使得||||||||x M Tx ≤由此对0≠x ,有+∞<≤M x Tx ||||||||. 定义3.1.3 若T 是X 到Y 的线性连续算子,则称||||||||sup||||0x Tx T x ≠= 为T 的范数.容易看出,||||sup ||||sup ||||sup ||||1||||1||||1||||Tx Tx Tx T x x x <≤====.例 3.1.3 设X 是赋范空间,I 是X 到X 的恒等算子,则I 是连续的,且1||||sup ||||sup ||||1||||1||||=====x Ix I x x .有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了.定理 3.1.3 若X 是有限维赋范空间,Y 是任意赋范空间,则X 到Y 的任意线性算子T 都是连续的.证明设X 是n 维赋范空间,},,{1n e e 是X 的Schauder 基,则对任意X x ∈,有∑==ni i i e x 1α.由于T 是线性的,故∑==ni i i Te Tx 1α).||||}(max{||||||||||||||||111∑∑∑===≤≤=ni ii i ni ini ii Te Te TeTx ααα对任意X x ∈,定义∑==ni ix 11||||||α,则1||||⋅是X 上的范数,因此1||||⋅与||||⋅等价,即存在0>C ,使得||||||||||11x C x ni i≤=∑=α令||}m ax {||i Te C M =,则||||||||x M Tx ≤所以,T 是X 到Y 的连续线性算子.若用),(Y X L 记所有从赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,则),(Y X L 在线性运算x T x T x T T 2121)(βαβα+=+下是一个线性空间,在空间),(Y X L 中,由算子范数的定义有||||||||||||2121T T T T +≤+和||||||||||T T λλ=,以及0||||=T 时0=T 成立.因此),(Y X L 在算子范数||||⋅下是一个赋范空间,并且当Y 是Banach 空间时,),(Y X L 也是Banach 空间.定理 3.1.4 设X 是赋范空间,Y 是Banach 空间,则),(Y X L 是Banach 空间. 证明设}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,因此对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时ε<-||||n m T T对任意X x ∈,有||||||||||||||)(||||||x x T T x T T x T x T n m n m n m ε<⋅-≤-=-因此}{x T n 为Y 中的Cauchy 列,由Y 的完备性质可知,存在Y y ∈,使得y x T n n =∞→lim定义X 到Y 的算子, x T y Tx n n ∞→==lim ,易知T 是线性的.由于0||||||||||||||→-≤-n m n m T T T T ,因此||}{||n T 为R 中的Cauchy 列,从而存在0>M ,使得.,||||都成立对任意N n M T n ∈≤故||||||||lim ||||x M x T Tx n m ≤=∞→,从而T 是X 到Y的线性连续算子.由上面证明可知对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时,有都成立对任意X x x x T T x T x T n m n m ∈<⋅-≤-||,||||||||||||||ε.令∞→m ,则因此ε<-=-∈≠||||||||||||,0x Tx x T SupT T n Xx x n对任意N n >成立，从而T T n →,所以,),(Y X L 是完备的. 由于数域K 完备,因此容易看到下面结论成立.推论3.1.1 对于任意赋范空间X ,),(K X L 一定完备.后面都将),(K X L 记为*X ,称之为X 的共轭空间,因此所有赋范空间X 的共轭空间*X 都是完备的.3.2 一致有界原理设X 和Y 是Banach 空间.}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,一致有界原理指的是若对于任意}|||{||,∧∈∈ααx T X x 是有界集,则}|||{||∧∈ααT 一定是有界集,即+∞<∧∈||||sup ααT .其实,这一定理的一些特殊情形,许多数学家早就注意到了,如Hellinger Lebesgue ,和Toeplitz 等,Hahn H .在1922年总结了他们的结果,证明了对Banach 空间X 上的一列线性泛函}{n f ,若任意|})({|,x f X x n ∈有界,则||}{||n f 一定有界.独立地,Banach S .证明了比Hahn H .更一般的情形,即设}{n T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 的一列算子,若对任意||}{||,x T X x n ∈有界,则||}{||n T 一定有界,最后在1927年Banach S .与Steinhaus H .利用Baire 在1899年证明的一个引理,证明了一致有界原理.||||||||x x T x T n ε<-引理 3.2.1 (Baire 引理) 设}{n F 是Banach 空间X 中的一列闭集,若≠∞=01)( n n F φ,则存在某个N 使得≠0N F φ.下面举两个例子.例 3.2.1 在R 中,]12,11[n n F n -+=, 则)2,1(1=∞= n n F 有内点,故必有某个≠0N F φ.例 3.2.2 在R 中,},,2,1{n F n =,则对任意n ,=0N F φ,且,,2,1{1=∞=n nF},1, +n n , 所以=∞=01)( n n F φ.在1912年,Helly 建立了],[b a C 上的一致有界性原理,Banach 空间上的一致有界性原理是Banach [1922],Hahn [1922]和t Hildebrand 给出的,Steinhaus H .1927年以B a n a c h 和他两个人的名义在《数学基础》第9卷上发表了该定理.它断言,在Banach 空间X 上,如果有一列算子n T ,能对每个X x ∈,数列),2,1||}({|| =n x T n 都有上界x M ,那么必存在常数M ,使得||}{||n T 有界.这个由各点x 的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理就叫Steinhaus Banach -定理.