讲义-第二章《方程与不等式》
2024年中考数学提高复习讲义：方程与不等式
中考专题复习之方程与不等式知识梳理1.一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0).在解一元二次方程时，应按方程的特点选择方法，主要方法包括：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：x=−b±√b2−4ac2a(b2−4ac≥0). (注意符号问题)2.解分式方程的基本思想将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：①去分母法；②换元法.3.根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b²−4ac.当△>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1=−b+√b2−4ac2a ,x2=−b−√b2−4ac2a;当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−b2a;当△<0时，方程没有实数根.4.一元二次方程两根之间的关系若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x₁,x₂,则x1+x2=−ba ,x1x2=ca,(注意两根的和是ba的相反数).以。
x₁,x₂为根的一元二次方程是x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂=0.5.不等式的解法解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变.6.一元一次不等式组的解集由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表：典型例题例 1不等式3x-5≥5x-11的正整数解的个数为( ).A.0B.1C.2D.3解析解不等式3x-5≥5x-11，得x≤3，则其正整数的解有1，2，3，所以正整数解的个数为 3 个,选 D.例 2若|x2−9|+(y+4)2=0,则x+y的值为( ).x+3A.-1或-7B. -7C. -1D.7解析因为|x2−9|+(y+4)2=0,x+3所以x+3≠0 且|x²−9|+(y+4)²=0,所以x≠-3 且|x²−9|+(y+4)²=0.又因为|x²−9|+(y+4)²=0且|x²−9|≥0,(y+4)²≥0,所以|x²−9|=0且(y+4)²=0,所以x=±3,y=-4.因为x≠-3,所以x=3,所以x+y=3+(-4)=-1.故选C.例3某电器商家，计划购进电视机、洗衣机、冰箱总数为40台，而现在商家打算总共用 12万元，各种家电价格如下表所示.(1)若总共用的资金不超过 12万，买进的洗衣机和冰箱数量相同，电视机不超过洗衣机数量的三倍，请问商家有几种购买方式?(2)针对上述3 种电器，商家推出“满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”，在(1)的条件下，若三种电器都售完，商家预计最多送出多少张消费券?解析 (1)设购买冰箱的数量是x 台，则购进洗衣机的数量是x 台，电视机的数量为(40-2x)台，根据总共用的资金不超过12万和电视机不超过洗衣机数量的三倍列不等式组，即解得:8≤x≤10. 因为x 是整数， 所以x 可以为8,9,10. 有三种方案如下.方案一：冰箱8台，洗衣机8台，电视机24台. 方案二：冰箱9台，洗衣机 9台，电视机22台. 方案三：冰箱10台，洗衣机10台，电视机20台.(2)题中要求最多送出的消费券，满1000 元送50元消费券，多买多送，所以要根据售价总额来求出最大售价，即可求出最多消费券.设售价总额为y 元，由题意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000 所以当x=10时,y 最大=2560×10+104000=129600, 故送出的消费券的张数为:129600÷1000=129.6≈130(张). 则商家预计最多送出消费券130张. 例 4某项工程，如果由甲、乙两队承包， 225天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包， 334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 67天完成，需付160000元.现在工程由一队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费最少?解析 设甲、乙、丙单独承包各需x ，y ，z 天完成， { 1x +19=51219+1z =415,1x +1x =720解得 {x =4y =6z =10.再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u ，v ，w 元， { 125(α+v )=80000154(ν+w )=15000,207(cos +α)=16000解得 {u =45500v =29500,w =10500因为丙队不能在一周内完成， 所以丙队舍去.因为甲队单独承包的费用：4 45500×4=182000)(元); 乙队单独承包的费用： 29500×6=177000(元). 又因为 177000<182000, 所以由乙队承包费用最少. 双基训练1.若x=6是关于x 的方程3x+4m-30=0的解,则m 的值为( ). A. 0 B.1 C. 2 D. 32.一元一次方程3x−12−5x+16=0解为( ).A.0B. -1C. 1D.2 3.已知代数式2x−35与代数式 35x −25的和为5,则x 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 4.