电路分析课件PPT—相量的复数运算汇总.

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电路PPT-相量法

I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
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感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL，稱為感納，單位為 S
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I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
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例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物直流I R 理意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
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均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ

《电路相量分析》课件

复数表示
总结词
相量采用复数形式来表示，其实部为电压或电流的有效值，虚部表示其相位。
详细描述
在复平面中，相量由一个点表示，其实部对应于电压或电流的有效值，虚部则表示电压或电流相对于参考相位的相位角。
相量图
总结词
相量图是一种用于表示相量关系的图形工具。
详细描述
相量图是一种在复平面上绘制的图形，用于表示不同电气量之间的相量关系。通过相量图，可以直观地了解电压和电流的相位差以及它们的相对大小。
基尔霍夫电压定律（KVL）
在电路中，沿着闭合回路的电压降之和等于零。
3
相量形式的基尔霍夫定律
将基尔霍夫定律中的电流和电压用相量表示，以便于分析正弦交流电路。
相量形式的节点分析法
节点分析法
一种用于求解线性电路中节点电压的电路分析方法。
相量形式的节点分析法
将节点分析法中的电流和电压用相量表示，以便于分析正弦交流电路。
《电路相量分析》ppt课件
• 引言 • 相量基础 • 电路元件的相量形式 • 电路的相量分析 • 交流电路的功率分析 • 相量分析的应用实例
01 引言
课程背景
电路相量分析是电气工程学科中的重要内容，是研究交流电路的基本工具。
在实际工程中，交流电路的应用非常广泛，如电力系统、电机控制、音频处理等领域。
阻抗和导纳
阻抗
01
表示电路对正弦交流电的阻碍作用，由电阻、电感和电容组成
，用复数表示。
导纳
02
表示电路对正弦交流电的导纳作用，由电导和电纳组成，也用
复数表示。
互为倒数关系，即Z=1/Y。
相量形式的基尔霍夫定律
1 2
基尔霍夫电流定律（KCL）

电路分析课件第八章相量法

KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量；有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )

《电子电工技术》课件——第二章单相交流电路

例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A I2 10 e j30 A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
u i
90
U
IL
t
I I
C. 有效值 U IL
定义： X L L
则： U I X L
U IL
感抗（Ω） XL
感抗（XL =ωL ）是频率的函数，表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
ω
d. 相量关系
U
则：U I L e j90 I ( jX )
L
设： I I0
设： U1 a1 jb1 U 2 a2 jb2
则：
U U1 U2 (a1 a2 ) j(b1 b2 ) Ue j
2. 乘法运算
：设
U1 U1e j1 U 2 U 2e j2
则： 3. 除法运算
U U1 U 2 U1 U 2 e j(12 )
则：
U1 U 2
U1 U2
U e j
U
指数式极坐标形式
三、正弦量的相量运算
1、相量图运算
例：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1 sin t 1
u2 2U2 sin t 2
U 2
U
同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。
2
1 U1
U U1 U 2
相量的复数运算
1. 加、减运算

电路分析相量法

量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；

电路原理课件第8章相量法

三. 相位差：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A

电路_相量法

8
相量法的基础(****) §8 - 3 相量法的基础
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。表示正弦量的复常数称为相量。例如：例如：正弦量 i = 220 2 cos(314t − 30 o )A
& = 220 e − j30o A 表示。表示。可用相量 I
& = Re[ 2 I e e jω t ] = Re[ 2 I e jω t ]
三、正弦量的运算：正弦量的运算：
1、同频正弦量的代数和：、同频正弦量的代数和： i1 = 2 I1 cos(ω t + ψ 1 )A， i2 = 2 I 2 cos(ω t + ψ 2 )A
& & & & i = i1 + i2 = Re[ 2 I1 e jω t ] + Re[ 2 I 2 e jω t ] = Re[ 2 ( I1 + I 2 )e jω t ]
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值，额定值为有效值，耐压值为最大值。耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值：有效值：周期电流的有效值：周期电流的有效值： = I 正弦电流的有效值：正弦电流的有效值：I =
& I =Ie
jψ i
& = ωI e jψ i +90o = ωI e jψ i ⋅e90o = jωI e jψ i = jωI & ∴Y
结论：正弦量的微分为同频正弦量，对应的相量为原相量乘以 jω。结论：正弦量的微分为同频正弦量，。注意：不能说“ 的函数。注意：不能说“相量的导数为相量乘 jω” 。因为相量不是 t 的函数。 11

