沪教版八年级数学上册一元二次方程第一节一元二次方程的概念教案

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八年级数学上册17.1一元二次方程的概念教案沪教版五四制.doc

一元二次方程的概念教学内容二、例题讲解例1:判断下列方程哪些是一元二次方程，如果是一元二次方程，化为一般式:(6) (x + 3)(% — 3) + 4 = 0 ；例2：把下列一元二次方程化为-•般式，并写出方程中的各项•各项的系数。

答案：(1) 2兀2_5兀+ 4 = 0 (2) V2/-y + 2>/2-V3=0 例3：判断2、5、—4是不是一元二次方程X 2+X = 8-X 的根。

答案：2, -4是例4：当加为何值时,关于兀的方程mx 2 -3x = x 2-mx + 2是一元二次方程? 答案:例5：已知关于兀的一元二次方程(加一2)兀2+3兀+加2一4 = 0有一个根是0,求加的值?答案:m = -2三、课堂练习1、将下列一元二次方程化为一般式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1) x —16 = 0； (2) 3y 2-4y = 0； (3) x ——=0；(1) 2x(x-l) = 3x-4 ；(2)+ = V2(y 2+ 2) (4) V3x 2——x + l=0；3 (5) (x +1)(% + 4) = x(x- 2)；(1) -X2+1=3X；(2) V3y = A/5>,2；3答案：-X2-3X +1=0； V5/->/3y = 0； 2x2-5x-ll = 0； 5x2-mx + n = G2、。

满足什么条件吋，关于兀的方程a(x2 + X)= A/3X-(x +1)是一元二次方程？答案：QHO3、(1)关于兀的方程(2m2 4-m)x m+i 4-3x = 6可能是一元二次方程吗?为什么?(2)方程(2a-4)x2-2bx + a = 0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？答案：(1)可能，加=1时；(2) QH2,a = 24、关于兀的一元二次方程(a-\)x2+x + a2-\= 0的一个根为0,则求Q的值。

《一元二次方程的定义》教案

《一元二次方程的定义》教案一、教学目标1.知识与技能：o掌握一元二次方程的基本形式。

o理解一元二次方程的定义和构成要素。

o能够识别一元二次方程，并能将非标准形式的一元二次方程转化为准形式。

2.过程与方法：o通过观察、归纳、总结等活动，培养学生的数学逻辑思维和抽象概括能力。

o提高学生将实际问题抽象为数学模型的能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生学习数学的兴趣和好奇心。

o通过合作学习，培养学生的团队协作精神。

二、教学重点和难点重点：一元二次方程的标准形式及其定义。

难点：如何正确判断一个方程是否为一元二次方程，以及如何将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式。

三、教学过程1.导入新课（3分钟）o提出问题：“什么是方程？之前我们学过哪些类型的方程？”o回顾之前学习的方程概念，引出新课题《一元二次方程的定义》。

2.讲解新知识（10分钟）o讲解一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。

o详细解释一元二次方程的三个要素：未知数（一元）、最高次数（二次）和等式（等号）。

o举例说明一元二次方程与非一元二次方程的区别。

3.课堂互动（10分钟）o组织学生进行小组讨论，找出生活中的一元二次方程实例。

o分享并点评学生的发现，强化一元二次方程与现实生活的联系。

o提出问题，让学生尝试将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式。

4.练习巩固（10分钟）o布置课堂练习，包括判断方程类型、将非标准形式方程化为标准形式等。

o学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正错误。

o小组内互相检查练习结果，讨论解题思路。

5.总结提升（5分钟）o总结一元二次方程的定义和转化方法。

o强调一元二次方程在数学和实际生活中的应用价值。

o布置课后作业，要求学生收集更多的一元二次方程实例，并尝试解决实际问题。

四、教学方法和手段●采用启发式教学法，引导学生主动思考和探索。

●利用多媒体教学工具，展示一元二次方程的实例和转化过程。

2017秋上海教育版数学八上17.2《一元二次方程的解法》(第1课时)WORD教案

课题一元二次方程的解法〔1〕授课时间：备课时间：教学目标掌握一元二次方程的两种解法：2、因式分解法；重点、难点2、因式分解法；考点及考试要求2、因式分解法；教学内容一、知识讲解形如2x d =的一元二次方程，解法如下；假设2()x a d +=，其中0a ≠，解法：〔1〕0d >，20x >，1x d =，2x d =-；〔1〕0d >，1x d a =-，2x d a =--；〔2〕0d =，20x =，120x x ==；〔2〕0d =，12x x a ==-；〔3〕0d <，20x <，方程无解。