定理 3.2.1 (一致有界原理) 设X 是Banach 空间,Y 是赋范线性空间,}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,若对任意X x ∈,有+∞<||}sup{||x T α则+∞<||}sup{||αT证明对任意n ,令 ∧∈≤∈=αα}|||||{n x T X x F n ,则n F 是X 闭集,且X F n n =∞= 1,由于≠=∞=001)(X F n n φ,因此由Baire 引理可知存在某个N ,使得≠0N F φ,故存在n F x ∈0及0>r ,使得N F r x U ⊂),(0,因为N F 是闭集,所以N F r x B r x U ⊂=),(),(00因此对于任意X x ∈, 1||||=x ,有N F r x B rx x ⊂∈+),(00故对任意α,有N rx x T ≤+||)(||0α又由于||)(||||||||||00rx x T x T x rT +≤-ααα, 故+∞<+≤+≤∧∈||)||sup (1||)||(1||||00x T N r x T N r x T αααα令||)||sup (10x T N r M αα∧∈+=,则M 与x 无关,且+∞<M .所以+∞<≤==M x T T x ||||sup ||||1||||αα问题 3.2.1 在一致有界原理中,X 的完备性能否去掉？例 3.2.3 设X 为全体实系数多项式,对任意X x ∈||max ||||,)(111i ni i ni i x tt x x αα≤<-====∑ ,则||)||,(⋅X 是赋范空间,但不完备,在X 上一致有界原理不成立.事实上,对任意X x ∈,x 可以写成11)(-=∑=i ni i tt x α,这里存在某个x N ,使得xN i >时,0=i α,在X 上定义一列泛函n f ：∑==ni in x f 1)(α, 这里11)(-=∑==i ni i tt x x α由|||||||)(|1x n x f ni in ≤=∑=α可知),(R X L f n ∈,且对于任意X x ∈,有∑∑∞=--===1111i i i i mi i ttx αα故∑∑==≤=ni ini i n x f 11|||||)(|αα（对于固定的n x ,是固定的）,因此+∞<≤∞<≤|||||)(|sup 1x m x f n n . 但对于任意N k ∈,取kt t t x +++= 1)(0,有1}1,,1,1,1m ax {||||0=⋅⋅⋅=x ,且.)(|})(sup{|||}sup{||00k x f x f f k n n =≥≥由k 的任意性可知}||sup{||+∞=n f ,因此,}{n f 不是一致有界的.推论3.2.1 设X 是赋范空间,X x ⊂∧∈}|{αα,若对任意*∈X f ,有+∞<∧∈|)(|sup ααx f ,则+∞<∧∈||||sup ααx .证明定义R X T →*:α为)()(ααx f f T =则αT 是线性算子,且对固定的α,有|||||||||)(||)(|αααx f x f f T ⋅≤=故αT 是线性有界算子.由于+∞<=∧∈∧∈|)(|sup |)(|sup ααααx f f T ,对任意固定的*∈X f 都成立,并且*X 是完备的,所以由一致有界原理可知+∞<∧∈||||sup ααT但|||||)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||ααααx x f f T T f f =====,所以+∞<∧∈||||sup ααx .Neumann Von J ..在赋范空间),(Y X L 中引进几种不同的收敛性.定义3.2.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈, ),(Y X L T ∈,则（1）若0||||→-T T n ,称n T 一致算子收敛于T ,记为T T n −→−⋅||||；（2）若对任意 0||||,→-∈Tx x T X x n ,称n T 强算子收敛于T ,记为T T sn −→−；（3）若对任意X x ∈, *∈Y f ,有0|)()(|→-Tx f x T f n ,称n T 弱算子收敛于T ,记为T wT n −→−.由上面的定义容易看出,算子的收敛性有如下关系：定理 3.2.2 (1) 若T T n −→−⋅||||,则T T sn −→−；(2) 若T T s n −→−,则T T wn −→−.值得注意的是上定理中反方向的推导一般不成立.例3.2.4 在1l 中,定义11:l l T n →为),,,0,,0(21 ++=n n n x x x T则),(11l l L T n ∈,且对任意 1l x ∈,有∑∞+=++→==-1210||||),,,0,,0(||||||n i in n n xx x x x T θ因此θ−→−sn T ,但 1||),0,1,0,,0(||||||||sup ||||11||||==≥=-+= n n n x n e T x T T θ所以,n T 不一致收敛于零算子θ.定理 3.2.3 设X 是Banach 空间,X 是赋范空间),(Y X L T n ∈,若对任意}{,x T X x n ∈收敛,则一定存在),(Y X L T ∈,使得n T 强算子收敛于T .证明由于}{x T n 的收敛对任意x 都成立,故可定义x T Tx n n ∞→=lim ,由n T 的线性可知T 是线性的.由于对任意}{,x T X x n ∈收敛,因此||}{||x T n 也是收敛的,从而+∞<||}sup{||x T n ,根据一致有界原理,有+∞<≤M T n }||sup{||,因而||||||||||||sup ||||lim ||||x M x T x T Tx n n n ≤≤=∞→.即),(Y X L T ∈,显然T T sn −→−.定理 3.2.4 设X , Y 是Banach 空间,),(Y X L T n ∈, 则}{n T 强算子收敛的充要条件为（1）存在0>C ,使得+∞<≤C T n ||}sup{||；（2）存在 X M ⊂,使得X M =且对于任意 }{,x T M x n ∈收敛.证明若T T sn −→−,则（2）明显成立. 若对于任意 X x ∈,有Tx x T n n =∞→lim . 故+∞<||}sup{||x T n ,由一致有界原理可知||}{||n T |是有界的.反之,若（1）,（2）成立, 对任意X x ∈及任意0>ε,由X M =知一定存在M y ∈,使得Cy x 3||||ε<-因为对任意M y ∈,}{y T n 收敛,所以存在N ,使得N n m >,时,有3||||ε<-y T y T n m故CCCCy x T y x T x T y T y T y T y T x T x T x T n m n n n m m m n m 333||||||||3||||||||||||||||||||||||εεεε++≤-++-≤-+-+-≤-.