解方程2x−13−5x−32=3时，去分母后，正确的结果是( ).A.4x-1-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-15x+9=185.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ).A. 100(1+x)=121B.100(1-x)=121C.100(1+x )²=121D.100(1−x )²=121 6.方程 x²−5x +5=0的根为( ). A.5+√5 B.−5+√52C.5±√52 D.−5−√527.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程 x²+mx +n =0的两个相等的实数根，且满足 1m +1n =3,则 m 的值为( ).A. -1B. 43或--1理C. 43D.−438.方程 x²−6x +5=0的两个根分别为.x ₁,x ₂,则 x 2x 1+x1x 2的值为( ).A. 265B.−265C. 365D. 659. 已知 {x =2y =−1是方程组 {mx −y =3x −ny =6的解,则m 和n 的值分别为( ).A.1,4B.4,1C. 2.-1D. -2,110.一元二次方程 x²−5x +4=0根的情况为( ).A.有一个根B.有两个相等的实根C.有两个不相等的实根D. 无解11.已知实数a≠b,且满足( (a +1)²=3−3(a +1),(b +1)²=3−3(b +1),则 ba +ab 的值为( ). A.23 B. -23 C. -2 D. -1312.用配方法解方程 4x²−12x −1=0,配方后的方程为( ). A.(2x −3)²=0 B.(2x +3)²=0 C.(2x −3)²=10 D.(2x +3)²=1013.若关于x 的一元二次方程 kx²−9x +6=0有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为( ). A. k≠0 B.k <278C. k≠0 且 k <278D.k >27814.已知(x−8)(x+3)|x|−3的值为0,则x 的值为( ).A.±3B. -3C.8D. -3 或815.毕业班同学合影拍照，已知冲一张底片需要0.8元，洗一张相片需要0.35 元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学人数为( ).A.至多6人B.至少6人C. 至多5人D. 至少5人 16.不等式组 {5x −1>3(x +1)12x −1≤7−32x的解集是( ). A. x>2 B. x≤4 C. x<2或x≥4 D.2<x≤417.关于x 的分式方程 nx+1−4x 2−1=1无解，则n 的取值范围为 . 18.不等式 2+x+13>x +x+36的解是 .19.当k 取何值时,( (k +1)x²−4kx +3=0分别有两个不相等实数解?20.某公司做电饭锅促销活动，按照进价提高35%，然后“打九折，外送30元”的广告，每个电饭锅最后仍然获利200元，则每台电饭锅进价是多少元?能力提升21.设二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y--18=0,x+y+k=0有公共解,则k 的值是( ). A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 22.方程 x+1x 2−x −13x =x+53x−3去分母后的结果为( ). A.x²+3x −4=0 B.x²−5x −2=0 C.x²+3x −2=0 D.x²−5x +4=023.如图所示，已知抛物线 y₁=−x²+4x 和直线 y₂=2x.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y ₁，y ₂，若. y₁≠y₂,取 y ₁，y ₂中的较大值记为N ；若 y₁=y₂,记 M =y₁=y₂.下列判断:①当x>2时, N =y₂; ②当x<0时,x 值越大,N 值越大; ③使得 N 大于 4 的x 值不存在; ④若N=2,则x=1.其中正确的判断有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D. 4 个24. 关于方程 ax²−(3a +1)x +2(a +1)=0有两个不相等的实根x ₁,x ₂,.且有 x₁−x₁x₂ +x₂=1−a,则a 的值为( ).A. 1B. -1C. 1 或-1D.225.已知方程 23x −3k =5(x −k )+1的解为负数，则k 的取值范围为 .26.已知 5xᵃ⁺²ᵇ⁻⁵−4y³ᵃ⁻ᵇ⁻³=9是二元一次方程，那么a+3b= .27.若方程组 {x +y =93x −5y =11,则3(x+y)-(3x-5y)的值是 .28.解不等式方程组： {7x −3y =204x +3y =24.29.某物体从 P 点运动到Q 点所用时间为7s ，其运动速度V(m/s)关于时间t(s)的函数关系如图所示.某学习小组经过研究发现：该物体前进3s 运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前t(3<t≤7)s 运动路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和.根据以上信息，完成下列问题： (1) 当3<t≤7时,用含 t 的式子表示V.(2)分别求物体在0≤t≤3和3<t≤7时,运动路程S(m)关于时间t(s)的函数关系式; 并求该物体从 P 点运动到Q 点中总路程的 710时所用的时间.30.某食品加工厂准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.现在主要原料有可可粉410克，核桃粉520 克.计划利用两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块.加工一块原味核桃巧克力需可可粉13 克，需核桃粉 4 克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉 14 克.