常用等价无穷小等价替换
18个等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。
可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。
这里的"阶"指的是关于x的单项式中，x的指数。
所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。
三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。
其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。
这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。
等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。
下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：利用等阶无穷小量替换求极限：(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，所以原极限=1.怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。
等价无穷小替换公式
等价无穷小替换公式所谓等价无穷小替换公式，是数学中一类常用的极限计算方法。
当在求极限过程中遇到无穷小量时，我们可以将它替换为一个与之等价但更易计算的无穷小量，从而简化求解过程。
以下是一些常用的等价无穷小替换公式：1. $\sin x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sinx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. $\tan x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tanx$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。
3.$e^x-1$等价无穷小替换公式：当$x$趋近于$0$时，$e^x-1$可以被替换为$x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。
4. $\ln(1+x)$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以被替换为 $x$。
证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$。
因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$等价于 $x$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。
无穷小的等价公式大全
无穷小的等价公式大全1. 基本等价无穷小（当xto0时）- sin xsim x- tan xsim x- arcsin xsim x- arctan xsim x- 1 - cos xsim(1)/(2)x^2- e^x-1sim x- ln(1 + x)sim x- (1 + x)^α-1simα x（α≠0）2. 复合函数中的等价无穷小替换。
- 例如，当u(x)to0（xto a）时，sin u(x)sim u(x)，tan u(x)sim u(x)等。
同样的规则适用于上述所有基本等价无穷小关系。
例如，当xto0时，e^3x-1sim3x，这里u =3x，因为当xto0时3xto0，根据e^u-1sim u（uto0）得到e^3x-1sim3x。
3. 等价无穷小在极限计算中的应用。
- 在计算limlimits_xto a(f(x))/(g(x))时，如果f(x)和g(x)可以表示为等价无穷小的形式，那么可以进行替换来简化计算。
例如：- limlimits_xto0(sin 2x)/(x)=limlimits_xto0(2x)/(x)=2，这里利用了sin 2xsim2x （xto0）。
- 但是要注意，等价无穷小替换只能在乘除运算中直接使用，在加减运算中使用时需要谨慎，一般需要先将式子进行变形，转化为乘除形式后再使用等价无穷小替换。
例如：- limlimits_xto0(tan x - sin x)/(x^3)不能直接将tan x替换为x，sin x替换为x得到limlimits_xto0(x - x)/(x^3) = 0（这是错误的）。
- 正确的做法是：tan x-sin x=sin x((1)/(cos x)-1)=(sin x(1 - cos x))/(cos x)，然后再利用等价无穷小sin xsim x，1 - cos xsim(1)/(2)x^2（xto0）进行计算。
等价无穷小替换公式常用
等价无穷小替换公式常用关键信息项：1、等价无穷小的定义2、常见的等价无穷小替换公式3、适用条件和限制4、应用举例5、误差分析与注意事项11 等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
即当自变量趋近于某个值时，两个函数的差值相对于它们本身来说可以忽略不计。
111 例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小。
12 常见的等价无穷小替换公式以下是一些常见的等价无穷小替换公式，在满足一定条件下可以相互替换：当 x 趋近于 0 时：121 sin x ～ x122 tan x ～ x123 arcsin x ～ x124 arctan x ～ x125 ln(1 ＋ x) ～ x126 e^x 1 ～ x127 1 cos x ～（1/2)x^2128 （1 ＋ x)＾a 1 ～ ax （a 为常数）13 适用条件和限制等价无穷小替换公式并非在所有情况下都能随意使用，需要满足一定的条件。
131 替换的无穷小必须是在极限过程中趋于 0 的量。
132 只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能直接替换，除非经过特殊的处理和判断。
133 替换后的式子必须存在极限，且极限值应与原式子的极限值相同。
14 应用举例通过以下例子来说明等价无穷小替换公式的应用：例 1：求极限lim(x→0) （sin x ／ x)解：因为当x→0 时，sin x ～ x，所以lim(x→0) （sin x ／ x) ＝lim(x→0) （x ／ x) ＝ 1例 2：求极限lim(x→0) （tan x x) ／ x^3解：tan x x ＝（sin x ／ cos x) x ＝（sin x x cos x) ／ cos x当x→0 时，sin x x cos x 不能直接用等价无穷小替换。
通过泰勒展开：sin x ＝ x （1/6)x^3 ＋ o(x^3)，cos x ＝ 1 （1/2)x^2 ＋ o(x^2)则 x cos x ＝ x （1/2)x^3 ＋ o(x^3)所以 sin x x cos x ＝（1/2)x^3 ＋ o(x^3)因此lim(x→0) （tan x x) ／ x^3 ＝lim(x→0) （1/2)x^3 ／ x^3 ＝1/215 误差分析与注意事项在使用等价无穷小替换公式时，需要注意可能产生的误差。
全部等价无穷小替换公式
