绕轴旋转体的体积

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r (o)绕x轴旋转一周的体积公式

一、引言在数学和物理学中，经常会涉及到绕某个轴旋转的问题。

在计算旋转体的体积时，我们需要根据旋转轴的不同选择合适的公式来进行计算。

本文将重点讨论绕x轴旋转一周的体积公式，以便读者更好地了解并应用这一知识。

二、绕x轴旋转一周的体积公式当一个曲线或者平面图形绕x轴旋转一周时，我们希望能够得到旋转体的体积。

下面我们将讨论几种常见的图形绕x轴旋转一周的体积公式。

1. 直线段绕x轴旋转一周的体积公式当一条直线段在x轴上方或者下方，并绕x轴旋转一周时，我们可以利用定积分来求解旋转体的体积。

假设直线段的方程为y=f(x)，x的取值范围为[a, b]，则绕x轴旋转一周的体积V可由以下公式计算得出：V = π∫[a, b](f(x))^2dx其中，π表示圆周率，∫[a, b]表示对x从a到b的定积分。

2. 非负函数绕x轴旋转一周的体积公式当一个由非负函数y=f(x)围成的曲边图形绕x轴旋转一周时，我们可以使用定积分来计算旋转体的体积。

设曲边图形的方程为y=f(x)，x的取值范围为[a, b]，则绕x轴旋转一周的体积V可以用以下公式计算得出：V = π∫[a, b](f(x))^2dx这个公式与直线段绕x轴旋转一周的体积公式相同，都是利用定积分来求解旋转体的体积。

3. 一般图形绕x轴旋转一周的体积公式对于一般的图形，我们可以将其分解为多个由直线段或者非负函数围成的曲边图形，然后分别计算每个部分绕x轴旋转一周的体积，最后将它们相加得到整个图形绕x轴旋转一周的体积。

若一个一般图形由n个部分组成，分别为S1, S2, ..., Sn，它们分别在x轴上方或者下方，并且n个部分不相交，则整个图形绕x轴旋转一周的体积V可以表示为：V = ΣVi = Σ[1, n]Vi其中Vi表示第i个部分绕x轴旋转一周的体积。

4. 应用举例举例说明直线段绕x轴旋转一周的体积公式。

假设直线段的方程为y=x，x的取值范围为[0, 1]，则绕x轴旋转一周的体积V可由以下公式计算得出：V = π∫[0, 1]x^2dx通过对上述定积分进行计算，可以得到V=π/3。

定积分的应用绕y轴旋转体的体积

定积分的应用绕y轴旋转体的体积
绕y轴旋转体的体积可以使用定积分来计算。

假设我们要计算在x轴上由函数y=f(x)和y=g(x)所围成的区域绕y轴旋转一周
形成的体积。

首先，我们可以将该区域在y轴上的投影表示为两个曲线
y=f(x)和y=g(x)之间的区域，即：
ΔV = π * (f(x)² - g(x)²) * Δx
其中，ΔV表示该区域在y轴上的投影扫过的小圆柱体的体积，π表示圆周率，f(x)² - g(x)²表示小圆柱体的底面积，Δx表示小
圆柱体的高度。

然后，我们可以将整个区域划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。

然后将所有小圆柱体的体积求和，即可得到整个
旋转体的体积：
V = ∫[a,b] π * (f(x)² - g(x)²) dx
其中，[a,b]表示区间[a,b]上的积分，表示我们要计算的区域的
范围。

通过对上述积分进行计算，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。

请注意，这个方法适用于任何形状的曲线旋转体。

积分求旋转体体积公式

积分求旋转体体积公式
积分求旋转体体积公式是用于计算通过旋转曲线或曲面而形成的立体图形的体积的公式。

该公式是通过对曲线或曲面的积分计算得出的，具体公式如下：
1. 对于曲线绕 x 轴旋转：
V = π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲线的起点和终点，f(x) 表示曲线在 x 坐标上的高度。

2. 对于曲线绕 y 轴旋转：
V = π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲线在 y 轴上的起点和终点。

