讲义-第二章《方程与不等式》

第二章方程与不等式

★ 2.1 一元二次方程

定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程。

2 整式 单项式：数或字母的乘积，如 4，a, 4a , 3????2

多项式：若干个单项式的和或差 如4a+2c, a-5b

' ??

分式：形如方的式子，且A, B 为整式，B 中有字母。

无理式：带有广且广下含有字母的式子

3.解一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a 丰0）的常用方法: （1）配方法：二次项系数化为 1 ?移向（把常数项移到方程右边）？配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ） 2=n 的形式？用直接开平方的方法求解。

6. 解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都 可以满足。例如：x-3 v 0或x+4W 0的解集是？

7. 解含有绝对值的不等式的思路： 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。 在解

含有绝对值的不等式时，常用数轴来表示其解集。

8. 一元二次不等式（一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组）

，从而求 出解集。

当 m > 0 时，X < m? |x| < m ,即-m < x < m

X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m

☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗?

1. 2. 衔接： 有理式 代数式 （2）求根公式法：？？=

-??±V ??2- 4???? 2 ，— 2 注意条件厶=b-4ac >0时，方程有2个不相等的实数根，△ =b-4ac=0 时，方程有2个相等的实数根，△ 2?? =6-4ac v 0时，方程无实数根。

（3）因式分解法或直接开平方法： 适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。

女口：

X 2=9X ， 4 x 2=5 等 4.注意

会丢根。

★ 2.2不等式

1. （复习）任意两个实数 a,b 具有的基本性质：

a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b

2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。

方法是：把要比较的两个实数 （或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解, 直到

能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。 元二次方程的实数根或者有 2个，或者没有。例如 x 2

=2x ，不能把 x 约去，否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 (2) a > b ， 、?? ??

c >0? ac >bc (或??>??)

不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或？?v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变

4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集！遵循的口诀是:

5.表示不等式的解集常用 2种方法:

集合表示：性质描述 区间表示：开区间，闭区间及半开半闭区间

大大取较大

小小取较小 大小

交叉中间找 大大

小小无处找

例题：1.解不等式|2x-3| V 1

2.解不等式|2x-3| > 1

3. 解不等式组2x-3 > 1

2x-3 L V-1

注:

不等式组的解集等于各不等式的解集的交集，因为解集需要同时满足不等式组的每一项。不等式的解集需要满足不等式的性质：|x| w m,即-m W x w m （取交集）

|x| > m 即x > m或x w -m （取并集）

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