〔3〕0d <，方程无解。

形如20ax c +=〔0a ≠〕；〔1〕通过移项，两边同除以a ，那么2c x a =-；〔2〕根据平方根的意义；当a 、c 0c a ->，方程有两个不同的实数根，1c x a =-，2c x a =--；当a 、c 0c a-<，方程没有实数根；当0c =时，0c a-=，方程有两个相同的实数根，120x x ==。

2、因式分解法一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，〔1〕常数项0c =时，20(0,0)ax bx a b +=≠≠，解法如下：〔3〕(32)6(32)0x x x +-+= 〔4〕(3)(10)0x x +-=答案：121,5x x =-=；1251,2x x =-=-；1226,3x x ==-；123,10x x =-=三、课堂练习1、直接写出以下方程的根：〔1〕2144x = 〔2〕225036x -= 〔3〕260x -=〔4〕2520x += 〔5〕2641y = 〔6〕2240y -+=答案：512;;6;6x x x =±=±=±无解；1;28y y =±=±方程：〔1〕21802x -= 〔2〕2240x -= 〔3〕210.10x -=〔4〕2(2)25x += 〔5〕23(5)36y -= 〔6〕225(43)4x -= 答案：12121114;26;10;3,7;523;,88x x x x x y x x =±=±=±==-=±==3、直接写出以下方程的根：〔1〕(4)0x x += 〔2〕(1)(15)0x x -+= 〔3〕(51)(22)0x x +-=〔4〕()()0x a x b -+= 〔5〕21280x x += 〔6〕2320x x -=答案：120,4x x ==-；121,15x x ==-；1212,52x x =-=；12,x a x b ==-；1220,3x x ==-；1220,3x x ==； 4、用因式分解法解以下方程：〔1〕220x x --= 〔2〕28120x x -+= 〔3〕223x x +=〔4〕2690x x -+= 〔5〕2421x x += 〔6〕21336x x =+〔7〕7(3)2(3)0x x x ---= 〔8〕3(25)4(52)0x x x ---=答案：12(1)(2)0,1,2x x x x +-==-=；12(2)(6)0,2,6x x x x --===；12(1)(2)0,1,2x x x x --===； 2(3)0,3x x -==；12(3)(7)0,3,7x x x x -+===-；12(4)(9)0,4,9x x x x --===；122(3)(72)0,3,7x x x x --===；1254(25)(34)0,,23x x x x -+===-. 四、课堂总结家庭作业1、填空题〔1〕方程(3)28t t +=的解为_____________________。

沪教版八年级数学上册《一元二次方程的解法》教案及教学反思

沪教版八年级数学上册《一元二次方程的解法》教案及教学反思教学目标•学会使用四则运算和平方公式推导一元二次方程式•理解一元二次方程解的概念，掌握运用公式法解一元二次方程的方法•能够通过例题的计算、实例的解答及练习中的综合运用，掌握一元二次方程解法教学内容课程背景•学科：数学•年级：八年级上册•课程名称：一元二次方程的解法•课标要求：熟练掌握公式法解一元二次方程的解题方法，能综合运用所学知识解决实际问题教学过程第一节课•导入：通过提出一个生活案例引发学生思考和探讨•讲授：教师介绍使用平方公式推导一元二次方程式的方法，并针对性地讲解平方公式的概念和作用•练习：学生通过课堂练习巩固平方公式的掌握，并且掌握运用平方公式推导一元二次方程式的方法第二节课•导入：通过一个有趣的题目引发学生注意力，同时奠定一元二次方程解法的基础•讲授：教师详细讲解一元二次方程解的概念和解题方法，并介绍运用公式法解一元二次方程的思想和方法•练习：学生通过一些例题的练习，掌握运用公式法解一元二次方程的技巧第三节课•导入：通过举实际应用的例子，让学生了解一元二次方程的实际应用场景•讲授：教师进一步深入讲解运用公式法解一元二次方程的技巧和注意点，并提供不同难度的实例，让学生综合运用所学知识解决实际问题•练习：学生通过练习不同的实例，巩固所学知识，提升解决问题的能力教学反思教学策略在教学过程中，我采用了导入、讲授、练习的教学策略。

