人教版高中(必修3)第一章算法初步 1.1.1 算法的概念 学案

第一章算法初步

§1．1算法与程序框图

1．1．1算法的概念

【明目标、知重点】

1．通过解二元一次方程组的方法，体会算法的基本思想．

2．了解算法的含义和特征．

3．会用自然语言表述简单的算法．

【填要点、记疑点】

1．算法的概念

2

计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．【探要点、究所然】

[情境导学]赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步，把大象装进去；第三步，把冰箱门带上．

探究点一算法的概念

思考1一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案．答第一步，两个小孩同船过河去；

第二步，一个小孩划船回来；

第三步，一个大人划船过河去；

第四步，对岸的小孩划船回来；

第五步，两个小孩同船渡过河去．

小结 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法．在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种步骤一定可以得到结果的解决问题的程序．

思考2 在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？解二元一次方程组

⎩⎪⎨⎪⎧

x －2y ＝－1 ①2x ＋y ＝1 ②的具体步骤是什么？ 答 解二元一次方程组有加减消元法和代入消元法．

解方程组的步骤：

方法一 第一步，②－①×2得5y ＝3．③

第二步，解③得y ＝35

． 第三步，将y ＝35代入①，得x ＝15

． 第四步，得方程组的解为⎩⎨⎧

x ＝15，y ＝35.

方法二 第一步，①＋②×2，得5x ＝1．③ 第二步，解③，得x ＝15． 第三步，②－①×2，得5y ＝3．④

第四步，解④，得y ＝35

． 第五步，得方程组的解为⎩⎨⎧ x ＝15，

y ＝35.

思考3 写出求方程组⎩⎪⎨⎪⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0 ①A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 ②(A 1B 2－B 1A 2≠0)的解的算法． 答 第一步，②×A 1－①×A 2，得(A 1B 2－A 2B 1)y ＋A 1C 2－A 2C 1＝0．③

第二步，解③，得y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1

． 第三步，将y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1代入①，得x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1

． 第四步，得方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1，

y ＝A 2C 1－A 1

C 2A 1B 2－A 2B 1.

思考4 由思考3我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可得到思考2的另一

个算法，请写出此算法．

答 第一步，取A 1＝1，B 1＝－2，C 1＝1，A 2＝2，B 2＝1，C 2＝－1．

第二步，计算x ＝－B 2C 1＋B 1C 2A 1B 2－A 2B 1与y ＝A 2C 1－A 1C 2A 1B 2－A 2B 1

． 第三步，输出运算结果．

小结 根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为三、四或五个步骤进行，这些步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”．在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法．从以上思考中我们看到某一个问题的算法不唯一．

探究点二 算法的步骤设计

例1 设计一个算法，判断7是否为质数．

思考1 质数是怎样定义的？

答 只能被1和本身整除的大于1的整数叫质数．

思考2 根据质数的定义，怎样判断7是否为质数？

答 可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．

解 第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7．

第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7．

第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7．

第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7．

第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7．

因此，7是质数．

反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪训练1 设计一个算法，判断35是否为质数．

解 第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35．

第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35．

第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35．

第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35．

因此，35不是质数．

思考3 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要

87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？ 答 (1)用i 表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；

(2)用i 除89，得到余数r ．若r ＝0，则89不是质数；若r ≠0，将i 的值增加1，再执行同样的操作；

(3)这个操作一直进行到i 取88为止．

思考4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

答 第一步，给定一个大于2的整数n ．

第二步，令i ＝2．

第三步，用i 除n ，得到余数r ．

第四步，判断“r ＝0”是否成立．若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示．

第五步，判断“i >n －1”是否成立．若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步． 例2 写出用“二分法”求方程x 2－2＝0(x >0)的近似解的算法．

解 第一步，令f (x )＝x 2－2，给定精确度d ．

第二步，确定区间[a ，b ]，满足f (a )f (b )<0．

第三步，取区间中点m ＝a ＋b 2

． 第四步，若f (a )f (m )<0，则含零点的区间为[a ，m ]；否则，含零点的区间为[m ，b ]．将新得到的含零点的区间仍记为[a ，b ]．

第五步，判断[a ，b ]的长度是否小于d 或f (m )是否等于0．若是，则m 是方程的近似解；否则，返回第三步．

反思与感悟 算法的特点：(1)有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．

(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的．

(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．

跟踪训练2 求2的近似值，精确度0．05．

解 第一步，确定区间[a ，b ]，因2>1，2<2，设a ＝1，b ＝2．

第二步，m ＝a ＋b 2

，判断m 是否等于2，若相等，则m 为所求，否则执行第三步． 第三步，若m >2，则令b ＝m ，若m <2，则令a ＝m ．

第四步，重复第二、第三步，直到|a －b |<0．05或m ＝2时结束算法．

【当堂测、查疑缺】