由于Y 是完备的,因而}{x T n 是收敛的,定义x T Tx n n ∞→=lim ,则),(Y X L T ∈,所以 T T sn −→−. 推论3.2.2 设X 是Banach 空间,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈,若T T sn −→−,则 ||||lim ||||n n T T ∞→≤证明由T T sn −→−可知,对任意X x ∈,有 x T Tx n n ∞→=lim由于是Banach 空间,并对任意X x ∈,有∞<||}sup{||x T n ,因此∞<||}s up {||n T,从而,||||||||lim ||||lim ||||lim ||||x T x T x T Tx n n n n n n ⋅≤==∞→∞→∞→,所以||||lim ||||n n T T ∞→≤.例题3.2.1设X 是有限维范空间,Y 是赋范空间,∧∈∈αα),,(Y X L T . 若对任意X x ∈,有+∞<∧∈||||sup x T αα,试不用一致有界原理证明+∞<∧∈||||sup ααT .证明在X 上定义||}||sup ||,max{||||||1x T x x αα∧∈=. 由于（1）对任意X x ∈, +∞<≤1||||0x ；（2）当0||||1=x 时,0||||=x 从而0=x .且0=x 时,显然有0||||1=x ；（3）11||||||||||x x αα=；（4）||})(||sup ||,max{||||||1y x T y x y x ++=+α||}||sup ||,max{||||}||sup ||,max{||||}||sup ||||sup ||,max{||y T y x T x y T x T y x αααα+≤++≤11||||||||y x +=因此,1||||⋅是X 上的一个范数.由于X 是有限维范空间,因此范数||||⋅和1||||⋅是等价的，故存在0>C ,使得||||||||1x C x ≤,对所有的X x ∈都成立，因而||||||||sup x C x T <∧∈αα,所以+∞<∧∈||||sup ααT .3.3 开映射定理与逆算子定理定义 3.3.1 设X 和Y 是赋范空间,Y X T →:, 若T 把X 中的开集映成Y 中的开集,则称T 为开映射.例 3.3.1 设X 是实赋范空间,则X 上的任意非零线性泛函f f ,一定是X 到R 的开映射.问题 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈, 问T 何时一定是开映射？定理 3.3.1 （开映射定理）设X 和Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是满射,即Y TX =,则T 是开映射.开映射定理的证明要用到下面的引理, 它是Schauder 在1930年得到的.引理 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若Y TX =,则存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε.引理的几何意义是如果)1,0(U 是X 中的开球,则)1,0(TU 为Y 中的点集,且Y 中的0点一定是)1,0(TU 的内点.开映射定理的证明设U 是X 中的任意开集,则对任意TU y ∈0,存在U x ∈0,使得00Tx y =,下面只须证明0Tx 为)(U T 的内点.由于U 是开集,因此存在0>r ,使得U r x U ⊂),(0,故),0(),0()},0(|{)},0(|{),(00000r TU y r TU Tx r U x Tx Tx r U x x x T r x TU TU +=+=∈+=∈+=⊃.由上面引理可知,存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε,因此),0(),0(r TU r U ⊂ε, 所以),(),0(),0(000εεr y U r U y r TU y TU =+⊃+⊃,即0y 为TU 的内点, 因而 TU 为 Y 的开集.推论3.3.2 若X 是Banach 空间,则对所有f f X f ,0,≠∈*一定是开映射.证明不失一般性,不妨设R K =,则由于0≠f ,因此存在X x ∈0,使得1)(0=x f ,故对任意R ∈α,有X x y ∈=0α,使得αα==)()(0x f y f ,因而f 是X 到R 的满射.所以,由开映射定理可知f 为开映射.思考题3.3.1 若f 是开映射,则1-f存在时是否1-f 一定连续？定义 3.3.2 若X ,Y 为赋范空间,),(Y X L T ∈,若对任意y x X y x ≠∈,,时,必有Ty Tx ≠,则算子X TX T →-:1, 称为T 的逆算子.明显地,若),(Y X L T ∈,1-T 存在,则1-T 也是线性的.例题 3.3.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T ∈,则),(1X Y L T ∈-,当且仅当存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,且此时一定有S T=-1. 证明若),(1X Y L T ∈-,令1-=T S ,明显地,有Y X I T T S T I T T T S =⋅=⋅=⋅=⋅--11,反之,如果存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,则对任意y x ≠,有Ty S y x Tx S ⋅=≠=⋅,因此Ty Tx ≠,故T 是单射,从而1-T 存在.对任意Y y ∈,有X Sy ∈故y y I Sy T Y ==)()(,令Sy x =,则y Tx =,因而T 是满射,明显地，1-T 是线性的,因此1-T 为Y 到X 的线性算子,又因为S S T T S T T I T Y =⋅⋅=⋅=---)()(111,所以 S T =-1),(X Y L ∈.逆算子定理是Banach S .在1929年给出的,利用开映射定理,容易证明逆算子定理成立.定理3.3.5. （Banach 逆算子定理）设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是双射,则1-T 存在,且),(1X Y L T ∈-.证明由于T 是一一对应,且满的,因此1-T 存在且是线性的.由于X ,Y 是Banach 空间,且Y TX =,因而由开映射定理可知T 开映射,从而对任意开集X U ⊂,有TU U T =--11)(也是开集,所以1-T 连续,即),(1X Y L T ∈-.在逆算子定理中,完备性的条件必不可少.例 3.3.2 设},0,,|)0,,0,,,{(1=≥∈=i i n x n i n R x x x X 时对某个 ||sup ||||i x x =,则||)||,(⋅X 是赋范空间.