通过用一个有趣生动的问题或实际案例来导入课堂，引发学生热情和积极性。

然后就相关知识进行讲解，并通过适当的方式引导学生掌握解题的技巧和方法。

最后结合不同层次的练习巩固所学知识和技能。

教学方法在教学方法上，我采用了多种不同的教学方法。

比如在讲授平方公式的时候，我注重理解掌握，并采用小组互动的方式让学生巩固掌握；在解释解法的过程中，讲解方法详尽，重点归纳，强化练习题目，让学生独立思考满足课程的要求；而在综合练习环节，我注重让学生运用所学知识，并在训练中适当加强训练，提高学生思考和解题能力。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 17.1 一元二次方程的概念教案

17.1 一元二次方程的概念教学目标：经历一元二次方程概念的形成过程；理解一元二次方程的有关概念，会把一元二次方程化成一般式，能指出一元二次方程中各项的名称及其系数；理解方程的根的意义，并会检验一元二次方程的根；感受数学类比思想，让学生感受到数学知识来源于生活。

教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点：运用一元二次方程的概念解题。

教学过程：三、课堂小结1、只含有一个未知数，且未知数的最高次是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3、根据方程的意义，判断方程的根。

)0(02≠=++a c bx ax （1）当c=0时，方程有一个根为0；（2）当a +b+c=0时，方程有一个根为1；（3）当a -b+c=0时，方程有一个根为-1。

4、类比的数学思想归纳小结提升学生对知识的总结能力，帮助学生养成善于归纳的学习习惯，从而提高学习能力。

四、作业布置必做题：练习册 17.1选做题：1、填空：变式练习（1）若关于x 的一元二次方程01a x 2x 322=-++，有一个根是0，则a= ；（2）若关于x 的一元二次方程01a x 2x )1a (22=-++-，有一个根是0，则a= ；（3）若关于x 的方程01a x 2x )1a (22=-++-，有一个根是0，则a= ；（4）若关于x 的方程01a x 2x )1a (22=-++-的两根中有一个是0，则a= ；2、求a 为何值时，关于x 的方程01x x 2x )1a (2a 12=++-++是一元二次方程。

分层作业，关注学生的个体差异，让不同层次的学生得到相应的锻炼。

教学设计说明本节课是八年级第一学期一元二次方程的第一课时，是在学习了一元一次方程以及二元，三元一次方程（组）的基础上学习的一节课。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1一元二次方程的解课件

x2 y2 3 或 x2 y2 2（舍去）
三、课堂小结
n 一元二次方程的定义三个要素，一个条件
n一元二次方程的解法四个方法，一个思想
五、布置作业
《练习册》
复习题A组1-7
一、一元二次方程的概念
l一元二次方程的定义一个未知数未知数的最高次数为2 整式方程
一般情势是 ax2 bx c 0 (a 0)
ห้องสมุดไป่ตู้
一、一元二次方程的概念
1.一元二次方程 2x2 3x 5 0
二次项系数是___2____ 一次项系数是___-_3___
常数项是___5____
一、一元二次方程的概念
(5)2x(x 5) x2 (6)ax2 bx c 0
牢记三个要素，一个条件
一、一元二次方程的概念
3.当m___≠≠__01_____时，关于x的方程 mmx2x2 3x8xx2 3 mx0 2 是一元二次方程.
4.化若成(m一般2式)x m(m31)mx2x(1m 30)x是关2 于0 x
的一元二次方程，则m_=_－__2_______
二次项系数不为0
二、一元二次方程的解法 1.下列方程用什么方法解比较简便？
(1)3x2 8 0 (2)x2 4x 4 0 (3)x2 5x 2 0 (4)x2 6x 1591
(5)2(x 1)2 6 0 (6)x2 x 1 0
33
x1 104, x2 96
思考题
1.x2 2mx m2 n2 0(m, n是已知数)
2.已知实数x,y满足 (x2 y2)(x2 y2 1) 6 , 求 x2 y2的值. A( A 1) 6 解： (x2 y2 )2 (x2 y2 ) 6 0
(x2 y2 3)(x2 y2 2) 0