复数的几种表示形式的转换及计算 ppt课件

2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。

由
于
主
值arctan（b）〔

，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件。
F
a
+1
2
§8-1 复数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2

a1 a2

jb1 jb2
（（aa21

电路分析PPT课件-第8章正弦量与相量

W T Ri2(t)dt 0
电流有效值定义为
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
例 i(t) R
+
u(t)
L
-C
用相量运算：
相量法的优点：
i(t) 2 I cos(w t y i )
u(t )
Ri
L
di dt
1 C
idt
U RI jwLI I jwC
（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
jw L 相量关系： UL jwL I jX L I
相量模型
有效值关系： U=w L I 相位关系：u=i +90°
3. 电容元件VCR的相量形式
iC(t)
+ u(t) -
•
IC
+ •
U-
时域形式：已知 u(t) 2U cos(wt u )
则
du(t) iC (t) C dt
2wCU sin( w t u )
u=i 相位关系
2. 电感元件VCR的相量形式
i(t)
+ u-L(t)

电路课件电路08 相量法32页PPT

工程中以频率区分，如音频、高频、甚高频电路。
φi是在t=0时刻相位，称初相位(角)，简称初相：
(ωt+φi)|t=0 =φi 单位用弧度或度，主值范围内取值，|φi|≤180°
初相与计时零点有关。任一正弦量初相允许任意指定，但一个电路许多相关正弦量，只能相对共同计时零点确定各自相位。
正弦量三要素是正弦量间进行比较和区分的依据。
图8-4正弦电流i，在参考方向下，数学表达式定义：
i=Imcos(ωt+φi)
(8-1)
3个常数Im、ω和φi称正弦量三要素。
Im称正弦量振幅，是正弦量在整个振荡过程中达到最
大值，即cos(ωt+φi)=1时，有 imax=Im
也是正弦量极大值。
cos(ωt+φi)=-1时，
有最小值(也是极小值)：
复数相加和相减运算可按平行四边形法在复平面上用向量相加和相减求得，图8-2。
19.04.2020
第八章相量法
8-1 复数
4
两个复数相乘
复数相乘用指数形式方便： F1F2 =|F1|ejθ1|F2|ejθ2 =|F1||F2|ej(θ1+θ2)
所以： |F1F2|=|F1||F2|
arg(F1F2)＝arg(F1)+arg(F2) 两个复数相乘的代数形式：
F 13 j4 5 5.1 3 0 .5 1.1 8 0 8 .5 1.9 7 1 F 2 1 1 0 31 5 1 0 35
19.04.2020
第八章相量法
8-1 复数
9
8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。
正弦量数学描述，可用sine函数，也可用cose函数。本书用cose函数。

电路分析—相量的复数运算

e j12
例1：已知瞬时值，求相量。
i 141.4sin314t π A
已知:

6
u 311.1sin314t π V
求：

3
I
100 π
6
π 3
220
i 、u 的相量
解：
U
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
b
U

a
U
欧拉
cos e j e j
2
公式
sin e j ej
U a jb
2j
代数式
U (cos jsin)
U e j
指数式
U
极坐标形式
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j

U11
-j 顺时针转90°
设：任一相量 A
U 2 U 22 则：A e j90
则： U U1 U 2
( j)A
U1 U21 2
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U 2 U 2e j 2
则：
U1 U 2
U1 U2
2 j45
？ Im 10 e45
有效值
u 2 10 sin ( t 15 ) 15
U 10 ？ U 10 ej15
人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。

电路分析中的常用函数PPT课件

解：方法一，将sjω,利用Matlab编程实现
w=0:0.01:100;
Hs=(j*w+3)./(j*w+1)./((j*w).^2+2*j*w+5); Hs_F=20*log10(abs(Hs)); %幅频特性用dB表示 Hs_A=angle(Hs)*180/pi; %将弧度转化为角度表示
subplot(2,1,1); semilogx(w,Hs_F) ylabel('幅频特性(dB)');
I S I C I L j 0 . 3 4 5 6 0 . 1 9 7 5 - j 0 . 3 5 7 9 = 0 . 1 9 7 5 - j 0 . 0 1 2 3
U Z I L ( r j L ) ( 0 . 1 9 7 5 - j 0 . 3 5 7 9 ) ( 1 0 + j 1 0 0 1 . 5 ) = 1 7 0 . 6 3 + j 8 9 . 4 9 1
Ic=0.3456j;IL=0.1975-0.3579j;Is=0.1975-0.0123j;
subplot(2,2,1);
compass([Us,Uz,Ud]);
subplot(2,2,2);
compass([Ic,IL,Is]);
t=0:1e-3:0.1;
w=2*pi*50;
us=220*sin(w*t);
uz=abs(Uz)*sin(w*t+angle(Uz));
ud=abs(Ud)*sin(w*t+angle(Ud));
ic=abs(Ic)*sin(w*t+angle(Ic));
iL=abs(IL)*sin(w*t+angle(IL));