定义X X T →:为),31,21,(321 x x x Tx =则),(X X L T ∈,且1-T 存在,但1-T 是无界的,这是因为对X x n ∈=),0,1,,0( , 有n x T n x T n n ==--||||),,0,,,0(11 ,因此n T ≥-||||1对任意n 成立,所以1-T 不是连续线性算子.推论 3.3.3 设||||⋅和1||||⋅是线性空间上的两个范数,且||)||,(⋅X 和)||||,(1⋅X 都是Banach空间,若存在0>β, 使得||||||||1x x β≤,则||||⋅与1||||⋅等价. 证明定义恒等算子→⋅||)||,(:X I )||||,(1⋅X 为x Ix =,则由||||||||||||11x x Ix β≤=可知I 是连续的.显然I 是双射,因而由逆算子定理可知,1-I存在且有界. 令||||11-=I α,则 111||||||||||||||||x I x x I --≤= 所以11||||||||||||1x x I ≤-, 即||||||||||||1x x x βα≤≤.问题 3.3.1 设X 为[0,1]上的全体实系数多项式,对任意X x ∈,,)(11-=∑==i n i it t x x α定义∑=≤≤==n i i t x t x x 12101|||||||,)(|sup ||||α ,则21||||||||⋅⋅和都是X 的范数,并且21||||||||x x ≤对所有的X x ∈成立,但11||||||||⋅⋅和不是等价的范数,为什么？实际上,对于,)1()(1211-=+∑-==i n i i t t x x 则1|)(|sup ||||101==≤≤t x x t , n x ni i 2||||||12==∑=α,因此不存在常数0>β,使得12||||||||x x β≤对所有的X x ∈成立,所以21||||||||⋅⋅和不是等价的范数.3.4 闭线性算子与闭图像定理在量子力学和其他一些实际应用中,有一些重要的线性算子并不是有界的,例如有一类在理论和应用中都很重要的无界性算子--闭线性算子,在什么条件下闭线性算子是连续呢?这一问题的研究,Hellinger E .和Toeplitz O .1910年在关于Hilbert 空间对称算子的工作中就开始了,然后是Hilbert 空间中共轭算子连续性的研究,1932年才发展成闭线性算子在赋范空间上的结果,这就是非常著名闭图像定理.若||)||,(⋅X 和||)||,(⋅Y 是赋范线性空间,则在乘积Y X ⨯空间中可以定义范数,使之成为赋范空间,对),(11y x 和K Y X y x ∈⨯∈λ,),(22,线性空间Y X ⨯的两种代数运算是),(),(),(21212211y y x x y x y x ++=+),(),(y x y x λλλ=并且范数定义为||||||||||),(||y x y x +=例3.4.1 乘积空间},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=,且||||||||||),(||y x y x +=.明显地,有如下的结论.定理 3.4.1 设X 和Y 都是赋范空间Y X y x z n n n ⨯∈=),(,则),(y x z z n =→Y X ⨯∈当且仅当Y y X x n n ∈∈,且y y x x n n →→,.定理3.4.2 若X 和Y 都是Banach 空间,则Y X ⨯也是Banach 空间.在下面,考虑从定义域X T D ⊂)(到Y 的线性算子,)(T D 为X 的子空间.定义3.4.1 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是定义域X T D ⊂)(上的线性算子,若T 的图像}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=在赋范空间Y X ⨯中是闭的,则称T 为闭线性算子.定理3.4.3 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性算子,则T 是闭线性算子当且仅当对任意)(}{T D x n ⊂,满足y Tx x x n n →→,时,必有)(T D x ∈且y Tx =.证明若T 是闭线性算子,则是)(T G 闭集,则对于任意)(T D x n ∈,当y Tx x x n n →→,时, 有),(),(y x Tx x n n →,因此)(),(T G y x ∈,由)(T G 的定义,有)(T D x ∈,y Tx =.反之,若)(),(T G Tx x n n ∈,且),(),(y x Tx x n n →时一定有)(T D x ∈,y Tx =, 从而)(),(),(T G Tx x y x ∈=.所以,)(T G 是闭集,即T 是闭线性算子.定理3.4.4 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性连续算子,若)(T D 是闭集,则T 一定是闭线性算子.证明设)(T D x n ∈,y Tx x x n n →→,,则由T 是连续的知Tx Tx n →,故Tx y =. 由于)(T D 是闭集,因此)(T D x ∈,所以T 是闭线性算子.推论3.4.1 若Y X T →:是线性连续算子,则T 一定是闭线性算子.这是因为这时X T D =)(是闭集,反过来,一般来说,闭线性算子不一定连续.例3.4.2 设)(|)({]1,0[1t x t x C =为]1,0[上具有连续导数的},|)(|sup ||||10t x x t ≤≤=,则 ||)||],1,0[(1⋅C 是一个赋范空间,在]1,0[1C 上定义线性算子T 如下：]1,0[]1,0[:1C C T →]1,0[)(],1,0[),()(1C t x x t t x dt d t Tx ∈=∈=任意任意则T 是]1,0[1C 到]1,0[C 的闭线性算子,但T 不是线性连续的.事实上,若]1,0[1C x n ∈ , y Tx x x n n →→,,则)(t x n 在]1,0[上“一致收敛”于)(t x ,并且n x '在]1,0[上也“一致收敛”于)(t y ,因而)(t x 具有连续的导函数)('t x ,且)()('t y t x =,所以]1,0[1C x ∈,且y Tx =,即T 是闭线性算子.令n n n t t x x ==)(,则]1,0[1C x n ∈且1||sup ||||10==≤≤n t n t x ,但n nt Tx n t n ==-≤≤||sup ||||110,因此T 不是线性连续算子.问题3.4.1 若T 是X T D ⊂)(到Y 的闭线性算子,则T 是否把闭集映为闭集呢? 例3.4.3 对任意0)(c x x i ∈=,定义线性算子00:c c T →为)2(i ix Tx = 则T 是0c 到0c 的线性连续算子,且0)(c T D =,因此T 是闭线性算子.