八年级数学上册《一元二次方程的概念》教案、教学设计

3.各小组分享讨论成果，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，让学生运用所学方法求解一元二次方程。
2.针对不同难度的题目，引导学生选择合适的解法。
3.教师巡回指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程的定义、一般形式及求解方法。
3.通过典型例题的讲解，让学生掌握解一元二次方程的步骤和方法，提高学生的解题技巧。
4.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，培养学生的动手能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的积极性。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，养成解题过程中注意检查、验算的好习惯。
4.能够运用一元二次方程解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法引导学生学习：
1.采用启发式教学方法，通过问题导入、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣，促使学生主动探究一元二次方程的概念。
2.利用数学软件或教具，形象直观地展示一元二次方程的图像，帮助学生更好地理解一元二次方程的性质。
3.培养学生的团队合作精神，学会与他人分享、交流学习心得。
4.培养学生面对困难不退缩、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有较为熟练的掌握，但对于一元二次方程这一新的数学概念，学生可能会感到陌生和困惑。在知识储备上，学生可能对二次项的识别和转换、求解方法的掌握存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要关注以下几个方面：
4.注重培养学生的数学思维能力，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程模型，体会数学与现实生活的联系。

初中数学初二数学上册《一元二次方程》教案、教学设计

（二）讲授新知
1.教学内容：一元二次方程的定义、一般形式、标准形式及其解法。
2.教学过程：
（1）教师讲解一元二次方程的定义，让学生了解其一般形式和标准形式。
（2）教师通过示例，介绍直接开平方法、因式分解法、配方法等解法。
（3）学生跟随教师思路，理解并掌握一元二次方程的解法。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：探讨一元二次方程在实际问题中的应用。
二、学情分析
初二是数学学习的关键时期，学生已经掌握了一元一次方程、不等式等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。在此基础上，学习一元二次方程，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对数学思维能力的提升。
学生在这个阶段，好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散。因此，在教学过程中，应注重激发学生的兴趣，引导他们积极参与课堂讨论和实践活动。同时，要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习特点和能力，制定合理的教学策略，使他们在原有基础上得到提高。
（2）通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，提高他们对数学知识的应用意识。
（3）运用多媒体教学手段，形象生动地展示一元二次方程的解法，帮助学生理解难点。
2.教学策略：
（1）针对学生的个体差异，实施分层教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
（2）注重课堂小结，帮助学生梳理所学知识，形成知识体系。
2.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高他们的数学素养。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯，为未来的学习打下坚实基础。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师要注重启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题，使他们在探索中成长，不断提高自身的数学素养。

初中数学初二数学上册《一元二次方程的概念》教案、教学设计

4.教师简要介绍一元二次方程的定义和一般形式，激发学生的好奇心，为学习新课做好铺垫。
（二）讲授新知，500字
1.教师详细讲解一元二次方程的定义、一般形式（ax² + bx + c = 0），并解释a、b、c的含义。
2.教师通过图示、教具等辅助手段，帮助学生形象地理解一元二次方程的解的概念。
3.教师介绍一元二次方程的求解方法，如配方法、公式法等，并举例说明。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师出示一个实际问题：“小明家有一块长方形的菜地，如果将长增加3米，宽增加2米，那么面积就增加75平方米。求原来长方形菜地的长和宽。”
2.学生尝试用已学过的知识解决问题，可能会发现无法直接求解，从而产生疑问。
3.教师引导学生观察问题，发现其中未知数的平方项，从而引出一元二次方程的概念。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程的定义、一般形式和求解方法。
2.学生分享学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和收获。
3.教师强调一元二次方程在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
4.教师布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
5.针对本节课的学习内容，进行自我反思，总结自己在学习一元二次方程过程中的收获和不足，提出改进措施，并在作业本上写下学习心得。
1.作业要求独立完成，不得抄袭，确保作业质量。
2.完成作业后，认真检查，确保无误，提高作业的准确性。
3.家长要关注孩子的作业完成情况，协助教师督促孩子按时完成作业，养成良好的学习习惯。
3.小组合作完成一道拓展题，题目如下：“一个正方形的面积比它的边长多6米，求这个正方形的边长。”要求小组讨论、共同解决问题，并在作业本上记录讨论过程和最终答案。

沪教版数学八年级上册17.2《一元二次方程的解法》(第1课时)教学设计

沪教版数学八年级上册17.2《一元二次方程的解法》（第1课时）教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法》是沪教版数学八年级上册第17.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的概念等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法。