全部等价无穷小替换公式无穷小是微积分中一个重要的概念，它表示一个趋近于零的量。
在微积分中，我们经常会遇到一些复杂的公式，而使用等价无穷小替换公式可以简化计算过程，并使问题更易解决。
等价无穷小替换公式是一种将复杂的表达式替换为等价的无穷小的方法。
这种方法在求极限、求导数等计算中非常有用。
下面，我们将介绍几个常见的等价无穷小替换公式，并通过实例进行说明。
1. 无穷小的乘积替换公式：当两个无穷小相乘时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x 趋近于零时，x*sin(x)可以替换为x^2。
这个公式在求极限时经常使用。
2. 无穷小的和差替换公式：当两个无穷小相加或相减时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。
这个公式在求极限时经常使用。
3. 高阶无穷小替换公式：当一个无穷小的高阶项与其他无穷小相乘时，可以将其忽略。
例如，当x趋近于零时，sin(x)/x可以替换为1。
这个公式在求极限时经常使用。
4. 无穷小的幂替换公式：当一个无穷小的幂趋近于零时，可以将其替换为一个无穷小。
例如，当x趋近于零时，x^n可以替换为0，其中n为正整数。
这个公式在求极限时经常使用。
通过使用等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题。
这样不仅可以提高计算效率，还可以减少计算错误的可能性。
下面，我们通过一个实例来说明等价无穷小替换公式的应用。
例题：求极限lim(x→0) (sin(x) - x)/x^3。
解：根据等价无穷小替换公式，我们可以将sin(x) - x替换为一个等价的无穷小。
当x趋近于零时，sin(x) - x可以替换为0。
因此，原极限可以转化为lim(x→0) 0/x^3。
进一步化简，得到lim(x→0) 0，即极限为0。
通过以上实例，我们可以看到，使用等价无穷小替换公式可以将复杂的计算问题简化为求解无穷小的问题，从而更容易求得极限值。
需要注意的是，在使用等价无穷小替换公式时，我们要确保替换后的无穷小与原表达式在相应的极限下是等价的。
高数常用等价无穷小
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
等价无穷小的替换常用公式
等价无穷小的替换常用公式
等价无穷小替换公式如下：
1、sinx~x
2、tanx~x
3、arcsinx~x
4、arctanx~x
5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋
近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。
等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式一、什么是无穷小在微积分中，我们常常会遇到无穷小的概念。
无穷小是指当自变量趋于某个值时，相应的函数值趋近于零的量。
在数学中，无穷小通常用符号“ε”或“δ”表示。
二、常见的等价无穷小替换公式在处理极限问题时，我们常常会用到等价无穷小替换公式，这些公式能够将复杂的极限问题转化为简单的计算。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式：1. 当x趋于零时，sin(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有三角函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2. 当x趋于零时，tan(x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有切线函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) tan(x)/x = 1。
3. 当x趋于零时，ln(1+x)与x等价。
这个公式可以简化一些含有对数函数的极限问题。
例如，当x趋于零时，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。
4. 当x趋于无穷大时，e^x与x^n等价。
这个公式可以简化一些指数函数和幂函数的极限问题。
例如，当x 趋于无穷大时，lim(x→∞) e^x/x^n = ∞，其中n为任意正整数。
5. 当x趋于无穷大时，sinh(x)与e^x等价。
这个公式可以简化一些双曲函数和指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) sinh(x)/e^x = 1。
6. 当x趋于无穷大时，(1+1/x)^x与e等价。
这个公式可以简化一些含有指数函数的极限问题。
例如，当x趋于无穷大时，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
以上只是一些常见的等价无穷小替换公式，它们在求极限的过程中起到了重要的作用。
通过使用这些公式，我们可以将复杂的极限问题简化为易于计算的形式。
三、等价无穷小替换公式的应用举例下面通过一些具体的例子来展示等价无穷小替换公式的应用。
例一：求极限lim(x→0) sin(3x)/x。
根据等价无穷小替换公式1，我们知道sin(3x)与3x等价，所以极限可以简化为lim(x→0) 3x/x = 3。
常用无穷小等价代换公式
常用无穷小等价代换公式无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，它可以帮助我们简化复杂的数学问题。
在求极限、求导数等问题中，经常需要利用无穷小等价代换公式进行转化。
首先，我们来看一些常用的无穷小等价代换公式：1. 当 x 趋向于零时，可以使用以下等价代换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x- e^x - 1 ≈ x- (1 + x)^n ≈ nx (n为常数)2. 当 x 趋向于无穷大时，可以使用以下等价代换公式：- e^x ≈ x^n (n为常数)- ln(x) ≈ x^m (m为常数)- sin(x) ≈ x- cos(x) ≈ 1这些无穷小等价代换公式可以帮助我们快速简化复杂的数学问题，使得求极限、求导数等计算更加高效。
但需要注意的是，这些等价代换公式只在特定情况下成立，不可盲目使用。
例如，当我们在计算极限时遇到形如 lim (sin(x)/x) 的表达式，可以利用无穷小等价代换公式sin(x) ≈ x 进行简化，即将该极限转化为 lim (x/x) = 1。
在计算导数时，无穷小等价代换公式也常被应用。
例如，当需要求函数 f(x) = e^x 的导数时，可以将该函数利用等价代换公式简化为 f(x) = x^n 的形式，并计算导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
总之，无穷小等价代换公式是数学中常用的一种计算方法，能够帮助我们简化复杂的数学问题，提高计算的效率。
但在应用过程中需注意适用条件，并避免盲目使用，以保证计算结果的准确性。
等价无穷小常用替换
等价无穷小常用替换
1、当x→0，且x≠0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx; x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2; [(1+x)^n-1]~nx; loga(1+x)~x/lna;a 得x次方~xlna;(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）。
