一个简单的超导电性模型及新型超导材料的预测

Ec Ekn Ekn1
k M ………………………………………………………………（ 2）
2 不同材料中电子的关联性
不同材料电子关联性长度的大小主要受到晶格势阱深度的影响。 晶格势阱深度越大， 则 意味着电子被束缚的范围越小，电子的关联性长度越短。 要具体分析每一种材料中的电子关联性长度是比较困难的， 这主要原因在于每个元素的 原子结构以及所形成的晶体结构都是非常复杂的。 这里采用一种比较简单的方法来进行判断， 即采用常温下的电导率来判断一种材料的电子关联性长度。 其中原因在于， 如果在常温下能 够更好地导电，则意味着自由电子数量比较多，晶格所形成的势阱就比较浅。虽然也可能受 到晶格振动的影响， 但是电导率同导电电子密度还是有比较强的相关性的， 而自由电子密度 又直接决定了费米能量的大小。如果电子关联性长度长，意味这电子更加自由。因此可以假 设电导率σ 与关联性长度ξ 成正比。
2 2
上述公式中，c 为常数，EF 为该种材料的费米能量。 对于 0K 温度条件下，材料的电子处于基态 E c。如果提高温度或者电流强度，则将导致 电子获得的能量增加， 该能量增加值不应该超过晶格振动所需的最低能量， 否则将引起电子 向晶格发送虚光子，从而导致能量的损失。因此超导材料处于临界状态下，其电子所获得的 最大能量就是晶格原子振动相邻两个能级之间的能量， 这样就可以得到二者之间的能量之差 为：
a ……………………………………………………………………（ 3）
其中 a 为常数。 由于电子关联性长度的减少，导致一个系统的费米能量计算公式需要调整。 如果关联性长度为无限远，则费米能量的计算公式：
5 2 3 EF ………………………………………………………………（ 4） m
其中 ρ 为电子密度， m 为电子质量。 对于关联性长度比较短的元素，假设材料的长度为 L，内部电子的关联性长度只有ξ ，
Tc M
Al Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo Nb Os Pa Pb Re Ru Sn Ta Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Am Be Cr Li Pt Rh
一个简单的超导电性模型及新型超导材料 的预测
程智 （广州大学教育学院，广州，510006. gzchengzhi@ ） 摘要：本文利用虚光子传递的机制建立了一个比较简单的超导电性模型，用来解释超导材料的超导电性机 理。 通过理论预测与实验值的对比， 证实该模型能够在一定程度上解释超导电性的形成机制。 在此基础上， 本文提出了新的高温超导材料可能的结构。 Abstract: In this paper, we establish a simple superconductivity model based on virtual photons exchange mechnisim. It shows that this simple model can be used to explain the supercondutivity mechanism for some superconduction materials by comparing the theoretical prediction with the experimental datas. On this basis, we propose new possible structures that can produce high temperature superconduction.
可以看出， 相比较于金属中的自由电子而言， 晶格中的原子或离子始终都是处于束缚态 的。在这样的束缚态中，晶格原子或离子的振动能级是不连续的。引起晶格的振动需要吸收 虚光子。然而如果虚光子的能量小于相邻能级之间的差值，则晶格将不能够吸收该虚光子。
1.4 超导电性的简单模型
在一个材料中， 总是或多或少存在可以用来导电的电子， 这些电子处于自由状态和束缚 状态之间的状态。 由于材料构成的不同， 使得不同材料内部所包含的导电电子之间的关联性 会有所区别。所有这个系统中的电子满足一定的能量分布。对于完全自由电子系统而言，服 从费米统计分布，完全束缚态的电子则由于电子之间关联性为零，不服从费米统计分布。 在 0K，不论哪一种情况，材料系统内部的电子分布存在一个最高能量 E c，对于完全自 由的电子，该能量等于费米能量 EF，完全束缚态的电子，其电子分布的最高能量为所有材 料中最小，Ec=Emin 如果电子从最高能量跃迁到最低能量，将发射虚光子。由前面的假设，发射虚光子的条 件则是需要有其他粒子能够吸收该虚光子， 否则该虚光子将变成真实的光子发射出金属外面。 如果发射的虚光子能够被晶格所吸收， 则整个发射和吸收过程是成功的， 此时晶格将获得振 动能量 Ek . 然而虚光子发射和吸收有一定的几率，故这将导致能量损失，从而导致电阻的 出现。反之，则整个发射和吸收过程不能够发生，此时系统将不会有能量损失。 因此超导电性产生条件就是这种电子跃迁发射出来的虚光子能量小于晶格振动的能量。 即：
其中：
k bEF
参数 α 与晶体结构的因素有关系，反映了离子之间的弹性系数等参数。从公式（7）可 以看出，如果参数 P 越大，则临界温度越低；反之亦然。而如果晶格离子质量 M 越大，则 临界温度越低；反之亦然。 表 1 显示的就是已知的一些超导元素相关参数的对比。