对于闭集0c ,0Tc 不是0c 的闭子集.事实上,对于)0,,0,21,,21,21(2 n n y =, 0c y n ∈,且有)0,,0,1,,1,1( =n x ,0c x n ∈,使得n n y Tx =,故0Tc y n ∈,但因为n y 趋于),21,21,,21,21(12 +=n n y ,故不存在0c x ∈,使得y Tx =,所以0Tc y ∉,即0Tc 不是0c 的闭子集.在什么条件下闭线性算子一定是连续呢？这就是闭图像定理所研究的问题.定理3.4.5（闭图像定理）设X 与Y 是Banach 空间,Y T D T →)(:是闭线性算子,(这里X T D ⊂)(),若)(T D 在X 中是闭集,则T 一定是)(T D 到Y 的线性连续算子.证明由于X 和Y 是Banach 空间,因此Y X ⨯也是Banach 空间,又由于X 是Banach 空间,且)(T D 是X 的闭子集,因此)(T D 作为X 子空间是完备的.由T 是闭线性算子可知)(T G 是Y X ⨯的闭子集,由于T 是线性的,因而)(T G 是Y X ⨯的子空间,从而)(T G 是Y X ⨯的完备子空间.定义从Banach 空间)(T G 到Banach 空间)(T D 的线性算子P ：)()(:T D T G P →).(),(,),(T G Tx x x Tx x P ∈=任意则P 是线性算子,且||),(||||||||||||||||),(||Tx x Tx x x Tx x P =+≤=.故1||||≤P ,从而))(),((T D T G L P ∈.由P 的定义可知P 是双射,因而由逆算子定理可知1-P 存在,且))(),((1T D T G L P∈-,故对任意)(T D x ∈,有 ||||||||||||||),(||||||||||||||11x P x P Tx x Tx x Tx ⋅≤==+≤--所以,T 是)(T D 到Y 的线性连续算子.若T 的定义域X T D =)(,即T 是X 到Y 的线性算子,则闭图像定理有下面简明形式. 推论 3.4.2 设X ,Y 是Banach 空间,且T 是X 到Y 的线性算子,则),(Y X L T ∈当且仅当T 是闭线性算子.例题 3.4.1 设X ,Y ,Z 是Banach 空间,若),(Z X L A ∈,),(Z Y L B ∈,并对任意的 X x ∈,方程By Ax =都有唯一解y ,试证明由此定义的算子y Tx Y X T =→,:,有),(Y X L T ∈.证明容易验证T 是线性算子,要证明T 是线性连续算子,只需证明T 是闭算子.对于X x n ∈, Y y Tx x x n n ∈→→,,有n n BTx Ax =.由于B A ,都是连续的,因此By BTx Ax Ax n n n n ===∞→∞→lim lim从而y Tx =所以,T 是闭算子,由闭图像定理可知,),(Y X L T ∈.习题三3.1 设算子0:c l T →∞,∞∈==l x x x Tx i i i)(),2(任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i ii ∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.3 对任意0c x ∈,定义∑∞==1!)(i i i x x f ,试证明*∈0c f ,并求||||f . 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.5 设X 和Y 是实赋范空间,T 为X 到Y 的连续可加算子,试证明),(Y X L T ∈.3.6 设c 是所有收敛实数列全体,范数||sup ||||i x x =,}{i α为实数列,若对任意c x ∈,都有∞<=∑∞=|||)(|1i i i x x f α,试证明i i i x x f ∑∞==1)(α为c 上的线性连续泛函,并且∞<=∑∞=||||||1i i f α.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f . 3.9设X 是实赋范空间,X x n ⊂}{, 试证明对所有的*∈X f ,都有∞<∑∞=|)(|1i i x f 当且仅当存在0>M ,使得对任意的正整数n 和1±=i δ,都有M x in i i <∑=||||1δ. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT 1||||1≤-. 3.11 设T 为赋范空间X 到赋范空间Y 的闭线性算子,且1-T 存在,试证明1-T 是闭线性算子.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T .3.17 设22:l l P n →,)0,,0,,,,(),,,,,(21121 n n n n x x x x x x x P =+,试证明n P 强收敛于I ,但n P 不一致收敛于I .哈恩Hans Hahn 于1879年9月27日出生于奥地利的维也纳,他在维也纳大学跟Gustav Ritter von Escherich攻读博士学位, 1902获得博士学位，博士论文题目为Zur Theorie der zweiten Variationeinfacher Integrale.他是切尔诺夫策(Chernivtsi)大学(1909–1916),波恩大学(1916–1921)和维也纳大学(1921–1934)的教授.Hahn的最早的结果对古典的变分法做出贡献,他还发表了关于非阿基米德系统的重要论文, Hahn是集合论和泛函分析的创始人之一,泛函分析的重要定理之一, Hahn-Banach定理就是Hans Hahn(1879-1934) 以他的名字命名的.他在1903 到1913间对变分法做出了重要的贡献.在1923他引进了Hahn 序列空间.他还写了关于实函数的两本书Theorie der reellen Funktionen (1921)和Reelle Funktionen (1932).Hahn获得过很多荣誉，包括1921年的Lieban奖,他是奥地利科学院院士,他还是Calcutta 数学学会名誉会员.Hahn对数学的成就主要包括著名的Hahn-Banach定理, 其实很少人知道,实际上Hahn 独立地证明了(Banach和斯坦豪斯得出的)一致有界原理. 其他定理还有Hahn分离定理、维他利-哈恩-萨克斯定理(Vitali-Hahn-Saks theorem)、哈恩-马祖凯维奇定理（Hahn-Mazurkiewicz theorem）和哈恩嵌入定理(Hahn embedding theorem)等. Hahn的数学贡献不限于泛函分析,他对拓扑学、集合论、变分法、实分析等都有很好的贡献.同时,他也活跃于哲学界,是维也纳学派的一员.。