这部分内容是解决实际问题的重要工具，也是进一步学习代数的基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，能够运用公式法和因式分解法解一元二次方程。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。

2.难点：理解和掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，理解和掌握一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的案例，用于引导学生进行解法的实践。

2.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现一元二次方程的案例，引导学生进行解法的实践。

首先，引导学生运用已知的知识尝试解方程，然后引导学生发现解方程的规律，从而引出一元二次方程的解法。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选定一个一元二次方程，运用所学的方法进行解法。

教师在这个过程中给予适当的引导和指导。

4.巩固（10分钟）通过PPT展示一些典型的一元二次方程，让学生进行解法练习。

教师在这个过程中及时给予反馈和纠正。

沪教版(上海)八年级上册数学17.2一元二次方程及其解法(一)教案

17.2 一元二次方程及其解法（一）教案【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想^【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1 . 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可^ 2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如篦J十历:斗。

=0（口丰，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中以?是二次项，比是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.要点诠释：（1）只有当口注0时，方程+ e = 0才是一元二次方程；（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程/ 斗/= 0（口H0）必有一根x=1 ；反之也成立，即若x=1是一元二次方程+5工斗c = 0（。

主0）的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程&W +方4+汇=0（。

工0）必有一根x=-1 ；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程5/ d■岳r + c = 0〔口牡0）的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程a/十岳r + c = O（（3 W。

）有一个根x=0,则c=0;反之也成立，若c=0,则一元二次方程+厉r-c = 0（以k 0）必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法^(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程犬=次,可直接开平方求解.若白、。

秋上海教育版数学八上17.2《一元二次方程的解法》(第1课时)word教案

（3） d 0 ， x 0 ，方程无解。形如 ax c 0 （ a 0 ）；
2
（3） d 0 ，方程无解。
（1）通过移项，两边同除以 a ，则 x
2
c ； a
（2）根据平方根的意义；当 a 、 c 异号时，当 a 、 c 同号时，当 c 0 时， 2、因式分解法一元二次方程 ax
x1 0, x2
2 ； 3
（2） x 8 x 12 0
2
4、用因式分解法解下列方程：（1） x x 2 0
2
（3） x 2 3x
2
（4） x 6 x 9 0
2
（5） x 4 x 21
2
（6） 13x x 36
2
（7） 7 x( x 3) 2( x 3) 0
2
c c c 0 ，方程有两个不同的实数根， x1 ， x2 ； a a a c 0 ，方程没有实数根； a
c 0 ，方程有两个相同的实数根， x1 x2 0 。 a
bx c 0(a 0) ， bx 0(a 0, b 0) ，解法如下：
2
（2） 2 x 5 0
2
（3） 7 x 21 0
2
答案： x
2 ; 无解； x 3 3
例 2、解下列方程：（1） (2 x 5)
2
9
（2） 2( x 3)
2
49 0
（3）
1 (2 x 3) 2 25 3
答案： x1
4, x2 1 ； x1
( x 3)2 0, x 3 ； ( x 3)( x 7) 0, x1 3, x2 7 ； ( x 4)( x 9) 0, x1 4, x2 9 ；

沪教版(上海)八年级上册数学 17.2 一元二次方程及其解法(一) 教案

17.2 一元二次方程及其解法（一）教案【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例题1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例题2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例题3. 若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解， ∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+= 2490b ac =-=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例题4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．类型五、因式分解法解一元二次方程例题5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．例题6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式.用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。

上海教育版数学八年级上册17.1《一元二次方程的概念》word教案

《一元二次方程的概念》教学设计河北省景县洚河流镇中学秦艳茶一、教案背景1、面向学生：九年级学生2、学科：九年数学3、课时：1课时4、学生情况：我校是一所农村学校，学生的基础较差，因此针对学生的实际特点和学习经验设计本节教案。

二、教材分析本章的主要内容包括两个方面：1、一元二次方程的基本概念及其解法；2、一元二次方程在实际问题中的应用。

全章共包括三节：一元二次方程、降次——解一元二次方程、实际问题与一元二次方程。

本节以雕像问题、制作方盒问题和体育比赛中的组合问题这三个问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，让学生感受一元二次方程这一概念的内涵，并通过提出问题，要求学生观察思考方程中未知数的个数和次数，引导学生联想并类比一元一次方程，以便更好地理解一元二次方程的有关概念。

