6-第六讲-杆件有限元分析
6-第六讲-杆件有限元分析
3 0 1 2 k ji 2 2 k jj 3
补充-整体分析
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (3) 编码法
杆件有限元分析：案例
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
杆件有限元分析：案例
(2) 各个单元的矩阵描述
四 杆 桁 架 结 构
由于所分析的结构包括有斜杆，所以必须在总体坐标下对节点 位移进行表达，所推导的单元刚度矩阵也要进行变换，各单元 经坐标变换后的刚度矩阵如下。
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(3) 单元应变场的表达 由弹性力学中的几何方程，有1D问题的应变
1D 杆 单 元
其中
叫做几何矩阵(strain-displacement matrix)。
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(4) 单元应力场的表达 由弹性力学中的物理方程，有1D问题的应力
1D 杆 其中 单 元 叫做应力矩阵(stress-displacement matrix)
2D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(2)整体坐标系下的单元刚度方程
2D 杆 单 元
(3)整体坐标系下的单元应力
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
杆梁结构的有限元分析原理
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
9
内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
18
19
Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
形成总体刚度矩阵
点坐标、约束条件等；
形成结点荷载向量
（3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性、
引入约束条件
几何特性等；
求解方程组，输出结点位移
（4）载荷数据：包括集中载荷、 计算单元应力，输出结果 分布载荷等。
结束
37
2、单元分析
（1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A；
30
连杆机构的有限元分析方法
连杆机构的有限元分析方法连杆机构的有限元分析方法连杆机构是一种常见的机械结构，由多个连杆和铰链连接而成，广泛应用于各行各业的机械装置中。
在设计和优化连杆机构时，有限元分析是一种有效的方法，可以帮助工程师评估其性能和稳定性。
以下是连杆机构有限元分析的一些步骤和方法。
第一步：建立模型在进行有限元分析之前，需要建立连杆机构的几何模型。
这可以通过计算机辅助设计（CAD）软件完成，将连杆和铰链的几何形状和尺寸输入到软件中。
第二步：离散化离散化是指将连续的结构模型分割为有限数量的单元，以便进行有限元分析。
常用的单元类型包括三角形、四边形单元或六面体等。
根据具体的连杆机构结构，选择合适的单元类型进行离散化。
第三步：确定材料属性和边界条件根据实际情况，为连杆和铰链分配合适的材料属性，如弹性模量、泊松比、密度等。
此外，还需要确定边界条件，如约束和外部载荷。
约束是指限制杆件的运动范围，外部载荷是指施加在连杆上的力或力矩。
这些参数对于分析连杆机构的性能至关重要。
第四步：求解有限元方程将连杆机构的模型和边界条件输入有限元分析软件中，通过求解有限元方程来计算连杆机构的应力、位移和变形。
有限元方程是通过应变能原理和位移函数推导得到的。
第五步：评估结果根据有限元分析的结果，评估连杆机构的性能和稳定性。
例如，可以通过应力和位移分布来判断杆件是否会发生破坏或变形。
此外，还可以计算杆件的刚度、自然频率和振动模态等参数。
第六步：优化设计如果连杆机构的性能不符合要求，需要进行设计优化。
可以通过改变连杆和铰链的尺寸、形状或材料来改善连杆机构的性能。
再次进行有限元分析，评估优化后的连杆机构是否满足设计要求。
综上所述，有限元分析是一种对连杆机构进行性能评估和优化设计的有效方法。
通过逐步完成建模、离散化、确定材料属性和边界条件、求解有限元方程、评估结果和优化设计等步骤，可以提高连杆机构的设计质量和工作效率。
有限元分析实例
有限元分析实例引言有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程分析方法，能够将连续体结构分割成有限个小单元，通过在每个小单元内建立方程模型，最终求解整个结构的力学行为。
本文将以一个实例来介绍有限元分析的基本过程和步骤。
实例背景我们将以一个简单的杆件弯曲问题为例来进行有限元分析。
假设有一根长度为L、截面积为A的杆件，材料的弹性模量为E，截面的转动惯性矩为I。
我们希望通过有限元分析来计算杆件在一定加载条件下的弯曲变形。
有限元网格的划分首先，我们需要将杆件划分成有限个小单元，即有限元网格。
常用的网格划分方法有三角形划分、四边形单元划分等。
根据具体问题的要求和复杂度，选择合适的划分方法。
单元的建立划分好网格后，我们需要在每个小单元内建立方程模型。
在弯曲问题中，常见的单元模型有梁单元、壳单元等。
在本实例中，我们选择梁单元作为杆件的单元模型。
对于梁单元，我们需要定义每个节点的位移和约束条件。
根据杆件的几何尺寸和材料属性，可以利用应变能量原理和几何相似原理，得到每个节点的位移和约束条件。
材料特性和加载条件的定义在进行有限元分析之前，我们需要定义材料的特性和加载条件。
对于本实例中的杆件，我们需要定义弹性模量E、截面积A和转动惯性矩I。