3. 对于曲面绕 x 轴旋转：
V = 2π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲面的起点和终点，f(x) 表示曲面在 x 坐标上的高度。

4. 对于曲面绕 y 轴旋转：
V = 2π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲面在 y 轴上的起点和终点。

需要注意的是，当计算体积时，应根据具体情况选择合适的公式，并注意积分边界和被积函数的正确表达式。

- 1 -。

旋转体绕y轴旋转一周的体积公式

旋转体绕y轴旋转一周的体积公式旋转体绕y轴旋转一周的体积公式可以用下面的式子来定义：
V=π∫[a,b]{(f(x))²dx}
其中a和b是通过周长弧长来定义的，比如说绕y轴旋转一周，则a=0，b=2π。

f(x)指的是旋转体的函数的x的函数值，如果旋转体是一个抛物线，比如y=x²，那么f(x)就是x²。

此外，所有的旋转体函数都要求满足以下两个条件：其一，所有的旋转体函数都要求至少是连续的；其二，所有的旋转体函数都要求在定义域内是连续可微的，也就是说，针对每一点都要有f'(x)存在。

有了这个公式，我们就可以用它来计算任意给定的旋转体绕y轴旋转一周的体积了。

比如说，如果
f(x)=x3，
则V=π∫[0，2π]{(x3)²dx}=60π
再比如说，如果
f(x)=sin x，
则V=π∫[0，2π]{(sin x)²dx}=4π
从上面的例子可以看出，不论旋转体的函数形式是什么，都可以用同样的公式来计算出绕y轴旋转一周的体积。

求旋转体体积的两种方法

求旋转体体积的两种方法
当平面图形绕着某一直线（旋转轴）旋转时，所得到的旋转体的体积，我们可以用切片法或者圆桶法求出。

总结起来，有几种情形：
情形1：平面图形由及 x 轴围成，
利用切片法，这个图形绕 x 轴旋转所得的体积为
而它绕 y 轴所得的体积，我们利用圆桶法求得它的体积为
情形2：如果平面图形由及 y 轴围成，
那么由圆桶法，绕 x 轴旋转的体积为
而由切片法，可以得到绕 y 轴旋转所得的旋转体体积为
情形3：如果平面图形由两条曲线以及两条直线所围成，
那我们用上曲线旋转所得的体积减去下曲线旋转所得的体积，则得到绕 x 轴旋转的体积为
同样，绕 y 轴旋转所得的体积为
情形4：类似可以得到由以及
围成的图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转所得的体积
现在我们来看几个例子。

例1：求由曲线以及两个坐标轴所围成的图形分别绕 x 轴与绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积。

解：与求平面图形的面积一样，我们先画出区域的图形。

所以，由切片法得到绕 x 旋转所得的体积为由圆桶法得到绕 y 轴旋转所得的体积为。

绕极轴旋转体体积公式

绕极轴旋转体体积公式
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲绕极轴旋转体体积公式。

那公式是啥呢？就是V=∫πy²dx 呀！比如说，有个图形，它的方程是 y=f(x)，从 a 到 b 这一段绕极轴旋转，那我们就可以用这个公式来算算它形成的旋转体的体积啦！
咱举个例子哈，就像一个圆锥，底面半径是 3，高是 4，那我们就可以根据圆锥的方程算出 y 的表达式，然后代入公式里去计算呀！这多有趣啊，就好像我们在探索一个神秘的数学宝藏一样！你难道不想试试用这个公式去解开更多的谜题吗？是不是突然觉得数学也没那么枯燥啦！
哎呀呀，了解了这个公式，我们就能打开很多奇妙大门呢，真的超赞的！大家一起去用它玩转数学世界吧！。

绕y轴旋转体体积公式两种形式

绕y轴旋转体体积公式两种形式绕y轴旋转体的体积公式是求解由曲线和y轴旋转形成的立体体积的公式。

在数学中，我们可以使用两种不同的形式来表示绕y轴旋转体的体积公式，分别是定积分形式和壳体积分形式。

一、定积分形式当我们有一个曲线y=f(x)，在x轴上的积分区间为[a, b]时，我们可以使用定积分来表示绕y轴旋转体的体积。

根据定积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx其中，π表示圆周率，∫[a, b]表示积分区间，f(x)表示曲线上任意一点的纵坐标。