这样编排，既有利于学生理解并接受新知识，又充分地反映出一元二次方程及其有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型。

三、教学任务分析四、教学流程安排五、教学过程设计2六、教学设计说明本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题。

在教学过程中，注重重难点的体现。

在本节课的活动1中，利用学生复习熟悉的一元一次方程，让学生顺利过渡到后面的问题。

活动2中让学生观察活动1中得到的3个方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识。

活动3意在强化学生所学知识，并运用到实际问题中去。

教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识。

沪教版八年级上册一元二次方程应用教案

一、一元二次方程的应用：（1）二次三项式的因式分解①若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为x 1，x 2，则二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式写成：))((212x x x x a c bx ax --=++②当ac b 42-＞0，二次三项式在实数范围内分解因式为：))((212x x x x a c bx ax --=++ 当ac b 42-=0，二次三项式在实数范围内分解因式为：212)(x x a c bx ax -=++ 当ac b 42-＜0，二次三项式在实数范围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是（2）已知方程06222=+-mx x 的一个根为-2，则m= ，它的另一个根是（3）已知关于x 的方程0112)21(2=-+--k x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是2、解下列一元二次方程：（1）018)32(22=-+x （2）5)1)(3(=-+x x（3）05342=--x x （配方法）（4）01222=++-x x3、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：（1）3522-+x x (2)22253y xy x +-- (3)5)2(3)2(22-+++y x y x4、已知关于x 的一元二次方程0122=+-+a x x 没有实数根，试判断关于x 的一元二次方程12=++a ax x 根的情况，并说明理由。

5、已知关于x 的一元二次方程02)2(22=-+--k x k x 有两个相等的实数根，求k 的值及这时方程的根。

6、已知m ，n 为实数，且20)1)((2222=+++n m n m ，23=mn ，求2)(n m +及2)(n m -的值？7、求证：不论k 为何值，关于x 的方程03)12(2=--+-k x k x 总有两个不相等的实数根。

沪教版（上海）一元二次方程的解法教案

17.2（2）一元二次方程的解法一、教学设计思路：1、教材分析：一元二次方程的解法是沪教版数学八年级上学期的内容，这节课是其中的因式分解法解一元二次方程。

在整个初中阶段的代数教学中解一元二次方程有着重要的地位，而因式分解法又是在后续中考解题中应用最多、最广泛的一种方法。

这节课不仅有着承前启后的作用，也是培养学生概括总结能力的良好载体。

2、学情分析：学生在之前的课程中已经学习过了一元一次方程以及二元、三元一次方程（组），前两节课也学习了二元一次方程和开平方法解一元二次方程，具备了方程的初步知识。

本节课继续研究因式分解法解一元二次方程，是解方程方法的进一步扩充，也是后续其他一元二次方程解法的一个过渡。

我所任教的班级在年级中成绩较好，基础知识过硬。

班级学生上课也比较活跃，学生乐意在上课的时候表达自己的意见和想法。

但是有个别学生与整体差距较大，需要在课堂中进行更多的关注。

3、教学策略：我希望在教学中可以充分利用优势，调动课堂氛围的同时，鼓励同学，让他们更多的进行抽象的总结性归纳，同时为了照顾部分后进生，又可以用简单易懂的例子将结论进行呈现。