加工一块原味核桃巧克力的成本是 1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元.设这次研制加工的原味巧克力x 块.(1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案?(2)设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使成本最低.总成本最低是多少元?拓展资源31.已知关于x ，y 的方程组 {x +3y =4−ax −y =3a,其中-3≤a≤1,给出下面结论:①{x =5y =−1是方程组的解；②当a=-2时，x ，y 的值互为相反数；③当a=-1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解;④若x≤1,则1≤y≤4.其中正确的是( ).A. ①②B. ②③C.②③④D. ①③④32.已知关于x 的方程 kx²+(1−k )x −1=0,下列说法正确的是( ). A.当k=0时,方程无解B. 当 k =1时，方程有一个实数解C. 当 k =−11时，方程有两个相等的实数解D.当 k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解33.若关于 t 的不等式组 {t −a ≥02t +1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数 y =14x −a 的图像与反比例函数 y=3a+2x的图像的公共点的个数是 .34.若x,y,z 为整数,且满足不等式 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4,则x 的最小值为 .35.解方程组: {|x +y|=43|x|+2|y|=101-5 DCCDC 6-10 CCAAC 11-16 ACCCBD17. -6<n<2 18.x <11519.k >3+√738或 k <3−√73820.约为 1070元21-24 BABC 225. k< 1226.8 27.1628.{x =4y =8329.(1) V=2t-4; (2)S ={2t (0≤t ≤3)2t 2−4t(3<t ≤7),所用时间为 6 秒30.(1)有三种方案.方案一：原味核桃巧克力18块，益智核桃巧克力32块； 方案二：原味核桃巧克力19块，益智核桃巧克力31块； 方案三：原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块.(2)当原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块时，总成本最低为84元.31. 解方程组 {x +3y =4−a x −y =3a ,得 {x =1+2ay =1−a因为-3≤a≤1,所以-5≤x≤3,0≤y≤4.circle1{x =5y =−1不符合-5≤x≤3,0≤y≤4,结论错误.②当a=-2时,x=1+2a=-3,y=1-a=3,x,y 的值为互为相反数,结论正确. ③当a=-1时,x+y=2+a=3,4-a=3,方程x+y=4-a 两边相等,结论正确.④当x≤1时,1+2a≤1,解得a≤0,故当x≤1时,且-3≤a≤1,所以-3≤a≤0,所以1≤1-a≤4,所以1≤y≤4,结论正确.选 C. 32. C33. 解 {t −a ≥02t +1≤4,得 a ≤t ≤32.因为不等式组恰好有3个整数解， 所以-2<a≤-1.求交点，联立方程组 {y =14x −a y =3a+2x 得 14x 2−ax −3a −2=0.Δ=a²+3a +2=(a +1)(a +2)因为-2<a≤-1,所以a+1≤0,a+2>0,所以△=(a+1)(a+2)≤0,所以交点的个数为0或1. 34.原不等式组 {4x ≥z ≥3yy +z ≥4可以化为 {4x ≥z circle1z −3y ≥0circle2,y +z ≥4circle3解②③得 {4x ≥zz ≥3y ≥1将z≥3代入①得: x ≥34,因此x 的最小值为3/4.35.(1) 若xy≥0时,原方程组为: {|x|+|y|=43|x|+2|y|=10,得|x|=2,|y|=1,所以x=2,y=1.(2) 若xy<0时,原方程组为: {|x|−|y|=43|x|+2|y|=10或 {|x|−|y|=−43|x|+2|y|=10,解得 {|x|=185|y|=25舍) {|x|=2|y|=6所以 {x =2y =−6,{x =−2y =6。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
则可列方程组为
( A)
A.yx＋＋2231xy＝＝5500，B.xy－－1223yx＝＝5500，C.2xx＋＋23yy＝＝5500，D.2xx－－23yy＝＝5500，
10．(2021·成都第 26 题 8 分)为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾 管理条例》(以下简称《条例》)于 2021 年 3 月 1 日起正式施行．某区域 原来每天需要处理生活垃圾 920 吨，刚好被 12 个 A 型和 10 个 B 型预处 置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个 A 型点位比一个 B 型点位每天 多处理 7 吨生活垃圾． (1)求每个 B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；
x＝1，则 a＋m 的值为
( C)
A．9 B．8 C．5 D．4
x＝1 6．(2021·凉山州第 14 题 4 分)已知y＝3，是方程 ax＋y＝2 的解，则 a 的值为__－－11__. 7．(2020·泸州第 14 题 3 分)若 xa＋1y3 与12x4y3 是同类项，则 a 的值是__33__.