加载条件可以包括集中力、均布力、弯矩等。
在本实例中，假设杆件受到均布力，即沿杆件轴向的受力分布是均匀的。
单元方程的建立和求解在定义了材料特性和加载条件之后，我们可以根据每个梁单元的位移和约束条件，建立每个单元的方程模型。
常见的方程模型有刚度矩阵方法、位移法等。
根据所选的单元模型，选择合适的方程模型进行计算。
通过对每个单元的方程模型进行组装，我们可以得到整个结构的方程模型。
将加载条件带入，可以求解出整个结构在给定加载条件下的位移、应力等参数。
结果分析根据求解得到的位移信息，我们可以绘制出结构的变形图。
通过变形图，可以直观地观察到结构在弯曲条件下的变形情况。
杆件结构的有限元法
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
4
2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。
有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。
下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。
一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。
离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。
通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。
离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。
通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。
二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。
对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。
梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。
通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。
三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。
应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。
对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。
应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。
四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。
边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。
常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。
五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。
坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。
杆件系统有限单元法
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
杆件结构有限元分析
0 0
0.1
u2 u3 u4 u5
0
0
0
0
0.1 0
则所有的节点位移为： u [0.0 0.0087591 0.019708 0.034307 0.056204 0.1]T m
一维杆件ELAB1.0软件实现
➢工程建模
1、点击“工程向导”进入公式库
2、选择“结构力学”→“桁 架”→“二维直角坐标”
3、选择“坐标系”
4、选择“单元类型”
5、选择“问题类型”
6、定义工程名和工程路径，完成工程设置
➢定义材料参数
点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示：
材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：
1.0e10 0.1 1 1 1
1
1
u6 u5
u5 u4
K (2)
1.0e10 0.2 1
1 1
1
1
u5 u4
u4 u3
K (3)
1.0e10 0.3 1
1 1
1
1
u4 u3
u3 u2
K (4)
1.0e10 0.4 1
1 1
1
1
u3 u2
u2 u1
K (5)
1.0e10 0.5 1
1 1
1
1
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
du dx
dN1 dx
u1
dN2 dx
u2
1 le
1 u1
le
u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
l AE du
0 dx
d u dx
杆件有限元
弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
u1,F1
k
u2,F2
弹簧的作用力向量为 位移向量为
F1 F2
uu12
FF12
k11 k21
k12 k22
uu12
Kij 物理意义
1)只有节点1可以变形,点2固定
F1a ku1
F1a
u1
k
F2a
由力的平衡有
F1a F2a 0 F2a F1a ku1 2)只有节点2可以变形,点1固定