第三章有界线性算子

第三章有界线性算子一有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。

第三章有线性算子

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。

34 线性算子的基本定理

是函数列的一致收敛，由 x'n (t) = Txn (t) → y(t) ，即 x'n (t) 在 C[0,1] 上一致收敛 y(t) ，所以有
∫ ∫ ∫ t y(τ )dτ = 0
t 0
lim
n→∞
x'n
(τ
)dτ
= lim n→∞
t 0
x'n
(τ
)dτ
=
lim[
n→∞
xn
(t
)
−
xn (0)]
=
设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间，若 T 的图像
G(T ) = {(x, y) y = Tx, x ∈ D(T )}
是乘积空间 X ×Y 的闭子集，则称 T 为闭线性算子，简称闭算子．
- 102 -
线性泛函引论◇
引理 3.4.1 设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间， T ： G(⊂ X ) → Y 是线性算子，那
学习微积分时，我们知道闭区间 [a,b] 上的函数 y = f (x) 图形是 xoy 平面上的一条曲线，即
为 R2 中的一个点集 G( f ) = {(x, y) y = f (x), x ∈[a,b]} ，特别当 f (x) ∈ C[a,b] ，这个点集 G( f ) 为 R2
中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．定义 3.4.3 线性赋范空间的乘积设 X 和 Y 是同一数域 K 上的线性赋范空间，考虑直积集 X ×Y = {(x, y) x ∈ X , y ∈Y} ，
如下： ∀x ∈ D(T ) ， Dx = d x(t) ，则 D 是闭算子，但是 D 无界的． dt
证明由第三节例 3.3.3 后的反例知：令 xn (t) = e−n(t−a) ∈ C[0,1] ，可得

泛函分析之H空间上的有界线性算子

Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}推论：T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。

定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。

推论：T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数定理：T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足：（1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

有界线性算子和连续线性泛函

例5 设 Rn是 n 维线性空间，在 Rn中取一组基 {e1,,en}，则对任何的 x R，nnΒιβλιοθήκη x 可以唯一的表示成x
v ev
v1
，对每一
个
nn
方阵
(t )。作Rn到
Rn
中算子
n
n
T 如下：当 x vev 时，令 y Tx yueu
v1
1
n
其中 y t , 1,2,n. 显然这样定义的 T是线性算子，这个算子在线性 1
但
Txn n xn
令
yn

xn n xn
n 1,2,, 则
yn
1 0(n ) ，所以 yn
n
0(n ) ，
由 T 的连续性，得到 Tyn T 0 0(n ) ，但由于 T 是线性算子，又可以得到
对一切正整数n ，成立
Tyn
T ( xn ) Txn
例2 设 P[0,1]为 [0.1]区间上的多项式全体，对每个x P[0,1] 定义 (Tx)(t) d x(t) dt
由求导运算的线性性质，立即可知 T是P[0,1] 到 P[0,1] 中的线性算子，称为微分算子，如果任取 t0 [0,1] ，对任何 x P[0,1] 定义 f (x) x(t0 )则 f 是P[0,1]上线性泛函。例3 对每个 x C[a,b] ，定义
T (x y) T (x) T ( y)
T (x) T (x)
（1）（2）
则称T为 A到Y中的线性算子，其中 A称为T的定义域，记为A(T )，TA称为 T的值域，记为
R(T )，当 T取值于实（或复）域时，就称 T 为实（或复）的线性泛函。如果 T为线性算子，

hilbert空间上的有界线性算子

hilbert空间上的有界线性算子
在现代科技日益发展的今天，随着普及化程度不断提高的信息技术，在相关领
域取得了巨大的进步。

其中，Hilbert空间上的有界线性算子是一种重要的技术，
具有极其重要的应用价值。

Hilbert空间上的有界线性算子是指在一个完备的Hilbert空间上的线性算子，它的特性是，具有有限的特征值，另外，它的算子是自保持的，即算子在输入相同的输入时，得出的输出也是一致的。