3．(RJ 七下 P111 复习题 T7 改编)用 1 块 A 型钢板可制成 4 件甲种产品和 1 件乙种产品．用 1 块 B 型钢板可制成 3 件甲种产品和 2 件乙种产品；要 生产甲种产品 37 件，乙种产品 18 件，则恰好需用 A，B 两种型号的钢板 共 1 111 块．
4．(RJ 七下 P106 习题 T3 改编)一个两位数，十位数字比个位数字大 3， 若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多 15， 则这个两位数是 6 633.
∵w 随 m 的增大而减小，∴费用越少，m 越大． 故方案③费用最少．
重难点 1：从实际问题中抽象一次方程(组)
我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
第二章方程与不等式
第二章知识系统网络：一元一次分式方程一元一次方程二元一次方程组（与实际结合）方程与方程组根的判别式根与系数的关系一元二次方程二次三项式的因式分解一元二次分式方程不等式及其性质不等式的解集不等式与不等式组一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法及其应用（与实际相联系）重要知识点与难点：（一）方程1．一元二次方程根的判别式：△> 0 方程有_____________实数根△= 0 方程有_____________实数根△< 0 方程 _____________实数根2．一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= 。
（二）不等式不等式的性质（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式或常数，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
易错点：1．解分式方程时忘了验根2．应用根的判别式的时候忽略二次项的系数不为03．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，改变不等号的方向时易出错4．解系数是字母的不等式时，忽略字母的符号方程与方程组【命题趋势】一元一次方程和一元一次方程组是初中有关方程的基础，必考。
一元二次方程主要以填空，选择，解答和综合题（尤其与实际生活热点联系的题目）来考察一元二次方程的解法。
分式方程只考察能化简为一元一次分式方程的分式方程（即无论题目看上去多复杂，一定能通过化简化为一元一次分式方程），但分式方程是比较容易在化简过程中出错的，要仔细！ 方程和方程组在中考中分值比例在14分~20分左右，主要考察概念与解法，形式比较固定。
【例题】1.(2009年四川省内江市)若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．2 2.(2009年上海市)用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=3.（2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+x x （C ）18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+xx 4.（2009年杭州市）已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为_____________．5.（2009贺州）解分式方程：163104245--+=--x x x x6.（2009年福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时实数大小的比较与不等式课件新人教A版必修第一册
则ቐ28 + 58 ≤ 1 800,
, ∈ ∗ .
探索点二 比较数(式)的大小
【例 2】 若 a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较 a,b,c 的
大小.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.变式练将本例中条件变为 a=(x+5)(x+7),b=(x+6)2,
(2)抓关键词,找到不等关系;
(3)用不等式(组)表示不等关系.
(4)利用不等式(组)表示不等关系时,思维要严密、规范,要
注意不等关系中的等号是否能够取到.
【跟踪训练】
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的
4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的不等
式是 4.5t<28 000 .
表示它们之间的 不等关系 .含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
【思考】
根据不等式中文字语言与数学符号之间的关系完成
下表中的内容.
文字语言 大于
数学符号
至多
≤
>
小于
至少
<
≥
文字语言 大于等于 不少于小于等于 不多于
216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不
等式(组)如何表示?
解:矩形菜园靠墙的一边长为 x
即(14- )m,根据已知,得
-
m,则另一边长为
< ≤ ,
(- ) ≥ .