通过对曲线在x轴上的积分，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。

二、壳体积分形式除了定积分形式，我们还可以使用壳体积分形式来表示绕y轴旋转体的体积。

壳体积分形式通常适用于一些无法通过定积分形式直接求解的情况。

当我们有一个曲线x=g(y)，在y轴上的积分区间为[c, d]时，我们可以使用壳体积分来表示绕y轴旋转体的体积。

根据壳体积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = 2π∫[c, d] g(y) h(y) dy其中，2π表示圆周率的倍数，∫[c, d]表示积分区间，g(y)表示曲线上任意一点的横坐标，h(y)表示该点到y轴的距离。

通过对曲线在y轴上的积分，我们同样可以得到绕y轴旋转体的体积。

绕y轴旋转体的体积公式不仅可以通过数学公式来表示，也可以通过立体图形的理解来加深我们对于体积公式的理解。

通过对绕y轴旋转体的两种不同形式的体积公式的探讨，我们可以更全面、深入地理解这一数学概念。

总结回顾通过以上的讨论，我们可以看出，绕y轴旋转体的体积公式有两种主要的表示形式，分别是定积分形式和壳体积分形式。

在求解绕y轴旋转体的体积时，我们可以根据具体情况选择适合的公式并灵活运用。

通过深入理解这两种形式的体积公式，我们可以更灵活地运用数学知识解决实际问题。

个人观点和理解在我看来，绕y轴旋转体的体积公式是数学中一个非常重要且有趣的概念。

旋转体体积公式绕x轴的体积

旋转体体积公式绕x轴的体积在我们学习数学的旅程中，旋转体体积公式绕 x 轴的相关知识可是个重要的“小伙伴”呢！先来说说什么是旋转体体积。

想象一下，有一条曲线在平面上，然后让它绕着 x 轴旋转一圈，所形成的那个像“甜甜圈”一样的空间物体就是旋转体啦。

而计算这个旋转体体积的公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开了解它大小的大门。

比如说，我们有一个简单的函数 y = x，从 x = 0 到 x = 1 这一段。

当它绕着 x 轴旋转一周后，形成的就是一个圆锥。

这时候，我们就可以用旋转体体积公式来算算它的体积。

公式是这样的：V = π∫[f(x)]²dx ，积分的区间就是函数的定义域。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这绕来绕去的，到底是怎么回事呀？”我笑着拿起一支笔，在空中比划着说：“你看啊，就像我们在做陶艺，把这一块泥巴（指着函数曲线），绕着这个轴（比划出 x 轴）这么一转，是不是就出来一个形状啦？那我们要知道这个形状占了多大的空间，就得靠这个公式来帮忙。

”那孩子似懂非懂地点点头，然后自己拿起笔在纸上画了起来。

再举个例子，比如函数y = √x ，从 x = 0 到 x = 4 绕 x 轴旋转一周。

这时候，我们代入公式V = π∫[f(x)]²dx ，经过一番计算就能得出体积啦。

在实际应用中，这个公式可太有用了。

比如说，工程师在设计零件的时候，可能就需要计算某个旋转体的体积，来确定材料的用量和成本。

对于咱们学生来说，掌握这个公式，不仅能在考试中多拿几分，更重要的是，它能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

