人教版高中(必修3)第一章算法初步 1.1.1 算法的概念 学案

第一章算法初步
§1．1算法与程序框图
1．1．1算法的概念
【明目标、知重点】
1．通过解二元一次方程组的方法，体会算法的基本思想．
2．了解算法的含义和特征．
3．会用自然语言表述简单的算法．
【填要点、记疑点】
1．算法的概念
2
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．【探要点、究所然】
[情境导学]赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步，把大象装进去；第三步，把冰箱门带上．
探究点一算法的概念
思考1一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案．答第一步，两个小孩同船过河去；
第二步，一个小孩划船回来；
第三步，一个大人划船过河去；
第四步，对岸的小孩划船回来；
第五步，两个小孩同船渡过河去．
小结 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法．在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种步骤一定可以得到结果的解决问题的程序．
思考2 在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？解二元一次方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝－1 ①2x ＋y ＝1 ②的具体步骤是什么？ 答 解二元一次方程组有加减消元法和代入消元法．
解方程组的步骤：
方法一 第一步，②－①×2得5y ＝3．③
第二步，解③得y ＝35
． 第三步，将y ＝35代入①，得x ＝15
． 第四步，得方程组的解为⎩⎨⎧
x ＝15，y ＝35.
方法二 第一步，①＋②×2，得5x ＝1．③ 第二步，解③，得x ＝15． 第三步，②－①×2，得5y ＝3．④
第四步，解④，得y ＝35
． 第五步，得方程组的解为⎩⎨⎧ x ＝15，
y ＝35.
思考3 写出求方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0 ①A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 ②(A 1B 2－B 1A 2≠0)的解的算法． 答 第一步，②×A 1－①×A 2，得(A 1B 2－A 2B 1)y ＋A 1C 2－A 2C 1＝0．③
第二步，解③，得y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1
． 第三步，将y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1代入①，得x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1
． 第四步，得方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1，
y ＝A 2C 1－A 1
C 2A 1B 2－A 2B 1.
思考4 由思考3我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可得到思考2的另一
个算法，请写出此算法．
答 第一步，取A 1＝1，B 1＝－2，C 1＝1，A 2＝2，B 2＝1，C 2＝－1．
第二步，计算x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1与y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1
． 第三步，输出运算结果．
小结 根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为三、四或五个步骤进行，这些步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”．在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法．从以上思考中我们看到某一个问题的算法不唯一．
探究点二 算法的步骤设计
例1 设计一个算法，判断7是否为质数．
思考1 质数是怎样定义的？
答 只能被1和本身整除的大于1的整数叫质数．
思考2 根据质数的定义，怎样判断7是否为质数？
答 可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．
解 第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7．
第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7．
第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7．
第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7．
第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7．
因此，7是质数．
反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练1 设计一个算法，判断35是否为质数．
解 第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35．
第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35．
第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35．
第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35．
因此，35不是质数．
思考3 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要
87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？ 答 (1)用i 表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；
(2)用i 除89，得到余数r ．若r ＝0，则89不是质数；若r ≠0，将i 的值增加1，再执行同样的操作；
(3)这个操作一直进行到i 取88为止．
思考4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？
答 第一步，给定一个大于2的整数n ．
第二步，令i ＝2．
第三步，用i 除n ，得到余数r ．
第四步，判断“r ＝0”是否成立．若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示．
第五步，判断“i >n －1”是否成立．若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步． 例2 写出用“二分法”求方程x 2－2＝0(x >0)的近似解的算法．
解 第一步，令f (x )＝x 2－2，给定精确度d ．
第二步，确定区间[a ，b ]，满足f (a )f (b )<0．
第三步，取区间中点m ＝a ＋b 2
． 第四步，若f (a )f (m )<0，则含零点的区间为[a ，m ]；否则，含零点的区间为[m ，b ]．将新得到的含零点的区间仍记为[a ，b ]．
第五步，判断[a ，b ]的长度是否小于d 或f (m )是否等于0．若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步．
反思与感悟 算法的特点：(1)有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．
(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的．
(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．
跟踪训练2 求2的近似值，精确度0．05．
解 第一步，确定区间[a ，b ]，因2>1，2<2，设a ＝1，b ＝2．
第二步，m ＝a ＋b 2
，判断m 是否等于2，若相等，则m 为所求，否则执行第三步． 第三步，若m >2，则令b ＝m ，若m <2，则令a ＝m ．
第四步，重复第二、第三步，直到|a －b |<0．05或m ＝2时结束算法．
【当堂测、查疑缺】
1．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是 ( )
A ．这个算法可以求所有的零点
B ．这个算法可以求任何方程的零点
C ．这个算法能求所有零点的近似解
D ．这个算法可以求变号零点近似解
答案 D
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求它的总分和平均分
的一个算法如下，请将其补充完整．
第一步，取A ＝89，B ＝96，C ＝99．
第二步，________________．
第三步，________________．
第四步，输出计算结果．
答案 计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均分E ＝D 3
3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是
_________________________________________________________________．
(1)从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；
(2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
(3)方程x 2－1＝0有两个实根；
(4)求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15．
答案 (3)
解析 由于(3)不是解决某一类问题的步骤，故(3)不是解决问题的算法．
4．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：
(1)计算c ＝a 2＋b 2；
(2)输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；
(3)输出斜边长c 的值．
其中正确的顺序是________．
答案 (2)(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
【呈重点、现规律】
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．。