表 1 超导元素之间各参数的对比 Tab.1 The parameters comparison among superconduction elements 元素 TC (K) 电导率 σ(× 108Sm-1) 原子量 P
3 则相对于理想金属， 其费米能量计算， 等效自由电子密度只有理想金属的 K 3V ( ) 3 LV L
2
倍。 这样结合公式（ 3），可以获得该材料处于 0K 基态的时候，内部电子的最高能量为：
Ec
5 2 K 2 3 5 2c 2 2 3 c 2 2 EF ………………………………（ 5） m m
Ec Ek Ec
由于 Ec k BTc
பைடு நூலகம்
k c 2 2 EF ……………………………………………（6） M
可以计算出临界温度：
Ec k BTc
k c 2 2 EF ………………………………………………（ 7） M
Tc
k b 2 M EF k bPE F ………………………………（ 8） M kB kB
1.2 束缚态与电子关联性长度
金属中的电子更接近于自由电子， 利用自由电子气模型已经能够比较成功地解决金属的 导电性等问题。 可以认为能够使用自由电子近似来进行分析， 是由于金属晶体结构中的原子 或离子所产生的束缚电子的势阱比较浅所导致的。 直接使用费米统计分布函数就可以确定金 属中自由电子的能量分布情况，并计算出金属的费米能量。 非金属材料中形成的是共价键，共价键很牢固，因此在非金属中自由电子数量很少，等 效于非金属中束缚电子的势阱比较深。 由于电子都被晶格中的共价键所束缚， 两个不同原子 中所束缚的外层电子之间就不受费米统计的约束，它们可以处于完全相同的能量状态。 为了表示这种金属与非金属之间的差别，这里引入电子关联性长度（ξ ）的概念。电子 关联性长度反映了两个电子之间是否存在关联性，或者相干性。如果存在比较强的关联性， 则两个电子将遵循泡利不相容原理， 两个电子不能够处于相同的状态。 对于大量的自由电子， 所有电子之间都存在非常强的关联性， 则所有的电子都服从费米统计的要求。 这里不使用 “相 干长度” 一词， 原因在于还不太清楚本文提出的关联性长度与已有的超导理论中的相干长度 之间有何具体的联系。 对于理想金属，内部电子为理想自由电子气，则所有电子的关联性长度为无穷大，服从 费米统计分布的要求。这种情况下，在绝对零度，整个系统电子能量分布中最高能量为费米 能量。对于理想的绝缘体，所有电子都完全被束缚，则电子关联性长度为零，在绝对零度的 时候， 整个系统电子能量分布的最高能量为单个电子的最高能量。 实际的材料所包含电子的 关联性长度介于二者之间。
1 简单超导模型
1.1 粒子相互作用过程中虚光子的传递方式
在金属或者合金中，电子状态既可能是“自由粒子”状态，也可能是“束缚态粒子”状 态，也可能是两种状态混合而成的。解决束缚态问题可以使用薛定谔方程，而解决自由粒子 问题则可以使用虚光子波动方程的自由粒子解。 如果两个粒子之间发生了相互作用（电磁），则将导致一个粒子向另一个粒子传递虚光 子。该虚光子携带了能量。因为是电磁相互作用，所以一个粒子发射虚光子或者吸收虚光子 的概率皆为精细结构常数 α. 由于存在这样的概率， 虚光子的交换过程将会导致能量的损失， 这部分能量损失可能是电阻产生的原因之一。 虚光子传递概率为常数， 也意味着并不是所有相互作用都会导致虚光子从一个粒子传递 到另一个粒子。这是一个发生和不发生的二值问题。 如果一个粒子处于束缚态， 能级是量子化的， 则该粒子吸收另一个粒子发射过来的虚光 子将导致能级的跃迁， 如果虚光子的能量小于粒子束缚态相邻能级之间的差值， 则该粒子将 不可能吸收该虚光子。在这种情况下，另一个粒子也将不会发射虚光子。 相互作用的粒子可以是电子，也可以是晶格构成的原子、离子或者分子。则虚光子可以 在电子与电子之间、电子与原子、离子或分子之间进行传递。
0 引言
早在 1911 年，昂纳斯就已经发现了金属汞的超导电性，随后更多具备超导电性的金属 被发现。 然后人们也发现， 有一些金属， 比如铜等， 即便在很低的温度， 也不具备超导电性。 合金的超导临界温度比较高。到了 1986 年金属氧化物陶瓷超导材料的发现[1]，又将超 导临界温度提高到了一个新的层次。随后则陆续出现了 MgB2[2,3]，铁基超导材料[4,5]等多种 不同的高温超导材料。为研究超导形成的机制提供了非常丰富的实验数据。 在理论研究方面，目前影响比较大的主要是 BCS 理论 [6]。该理论能够比较好地解释金 属超导电现象。 自由电子气模型是研究和解决金属导电性问题的比较简单而又有效的方法 [7]。 这反映出 在导电性能比较好的材料中， 电子的性质与束缚态中的电子性质有比较大的差别。 已有的量 子理论中， 薛定谔方程主要适用于解决束缚态能量的求解。 对于自由电子能量的求解可能需 要新的理论[8]。 程智在 2012 年提出了量子力学波函数的电磁波诠释 [8]，指出量子力学中的波函数本质 上是一种慢速、局域的电磁波。同时程智指出这种慢速、局域电磁波的波动方程的解可以分 成两个部分，其中一部分是束缚态解，跟薛定谔方程基本上是一致的；另一部分则是自由粒 子解， 跟量子电动力学中粒子相互作用所传递的虚光子基本上是一致的。 粒子之间相互作用 将可能引起这种虚光子的传递。虚光子的传递可能会引起能量的损失。利用这样的假设，程 智在 2014 年获得了一个精确计算氦原子基态能量的公式 [9]。 在此基础上，利用虚光子的传递机制，本文尝试提出一个更简单的超导电性模型，以便 能够在更加清晰的物理模型基础上来解释超导电性的原理， 并有可能为新型超导材料的发现 提供理论基础。