均质等பைடு நூலகம்面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
F1
AE L u1
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
k AE L
FF12
AE L
1 1
11uu12
坐标变换： 为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标
系（即总体坐标系）中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间 位置不同，各个单元的局部坐标系一般也不相同。
刚度矩阵的性质
1. 对称性 —— 关于主对角线对称； 2. 稀疏性 —— 矩阵中有大量的零元素； 3. 带状分布 —— 矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带
状分布。
简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆 上的外力（体力、面力）合力的作用线一定 与杆的轴线重合，如图所示:
以弹簧为例： 弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足 胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线 的斜率就是弹簧的刚度 k :
F k
如图所示，当 k 与力 F 已知时，可由下式求出弹簧的伸 长量：
K e T T K e T
2 2
K e
AE L
2
2 2
2
2
杆件结构有限元分析
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx
l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也 进行组装。 刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2
杆梁结构的有限元分析原理
杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是一种常见的工程结构，广泛用于建筑、桥梁、机械等领域。
为了研究杆梁结构的力学性能和设计优化，常用的方法之一是有限元分析。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将连续结构离散化为一个个有限的单元（元素），再通过计算单元之间的相互作用来近似表示整个结构的力学性能。
下面将逐步介绍杆梁结构的有限元分析原理。
1.离散化：首先，将杆梁结构离散化为一个个的单元，通常可以选择线性单元、二次单元等。
线性单元简单且计算效率高，而二次单元更准确但计算开销较大。
根据具体工程需求和分析要求，选择合适的单元进行离散化。
每个单元由节点和单元梁组成。
2.建立本地坐标系：为了方便计算，对于每个单元，可建立本地坐标系。
本地坐标系是以单元的一个节点为原点，并建立与该节点有关的坐标轴。
通过本地坐标系可以方便地描述单元内部的各种力和力矩。
3.单元刚度矩阵计算：对于每个单元，需要计算其刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部的相互作用，包括节点间的弯曲刚度和剪切刚度等。
通过根据材料的力学特性和几何信息，可以得到单元刚度矩阵。
4.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照它们的几何关系组装成全局刚度矩阵。
全局刚度矩阵描述了整个杆梁结构的力学行为。
5.施加边界条件和加载情况：根据具体问题的边界条件和加载情况，在全局刚度矩阵中添加与之对应的约束和加载项。
边界条件通常涉及到约束的位移和力的平衡，加载情况则涉及到外界施加在结构上的力。
6.求解杆梁结构的位移：通过求解全局刚度矩阵与位移的乘积等式，可以得到结构的位移。
位移是描述结构变形的重要参数，可以用来计算应力、应变和变形等。
7.计算应力和应变：通过已知的位移以及杆梁的几何信息，可以计算单元内部的应力和应变。
应力和应变是评估杆梁结构受力情况的重要指标，在结构设计和安全评估中具有重要作用。
8.结果后处理：最后，可以通过后处理技术对有限元分析的结果进行处理和展示。
例如，可以绘制位移云图、应力云图等，以方便工程师对结构的力学性能进行评估和优化。
part6-钢筋混凝土结构的有限元分析2-杆系精品资料
2.受拉钢筋屈服时的弯矩M y和曲率y
当受拉钢筋达到屈服时，假定截面的应变及应力分布如图6.17所示
此时受拉钢筋的应变为y fy Es 。如果假设受压区高度为x，则得
y
h
y
a
s
(6.51)
s y x a
(6.52)
c yx
(6.53)
n
D b cdx bix i
Ns D sEs As f y As
CHAPTER 6
钢筋混凝土的有限元分析 （梁柱单元）
杆系结构的有限元分析
基本假定：
1. 平截面假定仍然成立； 2. 结构变形是微小的，建立平衡方程时采
用结构原 来的几何尺寸，不考虑几何非 线性； 3. 忽略剪切变形的影响； 4. 对静定结构，结构破坏以混凝土达到其 极限压应变为标准；对超静定结构，结 构破坏以产生足够多的塑性铰使结构成 为可变体系。
当杆端塑性铰出现以前，杆件的截面港督为常数，当弯矩到达屈服弯矩My时，
刚度则下降进入另一常数。
为了计算方便，图6.5刚度模型可以用 双分量的模型来表示。所谓双分量模型， 就是假想每一杆件由两个平行的杆组成， 一根是理想弹塑性铰(当杆端弯矩超出屈服 弯矩My时，在该杆端出现塑性铰)，另一根 是弹性杆。如图6.6的弯矩-曲率图形所示
0
3 l2
3 l
0
