自动控制原理课件-黄坚期末复习超完整版

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t →0 s →∞

lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →∞ s →0

� 一、传递函数的定义 � 在零初始条件下,线性定常系统输出信号 )的拉 c(t)的拉氏变换C(S)与输入信号r(t r(t) 氏变换R(S)之比,记为G(S)。

二、系统的传递函数
1、开环传递函数
R( s) +

E (s)
_
G (s)

C (s)

B (s) H (s)

定义:反馈信号 B(s)与偏差信号E(s)之比

B(s) = G(s)H(s) E(s) 结论:开环传递函数等于前向通路传递函数 G(s)和反馈 通路传递函数 H(s)的乘积。

推广到一般情况 :
b m s m + b m −1s m −1 + L L b1s + b 0 G(s)H(s) = a n s n + a n −1s n −1 + L L a 1s + a 0 =
2 Κ Π ( τ i s + 1) Π ( τ 2 s + 2 ζ di τ d s + 1) di i 2 s ν Π (Ti s + 1) Π (Tni s + 2 ζ ni Tni s + 1) i =1 i =1 i =1 ρ i =1 σ u η

式中:K——闭环系统的开环放大系数(又叫开环放 大倍数或 开环增益),是影响系统性能的重要参数。 当反馈传递函数 H ( s ) =1 时,开环传递函数 和前向传递函数相同,均等于 G( s )。
C(s) = CR (s) + CN (s) G1 (s)G2 (s) G 2 (s) = R(s)+ N(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) G 2 (s) = [G1 (s)R(s)+ N(s)] 1 + G1 (s)G2 (s)H(s)

4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数:
扰动 N ( s )

R( s) +
B (s )

E ( s)
_

G1 ( s )

+

+
G2 (s)

C ( s)

H ( s)

E ( s ) R ( s) − C ( s) H ( s ) C ( s ) H ( s) = = 1− R(s) R(s) R( s )
G 1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) 1 =1− = 1 + G 1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) 1 + G 1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )

2

2 n

s1,s2完全取决于 ς ,ωn两个参数。
当输入为阶跃信号时,则微分方程解的形式为:

c(t ) = A0 + A1e + A2e

s1t

s2t

式中 A 0 , A1 , A 2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。

*******三、稳定性的数学条件*****

设系统的线性化增量方程为:

d n c( t ) d n −1c ( t ) dc(t ) a0 + a1 + L + an−1 + an c ( t ) n n −1 dt dt dt d m r (t ) d m −1 r ( t ) dr (t ) = b0 + b1 + L + bm −1 + bm r ( t ) m m −1 dt dt dt
�第2章 控制系统的数学模型
重点: 1、建立系统的微分方程 2、掌握传递函数的基本概念 3、系统结构图的化简 4、根据信号流图求传递函数

“三域”模型及其相互关系
微分方程 t (时 域 )

L L
−1

F F −1

系 统
传递函数

s
(复 域 )

s=



频率特性

ω
(频 域 )

jω = s

拉氏变换知识的回顾

b) 扰动量作用下系统的误差传递函数:
−G 2 ( s ) H ( s ) E (s) = N ( s ) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )

c) 在控制量R(s)和扰动量N(s)同时作用时, 系统总的误差:
G 2 ( s ) H ( s) 1 E ( s) = R(s) − N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)

C (s)

二阶系统的传递函数
开环传递函数:
2 n

ω G( s) = s ( s + 2ςωn )
闭环传递函数:

ω C ( s) = 2 2 R( s ) s + 2ςωn s + ωn

2 n

二阶系统的特征方程为

s + 2ςωn s + ω = 0
解方程求得特征根 : s1,2 = −ςω n ± ω n ς 2 − 1
1 拉氏变换的定义 2 常见函数L变换
(1)单位脉冲 (2)单位阶跃 (3)单位斜坡 (4)单位加速度 (5)指数函数 (6)正弦函数 (7)余弦函数

F ( s ) = ∫ f ( t ) ⋅ e − ts dt
0



f (t )
δ (t ) 1( t ) t t2 2

F ( s)
1 1s 2 1s 3 1s
L[ f ′(t )] = s ⋅ F (s ) − f (0 )
1 1 L ∫ f (t )dt = ⋅ F ( s ) + f ( -1 ) (0) s s

[

]

L[ f ( t − τ 0 )] = e − τ ⋅ s ⋅ F ( s )
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )

e − at sin ω t cos ω t

1 (s + a)

ω (s2 + ω 2 ) s (s2 + ω 2 )

3 L变换重要定理
(1)线性性质 (2)微分定理 (3)积分定理 (4)实位移定理 (5)初值定理 (6)终值定理

L[a f 1(t) ± b f 2(t)] = a F1(s) ± b F2(s)
)判据 � 判据之三:劳斯(Routh Routh) 系统稳定的充分必要条件是:劳斯表中第一列 所有元素的计算值均大于零。

若系统的特征方程为:

a 0 s n + a1 s n −1 + L + a n −1 s + a n = 0
则劳思表中各项系数如下图:

s

n

a0 a1

a2 a3

a4 a5
c 33 = a1a6 − a0 a7 a1

s + 2s + 3s + 4s + 5 = 0
试用劳斯判据判断该系统的稳定性,并确 定正实部根的数目。

4

3

2

劳斯表判据的特殊情况
� 在劳斯表的某一行中,第一列项为零。 � 在劳斯表的某一行中,所有元素均为零。


在这两种情况下,都要进行一些数学处 理,原则是不影响劳斯判据的结果。

例2

设系统的特征方程为:

E ( s) = Φ ER ( s) R( s) + Φ EN ( s) N ( s)

