勾股定理常见题型

专题一：勾股定理与面积

知识点精讲：

类型一“勾股树”及其拓展类型求面积

典型例题：

1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________．

2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( )

3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是()

A．9 B．36 C．27 D．34

4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．

5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40

6．如图，已知在Rt ABC

△中，︒

=

∠90

ACB，4

AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，

则

12

S S

+的值等于________

7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )

A．2 B．4 C．8 D．16

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

图(16)

8

6

C

B

A

A

D

C

B

规律与小结：

做“勾股树”及其拓展类型的题，把握住以两条直角边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积和，等于以斜边为边长或直径延展出来的正方形或圆的面积。 类型二 构造直角三角形求面积或长度

9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为( ) A.1013 B.1513 C.6013 D.7513

10．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则这个等腰三角形的面积为 。 规律与小结：

1.学会借助现有的直角，构造直角三角形；

2.等腰三角形“三线合一”，一定要牢牢把握。

3.求斜边上的高，要学会先求出直角三角形的面积，再求斜边上的高。 类型三 结合乘法公式巧求面积或长度

11．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝7cm ，c ＝5cm ，则Rt △ABC 的面积是( ) A ．6cm 2 B ．9cm 2 C ．12cm 2 D ．15cm 2

12、如图，在直角三角形中，∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD 是斜边AB 上的高，则AD —BD ＝ 。

13、已知正方形ABCD 的边长为3，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b ，(a

牢记常见的勾股数——“3,4,5”、“5,12,13”、“8,15,17”、“7,24,25”，当三条边同时扩大相同的倍数时，仍然满足勾股定理。

类型四 巧妙割补求面积

14．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( ) A ．48 B ．60 C ．76 D ．80

A

B

C

D F G

H

E

15．如图，若∠BAD ＝∠DBC ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，则CD ＝( ) A ．5

B ．13

C ．17

D ．18

16．如图所示是一块地，已知AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，AB ＝26米，BC ＝24米，则这块地的面积是________． 规律与小结：

将不规则图形利用转化思想转化成规则图形来求面积，此过程中通常需要构造直角三角形，也就是利用勾股定理的逆定理，判断三边能否满足2

2

2

c b a =+，从而确定是否为直角三角形。

专题二：知识点2 勾股定理与折叠,轴对称，动点

典型例题：

17．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ＝________．

18、矩形ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ， 则DE ＝________．

19．如图，长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，设点D 落在D ′处，BC 交AD ′于点E ，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，则阴影部分的面积＝________．

20．如图所示，正方形ABCD 的边长为6，△ABE 是等边三角形， 点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ， 使PD+PE 的和最小，则这个最小值为多少？

21.如图，∠AOB ＝90°，OA ＝9cm ，OB ＝3cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？

规律与小结：

1.折叠与对称题型一定要注意折叠之后的边是对应相等的。

2.该种题型通常需要设未知数x ，将含有未知数x 的量放在一个直角三角形中，应用勾股定理。

A

B

C

D

E

F

C 1