3 l2
3 l 2
（3）当j端出现塑性铰，即 M2i q M y 、M2 j q M j 时，单元刚度矩阵为
K2 0
2. 考虑二次矩
由于框架结构相对来说受力变形较大，在轴力N
的作用下，将引起杆内弯矩的变化和位移的增长。
在方程(6.1)中考虑二次矩的影响，需增加一个几何
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基本概念 回顾：杆件有限元分析
(5) 单元刚度矩阵
1D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(6) 单元的刚度方程
回顾：杆件有限元分析
(1) 变换矩阵
2D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(1) 变换矩阵
2D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(2)整体坐标系下的单元刚度方程
单元的势能是一个标 量(能量)，不会因坐 标系的不同而改变
(1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立
(2) 刚度集成法(对号入座法): ①将(1-3)K扩阶,扩大的元素为0,得到单元贡献矩阵
1 2 3 k ii k ij 0 1 单元①: K①= k ji k jj 0 2 0 0 0 3
杆件有限元分析：案例
(4)边界条件的处理及刚度方程求解
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：案例
(5) 各单元应力的计算
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：案例
(6) 支反力的计算
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：作业 作 业
下一节课：连续体结构分析的有限元方法
3 0 1 2 k ji 2 2 k jj 3
补充-整体分析
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (3) 编码法
杆件有限元分析：案例
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
1D 杆 单 元
如图所示为一个在局部坐标系(local coordinate system)中的杆单元 (bar element)，由于有两个端节点（Node 1和Node 2），则基本 变量为节点位移(向量)列阵：
将每一个描述物体位置状态的独立变量叫做一个自由度(DOF, degree of freedom)，显然，以上的节点位移为两个自由度。 节点力(向量)列阵：
2D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(2)整体坐标系下的单元刚度方程
2D 杆 单 元
(3)整体坐标系下的单元应力
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(3) 单元应变场的表达 由弹性力学中的几何方程，有1D问题的应变
1D 杆 单 元
其中
叫做几何矩阵(strain-displacement matrix)。
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(4) 单元应力场的表达 由弹性力学中的物理方程，有1D问题的应力
1D 杆 其中 单 元 叫做应力矩阵(stress-displacement matrix)
1 2 3 01 0 0 单元② : K②= 0 k ii k ij 2 0 k ji k jj 3
②将单元贡献矩阵想叠加,形成整体刚度矩阵
1 k ii K= K①+ K②= 1 k ji 0 2 1 k ij k jj
1
k ii
2
2
k ji
基本概念 回顾：杆件ຫໍສະໝຸດ 限元分析(1) 单元的几何及节点描述 单元的描述包括单元的几何及节点描述、位移场、应变场、应力场、 势能，也就是要充分利用描述问题的三大类变量以及三大类方程来 计算单元的势能，然后，由最小势能原理(或虚功原理)来得到单元 的方程。实际上，单元内位移场的描述就是它的试函数的选取。
杆件有限元分析：案例
(2) 各个单元的矩阵描述
四 杆 桁 架 结 构
由于所分析的结构包括有斜杆，所以必须在总体坐标下对节点 位移进行表达，所推导的单元刚度矩阵也要进行变换，各单元 经坐标变换后的刚度矩阵如下。
杆件有限元分析：案例
(3) 建立整体刚度方程
四 杆 桁 架 结 构
将所得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形 成整体刚度矩阵，同时将所有节点载荷也进行组装
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(2) 单元位移场的表达 设该单元的位移场为 ，由Taylor级数，它可以表示为
1D 杆 单 元
可取的前两项来作为该单元的位移插值模式(interpolation model)： 其中a0和a1为待定系数(unknowns)
则有 其中 N为形状函数矩阵(shape function matrix)， 叫做节点位移列阵 (nodal displacement vector)，分别为
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
杆件有限元分析：案例
(2) 各个单元的矩阵描述
四 杆 桁 架 结 构
由于所分析的结构包括有斜杆，所以必须在总体坐标下对节点 位移进行表达，所推导的单元刚度矩阵也要进行变换，各单元 经坐标变换后的刚度矩阵如下。