根据结构图可以求出:
1 s Φ ER ( s ) = = 1 + G ( s) s + K1 K 2
−K2 Φ EN ( s ) = −Φ CN ( s ) = s + K1 K 2

4 正确理解稳态误差的概念,明确终值定 理的应用条件。 5 熟练掌握计算稳态误差的方法。 6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

********一、控制系统的动态性能指标 ******** 1、峰值时间tp:指h(t)曲线中超过其稳态值 而达到第一个峰值所需的时间。 )曲线从终值的10%上升 2、上升时间tr:指h(t h(t) 到终值的90%所需时间。对于有振荡的系统, 则为从0第一次上升到终值所用的时间。 3、超调量σ%:指h(t)中对稳态值的最大超出 量与稳态值之比。 4、调节时间ts:指响应曲线中,h(t)进入稳 态值附近±5%h(∞)或±2%h(∞)误差带,而 不再超出的最小时间。 5、稳态误差ess:指响应的稳态值与期望值之 差。

c 2 ,n −1

s
s0

关于劳斯判据的几点说明

� (1)、如果第一列中出现一个小于零的 值,系统就不稳定; � (2)、如果第一列中有等于零的值,说 明系统处于临界稳定状态; � (3)、第一列中数据符号改变的次数等 于系统特征方程正实部根的数目,即系 统中不稳定根的个数。

例1
设系统特征方程如下:

s − 3s + 4 = 0
试用劳斯判据确定正实部根的个数。

3

例3

设系统的特征方程为:

s + s − 2s − 3s − 7 s − 4s − 4 = 0
试用劳思判据确定正实部根的个数。
Байду номын сангаас
6

5

4

3

2

3 2 例:设系统特征方程为 s + 8s + 10 s + 2 = 0 ,试判 别系统的稳定性,并分析有几个根位于垂线 s = −1 与虚轴之间。
G1(s)

E(s)
_

+

+
G2 (s)

C(s)

H (s)

把系统输入量以外的作用信号均称之为扰 动信号。 C N (s) G 2 (s) Φ N (s) = = N(s) 1 + G 1 (s)G 2 (s)H(s)

扰动 N ( s )

R( s) +
B (s)

E ( s)
_

G1 ( s )

+

+
G2 ( s )

第3章 线性系统的时域分析
本章基本要求: 1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响 应的特点。熟练计算性能指标和结构参数, 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性 能的计算方法。 2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。 3 正确理解系统稳定性的概念,能熟练运用稳 定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数 计算、分析。

C (s)

H ( s)

R(s)=0 设输入量 设输入量R
C N (s) G 2 (s) Φ N (s) = = N(s) 1 + G 1 (s)G 2 (s)H(s)


C N (s) N(s)

G 1 (s)G 2 (s)H(s)

>> 1

G1(s)H(s) >>1 时,



0

此时扰动的影响可被抑制 。

R(s)、 N(s)同时作用时:

a6 a7

L L

s n −1
s
n− 2

s

n− 3

a 1 a 2 − a 0 a 3 c = a1a4 − a0a5 c13 = 23 a1 a1 c13 a 3 − a1 c23 c13 a 5 − c33 a1 c14 = c 24 =

c13

c13

L
M

M

M

M

s2

c1,n−1
c1, n
c1,n +1 = a n

2、闭环传递函数
R (s ) + B (s) H (s)

E ( s)
_

C (s)
G (s)

定义:系统的主反馈回路接通以后,输出量 与输入量之间的传递函数,通常用 Φ(s)表示。
Φ (s) = C(s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H(s)

3、扰动传递函数
R(s) +
B(s)

扰动N (s)

根据稳定的定义,有 :

r ( t ) = δ (t) 时, c (t ) = 0

b0s + b1s +L+ bm Φ(s) = n n−1 a0s + a1s +L+ an =
pi t

m

m−1t → ∞

K∏(s − zi ) 2ξω s +ω ) ∏(s −p )∏(−sσ + t
i
i

2

2

g(t ) = ∑ A ie + ∑ e

*******二、二阶系统数学模型****
二阶系统的微分方程一般式为:
d c(t ) dc(t ) 2 2 + 2 ςω + ω c ( t ) = ω n n n r (t ) 2 dt dt
2

(ω n > 0)

ς − 阻尼比

ω n − 无阻尼振荡频率

二阶系统的反馈结构图

R( s )

2 2 ω ω nn s 2ςω ξωnn)) s( (s s+ +2

sin(ωd t + θ)

结论:
� 系统稳定的充分必要条件是: 系统的特征方程的所有根都具有负实部, 或者说都位于 S平面的虚轴之左。
注:拉氏变换性质中的终值定理的适用条件:

SE(S)在S平面的右半平面解析,就是上面稳定条 件的另一种表示,即特征方程的所有根 Si位于S平 面的虚轴之左。

四、劳斯稳定性判据

s + 5s − 3s1 − 1 = 0
1 5 − 2.8 −1 −3 −1 0 0

3 1

2 1

五、线性系统稳态误差的求解
例:系统结构如下图。当输入信号 r(t)=1(t),干扰 n(t)=1(t)时,求系统的总的稳态误差
ess

解:① 判别稳定性。由于是一阶系统,所以只要参 数 K1 , K 2 大于零,系统就稳定。 ② 求E(s)。

解:列出劳斯表。劳斯表第一列无符号变化,所 以系统稳定。

s s2 1 s s0

3

1 8 9.75 2

10 2 0 0
−1

Im

[s]

0

Re

令 s = s1 − 1 代入原特征方程, 得到如下特征方程:

s s s s

劳斯表中第一列元素符号变化一次,所以 有一个特征方程根在 s = −1 垂线右边。

3 1 2 1 1 1 0 1
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