所以本节课首先利用复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫。

通过两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程。

将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念。

同时在后续例题和讲解中针对不同题型进行强化，并进一步进行归纳整理和总结。

二、教学目标及重难点：教学目标：1、知识与技能：复习因式分解的概念，会用因式分解的方法解简单数字系数的一元二次方程.2、过程与方法：在探索、讨论、总结与归纳的过程中，让学生体验化归的数学思想，即通过因式分解法实现降次目的，将一元二次方程转化成两个一元一次方程进行求解.3、情感态度价值观：养成学生仔细观察、认真审题的好习惯，提高学生概括总结的能力.教学重点：运用因式分解法解一元二次方程．教学难点：灵活运用因式分解的方法把一元二次方程化为两个一次因式的积等于零的形式.三、教学过程（一）、复习引入1、分解因式：（1）24x x +=（2）21415x x +-=设计说明：通过两道简单题目复习初一时学习过的因式分解，为本节课运用因式分解法解一元二次方程做铺垫.2、整式的乘法：当0=•B A 时，必有；当时，必有0=•B A .设计说明：复习两个因式乘积为0的情况，即如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个是0，反过来，如果两个因式中至少有一个是0，那么这两个数的乘积也是0，强调这里需满足的条件是“或者”，两因式同时为0是满足条件的，但只是一个特殊情况.3、口答下列关于x 的方程的解：（1）()40x x += （2）()()1+15=0x x -（3）()()0x a x b -+= （4）()(5120x x +-=4、求符合下列条件的一元二次方程:两根为-3和6，且二次项系数为1.设计说明：通过前面两道题目，让学生尝试进行归纳和总结，在遇到两个因式相乘等于0的方程时，可以让其中一个因式的值为0来解决问题，得到方程的两个解.最后指出，实际上这几个方程都是我们所学的一元二次方程，从而引出我们的因式分解法解一元二次方程.（二）、新课学习知识点一：因式分解法的概念5、解下列方程：（1）240x x +=（2）x 2+4x =−4（3）x 2+4x =21设计说明：问题一实际上就是将复习引入中的多项式因式分解变成了解一元二次方程，引导学生使用因式分解的方法将解一元二次方程转化成解两个一元一次方程，利用原有的知识解决新的问题，体验化归的思想，同时得到新的概念.问题二和问题三与问题一形似，但是分别涉及到公式法和十字相乘法的因式分解.此处主要为了呈现概念，不必过多纠结方法，但是需要强调解题格式，规范书写。

沪教版数学八年级上册第17章第1节《一元二次方程的概念》教学设计

沪教版数学八年级上册第17章第1节《一元二次方程的概念》教学设计一. 教材分析《一元二次方程的概念》是沪教版数学八年级上册第17章第1节的内容。

本节课主要介绍一元二次方程的定义、性质和解法。

一元二次方程是初中数学的重要内容，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。

通过学习一元二次方程，学生可以培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程的基本概念和解法。

但是，对于一元二次方程的定义和性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作、归纳等活动，逐步理解和掌握一元二次方程的概念和性质。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义和性质。

2.学会解一元二次方程的基本方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和性质。

2.一元二次方程的解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生自主探究、合作交流，从而理解和掌握一元二次方程的概念和性质。

同时，结合具体案例，讲解一元二次方程的解法，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过设置问题情境，引导学生回顾已学过的方程知识，为新课的学习做好铺垫。

例如：请同学们列举一下我们已经学过哪些类型的方程？它们有什么特点？呈现（15分钟）1.教师通过PPT课件，介绍一元二次方程的定义和性质。

2.结合具体案例，讲解一元二次方程的解法。

操练（15分钟）学生分组讨论，尝试解一些简单的一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对一元二次方程概念和解法的掌握情况。

拓展（10分钟）教师引导学生思考：一元二次方程在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，进一步培养学生的应用能力。

小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，加深对一元二次方程概念和性质的理解。

沪教版(五四学制)数学八上 17.1 一元二次方程教案(表格式)

(1) ；(2) ；
解：(1)
(2)
或
注：一元二次方程的二次项系数可为正也可以为负，为了计算的方便，一般写成正。
例2：判断2、5、-4是不是一元二次方程x +x=8-x的根.
解：
注：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解又叫做方程的根。
例3：观察下列方程，哪些方程有一个根为0，哪些方程有一个根为1，哪些方程有一个根为－1？
x(x＋10)＝1200
整理可得，x2＋10x－1200=0
二、新授：
（一）观察思考：
1.观察下列这些方程：
；；；；；
2.讨论：这些方程有哪些共同点？
(1)只含有一个未知数，因此都是一元方程；
(2)未知数的最高次数都是2，因此都是二次方程；
(3)方程两边都是关于未知数的整式，因此都是整式方程
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6)
归纳特征：有一根为0，则常数项；
有一根为1，则；
有一根为－1，则；
三、练习：
课本P26/ 1－4
四、小结：
1.一元二次方程的概念，注意3小点；
2.一元二次方程的一般形式，以及项、系数的名称；
3.一元二次方程有特殊根0、1、－1时系数的特征。
重点
一元二次方程中的相关概念及一般形式。
难点
正确识别一般式中的“项”及“系数”；
特别记住二次项系数不为零的条件。
教具准备
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
一、引入：
1．一块长方形绿地面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，则可得方程：