学习旋转体体积公式绕 x 轴的体积，就像是一场有趣的探险。

虽然有时候可能会觉得有点难，但只要我们多思考、多练习，就一定能攻克这个难关，发现其中的乐趣和奇妙之处。

总之，旋转体体积公式绕x 轴的体积是数学世界中的一个重要工具，让我们能够更深入地理解和探索空间几何的奥秘。

绕y=a的旋转体体积公式

绕y=a的旋转体体积公式
旋转体是一种特殊的几何体，它是通过将一个曲线绕着一个轴线旋转而形成的。

其中，y=a是一条直线，它是一个轴线，围绕它旋转可以形成一个旋转体。

围绕y=a的旋转体体积公式是：V=2π∫a^2f(x)dx。

其中，V表示旋转体的体积，a表示轴线的位置，f(x)表示曲线的函数，dx表示曲线的长度。

要求旋转体的体积，首先要确定曲线的函数f(x)，然后计算曲线的长度dx，
最后将这些参数代入公式中，就可以求出旋转体的体积。

旋转体的体积是一个重要的物理量，它可以用来衡量物体的大小，也可以用来
计算物体的质量。

因此，围绕y=a的旋转体体积公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们更好地理解物体的特性。

绕x轴旋转体积公式

绕x轴旋转体积公式一、引言绕x轴旋转体积公式是描述立体图形在绕x轴旋转时所形成的体积的公式。

该公式是数学中重要的几何应用之一，常用于求解旋转体的体积问题。

本文将详细介绍绕x轴旋转体积公式的推导和应用。

二、绕x轴旋转体积公式的推导绕x轴旋转体积公式的推导基于微积分的方法，主要通过求解定积分来得到。

具体的推导步骤如下：1. 假设有一个曲线y=f(x)，其在x轴上的区间为[a, b]。

2. 将该曲线绕x轴旋转，形成一个旋转体。

3. 将旋转体划分成无穷多个薄片，每个薄片的厚度为Δx。

4. 根据旋转体的定义，每个薄片在旋转后形成的体积可以近似看作是一个圆盘的体积。

5. 假设薄片在x轴上的坐标为x，宽度为Δx，则薄片在旋转后形成的圆盘的半径为f(x)。

6. 由于圆盘的体积为πr^2h，其中r为半径，h为高度，而薄片的厚度Δx可以视为圆盘的高度，所以薄片在旋转后形成的圆盘的体积可以表示为πf(x)^2Δx。

7. 将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积近似值。

8. 当Δx趋近于0时，薄片的数量趋近于无穷大，此时旋转体的体积可以表示为定积分的形式。

9. 综上所述，绕x轴旋转体积公式可以表示为V = ∫[a,b]πf(x)^2dx。

三、绕x轴旋转体积公式的应用绕x轴旋转体积公式在实际问题中有着广泛的应用，主要用于求解旋转体的体积。

以下是几个典型的应用场景：1. 圆锥体的体积求解：当将一条直线绕x轴旋转时，形成的旋转体为圆锥体。

根据绕x轴旋转体积公式，可以求解圆锥体的体积。

2. 圆柱体的体积求解：当将一条平行于x轴的直线段绕x轴旋转时，形成的旋转体为圆柱体。

根据绕x轴旋转体积公式，可以求解圆柱体的体积。

3. 旋转曲线的体积求解：当将一个曲线绕x轴旋转时，形成的旋转体可以是各种形状的曲面。

通过绕x轴旋转体积公式，可以求解旋转曲线所形成的曲面的体积。

四、总结绕x轴旋转体积公式是描述立体图形在绕x轴旋转时所形成的体积的公式。

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积
极坐标系是一种方便的表示曲面的坐标系统，也是物理学中广泛使用的坐标系统，它可以用来描述质点或物体在曲面上的位置和运动，并可以求出该曲面上关于极轴旋转的体积。

其中，极坐标系由极轴、极径和极角构成，其中极轴为极坐标系的中心，极径表示质点距离极轴的距离，极角表示质点到X轴的角度。

而求极坐标系下绕极轴旋转的体积，则是按照控制域的思想，用定积分的方法来求解的。

由积分解算，可以得到绕极轴旋转体积的表达式，即：$$V=\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{b}(\rho-\rho_1)^2 d\rho d\phi$$其中，V为旋转体积，$\rho$为极径，$\phi$为极角，a和b分别为旋转体的内外极径。

上述表达式显示，求解极坐标系下绕极轴旋转体积，只需要确定旋转体的极径即可，将其代入表达式后可以求得它的体积。

例如当极径为2时，它的旋转体积即可以用下述方式计算：$$V = \int_{\phi=0}^{2\pi}(2-0)^2d\phi = 8\pi$$
从上述结果可以看出，极坐标系是物理学中应用广泛的坐标系，它可以给出曲面的位置和动量的变化，便于我们求解关于旋转的体积，有助于理解和探索曲面上的问题。