第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元解读课件)
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
能说明基本不等式的几何解释;能借助二次函数图象，说明二次函数与一元 二次方程、不等式的联系;能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根 画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题， 能将解方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0) 的问题转化为研究函数 y ax2 bx c ，当 自变量为何值时，函数值 y=0的问题，能将解不等式 ax2 bx c＞0 的问题 转化为研究函数 y ax2 bx c ，当自变量在什么范围时，函数值 y>0的 问题
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第二章 一元二次函数、 方程和不等式单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现 实意义 4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的 解集 6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数 的重要性.体会数学的整体性. 7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养
6.利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体 可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应 凑出定和或定积；
第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点与题型解析(解析版)
第二章一元二次函数、方程和不等式考点与题型解析一、本章知识体系二、考点与题型解读考点一本章考点方法梳理1.不等式的核心性质(1)a>b⇔b<a；(2)a>b，b>c⇒a>c；(3)a>b⇔a＋c>b＋c；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；(5)a>b，c<0⇒ac<bc；(6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn.2.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易出错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．3．一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与二次函数图像求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论．4．二元一次不等式的平面区域的确定，首先是画出直线(有虚实之分)，然后用特殊点，一般选择原点去验证，以帮助选择直线的哪一侧．5．简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y 轴上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系．当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值．6．应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a 、b 为正；二是a ＋b 与a ·b 有一个为定值；三是等号要取到．这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型．考点二 基本不等式及应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例1】设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________.解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.答案 8【变式训练1】已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是______．【答案】433考点三 一元二次不等式的解法对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x 轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根．【例2】若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0，的整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2. 对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解 x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k ＜2.【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点四 不等式的恒成立问题不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．常见的解决恒成立问题的方法有：(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．【例3】不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：当m 2－2m －3＝0时，m ＝－1或3. 而m ＝3时，－1<0符合题意，所以m ＝3； 当m 2－2m －3≠0时，应有⎩⎨⎧m 2－2m －3<0－m ＋32＋4m 2－2m －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3⇒－15<m <3.综上可得，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－15<m ≤3. 【变式训练3】已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围． 【答案】16<m考点五 线性规划问题1.高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用，命题形式以选择题、填空题为主，命题模式是以线性规划为载体，考查区域的划分、区域的面积，涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等．2．简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想，根据线性目标函数的几何意义，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，一般步骤如下： ①作图：画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域； ②找初始直线：列目标函数，找初始直线l 0；③平移：将直线l 0平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；④求值：解有关的方程组，求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值．【例4】设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2， 因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 选C【变式训练4】若变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，12z x y =+的最大值为m ，212y z x -=+的最小值为n ，则m n +=（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】C考点六 均值不等式的应用均值不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)求“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积、积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用均值不等式解决实际问题． 【例5】已知0<x <2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解：∵0<x <2，∴0<3x <6，∴8－3x >0，∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )取得最大值，最大值为163.【变式训练5】已知函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-．（1）求()f x 的解析式；（2）当1x >-时，求()211f x y x -=+的最大值．【答案】（1）()23318f x x x =--+；（2）max 3y =-.。
高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠
⌀
b
2a
−
2
没有实数根
R
⌀
微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)
第二章一元二次函数、方程和不等式
<
������������.故该结论错误.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不 等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采 用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题 中经常采用这种办法.
一二三四
课前篇 自主预习
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
一二三四
课前篇 自主预习
三、重要不等式 1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab. 2.填空 ∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(4)由1������
>
1������,可知1������
−
1 ������
=
������������-������������>0.因为
a>b,所以
b-a<0,于是
ab<0.