2、等价无穷小的替换的含义：等价无穷小替换的前提是，你所看的未知项（这里指整体，并不一定是x趋近于0）必须趋近0时，才可替换。
如果是相加减关系，替换拆开后极限存在，则可拆：不存在，则不可拆，这是要寻求其他途径将其化为相乘关系，再替换。
3、等价无穷小代换求极限的条件是什么：剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）可能是x^2的等价无穷小这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小这时极限为常数如果是x^4的等价无穷小那么极限就是0了。
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
在高等数学中，我们常常会遇到无穷小量。
无穷小量指的是在某个极限下，趋于零的量。
虽然无穷小量在数学中有很多应用，但是它在计算中也会带来一定的麻烦。
因此，我们需要一些替换公式来简化计算。
等价无穷小替换公式是指在某个极限下，用一个更简单的无穷小量来代替原来的无穷小量，从而简化计算。
以下是一些常见的等价无穷小替换公式：
1. 当 $xto 0$ 时，$sin(x)sim x$，$tan(x)sim x$，$arcsin(x)sim x$，$arctan(x)sim x$。
2. 当 $xtoinfty$ 时，$e^{-x}sim 0$，$ln(1+x)sim x$，$1-e^{-x}sim x$。
3. 当 $xto a$ 时，$e^x-1sim x$，
$ln(x+1)-ln(x)simfrac{1}{x}$。
使用等价无穷小替换公式可以简化复杂的计算，但是需要注意的是，这些公式只适用于特定的极限情况下。
在使用时需要结合具体的问题进行判断，避免出现错误。
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高数等价无穷小替换公式
高数等价无穷小替换公式
高数中，等价无穷小替换公式是指在极限计算中将一个无穷小量替换为与它等价的另一个无穷小量的公式。
常见的等价无穷小替换公式有以下几种：
1. 当 x 趋于0时，可以将 sin(x) 替换为 x。
lim(x→0) sin(x) / x = 1
2. 当 x 趋于0时，可以将 tan(x) 替换为 x。
lim(x→0) tan(x) / x = 1
3. 当 x 趋于0时，可以将 arcsin(x) 替换为 x。
lim(x→0) arcsin(x) / x = 1
4. 当 x 趋于0时，可以将 arctan(x) 替换为 x。
lim(x→0) arctan(x) / x = 1
5. 当 x 趋于无穷大时，可以将 e^x - 1 替换为 x。
lim(x→∞) (e^x - 1) / x = 1
这些等价无穷小替换公式在极限计算中经常使用，可以简化计算过程，但需要注意使用的条件和适用范围。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
18个等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式1. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$，则 \[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{x-a} = 0.\]2. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，则 \[\lim_{x \to a}\frac{f(x) - L}{x-a} = 0.\]3. 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$，则 \[\lim_{x \to\infty} x \cdot f(x) = 0.\]4. 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$，则 \[\lim_{x \to\infty} x \cdot \left(f(x) - L\right) = 0.\]5. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，则 \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = 0.\]6. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = L$，则 \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-L}{x} = 0.\]7. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0.\]8. 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{f(x)} = 0.\]9. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to a} (f(x))^k = \infty,\] 对于任何实数 $k > 0$.10. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to a} \sqrt[k]{f(x)} = \infty,\] 对于任何正整数 $k$.11. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^r = \infty,\] 对于任何有理数 $r > 0$.12. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to a} (f(x))^r = 0,\] 对于任何有理数 $r < 0$.13. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to 0} \sin(f(x)) = 0.\]14. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to 0} \cos(f(x)) = 0.\]15. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$，则 \[\lim_{x \to 0} \ln(f(x)) = -\infty.\]16. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = 1$，则 \[\lim_{x \to a}\ln(f(x)) = 0.\]17. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = 0$，则 \[\lim_{x \to a} (1 + f(x))^{1/f(x)} = e.\]18. 若 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，则 \[\lim_{x \to 0}\left(1 + f(x)\right)^{1/f(x)} = e.\]这些等价无穷小替换公式在数学分析和微积分中经常用于化简复杂的极限问题。