电路分析课件PPT—相量的复数运算

U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
复数、相量 --- 大写 + “.” U
正误判断
u 100sin t U
瞬时值
复数
U 50 ej15 50 2 sin( t 15 )
复数
瞬时值
i 10 sin( t 45 ) I 10 45
2 j45
有效值
相量的复数运算
相量的复数表示
将相量 U放到复平面上，可如下表示：
j
U U a2 b2
bU
ห้องสมุดไป่ตู้
tan1 b
+1
a
a
U a jb U cos jU sin
3 j4 553.1 3 a 4 b 2ndf a 5 b 53.1 5 a 53.1 b 2ndf b3b4
U11
-j 顺时针转90°
设：任一相量 A
U2 U 22 则：A e j90
则： U U1 U2
( j)A
U1 U21 2
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2

U1 U2
e j12
i2 10 2 sin(6280t 30) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图瞬时值相量图
i
Im

t
T
u Um sin t
U
I
复数符号法
U a jb U ej U
提示计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
U 3 j4

第2章正弦交流电路--相量

2

T
0
1 cos 2(wt y ) 1 dt t 2 2
T 0
Im 1 2 T I Im 0.707 I m T 2 2 Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) I m sin( wt y ) 2I sin( wt y )
北方民族大学
§2. 3 相量法的基础
jw e jw t ] Im[ 2 I
北方民族大学
相量法小结
① 正弦量时域正弦波形图相量频域相量图
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 N
线性
w1 w2
N
线性
w
非线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
北方民族大学
例
u1 ( t ) 6 2sin ( 314t 30 ) V u2 ( t ) 4 2sin ( 314t 60o ) V
6 30 o V U 1 4 60 o V U 2
U U 630 460 5.196 j 3 2 j 3.464 U 1 2
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) Im( 2 U 1 e
Im( 2 U 1 e

jw t
) Im( 2 U 2 e jw t )

jwt
2U2 e

jw t
) Im( 2 (U 1 U 2 )e jw t )
得：
U U U 1 2
例2.
已知I 5015o A, f 50Hz.

复数和相量

复数和相量电气工程中用于将电阻、电流或直流电压加在一起的数学使用所谓的实数但实数并不是我们需要使用的唯一一种数字，尤其是在处理与频率相关的正弦源和向量时。

除了使用普通数或实数外，还引入了复数以允许使用负数的平方根√ -1来求解复杂方程。

在电气工程中，这种类型的数字称为“虚数”，为了区分虚数和实数，使用字母“ j ”，在电气工程中通常称为j 运算符。

因此字母“ j”放在实数前面表示其虚数运算。

虚数的示例有：j3、j12、j100等。

复数由两个不同但非常相关的部分组成，一个“实数”加上一个“虚数”。

复数表示参考两个不同轴的二维复数或s 平面中的点。

水平轴称为“实轴”，垂直轴称为“虚轴”。

复数的实部和虚部分别缩写为Re(z) 和 Im(z)。

由实数（有源分量）和虚数（无功分量）组成的复数可以按照与使用初等代数分析直流电路完全相同的方式添加、减去和使用。

数学中用于虚数加法或减法的规则和定律与实数相同，j2 + j4 = j6 等。

唯一的区别在于乘法，因为两个虚数相乘会变成负实数。

实数也可以被认为是一个复数，但虚部为零，标记为 j0。

j运算符的值恰好等于√ -1，因此“ j ”、( j x j ) 的连续乘法将导致j具有以下值-1、-j和+1。

由于 j 运算符通常用于表示向量的逆时针旋转，因此“ j ”、j 2、 j 3等的每次连续乘法或幂将迫使向量逆时针旋转 90 o的固定角度方向如下图。

同样，如果向量相乘的结果是 -j 运算符则相移将为-90 °，即顺时针旋转。

j 运算符的矢量旋转因此，将一个虚数乘以j 2会将矢量逆时针旋转180 o，乘以j 3将其旋转 270 o，乘以j 4将其旋转 360 o或回到其原始位置。

乘以j 10或乘以j 30将导致向量逆时针旋转适当的量。

在每次连续旋转中，矢量的大小始终保持不变。

在电气工程中，有不同的方法可以用图形或数学方式表示复数。

一种使用余弦和正弦规则的方法称为Cartesian或Rectangular Form。