又因为 a>b,所以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则������������
=
1 2
,
������������=2,显然������������
2.1 等式性质与不等式性质
-1-
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
高一数学讲义 第二章 不等式
高一数学讲义 第二章 不等式§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）； 若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质 （1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<； （2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，； （4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<； （正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，； （5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ； （6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >； 当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为 所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2， 所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？ 解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤， 即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+； （2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2； （3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集： （1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系： 容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5， 二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． （2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0； 当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0； 所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解， 所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤， （1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分） 当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ； （2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为： 分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或； 当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且； 当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式： （1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥； （3）x x1>； （4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，． 此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集． 例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+=，，，m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：()()()()f xg xf xg x⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0.解：根式有意义∴必须有：xxx3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x-3x-3解之：x1>2∴{}{}|x x x x x x⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭()()()()f xg xf xg x2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fxg x⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥例2x>4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：()xx xx x x222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥Ⅱ：x xx2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：xx xx4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤解Ⅱ：x4<23≤∴原不等式的解集为xx⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f xg x g xf xg x2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1> （2）x x 3-3+3 （3> （4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围； （2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤）， （2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法： （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式： （1）x 4<2-37≤； （2）x x -2<+1； （3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． （1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤， 解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2； 当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（ ） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（ ）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（ ）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（ ）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解． 例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知 （1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6： 故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1， 于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，； 当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围． 能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号） 证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0， 所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02， 通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证： （1）y xx y+2≥； （2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，， （1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+>0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18， 其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ==，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3）*ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值； （2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围； （2）若ab =1，求a b +的取值范围； （3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值； （4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ． （1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间； （2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式． 这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0； 若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0； 若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然． 例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤． 基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1； （2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3>1+(22>即12+>16+2即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题． 基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。