此外，算子也是有界的，即其范围刚好满足给定的条件。

它具有很明显的优势：一是收敛性很强，求解中偏差及其状态变化会很快收敛；二是方便地形成简单的数值性结果，可以在计算机上任意操纵这种逻辑关系并获得数值性结果。

由于Hilbert空间上的有界线性算子所具备的优良性质，使它在多个领域有着广泛的应用，特别是在互联网环境中，它可以用来控制站点访
问频率，可以解决网站负载均衡问题，更可以用于实施网络攻击检测，从而提高网络安全性。

总而言之，Hilbert空间上的有界线性算子是一项具有重要应用价值的技术，
在实践中可以发挥出其卓越的性能。

因此，我们应加强对这一技术的研究和开发，实现其在互联网环境中的拓展，同时解决相关的技术难题，提高网络的安全性，并使它有效的应用于多个领域当中。

泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

若算子T 满足：（1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()ta Tx t x d ττ=⎰由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。

应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解

定义4
设 X 为赋范线性空间，{xn}n≥1∈X，如果对 0，自然数，对一切 n,m>N，
均有 ||xm-xn||<，则称 {xn}n≥1 为 X 中
Cauchy 序列
形象而言, 一个序列为 Cauchy 序列, 是指当n
充分大时，序列中点落在一个很小的局部邻域内.
由 Cauchy 序列的定义可推导：
(1) 收敛序列为 Cauchy 序列，反之不真；
()
如果
lim
n
xn
x0，则对 0，，
当 n>N 时， ||xn-x0||< ，从而
||xn-xm||=||xn-x0+ x0-xm||≤||xn-x0||+||xm-x0||<2
故 {xn} 为 Cauchy 序列
() 反例：X={(1,2,···)|i∈C，其中仅有有限个 i≠0} 对 x=(1,2, ···)，y=(1, 2,···) ∈X，∈ C 令 x+y=(1+ 1 ,2+ 2 ···) x=(1, 2,···)
(3) 对x, y, z X , d(x, y) d(x, z) d(z, y)
则称 d 为 X 上的度量，(X, d) 为度量空间。
如果(X , )为赋范线性空间，则对 x, y X 令 d(x, y) x y ，则 (X, d) 为度量空间。
40 由范数导出的度量满足：
d(x z, y z) d(x, y) d(x,y) d(x, y)
(3) 如果 Cauchy 序列的某个子序列收敛，则 Cauchy 序列也收敛，并且极限相同。
定义5：如果赋范线性空间 X 中每个 Cauchy序列
都收敛，则称 X 为完备的。完备的赋范线性空间称为 Banach 空间。如果内积空间是完备的，则称它为 Hilbert 空间

3.2有界线性算子

D(T ) 上是连续的（即在一点连续，则在定
义域上处处连续）。
定理 3. 2. 4（连续性与有界性）设 X , Y 是赋范空间， T : D(T ) X Y 是线性算子，则 T 为连续的充分必要条件为 T 是有界的。证明（不要）。
3.2.3 线性算子空间
定理 3.2.6（线性算子空间）设 X , Y 是数域 K 上的赋范空间， B( X , Y ) 是定义在全空间 X 上、值域在 Y 中的有界线性算子的全体，若在 B( X , Y ) 上定义如下的代数运算：
举例：
1、恒等算子
2、零算子
微分算子
4、积分算子 5、矩阵
定理 3. 2. 2 （有限维空间上线性算子的有界性）如果赋范空间 X 是有穷维的，则 X 上的每一个线性算子均是有界的。
定理 3. 2. 3（算子的连续性）设 X , Y 是赋范空间， T : D(T ) X Y 是线性算子，若 T 在某一点 x0 D(T ) 连续，则 T 在
3.2 有界线性算子
3. 2. 1 有界线性算子定义 3. 2. 1（有界线性算子）设 X ， Y 为同一数域 K 上的赋范线性空间， T : D(T ) X Y 是线性算子。如果存在常数
C 0 ，使得对一切 x D(T ) 有
Tx
Y
C x
X
那么就称 T 为有界线性算子，否则称为无界的。
T B( X , Y )
则 B( X , Y ) 构成一赋范线性空间。
(T1 T2 ) x T1 x T2 x ， T1 , T2 B( X , Y ), x X
(T ) x Tx ， K , T B( X , Y ), x X

第三节线性算子

当X = Y时，称T 是线性变换，当Y = K时，称T 是线性泛函。相关概念：核空间ker T、线性同构。称T 在x点连续，是指对任意点列{xn }, 若xn → x, 则Txn → Tx；若T 在X 的每一点都连续，则称T 在X 上连续。定理1.设X , Y 是赋范线性空间,T : X → Y 是线性算子，则（a）T 在X 上连续当且仅当T 在X 中的某点x0处连续;特别的等价于若xn → θ ( X 中零元)，则Txn → θ (Y中零元). (b)当X 的维数有限时，T 在X 上是连续的。
fx0有界线性算子空间110111supsupsup1sup0002supsupxxxxxxtxtbxyttxtxxttxttbxyttxtxt????????????????????????算子的范数验证算子算子范数满足以下条件
赋范线性空间
内积空间
三个空间的关系
赋范线性空间都是距离空间：ρ(x，y )= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : ρ (ax, θ ) =| a | ρ ( x, θ ), 范数定义 || x ||= ρ ( x, θ )。内积空间都是赋范线性空间 :|| x ||= ( x, x) 2 ；反之，范数满足中线公式： x + y ||2 + || x y ||2 = 2 || x ||2 +2 || y ||2 , || 内积定义 1 (x，y )= (|| x + y ||2 || x y ||2 +i || x + yi ||2 i || x + yi ||2 ) 4
因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维数相等。绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。人们在处理这类问题的方法：一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法；二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问题转化为线性问题