极坐标绕x轴旋转体体积公式

极坐标绕x轴旋转体体积公式
极坐标绕x轴旋转体，是指在极坐标系中，以x轴为中心，将一定厚度的圆柱体或圆锥体等旋转体沿x轴正方向旋转一周所形成的立体。

这种旋转体在实际应用中具有广泛的意义，如在物理学、工程学等领域。

为了更好地理解和研究这种旋转体，我们先来推导其体积公式。

设极坐标绕x轴旋转体的半径为r，高度为h。

根据极坐标系的定义，我们可以知道，旋转体的底面圆的半径为r，圆心与x轴的距离也为r。

现在，我们来推导极坐标绕x轴旋转体的体积公式。

旋转体的体积可以表示为：V = πrh
这里，我们采用极坐标系下的面积元素来计算。

在极坐标系中，圆的面积元素为：dA = θrdr
那么，旋转体的底面圆的面积为：A = πr
接下来，我们需要计算旋转体侧面的面积。

在极坐标系中，侧面沿x轴的正方向，其长度为2πr，高度为h。

因此，侧面的面积为：A" = 2πrh 现在，我们可以计算旋转体的体积了。

将底面圆的面积和侧面的面积相加，得到旋转体的总表面积：A总= A + A" = πr + 2πrh
根据立体体积的定义，体积V与表面积A总和高度h的关系为：V = h * A总
将A总代入，得到：V = h * (πr + 2πrh)
化简后，得到极坐标绕x轴旋转体的体积公式：V = πrh + 2πrh
此公式即为极坐标绕x轴旋转体的体积公式。

在实际应用中，我们可以根
据具体问题，将半径r、高度h和旋转角度θ代入公式，计算出相应旋转体的体积。

总之，我们通过推导得出了极坐标绕x轴旋转体的体积公式，这对于研究此类旋转体在实际问题中的应用具有重要意义。

旋转体的体积公式参数方程

旋转体的体积公式参数方程
1. 旋转体体积公式的一般情况。

- 对于由曲线y = f(x)，a≤slant x≤slant b绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积V，其公式为V=π∫_a^b[f(x)]^2dx。

- 若曲线x = g(y)，c≤slant y≤slant d绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积V，则V=π∫_c^d[g(y)]^2dy。

2. 参数方程形式下的旋转体体积公式。

- 设曲线的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(t) y = y(t)end{array}right.，α≤slant t≤slantβ。

- 当曲线绕x轴旋转时，旋转体体积V=π∫_α^β[y(t)]^2x^′(t)dt。

这里
x^′(t)=(dx)/(dt)。

- 当曲线绕y轴旋转时，旋转体体积V = π∫_α^β[x(t)]^2y^′(t)dt，这里
y^′(t)=(dy)/(dt)。

例如，对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，其参数方程为
<=ft{begin{array}{l}x=acos t y = bsin tend{array}right.，0≤slant t≤slant2π。

- 若绕x轴旋转，则x^′(t)=-asin t，旋转体体积V=π∫_0^2π(bsin t)^2·(-asin t)dt。

- 若绕y轴旋转，则y^′(t)=bcos t，旋转体体积V=π∫_0^2π(acos t)^2·(bcos t)dt。

曲线绕y轴旋转一周所得旋转体体积

曲线绕y轴旋转一周所得旋转体体积
将曲线绕y轴旋转一周所得旋转体的体积，可以用积分的方法求解。

假设曲线的函数表达式为y=f(x)，则旋转体的体积可以表示为：V = ∫[a,b] πf(x)^2 dx
其中，a和b分别是曲线的定义域的起点和终点，π是圆周率。