第二章 一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x＝1－2xx＝14时，y max＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f(x)＝ax(b－ax)型．典例7：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1 y＝1，∴x＋2yx＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx，＝12，＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
第二章 方程与不等式知识点
分析解读方程与不等式在近几年春季高考中归结到代数部分予以考查，既有本章知识的直接考查，也有函数的定义域、集合的运算等其他知识的间接考查，题型以选择题和填空题为主，有时会在大题中分步骤出现，难度中等每年必考，主要考查的内容有以下几个方面．1．两个方法：配方法，作差比较法；2．两种工具：区间——表示不等式的解集；不等式的性质——解不等式变形的依据；3．四种解法：一元二次方程的解法，一元一次不等式(组)的解法，含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法；4．一个应用：运用不等式的知识解决实际问题；5．两个思想：数形结合的思想；分类讨论的思想．思维导图1．配方法(1)配方法的主要思想以_______________为依据，对所给的____________进行恒等变形、化简，得到形如____________的代数式．配方法是中学数学解决二次问题的一种重要方法，可以作为解二次问题的统一方法．(2)对二次三项式进行配方的一般步骤①把ax2＋bx＋c变形为_______________；②配方为________________________；③整理成________________________的形式．2．一元二次方程(1)一元二次方程的概念只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是2的______方程叫做一元二次方程．(2)一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c常数，且a≠0)，a，b，c依次称为方程的___________，___________，________.(3)方程的解与解方程能够使方程左右两边的值相等的________的值，叫做方程的解．求出方程的解或者_________________的过程，叫做解方程．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法(1)配方法：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤：①化二次项系数为________；②把常数项移项到等号的另一边；③在等号的两边同加____________________________；④写成完全平方的形式；⑤开平方得结果．(2)求根公式法：求根公式：________________.其中Δ＝b2－4ac为根的判别式，确定方程解的情况如下：①Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＝_____________；②Δ＝0时，方程的解有两个相等的实数根：x1＝x2＝____；③Δ<0时，原方程______________．(3)分解因式法：①提公因式；②十字相乘(竖分，叉乘，横写)．4.根与系数的关系(韦达定理)已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则x1＋x2＝______，x1x2＝______.5．实数大小的基本性质(1)实数大小的性质①a－b＞0⇔______；②a－b＜0⇔______；③a－b＝0⇔______.(2)作差比较法：一种常见的比较两个实数(或代数式)大小的方法，一般步骤是①作差；②变形；③判断(符号)；④得出结论．6．不等式的基本性质(1)加法法则不等式的两边都加上(或减去)同一个数或者整式，不等号的方向不变，用式子表达即为若a＞b，则a＋c______b＋c；推论：(移项法则)a＋b＞c，则a______c－b.(2)乘法法则①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0，则ac______bc；②不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac______bc.推论：若a＞0，b＞0，则a＞b⇔______.(3)常用的不等式的性质①反身性：a＞b⇔______.②传递性：a＞b，b＞c⇔______.③同向加法：a＞b，c＞d⇔_____________.④同向乘法：a＞b＞0，c＞d＞0⇔________.推论：(乘方法则)a＞b＞0⇔_______________.7．一元一次不等式(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是_______，系数不等于0的_____________________________叫作一元一次不等式．(2)解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.8．不等式的解集(1)一元一次不等式的解集①一元一次不等式最终可化为ax ＞b(a ≠0)的形式，当a ＞0时，不等式的解集为____________；当a<0时，不等式的解集为___________． ②要注意不等式ax ＞b 与一元一次不等式ax ＞b 的区别，对于不等式ax ＞b 的解集要讨论a ＝0的情况．当a ＝0时，若b ＜0，则不等式的解集为______；若b ≥0，则不等式的解集为______．(2)一元一次不等式组的解集①含有___________的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．②几个一元一次不等式的解集的________叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等式的解集的________是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集．(3)一元一次不等式组的解法若a ＜b ，则不等式组①⎩⎨⎧x ＞a x ＞b 的解集为____________； ②⎩⎨⎧x ＞a x ＜b 的解集为____________； ③⎩⎨⎧x ＜a x ＜b的解集为____________； ④⎩⎨⎧x ＜a x ＞b 的解集为____________． 9．区间设a ，b ∈R ，且a ＜b ，则(1)满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作________．(2)满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作________．(3)满足a ≤x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．(4)满足a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．(5)①满足x ＜a 的全体实数x 的集合，可记作__________；②满足x ＞a 的全体实数x 的集合，可记作____________；③满足x ≤a 的全体实数x 的集合，可记作____________；④满足x ≥a 的全体实数x 的集合，可记作____________；⑤其中“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”，实数集R 可记作____________．10．实数的绝对值(1)绝对值的定义：|a|⎩⎨⎧(2)实数绝对值的几何意义：|a|的几何意义是数轴上表示实数a 的点到______的距离．11．含有绝对值的不等式(1)最简单的含绝对值的不等式 如果m ＞0，则①|x|≤m ⇔_____________；②|x|≥m ⇔_____________.(2)含有绝对值的不等式的解法①当c ≥0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________；②当c ＜0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________．12．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是_________________________．(2)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．13．一元二次不等式的解法(1)配方法：首先将一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0利用配方法化为(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2或(x+b 2a )2x ＜b 2-4ac 4a 2的形式，不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．①当Δ=b 2－4ac>0时，(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2等价于________________，即________________________________；(x+b 2a )2＜b 2-4ac 4a 2等价于____________________，即____________________________________．由此可得不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为②当Δ＝b 2－4ac ＞0时，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为__________；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为____ __．③当Δ＝b2－4ac ＜0时，不等式ax2＋bx ＋c ＞0解集为______．(2)由函数的图象与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的位置关系确定不等式的解集．具体过程如下：将一元二次不等式整理成ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式，设其相应方程的两个根为x1，x2，且x1＜x2，不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．①若Δ＝b2－4ac＞0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____ ___；②若Δ＝b2－4ac＝0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______；③若Δ＝b2－4ac＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______．。