第三章有界线性算子2有界线性算子空间

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n 1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。

1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理

§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。

定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。

（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。

若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。

v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。

如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。

和是的两个子空间，称为平凡子空间。

若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。

E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。

若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。

若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。

E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。

讲7有界算子

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举例
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A-1也是线性算子。
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老师寄语
数学问题是博大精深的，我只是把你们引入到大门外，剩下的你们自己去探索吧！祝愿大家一路愉快！
下面，我们讨论继续玩点内容呢？
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谢谢大家和我共同来欣赏这样美丽而又抽象的东西！
谢谢大家！
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现代信号信息处理的数学基础
主讲人：胡正平
有界线性算子与连续线性泛函
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有界线性算子定义
设T:X→Y是从赋范空间X到Y的线性算子。如果当 x∈X跑遍所有元素，||T(x)||/||x||的上确界存在且有限，则称T是有界线性算子。此处||*||表示范数。

第三章线性算子与线性泛函

• 例如：求元素的范数就是这种泛函 • 定理1.(Hahn-Banach)：设p是实线性空间
X上的次可加正齐次泛函，f是X的子空间M 上的实线性泛函且 f(m )p(m )(m M )
那么存在X上的实线性泛函F满足： (1)F(m)f(m)(mM);
(2)F(x)p(x)(xX).
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8
1.机械求积公式的收敛性在函数 x(t)在 [a,b]上积分近似计算中，我们通常考虑形如：
b x(t)dt
a
Ak x(tk )(a t0 t1 tn b)
0k n
（3）
需要讨论的是什么条件下，当n 时，上式的误差趋于0?
f1λx1y pλx1y,yM,λR.
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15
由f y p y,yM,我们有y,yM,y yM,并且
f y f y f y y p y y
p y x1 y- x1 p y x1 p y- x1.
由此可得 p y- x1 f y p y x1 f y.
• 例子：X=有理数集，定义距离d(x,y)=|x-y|,则X是第一纲的，每个单点集是X中的疏朗集。
• 定理1(Baire纲定理)：完备的距离空间是第二纲的。
• 推论1:欧式空间、Banach空间、Hilbert空间、有界线性算子空间L(X,Y)都是第二纲的。
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2
第一节共鸣定理及其应用
13
定理1(Hahn-Banach)证明的基本思路
1 扩f大的定义在域扩;大的定 f的义线域性上恰当选择被个控延制拓的.那一
1 扩大 f的定义域

2有界线性算子空间和共轭空间

n n →∞ k =1
k
e
k
'
设f ∈
( l1) , 令f (e ) =η , n = 1, 2,L, 那么由于f ∈ ( l1)故有
' n n
f (x) = lim ∑ξ f (ek ) = ∑ξ η
n n→∞ k =1 k k =1 k
∞
k
(4)
有因为
||e
k
||= 1
所以对一切自然数 k 有
|η |=| f
x = y = lim T nx
由
n
→∞
的
的，
n, m > N
x
||T x −T x ||≤ ε || x || ||T −T ||= sup|| (T −T ) x ||≤ ε
n ||x||=1 n
T −T ∈β( X →Y ) ,
n
为β( X →Y )
，
T =Tn +(T −Tn) ∈β( X → Y )
n
的共轭空间是什么？
c 2：设 0表示极限为0的实数列全体。按通常的加法和数乘，以及
x=
|| x ||= sup|ξ |,
j j
(
ξ1,ξ 2,ξ3Lξ nL 构成Banach空间，证明 ( c 0 ) = l
'
)
1
1 ' ∞
因此（4）式是l 上连续线性泛函的一种形式。作(l1) 到l 中映射 T 如下：
Tf = ( f ( e1) , f ( e2) , f ( e3) ,L f ∈ l1 ),
()
'
显然T是线性映射，且有前面证明知T是到上的，由（5）式， ||Tf || = sup f |( e k ) |≤|| f ||, 又由（4 ），对每个 x = (ξ ,ξ ,ξ L) ∈l 1, 有 1 2 3

第三章 有界线性算子空间(续)

第三章 线性算子与线性泛函

泛函分析之B空间上的有界线性算子

第三章 有界线性算子-黎永锦

第三章 有界线性算子

第三章 有线性算子

34 线性算子的基本定理

泛函分析之H空间上的有界线性算子

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函

有界线性算子和连续线性泛函

hilbert空间上的有界线性算子

泛函分析第3章 连续线性算子与连续线性泛函

应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解

3.2有界线性算子

第三节线性算子

第三章有界线性算子2有界线性算子空间

1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理

讲7有界算子

第三章 线性算子与线性泛函

2有界线性算子空间和共轭空间

第三章有界线性算子空间(续)

第三章线性算子与线性泛函

第三章有界线性算子-黎永锦

第三章有界线性算子

第三章有线性算子

泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第三章线性算子与线性泛函