这个公式的意思是对曲线上的每一个x坐标，计算出对应的旋转体的体积，然后将它们累加起来。

需要注意的是，对于同一曲线，绕不同轴旋转一周所得的旋转体体积是不同的。

此外，如果曲线在y轴上有交点，那么在求解体积的时候需要把交点处的体积减去，否则会重复计算。

围绕x轴旋转的体积公式

围绕x轴旋转的体积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的奇妙世界里，有一个特别有趣的概念——围绕 x 轴旋转的体积公式。

这玩意儿听起来好像挺复杂，其实啊，只要咱们好好琢磨，也没那么难理解。

还记得我有一次去公园散步，看到了一个卖冰淇淋的小摊。

摊主做的冰淇淋筒特别有意思，它的形状就像是一个由曲线围绕着一根轴旋转而成的。

当时我就想，这要是用数学来解释，不就是咱们今天要说的围绕 x 轴旋转的体积嘛！咱们先来说说这个体积公式到底是啥。

如果有一个函数 f(x)，它在区间 [a, b] 上连续，那么这个函数的图像绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 V 就可以用定积分来表示，公式是V = π∫[a,b] f(x)² dx 。

比如说，有一个函数 f(x) = x，在区间 [0, 1] 上，咱们来算算它绕 x 轴旋转一周得到的体积。

按照公式，就是V = π∫[0,1] x² dx 。

算一算，就得到V = π/3 。

那这个公式到底怎么用呢？咱们再举个例子。

假设咱们有一个抛物线 y = x² + 1，在区间 [0, 2] 上绕 x 轴旋转一周。

那体积 V 就是π∫[0,2] (x² + 1)² dx 。

这就得先把 (x² + 1)²展开，算出来是 x^4 + 2x² + 1 。

然后再积分，算出来体积 V 是56π/15 。

在实际应用中，这个围绕 x 轴旋转的体积公式用处可大啦。

比如说工程师在设计一些旋转的零件，像汽车发动机里的某些部件，就得用到这个公式来计算体积，确保零件的大小和性能符合要求。

再比如，建筑师在设计一些独特的建筑造型，像那种螺旋上升的楼梯，也得靠这个公式来估算用料和空间。

回到咱们最开始说的那个冰淇淋筒，摊主做的时候，心里说不定也有着自己的一套“体积公式”呢，虽然他可能不知道数学里的这些名词，但凭借经验和感觉，也能做出大小合适、让人满意的冰淇淋筒。

旋转曲面绕x轴旋转的体积

旋转曲面绕x轴旋转的体积
要计算一个曲面绕x轴旋转后形成的立体体积，我们可以使用定积分来求解。

假设我们有一个曲线或者曲面是由函数y=f(x)定义的，我们想要将其绕x轴旋转一周形成一个立体。

首先，我们需要确定旋转后的立体的上下限和半径函数。

假设我们的曲线是由函数y=f(x)定义的，我们要将其绕x轴旋转一周。

那么旋转后的立体的半径函数可以表示为r=f(x)，而上下限则是由曲线在x轴上的截点决定。

然后，我们可以使用以下公式来计算旋转体的体积：
V = ∫[a, b] π[r(x)]^2 dx.
其中，a和b是曲线在x轴上的截点，r(x)是曲线在x处的半径函数。

举个例子，如果我们有函数y=x^2，并且我们想要将其绕x轴旋转一周，我们可以先确定上下限为a=0, b=2（因为x^2=0时，
x=0；x^2=4时，x=2），然后确定半径函数为r(x)=x^2。

接下来，
我们可以将这些值代入上面的公式进行计算，得到旋转体的体积。

总之，计算旋转曲面绕x轴旋转后的体积，我们需要确定曲面的函数形式，然后使用定积分公式来求解。

这样可以得到旋转体的体积。

定积分体积绕x轴和y轴公式

定积分体积绕x轴和y轴公式
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2d x。

绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。

或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。

绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x 的导数的平方。

不定积分:
不定积分是一组导数相同的原函数，定积分则是一个数值。

求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分;求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。

即已知导数求原函数。

若F’(x)=f(x)，那么[F(x)+C]'=f(x).(CER)。

也就是说，不定积分把f(x)积分，不一定能得到F(x)因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。

所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。

我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。