中考数学复习分类精品课件：第二单元《方程与不等式》
；
(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件 服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两 次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程 是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x； 解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.
新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式全套导学案PPT课件及配套WORD讲义
由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a，故 B 为假命题；
a<b<0⇒－a>－b>0⇒－1b>－1a>0，
a<b<0⇒－a>－b>0
⇒ab>ba，故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0，
a1>1b⇒a1－b1>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0，b<0，故 D 为真命题． 解析
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 作差法比较大小
例 1 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
[解] (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
(教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实 际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养.2.通过 大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养.
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－
第二章方程与不等式
知识梳理
• • 一元一次方程 • 整式方程——
•
有关概念
等式的性质 移项法则 去括号法则 解法步骤
概念
• • •
• •
一元二次方程
解法 根与系数的关系
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二元一次方程组 概念
解法
合作复习
• 一、填写《龙江中考》17页回答：
• 1、解一元一次方程的一般步骤是什么？每一步的依据是 什么？ • 2、解二元一次方程组的基本思想是什么？方法是什么？
合作复习
• 填写《龙江中考》27页回答： 1、请你说说什么样的式子是不等式？ 2、不等式的基本性质是什么？ 3、怎样确定不等式组的解集？
达标检测
• 海东青25页1、4、5； • 26页21题
学习小结
• 请小组合作交流你在本节课中的收获，你 还有哪些困惑？
作业
《海东青》25页5、6、8、9题 26页16、17题 27页22、23、26题
• 二、填写《龙江中考》33页回答：
• • • • 1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、不解方程如何判断根的情况？ 3、一元二次方程根与系数有怎样的关系？ 4、列方程解应用题的一般步骤是什么？
学习小结
• 请小组合作交流你在本节课中的收获，你 还有哪些困惑？
课后作业
• • • • • 《海东青》 17页3、4、8、9、10、14、15。 18页16、17、18、19、20。 20页26、27。 21页、22页、23页24题。
教学反思
(2)分式方程
学习目标：
1、理解分式方程的概念； 2、能正确地解分式方程； 3、能列分式方程解决有关实际问题。 重点：正确解分式方程，知道每一个解题步骤的 依据。 难点：能列分式方程解决有关实际问题。
中专《数学》第一册 第二章-方程与不等式
例4：解不等式组
x-5 ≤ 2x-4
①
3x+1＜9-x
②
解：由不等式①得
x-2x ≤ 5-4
-x ≤ 1
x ≥ -1
所以不等式①得解集是{x丨x ≥ -1}
由不等式②得
3x + x＜9-1
4x＜8
x＜2
所以不等式②得解集是{x丨x＜2}
2.2.2 不等式的解集与区间
不等式①②解集的共同解集就是{x丨-1 ≤ x＜2}， 所以不等式组的解集为{x丨-1 ≤ x＜2}
A＞B（A＜B）
2.2.1 不等式的基本性质
例1：比较a²+ 4与4a的大小 解： ∵（a²+4）- 4a = a²-4a +4 = （a - 2)² ≥ 0 ∴ a²+4 ≥ 4a
2.2.1 不等式的基本性质
不等式的性质 性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c（传递性） 性质2：若a＞b，则对任何实数c，有a＋c＞b＋c（加法法则） 性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（乘法法则） 若a＞b，c＝0，则ac＝bc 性质4：若a＞b，且c＞0，则 a ＞b cc ab 若a＞b，且c＜0，则 c ＜ c （乘法法则） 推论1：若a＋b＞c，b＞c，则a＞c - b. 推论2：若a＞b，b＞c，则a＞c - b. 推论3：若a＞b＞0，且c＞d＞0则a＞c - b.
第二章
方程与不等式
2.1 一元二次方程
2.2 不等式
2.2.1 不等式的基本性质 2.2.2 不等式的解集与区间 2.2.3 含有绝对值的不等式 2.2.4 一元二次不等式
2.1 一元二次方程
一、观察： 下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
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第二章方程与不等式
★ 2.1 一元二次方程
定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程。
2 整式 单项式：数或字母的乘积，如 4，a, 4a , 3????2
多项式：若干个单项式的和或差 如4a+2c, a-5b
' ??
分式：形如方的式子，且A, B 为整式，B 中有字母。
无理式：带有广且广下含有字母的式子
3.解一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a 丰0）的常用方法: （1）配方法：二次项系数化为 1 ?移向（把常数项移到方程右边）？配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ） 2=n 的形式？用直接开平方的方法求解。
6. 解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都 可以满足。
例如：x-3 v 0或x+4W 0的解集是？
7. 解含有绝对值的不等式的思路： 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。
在解
含有绝对值的不等式时，常用数轴来表示其解集。
8. 一元二次不等式（一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组）
，从而求 出解集。
当 m > 0 时，X < m? |x| < m ,即-m < x < m
X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m
☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗?
1. 2. 衔接： 有理式 代数式 （2）求根公式法：？？=
-??±V ??2- 4???? 2 ，— 2 注意条件厶=b-4ac >0时，方程有2个不相等的实数根，△ =b-4ac=0 时，方程有2个相等的实数根，△ 2?? =6-4ac v 0时，方程无实数根。
（3）因式分解法或直接开平方法： 适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。
女口：
X 2=9X ， 4 x 2=5 等 4.注意
会丢根。
★ 2.2不等式
1. （复习）任意两个实数 a,b 具有的基本性质：
a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b
2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。
方法是：把要比较的两个实数 （或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解, 直到
能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。
元二次方程的实数根或者有 2个，或者没有。
例如 x 2
=2x ，不能把 x 约去，否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
(2) a > b ， 、?? ??
c >0? ac >bc (或??>??)
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或？?v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变
4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集！遵循的口诀是:
5.表示不等式的解集常用 2种方法:
集合表示：性质描述 区间表示：开区间，闭区间及半开半闭区间
大大取较大
小小取较小 大小
交叉中间找 大大
小小无处找
例题：1.解不等式|2x-3| V 1
2.解不等式|2x-3| > 1
3. 解不等式组2x-3 > 1
2x-3 L V-1
注:
不等式组的解集等于各不等式的解集的交集，因为解集需要同时满足不等式组的每一项。
不等式的解集需要满足不等式的性质：|x| w m,即-m W x w m （取交集）
|x| > m 即x > m或x w -m （取并集）
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